新八年級數(shù)學講義第4講軸對稱圖形-基礎班(學生版+解析)

第4講軸對稱圖形1軸對稱圖形一、軸對稱圖形

軸對稱圖形的定義一個圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，該直線就是它的對稱軸.要點詮釋：

軸對稱圖形是指一個圖形，圖形被對稱軸分成的兩部分能夠互相重合．一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.二、軸對稱

1.軸對稱定義把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱（或說這兩個圖形成軸對稱），這條直線叫做對稱軸．折疊后重合的點是對應點，也叫做對稱點

要點詮釋：

軸對稱指的是兩個圖形的位置關系，兩個圖形沿著某條直線對折后能夠完全重合．成軸對稱的兩個圖形一定全等.2.軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別主要是：軸對稱是指兩個圖形，而軸對稱圖形是一個圖形；軸對稱圖形和軸對稱的關系非常密切，若把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，則這個整體就是軸對稱圖形；反過來，若把軸對稱圖形的對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形，則這兩個圖形關于這條直線（原對稱軸）對稱.【例題精選】例1(2023?唐山一模）下列圖形中，只有一條對稱軸的是（）A． B． C． D．例2如圖是我國幾家銀行的標志，其中軸對稱圖形有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【隨堂練習】1．(2023?新都區(qū)模擬）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．(2023秋?郯城縣期末）下列圖案中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2.軸對稱圖形的性質軸對稱、軸對稱圖形的性質

軸對稱的性質：若兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．【例題精選】例1(2023秋?無為縣期末）在4×4的正方形網(wǎng)格中，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形，在圖中畫出與△ABC關于某條直線對稱的格點三角形，最多能畫（）個．A．5 B．6 C．7 D．8例2(2023?洪山區(qū)模擬）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，與△ABC成軸對稱，頂點在格點上，且位置不同的三角形有（）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個【隨堂練習】1．(2023秋?張店區(qū)期末）下列說法錯誤的是（）A．關于某直線成軸對稱的兩個圖形一定能完全重合 B．線段是軸對稱圖形 C．全等的兩個三角形一定關于某直線成軸對稱 D．軸對稱圖形的對稱軸至少有一條2．(2023秋?浦城縣期末）如圖，△ABC和△A′B′C′關于直線l對稱，若∠A＝50°，∠C′＝30°，則∠B的度數(shù)為（）A．30° B．50° C．90° D．100°3鏡面對稱【例題精選】例1(2023秋?隨縣期末）小明從鏡子里看到鏡子對面電子鐘的像如圖所示，實際時間是（）A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01例2(2023秋?禹州市期中）小明照鏡子的時候，發(fā)現(xiàn)T恤上的英文單詞在鏡子中呈現(xiàn)的樣子是（）A． B． C． D．【隨堂練習】1．(2023秋?岳麓區(qū)校級月考）如圖，是小亮在鏡中看到身后墻上的時鐘，此時時鐘的實際時刻是（）A．3：55 B．8：05 C．3：05 D．8：552．(2023秋?宜昌期中）小強站在鏡前，從鏡子中看到鏡子對面墻上掛著的電子表，其讀數(shù)如圖所示，則電子表的實際時刻是（）A．15：01 B．10：51 C．10：21 D．12：014畫軸對稱圖形對稱軸的作法

若兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．因此只要找到一對對應點，再作出連接它們的線段的垂直平分線就可以得到這兩個圖形的對稱軸．軸對稱圖形的對稱軸作法相同．要點詮釋：在軸對稱圖形和成軸對稱的兩個圖形中，對應線段、對應角相等.成軸對稱的兩個圖形，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點一定在對稱軸上.如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱.【例題精選】例1(2023?中寧縣二模）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）畫出△ABC關于y軸的對稱圖形△A1B1C1；（2）畫出△A1B1C1向右平移1個單位，向下平移5個單位長度后得到的△A2B2C2；例2(2023秋?連山區(qū)期末）如圖，△ABC的頂點坐標分別為A（2，3），B（1，1），C（3，2）．（1）將△ABC向下平移4個單位長度，畫出平移后的△A1B1C1；（2）畫出△ABC關于y軸對稱的△A2B2C2．并寫出點A2，B2，C2的坐標．【隨堂練習】1．(2023秋?新賓縣期末）如圖，網(wǎng)格中小正方形的邊長為1，已知點A（﹣1，2），B（﹣2，0），C（﹣3，1）．（1）作出△ABC；（2）在圖中作出△ABC關于y軸的對稱圖形△A1B1C1；（3）直線AB和直線A1B1交點的坐標是__________．2．(2023秋?郾城區(qū)期末）如圖，平面直角坐標系中，A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣1，3），過點（l，0）作x軸的垂線l．（1）作出△ABC關于直線l的軸對稱圖形△A1B1C1；（2）直接寫出A1（______，______），B1（______，______），C1（______，______）；（3）在△ABC內有一點P（m，n），則點P關于直線l的對稱點P1的坐標為（_____，_____）（結果用含m，n的式子表示）．綜合練習一．選擇題（共3小題）1．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，分別交BC，AC于點D，E，連接AD，若△ABD的周長C△ABD＝16cm，AB＝5cm，則線段BC的長度等于（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm2．下列圖形中，只有一條對稱軸的軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC、AC于D、E兩點，∠B＝60°，∠BAD＝70°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．130° B．95° C．90° D．85°二．解答題（共4小題）4．在△ABC中，DE垂直平分AB，分別交AB、BC于點D、E，MN垂直平分AC，分別交AC、BC于點M、N，連接AE，AN．（1）如圖1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度數(shù)；（2）如圖2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度數(shù)；（3）若∠BAC＝α（α≠90°），請直接寫出∠EAN的度數(shù)．（用含α的代數(shù)式表示）5．如圖，在△ABC中，已知∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足為點E，交AC于點D，∠BDC＝60°，AC＝6，求AD的長度．6．如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，作AC的中垂線交BC于E，連接AE，若AE＝4，求BC的長．7．如圖，C，D是AB的垂直平分線上兩點，延長AC，DB交于點E，AF∥BC交DE于點F．求證：（1）AB是∠CAF的角平分線；（2）∠FAD＝∠E．第4講軸對稱圖形1軸對稱圖形一、軸對稱圖形

軸對稱圖形的定義一個圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，該直線就是它的對稱軸.要點詮釋：

軸對稱圖形是指一個圖形，圖形被對稱軸分成的兩部分能夠互相重合．一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.二、軸對稱

1.軸對稱定義把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱（或說這兩個圖形成軸對稱），這條直線叫做對稱軸．折疊后重合的點是對應點，也叫做對稱點

要點詮釋：

軸對稱指的是兩個圖形的位置關系，兩個圖形沿著某條直線對折后能夠完全重合．成軸對稱的兩個圖形一定全等.2.軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別主要是：軸對稱是指兩個圖形，而軸對稱圖形是一個圖形；軸對稱圖形和軸對稱的關系非常密切，若把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，則這個整體就是軸對稱圖形；反過來，若把軸對稱圖形的對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形，則這兩個圖形關于這條直線（原對稱軸）對稱.【例題精選】例1(2023?唐山一模）下列圖形中，只有一條對稱軸的是（）A． B． C． D．分析：根據(jù)軸對稱圖形的概念，分別分析四個選項的對稱軸，再作答．【解答】解：A、等腰三角形只有一條對稱軸，故此選項符合題意；B、菱形有2條對稱軸，故此選項不符合題意；C、正五邊形有5條對稱軸，故此選項不符合題意；D、矩形有2條對稱軸，故此選項不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了軸對稱圖形．解題的關鍵是掌握軸對稱圖形的判斷方法：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形．這條直線叫做對稱軸．例2如圖是我國幾家銀行的標志，其中軸對稱圖形有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個分析：根據(jù)軸對稱圖形的概念判斷即可．【解答】解：中國銀行、中國工商銀行、中國人民銀行、中國農業(yè)銀行的標志是軸對稱圖形，故選：C．【點評】本題考查的是軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．【隨堂練習】1．(2023?新都區(qū)模擬）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；C、是軸對稱圖形，故此選項正確；D、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；故選：C．2．(2023秋?郯城縣期末）下列圖案中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B、是軸對稱圖形，故此選項正確；C、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；故選：B．2.軸對稱圖形的性質軸對稱、軸對稱圖形的性質

