山西省運城市空港新區(qū)某中學2024屆高一數(shù)學第二學期期末教學質(zhì)量檢測模擬試題含解析

山西省運城市空港新區(qū)一中2024屆高一數(shù)學第二學期期末教學

質(zhì)量檢測模擬試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷

上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非

選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，

恰有一項是符合題目要求的

1.在等比數(shù)列｝中，a=4,a=16,則。9等于（）

n3

A.256B.-256C.128D.-128

2.等差數(shù)列但〃/中，若,,則()

A.2019B.1C.1009D.1010

3.兩條平行直線2九一》一/=0與4x—2y+36=O間的距離等于（）

15

A.-B.2C.-D.4

22

4.已知中是常數(shù)，那么“tan（p=2”是“sinx+2cosx=J5sin（x+（p）等式對任意

xeR恒成立”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.在AABC中，設(shè)角4,B,C的對邊分別是a,b,c,若a=2,b=3,C=120°,

則其面積等于（）

A2R0c3#D3/3

222V

6.已知實數(shù)X，X,y,y滿足X2+y2=1,X2+y2=1,XX+yy=0,則

121211221212

|九1+,_4+|九2+，2―4的最大值為（I

A.8B.2gC.4D.6

7.在AABC中，44=60。，a=4木,b=4&,則3等于（）

A.45?；?35。B.135。C.45°D.以上答案都不

對

計算:

A工B.4C.羋D.2,

9.已知一個等比數(shù)列項數(shù)是偶數(shù)，其偶數(shù)項之和是奇數(shù)項之和的3倍，則這個數(shù)列的

公比為（）

10.終邊在丁軸上的角。的集合（

A.{ala=2kn,keZ}B.{ala=kn,keZ}

it

D.{ala=左兀+—,左eZ}

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11.已知a、b為不垂直的異面直線，a是一個平面，則a、b在a上的射影有可能是:

①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點.

在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號是.（寫出所有正確結(jié)論的編號）

12.從集合4={-1,1,2}中隨機選取一個數(shù)記為依從集合5={-2,1,2}中隨機選取一個數(shù)記

為仇則直線y=Ax+6不經(jīng)過第三象限的概率為.

13.已知向量。=（T,2）,6=（機』）.若向量&+石與a垂直，則機=.

14.已知三棱錐P—A5C,24,平面ABC,ACLBC,BC=PA=小,AC=1,

則三棱錐P-ABC的側(cè)面積.

16.若直線x+y+m=0上存在點p可作圓。：X2+/=1的兩條切線？A、PB,切

點為4、B,且/APB=60。，則實數(shù)機的取值范圍為.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟。

17.在ZiABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知asinA=4bsin3,

ac=6（a2-Z?2-c2）.

(I)求cosA的值；

(H)求sin(2B—A)的值.

18.在△ABC中，已知3c=7,AB=3,ZA=60°.

(1)求cosZC的值；

(2)求△ABC的面積.

19.已知數(shù)列M卜茜足a=a+2”+2,a=3.

nn+\n1

(1)證明：數(shù)列3-2"｝為等差數(shù)列；

n

(2)求數(shù)列｛a｝的前九項和S.

nn

20.2019年4月23日“世界讀書日”來臨之際，某校為了了解中學生課外閱讀情況，隨

機抽取了100名學生，并獲得了他們一周課外閱讀時間(單位：小時)的數(shù)據(jù)，按閱讀

時間分組:第一組［0,5),第二組［5,10),第三組［10,15),第四組［15,20),第五組［20,25］,

繪制了頻率分布直方圖如下圖所示.已知第三組的頻數(shù)是第五組頻數(shù)的3倍.

(1)求。的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計該校學生一周課外閱讀時間的平均值；

(2)現(xiàn)從第三、四、五這3組中用分層抽樣的方法抽取6人參加?！爸腥A詩詞比賽”.經(jīng)

過比賽后，從這6人中隨機挑選2人組成該校代表隊，求這2人來自不同組別的概率.

21.如圖所示，AA5C是邊長為1的正三角形，點四等分線段8c.

(I)求AB-AP+AT3r7r的值；

112

…—1——

(II)若點。是線段上一點，且AQ=五+求實數(shù)機的值.

