專題03直線和圓的方程

專題03直線和圓的方程專題03直線和圓的方程一、直線的傾斜角、斜率1．直線的傾斜角①定義．當直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準，x軸的正方向與直線l向上的方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°.②范圍：傾斜角的范圍為．2．直線的斜率①定義．一條直線的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即，傾斜角是90°的直線沒有斜率．當直線與x軸平行或重合時,,.②過兩點的直線的斜率公式．經(jīng)過兩點的直線的斜率公式為.3.每一條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線都存在斜率．傾斜角為90°的直線斜率不存在．、斜率k之間的大小變化關系：（1）當時，越大，斜率越大；（2）當時，越大，斜率越大.二、直線方程：直線經(jīng)過點，且斜率為，則直線的方程為：.這個方程就叫做直線點斜式方程.特別地，直線過點，則直線的方程為：.這個方程叫做直線的斜截式方程.直線過兩點其中，則直線的方程為：.這個方程叫做直線的兩點式方程.當時，直線與軸垂直，所以直線方程為：；當時，直線與軸垂直，直線方程為：.特別地，若直線過兩點，則直線的方程為：，這個方程叫做直線的截距式方程.關于的二元一次方程（A，B不同時為0）叫做直線的一般式方程.由一般式方程可得，B不為0時，斜率，截距.三、兩條直線的平行與垂直1．兩直線的平行關系(1)對于兩條不重合的直線，其斜率為，有.(2)對于兩條直線，有.2．兩條直線的垂直關系(1)對于兩條直線，其斜率為，有.(2)對于兩條直線，有.四、兩條直線的交點坐標1.兩條直線相交：對于兩條直線，若，則方程組有唯一解，兩條直線就相交，方程組的解就是交點的坐標.2.兩條直線，聯(lián)立方程組，若方程組有無數(shù)組解，則重合．五、距離設兩點，則.2.點到直線的距離公式設點，直線，則點到直線的距離.3.兩平行線間的距離公式設兩條平行直線，則這兩條平行線之間的距離.六、對稱問題：2．中心對稱：點A、B關于點O對稱，是中心對稱，用中點坐標公式.3.軸對稱：點A、B關于直線l對稱，則l是線段AB的垂直平分線，可以利用垂直和平分分別列方程：和在直線l上.七、圓的標準方程1．圓的定義：在平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓．2．圓的標準方程(1)若圓的圓心為C(a,b),半徑為r，則該圓的標準方程為：．(2)方程表示圓心為C(a,b),半徑為r的圓．3.點與⊙C的位置關系(1)|AC|<r?點A在圓內(nèi)?；(2)|AC|＝r?點A在圓上?；(3)|AC|>r?點A在圓外?.八、圓的一般方程(1)任意一個圓的方程都可化為：.這個方程就叫做圓的一般方程．(2)對方程：.①若，則方程表示以，為圓心,為半徑的圓；②若，則方程只表示一個點，；③若，則方程不表示任何圖形．九、直線與圓的位置關系1.直線與圓相切：（1）直線與圓相切：直線與圓有且只有一個公共點；（2）幾何法：圓心到直線的距離等于半徑，即；（3）代數(shù)法：，方程組有一組不同的解.（1）直線與圓相交：直線與圓有兩個公共點；（2）幾何法：圓心到直線的距離小于半徑，即；（3）代數(shù)法：，方程組有兩組不同的解.十、圓與圓的位置關系設兩圓的圓心分別為、，圓心距為，半徑分別為、().(1)兩圓相離：無公共點；，方程組無解.(2)兩圓外切：有一個公共點；，方程組有一組不同的解.(3)兩圓相交：有兩個公共點；，方程組有兩組不同的解.(4)兩圓內(nèi)切：有一公共點；，方程組有一組不同的解.(5)兩圓內(nèi)含：無公共點；，方程組無解.特別地，時，為兩個同心圓.題型一直線的傾斜角與斜率【典例1】（2023秋·云南昆明·高二校考階段練習）已知點，，若過的直線與線段相交，則直線斜率k的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求出直線，的斜率，結合圖象可得答案.【詳解】根據(jù)題意，，，，則，，結合圖象可得直線的斜率k的取值范圍是.故選：D.【典例2】（2002·北京·高考真題）若直線與直線的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出兩直線的交點坐標，根據(jù)交點位于第一象限列式求出的范圍，可得傾斜角的取值范圍.【詳解】當時，兩直線平行，無交點，不合題意，故，由，得，則兩直線的交點為，依題意得，解得，所以直線l的傾斜角的取值范圍是.故選：B【總結提升】1.求直線的斜率與傾斜角.若已知兩點的坐標，則直接利用斜率公式求斜率；若條件中給出一條直線，則求出直線上的兩點的坐標，然后利用斜率公式求斜率.求直線的傾斜角，則先求出直線的斜率，再利用求傾斜角.2.k是含參數(shù)的一個式子，則利用函數(shù)或不等式的方法求其范圍；若是給出圖形求斜率與傾斜角的范圍，則采用數(shù)開結合的方法求其范圍．題型二：求直線方程【典例3】（2022秋·河南洛陽·高二宜陽縣第一高級中學?？