人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)2-5-2橢圓的幾何性質(zhì)練習(xí)含答案

2.5.2橢圓的幾何性質(zhì)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練題組一利用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)1.(多選題)(2023安徽亳州蒙城一中期中)已知橢圓C:x2A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6B.短軸長(zhǎng)為2C.焦距為22D.離心率為22.已知F1,F2分別為橢圓x2△AF1F2的面積為()A.6B.15C.673.(2023福建龍巖一中月考)橢圓x225+A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等B.短軸長(zhǎng)相等C.焦距相等D.離心率相等4.(2023山東淄博期中)已知橢圓C:x2a2△OAB的面積為32A.2B.4C.35.(多選題)(2022重慶鳳鳴山中學(xué)期中)已知F1,F2分別為橢圓x2A.|MF2|的最大值大于3B.|MF1||MF2|的最大值為4C.∠F1MF2的最大值為60°D.若動(dòng)直線l垂直于y軸,且交橢圓于A,B兩點(diǎn),P為l上滿足|PA|·|PB|=2的點(diǎn),則點(diǎn)P的軌跡方程為x22+題組二根據(jù)幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程6.(2022四川自貢期末)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用“逼近法”得到橢圓面積的4倍除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的積.已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在y軸上,其面積為43π,過(guò)點(diǎn)F1的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A,B且△F2AB的周長(zhǎng)為16,則橢圓C的方程為()A.y2C.x27.(2022北京第一七一中學(xué)期中)已知P1(1,1),P2(0,1),P3-P4A.8B.6C.4D.28.過(guò)點(diǎn)(2,3),焦點(diǎn)在x軸上且與橢圓x2A.x2C.x29.(2022河南濮陽(yáng)范縣第一中學(xué)月考)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1=π2,且△F1PF2A.x2C.x210.(2024四川眉山彭山第一中學(xué)月考)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,左頂點(diǎn)為A,離心率為23,過(guò)F111.(2024黑龍江哈爾濱第九中學(xué)月考)給定橢圓C:x2a2+y2b(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程;(2)若點(diǎn)A,B是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸的兩交點(diǎn),P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求AP·題組三橢圓的離心率問(wèn)題12.(2024浙江杭州期中)已知F1,F2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上的一點(diǎn),若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,則C的離心率為()A.1-3213.(2024山東臨沂臨沭期中)已知橢圓C:x2A.3?1C.314.(2024天津南開(kāi)中學(xué)學(xué)情調(diào)查)已知橢圓C:x2A.315.(2024浙江臺(tái)州八校聯(lián)盟期中)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為FA.0,C.316.(2023湖南部分學(xué)校聯(lián)考)若2<m<8,橢圓C:x2m+y22=1與橢圓D:x2m+y2能力提升練題組橢圓的幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用1.(2023江蘇無(wú)錫市北高級(jí)中學(xué)期中)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F范圍是()A.[3C.222.(2022四川成都樹(shù)德中學(xué)期中)已知兩定點(diǎn)A(-3,0)和B(3,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在直線l:y=-x+5上移動(dòng),橢圓C以A,B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,則橢圓C的短軸長(zhǎng)的最小值為()A.22B.4C.263.(2024安徽合肥第一中學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,左、右焦點(diǎn)分別為F1A.-C.-4.(2022福建師范大學(xué)附屬中學(xué)期中)已知F1,F2分別是橢圓x2a2+y2bA.05.(2024湖南長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)期中)在焦點(diǎn)在x軸上的橢圓中截得的最大矩形的面積的取值范圍是72A.29C.336.(多選題)(2022山東泰安月考)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為FA.|QF1|+|QP|的最小值為2a-1B.橢圓C的短軸長(zhǎng)可能為2C.橢圓C的離心率e的取值范圍為0D.若PF17.(2023山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)已知F為橢圓C:x2a2+y8.(2022安徽宣城七校聯(lián)考)已知橢圓x24+y23=1的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在☉O:x

