2024年江蘇省揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2024年江蘇省揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將該選項(xiàng)的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（3分）實(shí)數(shù)2的倒數(shù)是（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．2．（3分）“致中和，天地位焉，萬物育焉”，其中的軸對稱圖形是（）A． B． C． D．3．（3分）下列運(yùn)算中正確的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．5a﹣2a＝3a C．（a3）2＝a5 D．3a2?2a3＝6a64．（3分）第8個(gè)全國近視防控宣傳教育月的主題是“有效減少近視發(fā)生，共同守護(hù)光明未來”．某校積極響應(yīng)，開展視力檢查．某班45名同學(xué)視力檢查數(shù)據(jù)如下表：視力4.34.44.54.64.74.84.95.0人數(shù)1447111053這45名同學(xué)視力檢查數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）A．4.6 B．4.7 C．4.8 D．4.95．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，2）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）6．（3分）如圖是某幾何體的表面展開后得到的平面圖形，則該幾何體是（）A．三棱錐 B．圓錐 C．三棱柱 D．長方體7．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．48．（3分）1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書》中記載了一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，這一列數(shù)滿足：從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都等于它的前兩個(gè)數(shù)之和．則在這一列數(shù)的前2024個(gè)數(shù)中（）A．676 B．674 C．1348 D．1350二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）9．（3分）近年來揚(yáng)州經(jīng)濟(jì)穩(wěn)步發(fā)展，2024年4月26日，揚(yáng)州市統(tǒng)計(jì)局、國家統(tǒng)計(jì)局揚(yáng)州調(diào)查隊(duì)聯(lián)合發(fā)布一季度全市實(shí)現(xiàn)地區(qū)生產(chǎn)總值約18700000萬元．10．（3分）分解因式2x2﹣4x+2＝．11．（3分）數(shù)學(xué)興趣小組做拋擲一枚瓶蓋的實(shí)驗(yàn)后，整理的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：累計(jì)拋擲次數(shù)501002003005001000200030005000蓋面朝上次數(shù)2854106157264527105615872650蓋面朝上頻率0.5600.5400.5300.5230.5280.5270.5280.5290.530根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以估計(jì)出“蓋面朝上”的概率約為.（精確到0.01）12．（3分）若二次根式有意義，則x的取值范圍是．13．（3分）若用半徑為10cm的半圓形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐底面圓的半徑為cm．14．（3分）如圖，已知一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象分別與x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，OB＝1，則關(guān)于x的方程kx+b＝0的解為．15．（3分）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，書中第八章內(nèi)容“方程”里記載了一個(gè)有趣的追及問題，速度慢的人每分鐘走60米，現(xiàn)在速度慢的人先走100米分鐘．16．（3分）物理課上學(xué)過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實(shí)現(xiàn)圖象投影的方法．如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）（豎直放置）上成像A′B′，設(shè)AB＝36cm，小孔O到AB的距離為30cm，則小孔O到A′B′的距離為cm．18．（3分）如圖，已知兩條平行線l1、l2，點(diǎn)A是l1上的定點(diǎn)，AB⊥l2于點(diǎn)B，點(diǎn)C、D分別是l1，l2上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AC＝BD，連接CD交線段AB于點(diǎn)E，則當(dāng)∠BAH最大時(shí)，sin∠BAH的值為．三、解答題（本大題共有10小題，共96分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）19．（8分）（1）計(jì)算：|π﹣3|+2sin30°﹣（﹣2）0；（2）化簡：÷（x﹣2）．20．（8分）解不等式組，并求出它的所有整數(shù)解的和．21．（8分）2024年5月28日，神舟十八號(hào)航天員葉光富、李聰、李廣蘇密切協(xié)同，完成出艙活動(dòng)，刷新了中國航天員單次出艙活動(dòng)時(shí)間紀(jì)錄，進(jìn)一步激發(fā)了青少年熱愛科學(xué)的熱情．