茧A段練習）數(shù)學家默拉在1765年提出定理，三角形的外心,重心,垂心(外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點重心是三角形三條中線的交點,垂心是三角形三條高的交點)依次位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線,已知△ABC的頂點B(1,0),C(0,2),AB=AC,則△ABC的歐拉線方程為（）A．2x4y3=0 B．2x+4y+3=0C．4x2y3=0 D．2x+4y3=0【答案】D【分析】由題意計算出線段的垂直平分線【詳解】,則中點坐標為,則BC的垂直平分線方程為,,即,，的外心，重心，垂心，都在線段BC的垂直平分線上的歐拉線方程為故選D【典例4】（2023秋·山東日照·高二山東省日照實驗高級中學?？茧A段練習）過點且在兩坐標軸上截距相等的直線的方程為．【答案】或.【分析】分直線過原點和不過原點兩種情況求直線方程.【詳解】當直線過原點時，設直線，代入點，得，得，即；當直線不過原點時，設直線，代入點，得，得，即，化簡得.綜上可知，滿足條件的直線方程為或.故答案為：或.【規(guī)律方法】求直線方程的注意事項(1)在求直線方程時，根據(jù)題目的條件選擇適當?shù)男问剑?2)對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類與整合思想的運用(若采用點斜式，應先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應先判斷截距是否為零)．【易錯提醒】涉及直線在兩坐標軸上截距相等問題，要特別注意截距均為的情況；另外，某些涉及直線問題中，往往要討論直線的斜率是否存在的情況，也應特別注意.題型三兩條直線平行與垂直【典例5】（2009·全國·高考真題）若直線m被兩平行線與所截得的線段的長為，則m的傾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正確答案的序號是(寫出所有正確答案的序號)．【答案】①⑤【分析】先求兩平行線間的距離為，結合題意直線m被兩平行線所截得的線段的長為得到直線m與兩平行線的夾角為30°，再根據(jù)已知直線的傾斜角進行求解．【詳解】因為，所以直線，間的距離．設直線m與直線，分別相交于點B，A，則，過點A作直線l垂直于直線，垂足為C，則，則在中，，所以，又直線的傾斜角為45°，所以直線m的傾斜角為或．故答案為：①⑤．【典例6】（2023秋·山東日照·高二山東省日照實驗高級中學?？茧A段練習）（1）如果直線l經(jīng)過點，且直線l的法向量為，求直線l的方程；（2）已知直線與直線垂直，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用直線的法向量與斜率的關系再結合點斜式計算即可；（2）根據(jù)直線垂直的充要條件計算即可.【詳解】（1）由直線l的法向量為可得直線的一個方向向量為，故直線的斜率為，由點斜式可知直線的方程為：；（2）因為兩直線垂直，故有.【規(guī)律方法】1.解決兩直線的位置關系問題要根據(jù)已知直線方程的形式靈活選用相應的條件，顯然該題中直接利用一般式方程對應的條件更為簡潔．另外利用直線的斜率和截距討論時，不要忘記斜率不存在時的討論．2.可將方程化成斜截式，利用斜率和截距進行分析；也可直接利用一般式套用兩直線垂直與平行的條件求解．一般式方程化成斜截式方程時，要注意直線的斜率是否存在（即的系數(shù)是否為0）.題型四對稱問題【典例7】（2004·浙江·高考真題）曲線關于直線對稱的曲線方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設曲線關于直線對稱的曲線為，得到其對稱點，代入計算化簡，即可得到結果.【詳解】設曲線關于直線對稱的曲線為，在曲線上任取一點，則關于直線對稱的點為因為在曲線上，所以，即故選:C.【典例8】（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）直線關于點對稱的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設對稱的直線方程上的一點的坐標為,則其關于點對稱的點的坐標為，代入已知直線即可求得結果.【詳解】設對稱的直線方程上的一點的坐標為，則其關于點對稱的點的坐標為，因為點在直線上，所以即.故選：D.【典例9】（2023秋·四川南充·高三四川省南充高級中學?？茧A段練習）已知雙曲線的左右焦點點關于一條漸近線的對稱點在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率是（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】利用雙曲線的漸近線方程及點關于線對稱的特點，結合雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】雙曲線的右焦點,設點關于一條漸近線的對稱點為，由題意知，，解得.又知，解得，所以，即，所以雙曲線C的離心率是故選：C.