軸對稱的性質：若兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．【例題精選】例1(2023秋?無為縣期末）在4×4的正方形網(wǎng)格中，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形，在圖中畫出與△ABC關于某條直線對稱的格點三角形，最多能畫（）個．A．5 B．6 C．7 D．8分析：根據(jù)網(wǎng)格結構分別確定出不同的對稱軸，然后作出軸對稱三角形即可得解；【解答】解：如圖，最多能畫出7個格點三角形與△ABC成軸對稱．故選：C．【點評】本題考查了利用軸對稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結構并準確找出對應點的位置是解題的關鍵，本題難點在于確定出不同的對稱軸．例2(2023?洪山區(qū)模擬）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，與△ABC成軸對稱，頂點在格點上，且位置不同的三角形有（）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個分析：依據(jù)對稱軸的不同位置，即可得到位置不同的三角形．【解答】解：如圖所示：與△ABC成軸對稱，頂點在格點上，且位置不同的三角形有8個，故選：D．【點評】本題考查了利用軸對稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結構并準確找出對應點的位置是解題的關鍵，本題難點在于確定出不同的對稱軸．【隨堂練習】1．(2023秋?張店區(qū)期末）下列說法錯誤的是（）A．關于某直線成軸對稱的兩個圖形一定能完全重合 B．線段是軸對稱圖形 C．全等的兩個三角形一定關于某直線成軸對稱 D．軸對稱圖形的對稱軸至少有一條【解答】解：A、關于某直線成軸對稱的兩個圖形一定能完全重合，正確，故本選項錯誤；B、線段是軸對稱圖形，正確，故本選項錯誤；C、全等的兩個三角形不一定關于某直線成軸對稱，但關于某直線成軸對稱的兩個三角形一定，故本選項正確；D、軸對稱圖形的對稱軸至少有一條，正確，故本選項錯誤．故選：C．2．(2023秋?浦城縣期末）如圖，△ABC和△A′B′C′關于直線l對稱，若∠A＝50°，∠C′＝30°，則∠B的度數(shù)為（）A．30° B．50° C．90° D．100°【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′關于直線l對稱，∠A＝50°，∠C′＝30°，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝30°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．故選：D．3鏡面對稱【例題精選】例1(2023秋?隨縣期末）小明從鏡子里看到鏡子對面電子鐘的像如圖所示，實際時間是（）A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01分析：利用鏡面對稱的性質求解．鏡面對稱的性質：在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關于鏡面對稱．【解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質，題中所顯示的時刻與12：01成軸對稱，所以此時實際時刻為10：51，故選：C．【點評】本題考查鏡面反射的原理與性質．解決此類題應認真觀察，注意技巧．例2(2023秋?禹州市期中）小明照鏡子的時候，發(fā)現(xiàn)T恤上的英文單詞在鏡子中呈現(xiàn)的樣子是（）A． B． C． D．分析：根據(jù)鏡面對稱的性質，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好左右顛倒，且關于鏡面對稱，分析并作答．【解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質，分析可得題中所給的圖片與A顯示的圖片成軸對稱，故選A．【點評】本題考查鏡面反射的原理與性質．解決此類題應認真觀察，注意技巧．【隨堂練習】1．(2023秋?岳麓區(qū)校級月考）如圖，是小亮在鏡中看到身后墻上的時鐘，此時時鐘的實際時刻是（）A．3：55 B．8：05 C．3：05 D．8：55【解答】解：根據(jù)平面鏡成像原理可知，鏡中的像與原圖象之間實際上只是進行了左右對換，由軸對稱知識可知，只要將其進行左可翻折，即可得到原圖象，實際時間為8點的時針關于過12時、6時的直線的對稱點是4點，分針指向11實際對應點為1，故此時的實際時刻是：8點5分．故選：B．2．(2023秋?宜昌期中）小強站在鏡前，從鏡子中看到鏡子對面墻上掛著的電子表，其讀數(shù)如圖所示，則電子表的實際時刻是（）A．15：01 B．10：51 C．10：21 D．12：01【解答】解：電子表的實際時刻是10：21．故選：C．4畫軸對稱圖形對稱軸的作法

若兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．因此只要找到一對對應點，再作出連接它們的線段的垂直平分線就可以得到這兩個圖形的對稱軸．軸對稱圖形的對稱軸作法相同．要點詮釋：在軸對稱圖形和成軸對稱的兩個圖形中，對應線段、對應角相等.成軸對稱的兩個圖形，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點一定在對稱軸上.如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱.【例題精選】例1(2023?中寧縣二模）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）畫出△ABC關于y軸的對稱圖形△A1B1C1；（2）畫出△A1B1C1向右平移1個單位，向下平移5個單位長度后得到的△A2B2C2；分析：（1）直接利用軸對稱圖形的性質得出對應點位置進而得出答案；（2）直接利用平移的性質得出對應點位置進而得出答案．【解答】解：（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求；（2）如圖所示：△A2B2C2，即為所求．【點評】此題主要考查了軸對稱變換以及平移變換，正確得出對應點位置是解題關鍵．例2(2023秋?連山區(qū)期末）如圖，△ABC的頂點坐標分別為A（2，3），B（1，1），C（3，2）．（1）將△ABC向下平移4個單位長度，畫出平移后的△A1B1C1；（2）畫出△ABC關于y軸對稱的△A2B2C2．并寫出點A2，B2，C2的坐標．分析：（1）利用點平移的坐標特征寫出點A1，B1，C1的坐標，然后描點即可；（2）利用關于y軸對稱的點的坐標特征寫出點A2，B2，C2的坐標，然后描點即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；（2）如圖，△A2B2C2為所作，A2（﹣2，3），B2（﹣1，1），C2（﹣3，2）．【點評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換：幾何圖形都可看做是由點組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊的對稱點開始的．也考查了平移變換．【隨堂練習】1．(2023秋?新賓縣期末）如圖，網(wǎng)格中小正方形的邊長為1，已知點A（﹣1，2），B（﹣2，0），C（﹣3，1）．（1）作出△ABC；（2）在圖中作出△ABC關于y軸的對稱圖形△A1B1C1；（3）直線AB和直線A1B1交點的坐標是__________．【解答】解：（1）如圖所示，△ABC即為所求；（2）如圖所示，△A1B1C1即為所求：（3）直線AB和直線A1B1交點的坐標是（0，4），故答案為：（0，4）2．(2023秋?郾城區(qū)期末）如圖，平面直角坐標系中，A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣1，3），過點（l，0）作x軸的垂線l．（1）作出△ABC關于直線l的軸對稱圖形△A1B1C1；（2）直接寫出A1（______，______），B1（______，______），C1（______，______）；（3）在△ABC內有一點P（m，n），則點P關于直線l的對稱點P1的坐標為（_____，_____）（結果用含m，n的式子表示）．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；（2）A（4，1），B，（5，4），G（3，3）；（3）點P關于直線l的對稱點P1的坐標為（2﹣m，n）．故答案為4，1；5，4；3，3；﹣m+2，n．綜合練習一．選擇題（共3小題）1．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，分別交BC，AC于點D，E，連接AD，若△ABD的周長C△ABD＝16cm，AB＝5cm，則線段BC的長度等于（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm【解答】解：∵AC的垂直平分線分別交BC、AC于點D、E，∴AD＝DC，∴△ABD的周長為AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+B，∵C△ABD＝16cm，AB＝5cm，∴BC＝11cm，故選：D．2．下列圖形中，只有一條對稱軸的軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、沒有對稱軸，故此選項錯誤；B、有4條對稱軸，故此選項錯誤；C、有4條對稱軸，故此選項錯誤；D、只有一條對稱軸，正確．故選：D．3．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC、AC于D、E兩點，∠B＝60°，∠BAD＝70°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．130° B．95° C．90° D．85°【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∵∠B＝60°，∠BAD＝70°，∴∠BDA＝50°，∴∠DAC＝∠BDA＝25°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝70°+25°＝95°故選：B．二．解答題（共4小題）4．在△ABC中，DE垂直平分AB，分別交AB、BC于點D、E，MN垂直平分AC，分別交AC、BC于點M、N，連接AE，AN．（1）如圖1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度數(shù)；（2）如圖2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度數(shù)；（3）若∠BAC＝α（α≠90°），請直接寫出∠EAN的度數(shù)．（用含α的代數(shù)式表示）【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，同理可得：∠CAN＝∠C，∴∠