某校為了普及“航空航天”知識(shí)，將成績整理繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：成績統(tǒng)計(jì)表組別成績x（分）百分比A組x＜605%B組60≤x＜7015%C組70≤x＜80aD組80≤x＜9035%E組90≤x≤10025%根據(jù)所給信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查的成績統(tǒng)計(jì)表中a＝%，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）這200名學(xué)生成績的中位數(shù)會(huì)落在組（填A(yù)、B、C、D或E）；（3）試估計(jì)該校1200名學(xué)生中成績在90分以上（包括90分）的人數(shù)．22．（8分）2024年“五一”假期，揚(yáng)州各旅游景區(qū)持續(xù)火熱．小明和小亮準(zhǔn)備到東關(guān)街、瘦西湖、運(yùn)河三灣風(fēng)景區(qū)、個(gè)園、何園（分別記作A、B、C、D、E）參加公益講解活動(dòng)．（1）若小明在這5個(gè)景區(qū)中隨機(jī)選擇1個(gè)景區(qū)，則選中東關(guān)街的概率是；（2）小明和小亮在C、D、E三個(gè)景區(qū)中，各自隨機(jī)選擇1個(gè)景區(qū)，請用畫樹狀圖或列表的方法23．（10分）為了提高垃圾處理效率，某垃圾處理廠購進(jìn)A、B兩種機(jī)器，A型機(jī)器比B型機(jī)器每天多處理40噸垃圾24．（10分）如圖1，將兩個(gè)寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形ABCD．（1）試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；（2）已知矩形紙條寬度為2cm，將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖2位置時(shí)，四邊形ABCD的面積為8cm2，求此時(shí)直線AD、CD所夾銳角∠1的度數(shù)．25．（10分）如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣2，0），B（1，0）兩點(diǎn)．（1）求b、c的值；（2）若點(diǎn)P在該二次函數(shù)的圖象上，且△PAB的面積為6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．26．（10分）如圖，已知∠PAQ及AP邊上一點(diǎn)C．（1）用無刻度直尺和圓規(guī)在射線AQ上求作點(diǎn)O，使得∠COQ＝2∠CAQ；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，以點(diǎn)O為圓心，用無刻度直尺和圓規(guī)在射線CP上求作點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離與點(diǎn)M到射線AQ的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫作法）（3）在（1）、（2）的條件下，若sinA＝，求BM的長．27．（12分）如圖，點(diǎn)A、B、M、E、F依次在直線l上，點(diǎn)A、B固定不動(dòng)，分別以AB、EF為邊在直線l同側(cè)作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN＝90°，直角邊MN恒過點(diǎn)H．（1）如圖1，若BE＝10，EF＝12；（2）如圖1，若BE＝10，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B、E之間運(yùn)動(dòng)時(shí)；（3）如圖2，若BF＝22，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B、F之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接CH，點(diǎn)O是CH的中點(diǎn)，則2OM+HB的最小值為．28．（12分）在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊情況，然后再研究一般情況，證明結(jié)論．如圖，已知△ABC，CA＝CB，點(diǎn)D在⊙O上（AD＞BD），連接AD、BD、CD．【特殊化感知】（1）如圖1，若∠ACB＝60°，點(diǎn)D在AO延長線上；【一般化探究】（2）如圖2，若∠ACB＝60°，點(diǎn)C、D在AB向側(cè)；【拓展性延伸】（3）若∠ACB＝α，直接寫出AD、BD、CD滿足的數(shù)量關(guān)系．（用含α的式子表示）

2024年江蘇省揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將該選項(xiàng)的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（3分）實(shí)數(shù)2的倒數(shù)是（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．【解答】解：實(shí)數(shù)2的倒數(shù)是：．故選：D．2．（3分）“致中和，天地位焉，萬物育焉”，其中的軸對稱圖形是（）A． B． C． D．【解答】解：由圖可知，A、B、D不是軸對稱圖形；C是軸對稱圖形．故選：C．3．（3分）下列運(yùn)算中正確的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．5a﹣2a＝3a C．（a3）2＝a5 D．3a2?2a3＝6a6【解答】解：A、（a﹣b）2＝a2﹣4ab+b2，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、5a﹣6a＝3a；C、（a3）8＝a6，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、3a6?2a3＝5a5，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．