【典例10】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知直線和兩點，若直線上存在一點使得最小，則點的坐標為.【答案】【分析】利用對稱轉(zhuǎn)化，再根據(jù)圖象，轉(zhuǎn)化為三點共線求點的坐標.【詳解】首先設點關于的對稱點，則，解得：，即根據(jù)對稱性可知，，當點三點共線時，等號成立，此時最小，即點是直線與的交點，，直線，聯(lián)立，解得：，即此時故答案為：【典例11】（2023·全國·高三專題練習）M是拋物線上一點，N是圓C：關于直線x－y＋1＝0的對稱圓上的一點，則的最小值是．【答案】【分析】由題意求出圓的對稱圓的圓心坐標，求出對稱圓的圓心坐標到拋物線上的點的距離的最小值，減去半徑即可得到的最小值.【詳解】假設圓心關于直線對稱的點為，則有，解方程組可得，所以曲線的方程為，圓心為，設，則，又，所以，，即，所以，故答案為：.【規(guī)律方法】涉及對稱問題，主要有以下幾種情況：1．若點關于直線對稱，設對稱點是，則線段的中點在直線上且直線，由此可得一方程組，解這個方程組得：的值，從而求得對稱點的坐標.2．若直線關于點對稱，由于對稱直線必與直線平行，故可設對稱直線為.因為直線間的距離是點到直線的距離的二倍，則有，解這個方程可得的值（注意這里求出的有兩個），再結合圖形可求得對稱直線的方程．3．若直線關于直線對稱，則在直線上取兩點，求出這兩點關于直線對稱的兩點的坐標，再由兩點式便可得直線關于直線對稱的直線的方程．題型五光線的反射問題【典例12】（2023春·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習）已知圓，從圓心C射出的光線被直線反射后，反射光線恰好與圓C相切，則反射光線所在直線的斜率為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】由題可得圓心關于直線的對稱點為，設反射光線所在的直線斜率為k，然后利用直線與的圓的位置關系求解即可.【詳解】圓，圓心為，設圓心關于直線的對稱點為，則，解得，即，設反射光線所在的直線斜率為k，則反射光線所在的直線方程為，因為反射光線恰好與圓C相切，所以，整理得，解得或.故選：C．【典例13】（2022秋·山西·高二長治市上黨區(qū)第一中學校校聯(lián)考期中）一條沿直線傳播的光線經(jīng)過點和，然后被直線反射，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)兩點式求得入射光線的直線方程，求得入射光線和直線的交點，再根據(jù)反射光線經(jīng)過入射點的對稱點，結合點關于直線對稱求得對稱點，再利用兩點式即可得解.【詳解】入射光線所在的直線方程為，即，聯(lián)立方程組解得即入射點的坐標為．設關于直線對稱的點為，則解得，即．因為反射光線所在直線經(jīng)過入射點和，所以反射光線所在直線的斜率為，所以反射光線所在的直線方程為，即．故選：D.【總結提升】反射光線經(jīng)過入射點的對稱點，歸結為“對稱問題”.題型六求圓的方程【典例14】（2020·山東高考真題）已知圓心為的圓與軸相切，則該圓的標準方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】圓的圓心為，半徑為，得到圓方程.【詳解】根據(jù)題意知圓心為，半徑為，故圓方程為：.故選：B.【典例15】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）過四點中的三點的一個圓的方程為．【答案】或或或．【分析】方法一：設圓的方程為，根據(jù)所選點的坐標，得到方程組，解得即可；【詳解】[方法一]：圓的一般方程依題意設圓的方程為，（1）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（2）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（3）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（4）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或．[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標準方程（三點中的兩條中垂線的交點為圓心）設（1）若圓過三點，圓心在直線，設圓心坐標為，則，所以圓的方程為；（2）若圓過三點，設圓心坐標為，則，所以圓的方程為；（3）若圓過三點，則線段的中垂線方程為，線段的中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為；（4）若圓過三點，則線段的中垂線方程為，線段中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為．故答案為：或或或．【整體點評】方法一；利用圓過三個點，設圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡單，運算稍繁；方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運算稍簡潔，是該題的最優(yōu)解．