新高考版《數(shù)學》資料：計數(shù)原理、排列與組合（十年高考）

新高考版《數(shù)學》資料：計數(shù)原理、排列與組合（十年高考）新高考版《數(shù)學》資料：計數(shù)原理、排列與組合（十年高考）PAGE/PAGE1新高考版《數(shù)學》資料：計數(shù)原理、排列與組合（十年高考）專題十計數(shù)原理10.1計數(shù)原理、排列與組合考點計數(shù)原理、排列、組合1.(2020新高考Ⅰ,3,5分)6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者,每名同學只去1個場館,甲場館安排1名,乙場館安排2名,丙場館安排3名,則不同的安排方法共有()A.120種B.90種C.60種D.30種答案C解題思路：第一步：安排甲場館的志愿者,則甲場館的安排方法有C61=6種,第二步：安排乙場館的志愿者,則乙場館的安排方法有C52=10種,第三步：安排丙場館的志愿者,則丙場館的安排方法有C33=1種.所以共有6×10×1=60種不同的安排方法.故選C2.(2022新高考Ⅱ,5,5分,應用性)甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰,則不同的排列方式共有()A.12種B.24種C.36種D.48種答案B丙和丁相鄰共有A22·A44種站法,甲站在兩端且丙和丁相鄰共有C21·A3.(2021全國乙理,6,5分)將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓,每名志愿者只分配到1個項目,每個項目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有()A.60種B.120種C.240種D.480種答案C先將5人分為4組,其中一組有2人,另外三組各1人,共有C52=10種分法,然后將4個項目全排列,共有A44=24種排法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得到不同的分配方案共有C52易錯警示本題容易出現(xiàn)將5人分為4組,共有分法C52·4.(2016四川理,4,5分)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為()A.24B.48C.60D.72答案D奇數(shù)的個數(shù)為C35.(2015四川理,6,5分)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù),其中比40000大的偶數(shù)共有()A.144個B.120個C.96個D.72個答案B數(shù)字0,1,2,3,4,5中僅有0,2,4三個偶數(shù),比40000大的偶數(shù)為以4開頭與以5開頭的數(shù).其中以4開頭的偶數(shù)又分以0結(jié)尾與以2結(jié)尾,有2A43=48個;同理,以5開頭的有3A43=72個.于是共有48+72=120評析本題考查了分類與分步計數(shù)原理、排列數(shù)的知識.考查學生分析問題、解決問題的能力.6.(2014大綱全國理,5,5分)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生,從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組.則不同的選法共有()A.60種B.70種C.75種D.150種答案C從6名男醫(yī)生中選出2名有C62種選法,從5名女醫(yī)生中選出1名有C51種選法,由分步乘法計數(shù)原理得不同的選法共有C62·7.(2014遼寧理,6,5分)6把椅子擺成一排,3人隨機就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A.144B.120C.72D.24答案D先把三把椅子隔開擺好,它們之間和兩端有4個位置,再把三人帶椅子插放在四個位置,共有A43=24種放法,8.(2014四川理,6,5分)六個人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有()A.192種B.216種C.240種D.288種答案B若最左端排甲,其他位置共有A55=120種排法;若最左端排乙,最右端共有4種排法,其余4個位置有A44=24種排法,所以共有120+49.(2014重慶理,9,5分)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A.72B.120C.144D.168答案B先不考慮小品類節(jié)目是否相鄰,保證歌舞類節(jié)目不相鄰的排法共有A33·A43=144種,再剔除小品類節(jié)目相鄰的情況,共有A33·A22·10.(2013山東理,10,5分)用0,1,…,9十個數(shù)字,可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A.243B.252C.261D.279答案B由分步乘法計數(shù)原理知：用0,1,…,9十個數(shù)字組成三位數(shù)(可有重復數(shù)字)的個數(shù)為9×10×10=900,組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為9×9×8=648,則組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900-648=252,故選B.評析本題考查分步乘法計數(shù)原理,考查學生的推理運算能力.11.(2012課標理,2,5分)將2名教師,4名學生分成2個小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動,每個小組由1名教師和2名學生組成,不同的安排方案共有()A.12種B.10種C.9種D.8種答案A2名教師各在1個小組,給其中1名教師選2名學生,有C42種選法,另2名學生分配給另1名教師,然后將2個小組安排到甲、乙兩地,有A22種方案,故不同的安排方案共有C4評析本題考查了排列組合的實際應用,考查了先分組再分配的方法.12.(2012遼寧理,5,5分)一排9個座位坐了3個三口之家.若每家人坐在一起,則不同的坐法種數(shù)為()A.3×3!B.3×(3!)3C.(3!)4D.9!答案C第1步：3個家庭的全排列,方法數(shù)為3!;第2步：家庭內(nèi)部3個人全排列,方法數(shù)為3!,共3個家庭,方法數(shù)為(3!)3,∴總數(shù)為(3!)×(3!)3=(3!)4,故選C.評析本題主要考查計數(shù)原理的基礎知識,考查學生分析、解決問題的能力.13.(2012安徽理,10,5分)6位同學在畢業(yè)聚會活動中進行紀念品的交換,任意兩位同學之間最多交換一次,進行交換的兩位同學互贈一份紀念品.已知6位同學之間共進行了13次交換,則收到4份紀念品的同學人數(shù)為()A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4答案D由題意及C62=15知只需少交換2次.記6位同學為A1、A2、A3、A4、A5、A6,不妨討論①A1少交換2次,如A1未與A2、A3交換,則收到4份紀念品的同學僅為A2、A32人;②A1、A2各少交換1次,如A1與A3未交換,A2與A4未交換,則收到4份紀念品的同學有4人,為A1、A2、A3、A4.14.(2016課標Ⅱ,5,5分)如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24B.18C.12D.9答案B分兩步,第一步,從E→F,有6條可以選擇的最短路徑;第二步,從F→G,有3條可以選擇的最短路徑.由分步乘法計數(shù)原理可知有6×3=18條可以選擇的最短路徑.故選B.思路分析小明到老年公寓,需分兩步進行,先從E到F,再從F到G,分別求各步的最短路徑條數(shù),再利用分步乘法計數(shù)原理即可得結(jié)果.15.(2016課標Ⅲ,12,5分)定義”規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項,其中m項為0,m項為1,且對任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù),若m=4,則不同的”規(guī)范01數(shù)列”共有()A.18個B.16個C.14個D.12個答案C當m=4時,數(shù)列{an}共有8項,其中4項為0,4項為1,要滿足對任意k≤8,a1,a2,…,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù),則必有a1=0,a8=1,a2可為0,也可為1.(1)當a2=0時,分以下3種情況：①若a3=0,則a4,a5,a6,a7中任意一個為0均可,則有C41=4種情況;②若a3=1,a4=0,則a5,a6,a7中任意一個為0均可,有C31=3種情況;③若a3=1,a4=1,則a5必為0,a6,a7中任一個為0均可,有C21=2種情況;(2)當a2=1時,必有a3=0,分以下2種情況：①若a4=0,則a5,a6,a7中任一個為0均可,有C31=3種情況;②若a4=1,則a5必為0,a6,a7中任一個為0均可,有C21=2種情況.綜上所述,思路分析根據(jù)題意可知a1=0,a8=1,進而對a2,a3,a4取不同值進行分類討論(分類要做到不重不漏),從而利用分類加法計數(shù)原理求出不同的”規(guī)范01數(shù)列”的個數(shù).16.(2018浙江,16,4分)從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字,從0,2,4,6中任取2個數(shù)字,一共可以組成個沒有重復數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)

