廣東省佛山市南海區(qū)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期學(xué)業(yè)水平測(cè)試數(shù)學(xué)試題答案

南海區(qū)2023屆高一學(xué)業(yè)水平測(cè)試數(shù)學(xué)試題2020年12月一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．如圖，已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合是（）A．B．C．D．1．答案：A解析：陰影部分表示的集合是．2．命題“”的否定是（）A．B．C．D．2．答案：C解析：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，即“”的否定是“”3．下面的圖象中可作為函數(shù)的圖象的是（）ABCD3．答案：D解析：根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于定義域中的任意，都有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，故選D．4．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．答案：B解析：由，解得，由于，所以“”是“”的必要而不充分條件．5．下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是（）A．B．C．D．5．答案：A解析：選項(xiàng)B，C是奇函數(shù)，選項(xiàng)D是偶函數(shù)，但在上單調(diào)遞減，只有選項(xiàng)A符合題意．6．函數(shù)與的圖象（）A．關(guān)于軸對(duì)稱B．關(guān)于軸對(duì)稱C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D．關(guān)于直線對(duì)稱6．答案：C解析：因?yàn)榕c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．7．定義在上的奇函數(shù)滿足且對(duì)任意的正數(shù)，有，則不等式的解集是（）A．B．C．D．7．答案：C解析：因?yàn)槿我獾恼龜?shù)，有成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，作出函數(shù)的圖象如圖所示，由可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．由圖可知不等式的解集是．8．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函數(shù)”．設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．例如：，，已知函數(shù)則下列選項(xiàng)中，正確的是（）A．的最大值為1，沒有最小值B．的最小值為0，沒有最大值C．沒有最大值，沒有最小值D．的最大值為1，最小值為08．答案：B解析：函數(shù)的圖象如圖所示，有圖可知，的最小值為0，沒有最大值．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)D．函數(shù)的值域?yàn)?．答案：AD解析：將點(diǎn)代入，得，解得，所以，該函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，值域?yàn)椋蔬xAD．10．如圖，某池塘里的浮萍面積(單位：)與時(shí)間(單位：月)的關(guān)系式為（，且；且）．則下列說(shuō)法正確的是（）A．浮萍每月增加的面積都相等B．第6個(gè)月時(shí)，浮萍的面積會(huì)超過(guò)C．浮萍每月的增長(zhǎng)率為1D．若浮萍面積蔓延到所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別為，則．10．答案：BCD解析：將，分別代入，得，解得，，，過(guò)點(diǎn)，浮萍每月增加的面積不相等，當(dāng)時(shí)，，每月浮萍的面積是上個(gè)月的2倍，增長(zhǎng)率為1，若浮萍面積蔓延到所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別為，則，，，因?yàn)?，所以，，即?1．已知，，，則（）A．B．C．D．11．答案：ABD解析：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；因?yàn)?，，，所以，所以，選項(xiàng)B正確；，所以C錯(cuò)誤；正確，故選ABD12．對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，定義，若，，下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)是偶函數(shù)B．方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根C．函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減D．函數(shù)有最大值為0，無(wú)最小值12．答案：ABD解析：作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)是偶函數(shù)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．函數(shù)有最大值為0，無(wú)最小值．故選ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上．13．求值：．13．答案：6解析：．14．若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．14．答案：解析：由題意可知，，解得．15．用二分法計(jì)算的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值，參考數(shù)據(jù)如下：那么方程的一個(gè)近似解（精確度為）可取為．15．答案：解析：，且，故近似解，可取．16．中的，要分別滿足，且，小明同學(xué)不知道為什么，請(qǐng)你幫他解釋．16．答案：由，①，得②，在①②兩式中相同，在①中有且，又對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，即．四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答須寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧?，不等式的解集為．?）求集合；（2）求集合，；（3）寫出集合與的關(guān)系．17．解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)榧希?，………?分得，，…………2分由得或，或，……………3分（2），或，，…………6分．…………8分（3）．…………10分18．（本題滿分12分）已知．（1）求證在上是增函數(shù)；（2）①，猜想與的大小關(guān)系；②證明你的猜想的結(jié)論；③求函數(shù)的最值．18．（1）且，………………1分，…………2分，，．…………4分，即，所以在是增函數(shù)……………5分（2）①，而，知，當(dāng)時(shí)，，．……………7分方法2：如圖，點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，交于點(diǎn)，知，．由圖知……………7分②………8分．……9分，，．……10分③．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，無(wú)最大值．…………12分③解法二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，無(wú)最大值．………………12分19．（本題滿分12分）若函數(shù)（1）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象；（2）寫出函數(shù)的值域、單調(diào)區(qū)間；（3）在①②，③這三個(gè)式子中任選出一個(gè)使其等于，求不等式的解集．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一解答計(jì)分．19．解析：（1）函數(shù)圖象如圖所示：……5分（2）由圖象可得函數(shù)的值域?yàn)?，…?分單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（3）…………10分解，得，由圖知原不等式的解集為或．………12分…………10分由圖知原不等式的解集為．……………12分……………10分由，得，由圖知原不等式的解集為．……………12分20．（本題滿分12分）人口問(wèn)題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問(wèn)題，認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系列政策提供依據(jù)．早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：，其中表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間，表示時(shí)的人口數(shù)，表示人口的年平均增長(zhǎng)率．．根據(jù)這些數(shù)據(jù)，用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在年期間的具體人口增長(zhǎng)模型．（精確到0.0001）（2）以（1）中的模型作預(yù)測(cè)，大約在哪一年我國(guó)人口總數(shù)達(dá)到13億?（參考數(shù)據(jù)：，，，，）20．解析：（1）由題意知，設(shè)年期間的我國(guó)人口的年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型，當(dāng)時(shí)，，………………2分有即，…………3分兩邊取自然對(duì)數(shù)得，………4分即．……………5分因此，我國(guó)在年間的具體人口增長(zhǎng)模型為．…6分（2）將代入，得，…………7分即，，從而．…………………10分從而，…………………11分故大約在1990年我國(guó)人口總數(shù)達(dá)到13億．……………12分注：如果答1989年扣1分．21．（本題滿分12分）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若對(duì)任意的，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．解析：（1）由題意得：函數(shù)是奇函數(shù)，定義域?yàn)椋?分，，得．…………………3分經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，是奇函數(shù)．………………………4分（2），任取，且，則，，又，，，故在上單調(diào)遞增．………………………6分對(duì)任意的，不等式成立，即，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，……………………8分所以，即恒成立，…………………10分因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），……11分所以．………………………12分22．（本題滿分12分）如圖，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，記位于直線左側(cè)的圖形的面積為．（1）求函數(shù)解析式；（2）畫出函數(shù)的圖象；（3）當(dāng)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求的值．22．解析：（1）當(dāng)時(shí)，，………1分當(dāng)時(shí)，，……………2分當(dāng)時(shí)，，……………………3分所以…………4分（2）畫圖象（3分），如圖…………7分（3）當(dāng)時(shí)，直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，相切時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)，且與射線無(wú)交點(diǎn)．此時(shí)，所以，所以，解得或．當(dāng)時(shí)，，解得在內(nèi)．當(dāng)時(shí)，，不在]內(nèi)，當(dāng)