【總結提升】(1)要確定圓的標準方程需要兩個條件(包含三個代數(shù)量)：圓的圓心坐標和圓的半徑長；反之如果已知圓的標準方程也能直接得到圓的圓心坐標和半徑；(2)求解圓的標準方程時，一般先求出圓心和半徑，再寫方程．題型七與圓相關的軌跡問題【典例16】（2023秋·浙江金華·高三階段練習）已知圓的直徑，點滿足.記點的軌跡為，設與交于兩點，則.【答案】【分析】首先建立坐標系，分別求圓和圓的方程，兩圓相減后求直線的方程，再根據(jù)弦長公式求解弦長.【詳解】以線段的中點為原點，以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立平面直角坐標系，則圓的方程為，，，設，由題意可知，，整理為，，則圓的方程為；兩圓相減得直線的方程為，圓心到直線的距離，所以線段.故答案為：【典例17】（2023·全國·高二隨堂練習）已知點A是圓上一動點，O為坐標原點，連接OA并延長到B，使．問：所有滿足條件的點B組成的曲線是什么形狀的？【答案】以為圓心，以4為半徑的圓【分析】設，由題意A為OB的中點，得，結合點A在圓C上，代入即可求得點B的軌跡．【詳解】由圓得，該圓的圓心坐標為，半徑為2，如圖，設，由題意A為OB的中點，得，∵點A是圓上一動點，∴，則整理得，即∴所有滿足條件的點B組成的曲線是以為圓心，以4為半徑的圓．【規(guī)律方法】求軌跡方程的常用方法：(1)直接法：能直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．步驟如下：(2)代入法(也稱相關點法)若動點P(x，y)跟隨某條曲線(直線)C上的一個動點Q(x0，y0)的運動而運動，則找到所求動點與已知動點的關系，代入已知動點所在的方程．具體步驟如下：①設所求軌跡上任意一點P(x，y)，與點P相關的動點Q(x0，y0)；②根據(jù)條件列出x，y與x0、y0的關系式，求得x0、y0(即用x，y表示出來)；③將x0、y0代入已知曲線的方程，從而得到點D(x，y)滿足的關系式即為所求的軌跡方程．(3)定義法：動點的運動軌跡符合圓的定義時，可利用定義寫出動點的軌跡方程．題型八圓的切線問題【典例18】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結合倍角公式運算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結合余弦定理運算求解；方法三：根據(jù)切線結合點到直線的距離公式可得，利用韋達定理結合夾角公式運算求解.【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，因為，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，連接，可得，則，因為且，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；若切線斜率存在，設切線方程為，即，則，整理得，且設兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.【典例19】（2023秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習）漢代初年成書的《淮南萬畢術》記載：“取大鏡高懸，置水盆于下，則見四鄰矣”．這是中國古代入民利用平面鏡反射原理的首個實例，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學智慧．在平面直角坐標系中，一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后的光線所在的直線與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（

）A． B．或1 C．1 D．2【答案】C【分析】由對稱性可知反射光線過且又在該圓上，即可得為切點，再由斜率乘積為即可求出答案.【詳解】易知關于軸的對稱點為，由平面鏡反射原理，反射光線所在的直線過且與該圓相切，將圓化簡后可得，所以圓心，易知在該圓上，所以即為切點，因此圓心與切點連線與反射光線垂直，設反射光線所在直線的斜率為，即，解得故選：C．【典例20】（2021·天津高考真題）若斜率為的直線與軸交于點，與圓相切于點，則____________．【答案】【分析】設直線的方程為，則點，利用直線與圓相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【詳解】設直線的方程為，則點，由于直線與圓相切，且圓心為，半徑為，則，解得或，所以，因為，故.故答案為：.【規(guī)律方法】求過某一點的圓的切線方程，首先判定點與圓的位置關系，以確定切線的條數(shù)．(1)求過圓上一點P(x0，y0)的圓的切線方程：先求切點與圓連線的斜率k，則由垂直關系得切線斜率為－eq\f(1,k)，由點斜式方程可求得切線方程．