4．（3分）第8個(gè)全國近視防控宣傳教育月的主題是“有效減少近視發(fā)生，共同守護(hù)光明未來”．某校積極響應(yīng)，開展視力檢查．某班45名同學(xué)視力檢查數(shù)據(jù)如下表：視力4.34.44.54.64.74.84.95.0人數(shù)1447111053這45名同學(xué)視力檢查數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）A．4.6 B．4.7 C．4.8 D．4.9【解答】解：根據(jù)列表可知視力4.7的人數(shù)最多為11人，即眾數(shù)為3.7，故選：B．5．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，2）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）【解答】解：∵點(diǎn)P（1，2），∴關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（﹣8，﹣2）．故選：A．6．（3分）如圖是某幾何體的表面展開后得到的平面圖形，則該幾何體是（）A．三棱錐 B．圓錐 C．三棱柱 D．長方體【解答】解：由幾何體的表面展開后得到的平面圖形可知：側(cè)面為三個(gè)相同的長方形，上下底面為全等的三角形，所以該幾何體是三棱柱．故選：C．7．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．4【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，8），當(dāng)y＝0時(shí)，函數(shù)無意義，∴函數(shù)y＝的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是1個(gè)．故選：B．8．（3分）1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書》中記載了一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，這一列數(shù)滿足：從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都等于它的前兩個(gè)數(shù)之和．則在這一列數(shù)的前2024個(gè)數(shù)中（）A．676 B．674 C．1348 D．1350【解答】解：這列數(shù)為：1，1，6，3，5，2，13，34，?，每一組前2個(gè)數(shù)為奇數(shù)，∵2024÷3＝674…8，即前2024個(gè)數(shù)共有674組，且余2個(gè)數(shù)，故選：D．二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）9．（3分）近年來揚(yáng)州經(jīng)濟(jì)穩(wěn)步發(fā)展，2024年4月26日，揚(yáng)州市統(tǒng)計(jì)局、國家統(tǒng)計(jì)局揚(yáng)州調(diào)查隊(duì)聯(lián)合發(fā)布一季度全市實(shí)現(xiàn)地區(qū)生產(chǎn)總值約18700000萬元1.87×107．【解答】解：18700000＝1.87×107，故答案為：3.87×107．10．（3分）分解因式2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2．【解答】解：2x2﹣3x+2，＝2（x5﹣2x+1），＝4（x﹣1）2．11．（3分）數(shù)學(xué)興趣小組做拋擲一枚瓶蓋的實(shí)驗(yàn)后，整理的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：累計(jì)拋擲次數(shù)501002003005001000200030005000蓋面朝上次數(shù)2854106157264527105615872650蓋面朝上頻率0.5600.5400.5300.5230.5280.5270.5280.5290.530根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以估計(jì)出“蓋面朝上”的概率約為0.53.（精確到0.01）【解答】解：由題意可知，蓋面朝上頻率在0.53左右波動(dòng)，∴根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以估計(jì)出“蓋面朝上”的概率約為0.53．故答案為：8.53．12．（3分）若二次根式有意義，則x的取值范圍是x≥2．【解答】解：根據(jù)題意，使二次根式，即x﹣2≥6，解得x≥2；故答案為：x≥2．13．（3分）若用半徑為10cm的半圓形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐底面圓的半徑為5cm．【解答】解：由題意可知：圓錐的底面周長為10πcm，則圓錐底面圓的半徑為＝5（cm），故答案為：6．14．（3分）如圖，已知一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象分別與x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，OB＝1，則關(guān)于x的方程kx+b＝0的解為x＝﹣2．【解答】解：∵OA＝2，∴一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣8，0），∴關(guān)于x的方程kx+b＝0的解為x＝﹣7．故答案為：x＝﹣2．15．（3分）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，書中第八章內(nèi)容“方程”里記載了一個(gè)有趣的追及問題，速度慢的人每分鐘走60米，現(xiàn)在速度慢的人先走100米2.5分鐘．