函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

基礎(chǔ)課08函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性考點考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)函數(shù)的奇偶性了解2023年新高考Ⅱ卷T★★☆數(shù)學(xué)運算直觀想象函數(shù)的周期性了解2022年新高考Ⅱ卷T★☆☆數(shù)學(xué)運算直觀想象函數(shù)的對稱性了解2022年新高考Ⅰ卷T★☆☆數(shù)學(xué)運算直觀想象命題分析預(yù)測從近幾年高考的情況來看，函數(shù)的奇偶性是高考?？純?nèi)容，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).命題熱點為函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)的周期性與對稱性以抽象函數(shù)為背景的考查較多.預(yù)計2025年高考命題熱點為函數(shù)奇偶性的應(yīng)用一、函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)fx的定義域為I，如果?x∈I，都有?x關(guān)于②y軸對稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)fx的定義域為I，如果?x∈I，都有?x關(guān)于④原點對稱二、函數(shù)的周期性周期函數(shù)一般地，對于函數(shù)fx，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有⑤fx+T=最小正周期如果在周期函數(shù)fx的所有周期中存在一個⑥最小的正數(shù)，那么這個⑦最小的正數(shù)就叫作f三、函數(shù)的對稱性軸對稱若函數(shù)y=fx滿足⑧fx+中心對稱若函數(shù)y=fx滿足fx+兩個函數(shù)圖象的對稱函數(shù)y=fx與y=f?x的圖象關(guān)于y軸對稱；函數(shù)y=f周期性、對稱性的常用結(jié)論函數(shù)式滿足關(guān)系x對稱軸對稱中心周期fTfTfTfTfx=aTfx=aTfa,0Tfa,0TfxbTfx0TfxaT題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對的打“√”,錯的打“×”）（1）若函數(shù)fx為奇函數(shù)，則一定有f0=（2）若fx為偶函數(shù)，則fx=（3）若T是函數(shù)的一個周期，則nTn∈Z（4）若函數(shù)y=fx+b是奇函數(shù)，則函數(shù)y2.（易錯題）已知fx=1?xA.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是非奇非偶函數(shù) D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【易錯點】忽略函數(shù)奇偶性對定義域的限制條件導(dǎo)致錯誤.[解析]因為fx=1?x2x+2?2，所以1?x題組2走進(jìn)教材3.（人教A版必修①P86·T11改編）已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f[解析]因為函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對稱且f?x=fx，因為當(dāng)x≤0時，f4.（人教A版必修①P101·T9改編）已知奇函數(shù)fx在[2024,2025][解析]任取?2025則2024≤?x2<?x1≤2025.因為fx在[2024,2025]上是減函數(shù)，所以f題組3走向高考5.[2023·新高考Ⅱ卷]若fx=x+aA.-1 B.0 C.12 [解析]因為fx為偶函數(shù)，所以f1=f?1，所以1+aln13=?1+aln3，解得a=0，當(dāng)考點一函數(shù)的奇偶性［多維探究］判斷函數(shù)的奇偶性典例1判斷下列函數(shù)的奇偶性.（1）fx（2）f（3）fx[解析]（1）由2?x2≥0,x2?2≥（2）顯然函數(shù)fx的定義域為?∞,因為當(dāng)x<0時，所以f?同理，當(dāng)x>0時，f?（3）顯然函數(shù)fx的定義域為Rf===?log2x函數(shù)奇偶性的判斷方法定義法圖象法性質(zhì)法設(shè)fx,gx的定義域分別是D1,D2,則在它們的公共定義域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶利用奇偶性求解析式典例2已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，fx=2xA.2?x?x?1 B.2[解析]當(dāng)x<0時，?x所以fx=?f利用奇偶性求函數(shù)值典例3已知函數(shù)fx=sinx?4xA.2 B.3 C.?2 D.[解析]設(shè)gx=sin因為g?所以gx因為ga所以g?則f?a=?利用奇偶性求參數(shù)值典例4[2023·全國甲卷]若fx=x?[解析]因為fx為偶函數(shù)，所以f?π2=函數(shù)奇偶性的應(yīng)用類型及解題策略求解析式先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出fx的解析式或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于fx的方程（組），從而得到求函數(shù)值利用函數(shù)的奇偶性將待求函數(shù)值轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值，進(jìn)而求解求參數(shù)值利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)fx±f?x=0解不等式利用奇、偶函數(shù)的圖象特征或根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，將問題轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上求解，涉及偶函數(shù)時常用fx=f1.[2024·江西?？糫下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在?∞,+∞上單調(diào)遞減的是(C).A.y=1x B.y=x3[解析]對于A，y=1x的定義域為{對于B，y=x3對于C，y=?x∣對于D，y=e?x為非奇非偶函數(shù)，故2.[2023·全國乙卷]已知fx=xexA.?2 B.?1 C.1[解析]因為fx所以fx又因為x不恒為0，所以ex?e則x=a?1x，即13.[2024·南昌開學(xué)考試]（雙空題）已知fx是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，fx=log5[解析]fx是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f當(dāng)x<0時，?x>0因為fx是定義在R上的奇函數(shù)，所以f綜上，fx的解析式為考點二函數(shù)的周期性［師生共研］典例5（1）已知fx是定義在R上的函數(shù)，且fx+3=?1f（2）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+6=fx，當(dāng)?3≤x[解析]（1）因為fx+3=?1fx（2）因為fx+6=f當(dāng)?1≤x<3時，fx=x，所以當(dāng)?3≤x<?1時，f所以f1故f==337函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用的解題策略判定判斷函數(shù)的周期只需證明fx+T應(yīng)用根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上的功能.在解決具體問題時，要注意，若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈1.已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx=?fx+2，當(dāng)[解析]因為fx=?fx+2，所以2.若函數(shù)fx滿足fxfx+3[解析]因為fxfx+3=12考點三函數(shù)的對稱性［自主練透］1.已知定義在R上的函數(shù)fx滿足f2?x=2?A.f?3=1 B.f0=[解析]因為fx的圖象關(guān)于直線x=3對稱，則f3?x=又因為fx滿足f2?x=2?fx，所以f2.設(shè)函數(shù)y=fx的定義域為R，則函數(shù)y=fA.關(guān)于y軸對稱 B.關(guān)于x軸對稱C.關(guān)于直線x=1對稱 D.關(guān)于直線[解析]fx?1的圖象是由fx的圖象向右平移1個單位長度