如果k＝0或斜率不存在，則由圖形可直接得切線方程為y＝y(tǒng)0或x＝x0．(2)求過圓外一點P(x0，y0)的圓的切線方程時，常用幾何方法求解：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，進而求出切線方程．但要注意，若求出的k值只有一個時，則另一條切線的斜率一定不存在，切線方程為x＝x0．題型九圓的弦長、弦心距問題【典例21】（2020·全國高考真題（文））已知圓，過點（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】圓化為，所以圓心坐標為，半徑為，設，當過點的直線和直線垂直時，圓心到過點的直線的距離最大，所求的弦長最短，此時根據(jù)弦長公式得最小值為.故選：B.【典例22】（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知圓心在第一象限，設圓心的坐標為，可得圓的半徑為，寫出圓的標準方程，利用點在圓上，求得實數(shù)的值，利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設圓心的坐標為，則圓的半徑為，圓的標準方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【規(guī)律方法】1.弦長的兩種求法(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個一元二次方程．在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的關系，根據(jù)弦長公式求弦長．(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2eq\r(r2－d2).2.具體方法步驟：設直線l的方程為ax＋by＋c＝0，圓O的方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，求弦長的方法通常有以下兩種：(1)幾何法：由圓的性質(zhì)知，過圓心O作l的垂線，垂足C為線段AB的中點．如圖所示，在Rt△OCB中，|BC|2＝r2－d2，則弦長|AB|＝2|BC|＝2eq\r(r2－d2)．(2)代數(shù)法：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋by＋c＝0,x－x02＋y－y02＝r2))，消元后可得關于x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2的關系式，則|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋\f(1,k2)[y1＋y22－4y1y2])題型十圓與圓的位置關系【典例23】（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當最小時，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可判斷直線與圓相離，根據(jù)圓的知識可知，四點共圓，且，根據(jù)可知，當直線時，最小，求出以為直徑的圓的方程，根據(jù)圓系的知識即可求出直線的方程．【詳解】圓的方程可化為，點到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的知識可知，四點四點共圓，且，所以，而，當直線時，，，此時最?。嗉?，由解得，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．故選：D.【典例24】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程．【答案】或或【分析】先判斷兩圓位置關系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設直線方程為，于是，故①，于是或，再結合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點為，設過該點的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當切線為l時，因為，所以，設方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當切線為m時，設直線方程為，其中，，由題意，解得，當切線為n時，易知切線方程為，故答案為：或或.【規(guī)律方法】常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的絕對值的關系，一般不用代數(shù)法．2．兩圓公共弦長的求法兩圓公共弦長，先求出公共弦所在直線的方程，轉(zhuǎn)化為直線與圓相交的弦長問題．比較兩圓半徑的和、差與兩圓圓心距的大小可得兩圓的位置關系；兩圓方程相減即得公共弦方程；公共弦長要通過解直角三角形獲得．