指數(shù)與指數(shù)函數(shù)的復(fù)習(xí)教案

指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算教學(xué)目的:1、理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式的概念；2、掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化；3、掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；教學(xué)重點(diǎn)：（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式概念的理解；（2）掌握并運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；教學(xué)難點(diǎn)：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及根式概念的理解一、復(fù)習(xí)什么是平方根？什么是立方根？一個(gè)數(shù)的平方根有幾個(gè)，立方根呢？歸納：在初中的時(shí)候我們已經(jīng)知道：若，則叫做a的平方根.同理，若，則叫做a的立方根.根據(jù)平方根、立方根的定義，正實(shí)數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，如4的平方根為，負(fù)數(shù)沒有平方根，一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，如―8的立方根為―2；零的平方根、立方根均為零.二、新課講解類比平方根、立方根的概念，歸納出n次方根的概念.n次方根：一般地，若，則x叫做a的n次方根（nthroot），其中n＞1，且n∈Ｎ＊,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a的n次方根中，正數(shù)用表示，如果是負(fù)數(shù)，用表示，叫做根式.n為奇數(shù)時(shí)，a的n次方根用符號(hào)表示，其中n稱為根指數(shù)，a為被開方數(shù).類比平方根、立方根，猜想：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，一個(gè)數(shù)的n次方根有多少個(gè)？當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)呢？零的n次方根為零，記為舉例：16的4次方根為，等等，而的4次方根不存在.小結(jié)：一個(gè)數(shù)到底有沒有n次方根，我們一定先考慮被開方數(shù)到底是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，還要分清n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況.根據(jù)n次方根的意義，可得：肯定成立，表示an的n次方根，等式一定成立嗎？如果不一定成立，那么等于什么？通過探究得到：n為奇數(shù)，n為偶數(shù),如：小結(jié)：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，化簡得到結(jié)果先取絕對(duì)值，再在絕對(duì)值算具體的值，這樣就避免出現(xiàn)錯(cuò)誤：例題：求下列各式的值（1）分析：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，應(yīng)先寫，然后再去絕對(duì)值.思考：是否成立，舉例說明.課堂練習(xí)：1.求出下列各式的值2．若.3．計(jì)算三．歸納小結(jié)：1．根式的概念：若n＞1且，則為偶數(shù)時(shí)，；2．掌握兩個(gè)公式：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算1．習(xí)初中時(shí)的整數(shù)指數(shù)冪，運(yùn)算性質(zhì)？什么叫實(shí)數(shù)？有理數(shù)，無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù).2．觀察以下式子，并總結(jié)出規(guī)律：＞0①②③④小結(jié)：當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí)，根式可以寫成分?jǐn)?shù)作為指數(shù)的形式，（分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式）.根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時(shí)，根式是否也可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.如：即：為此，我們規(guī)定正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義為：正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)冪的意義相同.即：規(guī)定：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義.說明：規(guī)定好分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是可以互換的，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪只是根式的一種新的寫法，而不是由于整數(shù)指數(shù)冪，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪都有意義，因此，有理數(shù)指數(shù)冪是有意義的，整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即：（1）（2）（3）若＞0，P是一個(gè)無理數(shù)，則P該如何理解？為了解決這個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生先閱讀課本P62——P62.即：的不足近似值，從由小于的方向逼近，的過剩近似值從大于的方向逼近.所以，當(dāng)不足近似值從小于的方向逼近時(shí)，的近似值從小于的方向逼近.當(dāng)?shù)倪^剩似值從大于的方向逼近時(shí)，的近似值從大于的方向逼近，所以，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).一般來說，無理數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪.無理指數(shù)冪的意義，是用有理指數(shù)冪的不足近似值和過剩近似值無限地逼近以確定大小.思考：的含義是什么？由以上分析，可知道，有理數(shù)指數(shù)冪，無理數(shù)指數(shù)冪有意義，且它們運(yùn)算性質(zhì)相同，實(shí)數(shù)指數(shù)冪有意義，也有相同的運(yùn)算性質(zhì)，即：3．例題（1）．求值解：①②③④（2）．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表或下列各式（＞0）解：分析：先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再由運(yùn)算性質(zhì)來運(yùn)算.課堂練習(xí)：補(bǔ)充練習(xí)：1.計(jì)算：的結(jié)果2.若小結(jié)：1．分?jǐn)?shù)指數(shù)是根式的另一種寫法.2．無理數(shù)指數(shù)冪表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).3．掌握好分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，其與整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是一致的.例1．計(jì)算下列各式（式中字母都是正數(shù)）（1）（2）分析：四則運(yùn)算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)的.整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后，其運(yùn)算順序仍符合我們以前的四則運(yùn)算順序.我們看到（1）小題是單項(xiàng)式的乘除運(yùn)算；（2）小題是乘方形式的運(yùn)算，它們應(yīng)讓如何計(jì)算呢？其實(shí)，第（1）小題是單項(xiàng)式的乘除法，可以用單項(xiàng)式的運(yùn)算順序進(jìn)行.