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中,

恰有一項是符合題目要求的

1、A

【解題分析】

先設(shè)等比數(shù)列的公比為夕，根據(jù)題中條件求出“2,進而可求出結(jié)果.

【題目詳解】

設(shè)等比數(shù)列伍｝的公比為夕，

n

a.

因為、=4,a=16,所以農(nóng)=7=4,

3

因此a=aq4=16義16=256.

95

故選A

【題目點撥】

本題主要考查等比數(shù)列的基本量的計算，熟記通項公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.

2、D

【解題分析】

由等差數(shù)列但”/中，，，求出，由此能求出的值.

【題目詳解】

等差數(shù)列中，，，

即，解得，

故選：.

【題目點撥】

本題考查等差數(shù)列基本量的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力,

屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解題分析】

先把直線方程中未知數(shù)的系數(shù)化為相同的，再利用兩條平行直線間的距離公式，求得結(jié)

果.

【題目詳解】

解：兩條平行直線2%—y—J5=0與4x—2y+3/=0間，

即兩條平行直線4x-2y-2jJ=0與4x—2y+36=0,

故6們2間的距離為+2萬5,

J16+42

故選：C.

【題目點撥】

本題主要考查兩條平行直線間的距離公式應用，注意未知數(shù)的系數(shù)必需相同，屬于基礎(chǔ)

題.

4、B

【解題分析】

由輔助角公式結(jié)合條件sinx+2cosx=JJsin(x+(p)得出coscp、sin(p的值，由

tan(p=2結(jié)合同角三角函數(shù)得出coscp、sin甲的值，于此可得出結(jié)論.

【題目詳解】

26_24

sincp八sm(p二——sincp=

tancp=----=2~~5~

由《cos(p可得r_或'

_9_

sin2(p+cos2(p=1coscp=coscp=

[55

由輔助角公式

sinx+2cosx==y/5(sinxcoscp+cosxsin<p)

=6sin(x+(p),其中cos(p=￥2萼

因此，“tan(p=2，，是“sinx+2cosx=J5sinG+(p)等式對任意xeR恒成立”的必

要非充分條件，故選B.

【題目點撥】

本題考查必要不充分條件的判斷，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及輔助角公式的應

用，考查推理能力，屬于中等題.

5、C

【解題分析】

直接利用三角形的面積的公式求出結(jié)果.

【題目詳解】

解：AABC中，角A,8,C的對邊邊長分別為b,c,

若a=2,b=3,C=120°,

則S=Lbxsinl20。=2x3x亙=士心，

AABC2222

故選：c.

【題目點撥】

本題考查的知識要點：三角形面積公式的應用及相關(guān)的運算問題，屬于基礎(chǔ)題.

6、D

【解題分析】

設(shè)點a(x，y),8(%，y),根據(jù)條件知點48均在單位圓上，％%+yy=。由向量數(shù)

11221212

量積或斜率知識，可發(fā)現(xiàn)。4L0B,對目標式子進行變形，發(fā)現(xiàn)其幾何意義為兩點到

直線的距離之和有關(guān).

【題目詳解】

設(shè)A(x,y),B(x,y),-：x2+yi=\,x2+yi=\,xx+yy=0,

112211221212

均在圓X2+W=l上，且Q4L0B,設(shè)AB的中點為C,則點。到原點的距

離為烏,

2

???點。在圓x2+y2=1上，設(shè)A,3,C到直線x+y—2=。的距離分別為d/,d,

212

|x+y-2|+|x+y2-2|=加…-2少+八］2|)=在儲+《)=2^d,

d=>/2+—=^^,lx+y-2|+|x+y-2|<25/2=6.

max2211222

【題目點撥】

利用數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)現(xiàn)代數(shù)式的幾何意義，即構(gòu)造系數(shù)J5,才能看出目標式子的幾

何意義為兩點到直線距離之和的”■倍.

7、C

【解題分析】

試題分析：由正弦定理得，得，結(jié)合

得5=45。，故選C.

考點：正弦定理.

8、A

【解題分析】

根據(jù)正弦余弦的二倍角公式化簡求解.