題型十一直線、圓的位置關系的綜合應用【典例25】（2023秋·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學考試）一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)，已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處，如果輪船沿直線返港，不會有觸礁危險，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立平面直角坐標系，寫出輪船沿直線返港時直線的方程及暗礁分布的圓形區(qū)域的邊界的方程，由輪船沿直線返港不會有觸礁危險可得直線與相離，進而可求得結果.【詳解】以小島中心為原點O，東西方向為x軸，南北方向為y軸建立平面直角坐標系，則設輪船所在位置為點B，港口所在位置為點A，如圖所示，則，（），暗礁分布的圓形區(qū)域的邊界的方程為，所以輪船沿直線返港時直線的方程為，即，又因為輪船沿直線返港不會有觸礁危險，所以直線與相離，即圓心O到直線的距離（），解得.故選：A.【典例26】（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考開學考試）已知圓C過，，且圓心C在x軸上．(1)求圓C的標準方程；(2)若直線過點，且被圓C截得的弦長為，求直線的方程；(3)過點C且不與x軸重合的直線與圓C相交于M，N，O為坐標原點，直線，分別與直線相交于P，Q，記，面積為，，求的最大值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）設圓的方程為，將，代入求得即可；（2）討論直線斜率是否存在，當直線斜率存在時，設直線方程，根據(jù)圓的弦長公式求得直線方程；（3）設直線的方程分別為，求出的坐標，將表達為的函數(shù)，用基本不等式求最大值.【詳解】（1）由圓心C在x軸上，設圓的方程為，又圓C過，得，解得，，所以圓的方程為；（2）因為直線與圓C截得的弦長為，所以圓心C到直線的距離為，①若直線斜率不存在時，直線與圓C交點為，直線與圓C截得的弦長為，故直線符合題意．②若直線斜率存在時，設，整理得，所以圓心C到直線的距離為，解得，則直線，即直線．綜上所述，直線的方程為或．（3）由題意知，，設直線的斜率為，則直線的方程為，由，得，解得或，則點的坐標為，又直線的斜率為，同理可得：點的坐標為由題可知：，，故，又∵，同理，∴．當且僅當時等號成立．所以的最大值為．【典例27】（2023秋·云南昆明·高二云南師范大學實驗中學?？茧A段練習）過點的直線為為圓與軸正半軸的交點.(1)若直線與圓相切，求直線的方程：(2)證明：若直線與圓交于兩點，直線的斜率之和為定值.【答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知求出圓心、半徑，設出直線方程，根據(jù)直線與圓相切列出方程求解，即可得出答案；（2）求出，設出直線方程，代入圓的方程，根據(jù)韋達定理得出.進而表示出直線的斜率，整理即可得出證明.【詳解】（1）由已知可得，圓心，半徑.當直線斜率不存在時，方程為，此時直線與圓不相切；當直線斜率存在時，設直線斜率為，則方程為，即.由直線與圓相切，可知圓心到直線的距離，整理可得，，解得或.所以，直線的方程為或.綜上所述，直線的方程為或.（2）由題設得到點，當直線斜率不存在時，方程為，此時直線與圓的交點為，，則；當直線斜率存在時，設直線方程為，代入圓的方程可得.設點，則.所以，，則.綜上所述，與的斜率之和為定值.故與的斜率之和為定值.【典例28】（2023秋·河北保定·高二河北省唐縣第一中學?？茧A段練習）某公園有一圓柱形建筑物，底面半徑為2米，在其南面有一條東西走向的觀景直道（圖中用實線表示），建筑物的東西兩側(cè)有與直道平行的兩段輔道（圖中用虛線表示），觀景直道與輔道距離5米．在建筑物底面中心O的北偏東45°方向米的點A處，有一臺360°全景攝像頭，其安裝高度低于建筑物高度．請建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担⒔鉀Q問題：(1)在西輔道上與建筑物底面中心O距離4米處的游客，是否在攝像頭監(jiān)控范圍內(nèi)？(2)求觀景直道不在攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度．【答案】(1)游客在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)【分析】（1）建立坐標系，利用直線和圓的位置關系可以判斷；（2）根據(jù)直線和圓相切求出切線，利用切線和觀景直道所在直線的交點可得范圍.【詳解】（1）設為原點，正東方向為軸，建立平面直角坐標系，，因為，，則，依題意得，游客所在位置為，則直線的方程為，所以圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，所以游客在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)．