【解答】解：設(shè)速度快的人需要x分鐘才能追上速度慢的人，根據(jù)題意可列：100+60x＝100x，解得：x＝2.5，故答案為：3.5．16．（3分）物理課上學(xué)過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實(shí)現(xiàn)圖象投影的方法．如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）（豎直放置）上成像A′B′，設(shè)AB＝36cm，小孔O到AB的距離為30cm，則小孔O到A′B′的距離為20cm．【解答】解：設(shè)小孔O到A′B′的距離為xcm，由題意可得：△ABO∽△A′B′O，則＝＝，解得：x＝20．故答案為：20．18．（3分）如圖，已知兩條平行線l1、l2，點(diǎn)A是l1上的定點(diǎn)，AB⊥l2于點(diǎn)B，點(diǎn)C、D分別是l1，l2上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AC＝BD，連接CD交線段AB于點(diǎn)E，則當(dāng)∠BAH最大時(shí)，sin∠BAH的值為．【解答】解：∵AC∥BD，∴四邊形ACBD是平行四邊形，∴AE＝BE＝AB，∵A為定點(diǎn)，且AB⊥l2，∴AE為定值，∵BH⊥CD，∴∠BHE＝90°，∴點(diǎn)H在以BE為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)（如圖，O為圓心），此時(shí)OE＝BE＝，∵當(dāng)AH與⊙O相切時(shí)∠BAH最大，∴sin∠BAH＝＝．故答案為：．三、解答題（本大題共有10小題，共96分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）19．（8分）（1）計(jì)算：|π﹣3|+2sin30°﹣（﹣2）0；（2）化簡：÷（x﹣2）．【解答】解：（1）|π﹣3|+2sin30°﹣（﹣2）0＝＝π﹣3；（2）÷（x﹣2）＝＝．20．（8分）解不等式組，并求出它的所有整數(shù)解的和．【解答】解：解不等式2x﹣6≤3，得：x≤3，解不等式x，得：x，則不等式組的解集為x≤6，所以整數(shù)解為1，2，7，整數(shù)解的和為6．21．（8分）2024年5月28日，神舟十八號(hào)航天員葉光富、李聰、李廣蘇密切協(xié)同，完成出艙活動(dòng)，刷新了中國航天員單次出艙活動(dòng)時(shí)間紀(jì)錄，進(jìn)一步激發(fā)了青少年熱愛科學(xué)的熱情．某校為了普及“航空航天”知識(shí)，將成績整理繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：成績統(tǒng)計(jì)表組別成績x（分）百分比A組x＜605%B組60≤x＜7015%C組70≤x＜80aD組80≤x＜9035%E組90≤x≤10025%根據(jù)所給信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查的成績統(tǒng)計(jì)表中a＝20%，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）這200名學(xué)生成績的中位數(shù)會(huì)落在D組（填A(yù)、B、C、D或E）；（3）試估計(jì)該校1200名學(xué)生中成績在90分以上（包括90分）的人數(shù)．【解答】解：（1）由題意得，C組的人數(shù)為200﹣10﹣30﹣70﹣50＝40（人），∴a＝40÷200×100%＝20%．故答案為：20．補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．（2）將這200名學(xué)生成績按照從小到大的順序排列，排在第100和101名的學(xué)生成績均在D組，∴這200名學(xué)生成績的中位數(shù)會(huì)落在D組．故答案為：D．（3）1200×25%＝300（人）．∴估計(jì)該校1200名學(xué)生中成績在90分以上（包括90分）的人數(shù)約300人．22．（8分）2024年“五一”假期，揚(yáng)州各旅游景區(qū)持續(xù)火熱．小明和小亮準(zhǔn)備到東關(guān)街、瘦西湖、運(yùn)河三灣風(fēng)景區(qū)、個(gè)園、何園（分別記作A、B、C、D、E）參加公益講解活動(dòng)．（1）若小明在這5個(gè)景區(qū)中隨機(jī)選擇1個(gè)景區(qū)，則選中東關(guān)街的概率是；（2）小明和小亮在C、D、E三個(gè)景區(qū)中，各自隨機(jī)選擇1個(gè)景區(qū)，請用畫樹狀圖或列表的方法【解答】解：（1）由題意知，共有5種等可能的結(jié)果，∴選中東關(guān)街的概率是．故答案為：．（2）列表如下：CDEC（C，C）（C，D）（C，E）D（D，C） （D，D）（D，E）E（E，C）（E，D）（E，E）共有6種等可能的結(jié)果，其中小明和小亮選到相同景區(qū)的結(jié)果有3種，∴小明和小亮選到相同景區(qū)的概率為＝．23．（10分）為了提高垃圾處理效率，某垃圾處理廠購進(jìn)A、B兩種機(jī)器，A型機(jī)器比B型機(jī)器每天多處理40噸垃圾【解答】解：設(shè)B型機(jī)器每天處理x噸垃圾，則A型機(jī)器每天處理（x+40）噸垃圾，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝60，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝60是所列方程的解．答：B型機(jī)器每天處理60噸垃圾．24．（10分）如圖1，將兩個(gè)寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形ABCD．（1）試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；（2）已知矩形紙條寬度為2cm，將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖2位置時(shí)，四邊形ABCD的面積為8cm2，求此時(shí)直線AD、CD所夾銳角∠1的度數(shù)．