【題目詳解】

.兀711.兀11

sin一.cos——sin——一x一方

1212=26=22=/

~n~-—7^~一，

2cos2--1cos7,

126萬

故選A.

【題目點撥】

本題考查三角函數(shù)的恒等變化，關(guān)鍵在于尋找題目與公式的聯(lián)系.

9、B

【解題分析】

U+U+...+〃

由數(shù)列為等比數(shù)列，則q=十丁丁2".,結(jié)合題意即可得解.

132n-l

【題目詳解】

解：因為數(shù)列為等比數(shù)列，

設(shè)等比數(shù)列的公比為，

Cl+CL+...+〃

?42

又是奇數(shù)項之和的3倍，

則q=3,

故選：B.

【題目點撥】

本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，重點考查了等比數(shù)列公比的運算，屬基礎(chǔ)題.

10、D

【解題分析】

根據(jù)軸線角的定義即可求解.

【題目詳解】

A項，｛ala=2k兀,keZ｝是終邊在x軸正半軸的角的集合；

B項，｛ala=k7r,keZ｝是終邊在x軸的角的集合；

7T

C項，｛ala=2^+-,Z:eZ）是終邊在丁軸正半軸的角的集合；

TT

D項，｛ala=加+于keZ｝是終邊在V軸的角的集合；

綜上，D正確.

故選:D

【題目點撥】

本題主要考查了軸線角的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11、①②④

【解題分析】

用正方體ABCD-A1B^CiDl實例說明Afi1與5cl在平面ABCD上的投影互相平行,A片

與3G在平面ABCD上的投影互相垂直，5G與。q在平面A3CD上的投影是一條直

線及其外一點.故①②④正確.

【解題分析】

由題意，基本事件總數(shù)為3x3=9,其中滿足直線y=kx+b不經(jīng)過第三象限的，即滿足

k<0,2

{,八有k=-1,b=l或k=—1,b=2兩種，故所求的概率為六.

0>0,9

13、7

【解題分析】

由4+〃與d垂直，則數(shù)量積為0,求出對應的坐標，計算即可.

【題目詳解】

a=(-1,2),lj=(m,l),

a+b=(m-l,3),又&+,與日垂直，

故(i+6)a=0,

解得一(根—l)+6=0,

解得根=7.

故答案為：7.

【題目點撥】

本題考查通過向量數(shù)量積求參數(shù)的值.

5J3

14、

2

【解題分析】

根據(jù)題意將三棱錐放入對應長方體中，計算各個面的面積相加得到答案.

【題目詳解】

三棱錐P—ABC,平面ABC,AC1BC,BC=PA=0,AC=1

畫出圖像:

p

易知：每個面都是直角三角形.

S=S+S+S=小+好+6=空~

123、22

【題目點撥】

本題考查了三棱錐的側(cè)面積，將三棱錐放入對應的長方體是解題的關(guān)鍵.

7T

I，'6

【解題分析】

…、，-八1,.一。2+匕2-。22abcosC八J3

試題分析：*；S=大"smC=------=——=-------=—,tanC=—,

24^/34733

C=30.

考點：三角形的面積公式及余弦定理的變形.

點評：由三角形的面積公式s=；HsinC,再根據(jù)42+/?2-C2=labcosC,直接可求

出tanC的值，從而得到C.

16、

【解題分析】

試題分析：若/AP3=6Oo,則0P=2,直線x+y+機=0上存在點P可作

。：+y2=1和的兩條切線PA,PB等價于直線x+y=0與圓X2+y2=4有公

m

共點,由圓心到直線的距離公式可得\\<2,解之可得［-2",2戶］.

考點：點到直線的距離公式及直線與圓的位置關(guān)系的運用.

