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矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形

西安電子科技大學(xué)張鵬鴿矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形線性代數(shù)中涉及矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形有三種，分別是等價標(biāo)準(zhǔn)形、相似標(biāo)準(zhǔn)形和合同標(biāo)準(zhǔn)形.雖然各種矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形不同，但它們有一個不變量——秩不變.(1)等價標(biāo)準(zhǔn)形與是同型矩陣，若經(jīng)過一系列初等變換化為，則稱與等價.若，則又由于對作一次初等行（列）變換相當(dāng)于左（右）乘一個初等矩陣，而初等矩陣的乘積是可逆陣，從而對階矩陣而言，存在階可逆方陣和階可逆方陣，使其中標(biāo)準(zhǔn)形的非負(fù)整數(shù)由原矩陣唯一確定.易見，矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形唯一.(2)矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形設(shè)均為階方陣，若存在可逆矩陣，則稱矩陣與相似.為什么要討論這一類標(biāo)準(zhǔn)形，是起源于實對稱陣如何化為對角陣，進(jìn)而通過對角陣研究原矩陣.使得是的特征值.對角陣，其中設(shè)是實對稱陣，能否找到可逆陣（甚至正交陣）使得7將按列分塊，記，則有即易見可逆矩陣的第列是實對稱陣的特征值所對應(yīng)的特征向量，這一表達(dá)式也正是方陣的特征值與特征向量的定義起源.事實上，如何求矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形，首先求矩陣的全部特征值，進(jìn)而求所有特征值所對應(yīng)的特征向量.教材中有結(jié)論：實對稱陣必存在相似標(biāo)準(zhǔn)形.問題一般階方陣是否也存在相似標(biāo)準(zhǔn)形？幾何重數(shù)代數(shù)重數(shù)只有兩者相等時，原矩陣才可對角化.當(dāng)然，這涉及到某個重特征值是否會對應(yīng)個線性無關(guān)的特征向量，即幾何重數(shù)與代數(shù)重數(shù)之間恒有關(guān)系式：(3)合同標(biāo)準(zhǔn)形使，則稱與合同.對于同階方陣與，若存在可逆陣，使雖然合同的定義是針對一般階方陣定義的，但在實際應(yīng)用中是用來研究二次型的主軸問題.因此，重點是以實對稱矩陣為研究對象，而矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形中有結(jié)論：逆且）使得實對稱陣必存在正交陣（正交陣一定可

是的全部特征值.即與合同。其中，關(guān)鍵是要找一正交變換，使顯然，欲求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，這樣就化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形了.有同學(xué)自然要問：矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形唯一.實對稱矩陣的相

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