第（2）小題是乘方運(yùn)算，可先按積的乘方計(jì)算，再按冪的乘方進(jìn)行計(jì)算.解：（1）原式===4（2）原式==例2．（P61例5）計(jì)算下列各式（1）（2）＞0）分析：在第（1）小題中，只含有根式，且不是同類根式，比較難計(jì)算，但把根式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪再計(jì)算，這樣就簡便多了，同樣，第（2）小題也是先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再由運(yùn)算法則計(jì)算.解：（1）原式=====（2）原式=小結(jié)：運(yùn)算的結(jié)果不強(qiáng)求統(tǒng)一用哪一種形式表示，但不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母，又含有負(fù)指數(shù).課堂練習(xí)：化簡：（1）（2）（3）歸納小結(jié)：熟練掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算法則，化簡的基礎(chǔ).2．含有根式的式子化簡，一般要先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再計(jì)算.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)（＞0且≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.提問：在下列的關(guān)系式中，哪些不是指數(shù)函數(shù)，為什么？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（＞1，且）小結(jié)：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義來判斷說明：因?yàn)椋?，是任意一個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R.若＜0，如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的函數(shù)值不存在.若=1,是一個(gè)常量，沒有研究的意義，只有滿足的形式才能稱為指數(shù)函數(shù)，不符合.我們?cè)趯W(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性的時(shí)候，主要是根據(jù)函數(shù)的圖象，即用數(shù)形結(jié)合的方法來研究.下面我們通過先來研究＞1的情況用計(jì)算機(jī)完成以下表格，并且用計(jì)算機(jī)畫出函數(shù)的圖象124----------------xy0y=2x再研究，0＜＜1的情況，用計(jì)算機(jī)完成以下表格并繪出函數(shù)的圖象.124---------------xy0---------------xy0從圖中我們看出通過圖象看出實(shí)質(zhì)是上的討論：的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以這兩個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，對(duì)嗎？0②利用電腦軟件畫出的函數(shù)圖象.0問題：1：從畫出的圖象中，你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖象與底數(shù)間有什么樣的規(guī)律.從圖上看（＞1）與（0＜＜1）兩函數(shù)圖象的特征.0問題2：根據(jù)函數(shù)的圖象研究函數(shù)的定義域、值域、特殊點(diǎn)、單調(diào)性、最大（?。┲?、奇偶性.0問題3：指數(shù)函數(shù)（＞0且≠1），圖象特征函數(shù)性質(zhì)＞10＜＜1＞10＜＜1向軸正負(fù)方向無限延伸函數(shù)的定義域?yàn)镽圖象關(guān)于原點(diǎn)和軸不對(duì)稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都在軸上方函數(shù)的值域?yàn)镽+函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（0，1）=1自左向右，圖象逐漸上升自左向右，圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1＞0，＞1＞0，＜1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1＜0，＜1＜0，＞15．利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：（1）在（＞0且≠1）值域是（2）若（3）對(duì)于指數(shù)函數(shù)（＞0且≠1），總有（4）當(dāng)＞1時(shí)，若＜，則＜；例題：例1：已知指數(shù)函數(shù)（＞0且≠1）的圖象過點(diǎn)（3，π），求分析：要求再把0，1，3分別代入，即可求得課堂練習(xí)：P68練習(xí)：第1，2，3題補(bǔ)充練習(xí)：1、函數(shù)2、當(dāng)解（1）（2）（－，１）例2：求下列函數(shù)的定義域：（1）（2）分析：類為的定義域是R，所以，要使（1），（2）題的定義域，保要使其指數(shù)部分有意義就得.3．歸納小結(jié)1、理解指數(shù)函數(shù)2、解題利用指數(shù)函數(shù)的圖象，可有利于清晰地分析題目，培養(yǎng)數(shù)型結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想.例1：比較下列各題中的個(gè)值的大小（1）1.72.5與1.73(2)與(3)1.70.3與0.93.10解法1：用數(shù)形結(jié)合的方法，如第（1）小題，用圖形計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出的圖象，在圖象上找出橫坐標(biāo)分別為2.5,3的點(diǎn)，顯然，圖象上橫坐標(biāo)就為3的點(diǎn)在橫坐標(biāo)為2.5的點(diǎn)的上方，所以.0解法2：用計(jì)算器直接計(jì)算：所以，解法3：由函數(shù)的單調(diào)性考慮因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在R上是增函數(shù)，且2.5＜3，所以，仿照以上方法可以解決第（2）小題.注：在第（3）小題中，可以用解法1，解法2解決，但解法3不適合.由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某個(gè)函數(shù)的兩個(gè)值，因此，在這兩個(gè)數(shù)值間找到1，把這兩數(shù)值分別與1比較大小，進(jìn)而比較1.70.3與0.93.1的大小.思考：1、已知按大小順序排列.2.比較（＞0且≠0）.指數(shù)函數(shù)不僅能比較與它有關(guān)的值的大小，在現(xiàn)實(shí)生活中，也有很多實(shí)際的應(yīng)用.例2（P67例8）截止到1999年底，我們?nèi)丝趩?3億，如果今后，能將人口年平均均增長率控制在1%，那么經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)最多為多少（精確到億）？分析：可以先考試一年一年增長的情況，再從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后解決問題：1999年底人口約為13億經(jīng)過1年人口約為13（1+1%）億經(jīng)過2年人口約為13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2億經(jīng)過3年人口約為13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3億經(jīng)過年人口約為13(1+1%)億經(jīng)過20年人口約為13(1+1%)20億解：設(shè)今后人口年平均增長率為1%，經(jīng)過年后，我國人口數(shù)為億，則當(dāng)=20時(shí)，答：經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)最多為16億.小結(jié)：類似上面此題，設(shè)原值為N，平均增長率為P，則對(duì)于經(jīng)過時(shí)間后總量，＞0且≠1）的函數(shù)稱為指數(shù)型函數(shù).思考：P68探究：（1）如果人口年均增長率提高1個(gè)平分點(diǎn)，利用計(jì)算器分別計(jì)算20年后，33年后的我國人口數(shù).（3）你看到我國人口數(shù)的增長呈現(xiàn)什么趨勢？（4）如何看待計(jì)劃生育政策？3．課堂練習(xí)Y=（1）右圖是指數(shù)函數(shù)①②