【方法點晴】本題主要考查了點到直線的距離公式及直線與圓的位置關(guān)系的運用，涉及

到圓心到直線的距離公式和不等式的求解，屬于中檔試題，著重考查了學生分析問題和

解答問題的能力，以及學生的推理與運算能力，本題的解答中直線x+y+m=。上存

在點P可作。：X2+y2=1和的兩條切線等價于直線x+y+加=0與圓

X2+y2=4有公共點是解答的關(guān)鍵.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟。

【解題分析】

試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系a=2b,再根據(jù)余弦定理求

出cosA,

進而得到sin4,由。=2。轉(zhuǎn)化為sinA=2sin8,求出sinB,進而求出cosB,

從而求出23的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.

db

試題解析：(I)解：由asinA=4bsinB,及一^二一^,得a=2b.

sinAsmB

由ac=6、2一拉一02),及余弦定理，得b2+c2—a2一

cosA=----------=——----=—

2bcac5

(H)解：由(I),可得sinA=3W?,代入asinA=4bsinB,得sinB=%l=直.

54b5

._______2/54

由(I)知，4為鈍角，所以cos5=71-sin25=△_?于是sin2B=2sinBcosB=-,

53

3

cos2B=l-2sin2B=_,故

.f,4fa13275275

sin\2B-A)=sin25cosA-cos2BsinA=_x-__-_x_'

5(5)555,

考點：正弦定理、余弦定理、解三角形

【名師點睛】利用正弦定理進行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求

邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公

式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經(jīng)常利

用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.

13L

18、(1)—(2)673

【解題分析】

(1)由已知及正弦定理可得sinC的值，利用大邊對大角可求C為銳角，根據(jù)同角三

角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosC的值.

(2)利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinB的值，根據(jù)三角形的面

積公式即可計算得解.

【題目詳解】

(1)由題意，BC=7,AB=3,ZA=60°.

3義也Q/T

二由正弦定理可得：sinC=A5-sinA3_30

BC-7IT

13

；為銳角，；而

VBOAB,.C.cosC=Jl—s2。==14,

(2)因為A+B+C=TT,A=60°,

/.sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

2142147

SAARr=[BC*AB*sinB=J_x7x3x=6J3.

△ADC227V

【題目點撥】

本題主要考查了正弦定理，大邊對大角，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形內(nèi)角和定理，

兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力

和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

19、(1)證明見解析；⑵S=雁+2，，+1—2

n

【解題分析】

(1)將已知條件湊配成。-2n+i=a-2n+2,由此證得數(shù)列匕-2〃｝為等差數(shù)列.

n+1nn

(2)由(1)求得數(shù)列匕-2"｝的通項公式，進而求得a的表達式，利用分組求和法

nn

求得S.

n

【題目詳解】

(1)證明：〃=〃+2〃+2

〃+1n

/.a—2〃+i=a—2"+2

n+ln

又；a=3a-2i^1

11

所以數(shù)列匕-2〃｝是首項為i,公差為2的等差數(shù)列；

n

(2)由(1)知，a—2〃=1+2(〃-1)=2/i—1,所以a=2n+2n—1.

nn

所以

S=(1+3+5+3+2〃—1)+(2+22+23+—+2")_(1+2—―1>"+2，—2")

"21-2

="2+2?+i-2

【題目點撥】

本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等差數(shù)列，考查分組求和法，屬于中檔題.

11

20、(1)a=0.06,平均值為12.25小時(2)—

【解題分析】

(1)由頻率分布直方圖可得第三組和第五組的頻率之和，第三組的頻率，由此能求出

”和該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從而可估計該校學生一周課外閱讀時間的平均值；

(2)從第3、4、5組抽取的人數(shù)分別為3、2、1,設(shè)為A,B,C,D,E,F,利用列

舉法能求出從該6人中選拔2人，從而得到這2人來自不同組別的概率.

【題目詳解】

(1)由頻率分布直方圖可得第三組和第五組的頻率之和為

1-(0.01+0.07+0.04)x5=0.4,

3

第三組的頻率為0.4x=0.3

1+3

0.3八“

a=—=0.06

5

該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)

x=2.5x0.01x5+7.5x0.07x5+12.5x0.06x5+17.5x0.04x5+22.5x0.02x5

=12.25

所以可估計該校學生一周課外閱讀時間的平均值為12.25小時.

(2)易得從第3、4、5組抽取的人數(shù)分別為3、2、1,

設(shè)為A,B,C,D,E,F,則從該6人中選拔2人的基本事件有：

AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF

共15種，

其中來自不同的組別的基