（2）由圖知，過的直線與圓相切或相離時，攝像頭監(jiān)控不會被建筑物擋住，所以設直線過點且和圓相切，①若直線垂直于軸，則直線不會和圓相切；②若直線不垂直于軸，設，整理得，所以圓心到直線的距離為，解得或，所以或，即或，觀景直道所在直線方程為，設兩條直線與的交點為D，E，由，解得，由，解得，所以，答：觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度為8.75米．【規(guī)律方法】直線與圓的位置關系常用處理方法：（1）直線與圓相切處理時要利用圓心與切點連線垂直，構建直角三角形，進而利用勾股定理可以建立等量關系；（2）直線與圓相交，利用垂徑定理也可以構建直角三角形；（3）直線與圓相離時，當過圓心作直線垂線時長度最?。?、選擇題：1．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）直線關于點對稱的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設對稱的直線方程上的一點的坐標為,則其關于點對稱的點的坐標為，代入已知直線即可求得結果.【詳解】設對稱的直線方程上的一點的坐標為，則其關于點對稱的點的坐標為，因為點在直線上，所以即.故選：D.2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）點(0，﹣1)到直線距離的最大值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】首先根據(jù)直線方程判斷出直線過定點，設，當直線與垂直時，點到直線距離最大，即可求得結果.【詳解】由可知直線過定點，設，當直線與垂直時，點到直線距離最大，即為.故選：B.3.（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解．【詳解】由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：A．4.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知實數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B．4 C． D．7【答案】C【分析】法一：令，利用判別式法即可；法二：通過整理得，利用三角換元法即可，法三：整理出圓的方程，設，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.【詳解】法一：令，則，代入原式化簡得，因為存在實數(shù)，則，即，化簡得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，則，，所以，則，即時，取得最大值，法三：由可得，設，則圓心到直線的距離，解得故選：C.5.（2014·四川·高考真題）設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：易得.設，則消去得：，所以點P在以AB為直徑的圓上，，所以，令，則.因為，所以.所以，.選B.法二、因為兩直線的斜率互為負倒數(shù)，所以，點P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.二、多項選擇題：6．（2022秋·安徽阜陽·高二安徽省太和中學?？几傎悾┫铝姓f法錯誤的是（

）A．直線的傾斜角的取值范圍是B．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件C．若直線與直線相交，且交點的橫坐標的范圍為，則實數(shù)的取值范圍是D．經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【答案】BD【分析】根據(jù)斜率為求得的范圍可判斷A；根據(jù)兩直線垂直的等價條件和充分條件必要條件的定義可判斷B；由兩直線相交得出，因為，所以，解不等式可判斷C；分為兩種情況討論，當在軸和軸上截距都為時；當過點且在軸和軸上截距相等不為時，求出直線方程可判斷D.【詳解】對于A：直線的傾斜角為，則，因為，所以，故選項A正確；對于B：當時，與直線斜率乘積等于，兩直線互相垂直，所以充分性成立；若“直線與直線互相垂直”，則可得或，所以不一定有，故必要性不成立，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件，故選項B錯誤；對于C：因為直線與直線相交，所以兩直線的斜率不相等，即，即，由與消去得，因為，所以，整理得且，解得或，故選項C正確；對于D：當過點且在軸和軸上截距都為時，所求直線方程為，當過點且在軸和軸上截距相等不為時，設所求直線方程為，即，可得，所求直線的方程為，綜上，所求直線方程為或，故選項D錯誤.故選：BD.7.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（

）A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【分析】轉(zhuǎn)化點與圓、點與直線的位置關系為的大小關系，結合點到直線的距離及直線與圓的位置關系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離