答案與分層梯度式解析2.5.2橢圓的幾何性質(zhì)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.ABD2.D3.C4.B5.BCD6.A7.D8.D9.A12.D13.A14.B15.D1.ABD由題意得2×3=3×2m,解得m=1,故橢圓C的方程為y29+x2=1,所以a2=9,b2=1,c2=8,所以橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=6,短軸長(zhǎng)2b=2,焦距2c=42,離心率e=ca2.D由橢圓方程x216+y=27,∴S△AF1F2=13.C橢圓x225+橢圓x29-k+y225-k=1(k<9且k≠0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為24.B當(dāng)直線AB過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)并垂直于x軸時(shí),|AB|=2b2a,所以c5.BCD由橢圓方程得a2=4,b2=3,∴c2=1,因此F1(-1,0),F2(1,0).A中,|MF2|max=a+c=3,故A錯(cuò)誤.B中,|MF1|·|MF2|≤|MF1|+|MC中,當(dāng)點(diǎn)M為短軸的端點(diǎn)時(shí),∠F1MF2取得最大值,令M(0,3),則tan∠F1MF22=D中,設(shè)P(x,y),A(x1,y),B(-x1,y),∵|PA|·|PB|=2,∴|x-x1|·|x+x1|=2,∴|x2-x12|=2,即x12=x2-2或又x124化簡(jiǎn)得x26+2y296.A依題意得4×43ππ由題意,結(jié)合橢圓的定義可得4a=16,所以a=4,所以b=3,又橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,故橢圓的方程為y27.D由于橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱,且P3-1,32,P41,3若P1(1,1)在橢圓上,則1a2+1b2=1.因?yàn)镻3,P因此P2(0,1),P3-1,32,P41,38.D設(shè)所求橢圓方程為x24+y23=λ(λ>0),將(2,3)代入可得9.A易知△F1PF2中,內(nèi)切圓半徑r=|P為ca=34,所以a=4,c=3,所以b2=a2-c2=7,所以橢圓C的方程為10.答案x2解析由橢圓的離心率為23得a=3因?yàn)锳Q∥PF2,所以△AF1Q∽△F2F1P,又|A所以△AF1Q的周長(zhǎng)與△F2F1P的周長(zhǎng)之比為1∶4,因?yàn)椤鰽F1Q的周長(zhǎng)為52所以△F2F1P的周長(zhǎng)為10,即2a+2c=10,又a=32c,所以a=3,c=2,所以b2故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x211.解析(1)由題意知c=2,a=b2+c2=3,故b=a2(2)設(shè)P(m,n)(-3≤m≤3),則m23+n不妨設(shè)A(2,0),B(-2,0),則AP=(m?2,n),BP=(m+2,n),所以AP·BP=m2?4+n所以AP·12.D因?yàn)镻F1⊥PF2,∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,所以|PF2|=c,|PF1|=3c.由橢圓定義可得|PF1|+|PF2|=(3+1)c=2a,所以離心率e=ca=213.A設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E,連接AE,BE,易得A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以O(shè)為AB,EF的中點(diǎn),又AF⊥FB,所以四邊形AEBF為矩形,所以∠BFE=∠ABF=30°,所以|BE|=12由橢圓的定義可得|BE|+|BF|=c+3c=2a,故該橢圓的離心率e=ca=214.B不妨設(shè)F(c,0),P(c,y0).因?yàn)辄c(diǎn)P(c,y0)在橢圓上,所以c2a2+y02b2=1,解得y0因?yàn)椤鱌OQ為等腰直角三角形,所以|PF|=|OF|,即b2a=c,即a2-c2=ac,所以e2+e-1=0,解得e=5-1215.D設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為B,坐標(biāo)原點(diǎn)為O,連接BF1,BF2,則|BF1|=|BF2|=a,|OF2|=c.若橢圓上存在點(diǎn)Q,使得∠F1QF2=120°,則∠F1BF2≥120°,所以∠OBF2≥60°,顯然∠OBF2<90°,所以32≤sin∠OBF2<1,即3所以橢圓的離心率e的取值范圍為32,116.答案0解析易得e1=1-2m,e2=1-m8,所以e1e2=1-能力提升練1.C2.B3.B4.A5.C6.ACD1.C由橢圓的中心對(duì)稱性和M,F1,N,F2四點(diǎn)共圓,知四邊形MF1NF2為矩形,所以以F1F2為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn),則c>b,所以c2>a2-c2,即2c2>a2,故22<e<1.故選C2.B設(shè)點(diǎn)A(-3,0)關(guān)于直線l:y=-x+5的對(duì)稱點(diǎn)為A'(x0,y0),則y0根據(jù)橢圓的定義可知,2a=|AP|+|BP|=|A'P|+|BP|≥|A'B|=(5當(dāng)A',P,B三點(diǎn)共線時(shí),長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a取最小值217,即amin=17,又a2=b2+c2且c=3,所以b=a2-c2=3.B由題意知e=ca=32,a+c=2+3,所以a=2,c=設(shè)P(2cosθ,sinθ),又F1(-3,0),F2(3,0),所以所以cos∠F1PF2=PF1·4.A設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP,yP).由題意得12×(2a+2c)×2∴(a+c)×c=2c×|yP|≤2bc,∴a+c≤2b,∴(a+c)2≤2b2,∴a2-2ac-3c2≥0,∴(a+c)(a-3c)≥0,∴a≥3c,∴0<e≤13.故選A5.C設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2不妨設(shè)矩形ABCD的對(duì)角線AC所在直線的方程為y=kx(k>0),由x2解得x2=a2所以矩形ABCD的面積S=4|xy|=4a2b由題意得72b2≤2ab≤92b2,則74b≤a≤94b,即4916b2≤a2≤8116b2,即4916(a2-c2)≤a2≤8116(a2-c6.ACD因?yàn)閨F1F2|=2,所以F2(1,0),|PF2|=1,所以|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|≥2a-|PF2|=2a-1,當(dāng)點(diǎn)Q在F2P的延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào),故A正確;若橢圓C的短軸長(zhǎng)為2,即2b=2,則b2=1,a2=2,所以橢圓的方程為x22+y2=1,又122+12>1,則點(diǎn)P在橢圓外,所以短軸長(zhǎng)不可能為2,故B錯(cuò)誤;因?yàn)辄c(diǎn)P(1,1)在橢圓內(nèi)部,所以1a2+1b2<1,又a2-b2=1,所以1a2+1a2-1<1(a>1),即a4-3a2+1>0(a>1),所以a2>(1+5)24,所以a>1+52,所以e=ca<5-12,所以e∈07.答案2解析設(shè)F(c,0),Mc2,y0,將Mc2,設(shè)線段OF的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為E(圖略),則△MOE為直角三角形,因?yàn)閏os∠MOF=37,所以|設(shè)|OE|=c2所以|ME|=|y0|=72所以b21-c24又a2-b2=c2=36,所以b2=a2-36,②把②代入①,得a4-85a2+324=0,解得a2=81或a2=4(舍去),故a=9,所以橢圓C的離心率e=ca8.答案4解析由橢圓方程得F(1,0).設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),x1>0,x2>0,則|PF|2=(x1