答案1260解析本小題考查排列、組合及其運用,考查分類討論思想.含有數(shù)字0的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)共有C52C31A31A33=540個,易錯警示數(shù)字排成數(shù)時,容易出錯的地方：(1)數(shù)字是否可以重復;(2)數(shù)字0不能排首位.17.(2015廣東理,12,5分)某高三畢業(yè)班有40人,同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言,那么全班共寫了條畢業(yè)留言.(用數(shù)字作答)

答案1560解析∵同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言,且全班共有40人,∴全班共寫了40×39=1560條畢業(yè)留言.18.(2013北京理,12,5分)將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1張.如果分給同一人的2張參觀券連號,那么不同的分法種數(shù)是.

答案96解析5張參觀券分成4份,1份2張,另外3份各1張,且2張參觀券連號,則有4種分法,把這4份參觀券分給4人,則不同的分法種數(shù)是4A419.(2013大綱全國理,14,5分)6個人排成一行,其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有種.(用數(shù)字作答)

答案480解析先將除甲、乙兩人以外的4人排成一行,有A44=24種排法,再將甲、乙插入有A52=20種,所以6人排成一行,甲、乙不相鄰的排法共有2420.(2013浙江理,14,4分)將A,B,C,D,E,F六個字母排成一排,且A,B均在C的同側(cè),則不同的排法共有種(用數(shù)字作答).

答案480解析從左往右看,若C排在第1位,共有排法A55=120種;若C排在第2位,共有排法A42·A33=72種;若C排在第3位,則A、B可排C的左側(cè)或右側(cè),共有排法A22·A33+A32·A33=48種;若C21.(2011北京理,12,5分)用數(shù)字2,3組成四位數(shù),且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次,這樣