【解答】（1）四邊形ABCD是菱形，理由如下：如圖作CH⊥AB，CG⊥AD，∵兩個(gè)紙條為矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵S?ABCD＝AB?CH＝AD?CG，且CH＝CG，∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．（2）如圖，作AM⊥CD，∵S菱形ABCD＝CD?AM＝8cm2，且AM＝7cm，∴CD＝4cm，∴AD＝CD＝4cm，再Rt△ADM中，sin∠7＝＝，∴∠8＝30°．25．（10分）如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣2，0），B（1，0）兩點(diǎn)．（1）求b、c的值；（2）若點(diǎn)P在該二次函數(shù)的圖象上，且△PAB的面積為6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），4）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得；（2）由（1）知，二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2﹣x+2，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，﹣m2﹣m+8），∵△PAB的面積為6，AB＝1﹣（﹣4）＝3，∴S△PAB＝AB?|yP|＝×2×|﹣m2﹣m+2|＝2，∴|m2+m﹣2|＝4，既m2+m﹣2＝3或m2+m﹣2＝﹣3，解得m＝﹣3或m＝2，∴P（﹣5，﹣4）或（2．26．（10分）如圖，已知∠PAQ及AP邊上一點(diǎn)C．（1）用無刻度直尺和圓規(guī)在射線AQ上求作點(diǎn)O，使得∠COQ＝2∠CAQ；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，以點(diǎn)O為圓心，用無刻度直尺和圓規(guī)在射線CP上求作點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離與點(diǎn)M到射線AQ的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫作法）（3）在（1）、（2）的條件下，若sinA＝，求BM的長．【解答】解：（1）如圖點(diǎn)O即為所求；（2）如圖，點(diǎn)B點(diǎn)M即為所求；（3）由作圖可知OA＝OC＝OB，∴∠ACB＝90°，∵sinA＝＝，∴可以假設(shè)BC＝3k，AB＝5k，∵BM平分∠CBQ，MC⊥CB，∴∠MBC＝∠MBH，∠MCB＝∠BHM＝90°，∵BM＝BM，∴△MBC≌△MBH（AAS），∴BC＝BH＝3k，∴AH＝AB+BH＝7k，∵sinA＝＝，∴AM＝10k，MH＝MC＝2k，∴12＝6k，∴k＝2，∴BH＝6，MH＝12，∴BM＝＝＝6．27．（12分）如圖，點(diǎn)A、B、M、E、F依次在直線l上，點(diǎn)A、B固定不動(dòng)，分別以AB、EF為邊在直線l同側(cè)作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN＝90°，直角邊MN恒過點(diǎn)H．（1）如圖1，若BE＝10，EF＝12；（2）如圖1，若BE＝10，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B、E之間運(yùn)動(dòng)時(shí)；（3）如圖2，若BF＝22，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B、F之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接CH，點(diǎn)O是CH的中點(diǎn)，則2OM+HB的最小值為2．【解答】解：（1）由題易得∠CBM＝∠CMH＝∠HEM＝90°，∵∠CMB+∠BCM＝∠CMB+∠HME＝90°，∴∠BCM＝∠HME，∴△MCB∽△HME，∴，∵BC＝AB＝2，EH＝EF＝12，∴，解得BM＝8或6，∴點(diǎn)M與點(diǎn)B之間的距離是4或5．（2）由（1）知，設(shè)EH＝y(tǒng)，BM＝x，∵BE＝10，∴EM＝10﹣x，∴，∴y＝﹣x2+5＝﹣（x﹣5）+12.5，∵﹣＜7，∴當(dāng)x＝5時(shí)，ymax＝12.5，即HE最大值為12.6．（3）∵∠CMH＝90°，O是CH中點(diǎn)，∴CH＝2OM，∴2OM+HB＝CH+BH，∴求2OM+HB的最小值就是求CH+BH的最小值即可．如圖，連接FH，作B關(guān)于FH的對稱點(diǎn)B'，則H'即為所求H位置．過點(diǎn)C作CQ⊥B'F．∵∠BFH＝∠B'FH＝45°，∴B'在FG的延長線上，∵∠CBF＝∠BFQ＝∠FQC＝90°，∴四邊形CBFQ為矩形，∴FQ＝BC＝2，∵BF＝B'F＝22，∴B'Q＝B'F﹣QF＝20，在Rt△B'CQ中，B'C2＝＝2，即CH+BH最小值為7，∴2OM+HB最小值為2．28．（12分）在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊情況，然后再研究一般情況，證明結(jié)論．如圖，已知△ABC，CA＝CB，點(diǎn)D在⊙O上（AD＞BD），連接AD、BD、CD．【特殊化感知】（1）如圖1，若∠ACB＝60°，點(diǎn)D在AO延長線上AD﹣BD＝CD；【一般化探究】（2）如圖2，若∠ACB＝60°，點(diǎn)C、D在AB向側(cè)；【拓展性延伸】（3）若∠ACB＝α，直接寫出AD、BD、CD滿足的數(shù)量關(guān)系．（用含α的式子表示）【解答】解：（1）∵CA＝CB，∠ACB＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD為⊙O的直徑，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∠BAD＝∠CAD＝，∴CD＝BD＝AD，∴