2021-2022學(xué)年四川省遂寧市遂寧中學(xué)校高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題

20212022學(xué)年四川省遂寧市遂寧中學(xué)校高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列命題中，正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等D．若，則與方向相同或相反【答案】B【分析】對(duì)ABC選項(xiàng)找出反例，證明其錯(cuò)誤，選項(xiàng)B根據(jù)傳遞性很明顯正確，即可求解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：平行于任何向量，若，滿足，，但不一定滿足，故A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)：根據(jù)向量傳遞性，正確；對(duì)于C選項(xiàng)：兩個(gè)單位向量互相平行，這兩個(gè)單位向量相等或相反（大小相等，方向完全相反），故C錯(cuò)；中有一個(gè)是零向量,那么方向相同或相反,或者不同，故D錯(cuò).故選：B.2．已知，則．A． B． C． D．【答案】A【詳解】.所以選A.【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角及同角正余弦的差與積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.3．已知為銳角，為鈍角，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平方關(guān)系和兩角和的余弦展開(kāi)式計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)闉殇J角，為鈍角，，所以，，則.故選：C.4．已知向量，不共線，，，若，則（

）A．12 B．9 C．6 D．3【答案】D【分析】根據(jù)，由，利用待定系數(shù)法求解.【詳解】已知向量，不共線，且，，因?yàn)椋?，則，所以，解得，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量共線的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5．已知?jiǎng)t（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出和，然后利用兩角和的余弦公式展開(kāi)代入即可求出cos（α+β）．【詳解】∵∴∴，∴，∴．故選：D6．已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)，變形轉(zhuǎn)化得到，再利用數(shù)量積運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，，?故選：C.7．已知向量，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平方結(jié)合數(shù)量積的定義可求.【詳解】因?yàn)椋?，即．設(shè)與的夾角為，則，解得，所以與的夾角為．故選：D.8．第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的，會(huì)標(biāo)是四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果小正方形的面積為，大正方形的面積為，直角三角形中較小的銳角為，則A． B． C． D．【答案】D【分析】由圖形可知三角形的直角邊長(zhǎng)度差為a，面積為6，列方程組求出直角邊得出sinθ，代入所求即可得出答案．【詳解】由題意可知小正方形的邊長(zhǎng)為a，大正方形邊長(zhǎng)為5a，直角三角形的面積為6，設(shè)直角三角形的直角邊分別為x，y且x＜y，則由對(duì)稱(chēng)性可得y＝x+a，∴直角三角形的面積為Sxy＝6，聯(lián)立方程組可得x＝3a，y＝4a，∴sinθ，tanθ＝．∴===，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題．9．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則在上的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡(jiǎn)可得，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)可得，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可求出值域.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以.又∵，∴，即.因?yàn)?，∴，∴?dāng)時(shí)，的最大值為1，當(dāng)時(shí)，的最小值是.所以在上的值域是.故選：D.10．若的外心為，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把，用及表示后再利用計(jì)算．【詳解】，故選：C．11．已知函數(shù)．若關(guān)于x的方程在上有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)在上的值域后可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】,當(dāng)時(shí)，，所以，故的值域?yàn)?，因?yàn)樵谏嫌薪饧丛谏嫌薪猓始?，故選：C.12．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化為，再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可得解.【詳解】解：，令，則，由，則，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，所以，解得.故選：C.二、填空題13．已知單位向量，的夾角為，則______．【答案】1【分析】利用模的平方等于向量的平方結(jié)合平面向量數(shù)乘公式即可求解.【詳解】，則．故答案為：1.14．__________．【答案】【分析】先由題得到，再整體代入化簡(jiǎn)即得解.【詳解】因?yàn)?，所以，則．故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查差角的正切公式，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.15．已知，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊交圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)的單位圓于點(diǎn)，且，則___________.【答案】【分析】由同角三角函數(shù)的關(guān)系先求出，由二倍角公式求出，由三角函數(shù)的定義以及同角三角函數(shù)的關(guān)系先求出，再分析出，從而求出的值，得出答案.【詳解】由，則所以，所以由，，可得由角終邊交圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)的單位圓于點(diǎn)，且，則，則所以所以由所以故答案為：16．設(shè)函數(shù)，其圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi)，且的最小正周期大于，則的取值范圍是____________【答案】【分析】由題可得，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得對(duì)稱(chēng)軸為，結(jié)合條件即得.【詳解】∵，由，得，當(dāng)時(shí)，，則，解得此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則，解得此時(shí)，不合題意，當(dāng)取其它整數(shù)時(shí)，不合題意，∴.故答案為：.三、解答題17．已知向量，，.(1)若，求n的值；(2)若向量滿足，，求的坐標(biāo).【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合，列出方程組，即可求解；（2）設(shè)，得到，結(jié)合，且，列出方程組，即可求解.【詳解】(1)解：由題意，向量，，，可得，因?yàn)椋傻?，則，解得.(2)解：設(shè)，則，，由，且，所以，解得或，所以或.18．已知,其中.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及兩角和與差的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解即可．（2）利用正切的兩角和的三角函數(shù)，結(jié)合角的范圍，求解角的大小即可．【詳解】解：（1）因?yàn)?，，所以所以所以，?）因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，所以，所以所以【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，是基本知識(shí)的考查．19．如圖所示，在中，，，與相交于點(diǎn)，設(shè)，.（1）試用向量，表示；（2）過(guò)點(diǎn)作直線，分別交線段，于點(diǎn)，.記，，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，，三點(diǎn)共線，設(shè)，由，，三點(diǎn)共線，可設(shè)，列出方程組，即可求解的值，得到結(jié)論；（2）由，，三點(diǎn)共線，設(shè)，由（1）可求得，，即可得到為定值.【詳解】解答：（1）由，，三點(diǎn)共線，可設(shè)，由，，三點(diǎn)共線，可設(shè)，∴，解得，，∴.（2）∵，，三點(diǎn)共線，設(shè)，由（1）知，，∴，，∴.20．某同學(xué)再一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下三個(gè)式子的值都等于一個(gè)常數(shù).①.②.③.（1）試從上述三個(gè)式子中選出一個(gè)計(jì)算出這個(gè)常數(shù).（2）猜想出反映一般規(guī)律的等式，并對(duì)等式的正確性作出證明.【答案】（1）（2），證明見(jiàn)解析【分析】（1）選擇①化簡(jiǎn)得這個(gè)常數(shù)為；（2）找到一般規(guī)律：，再化簡(jiǎn)證明.【詳解】解：（1）（2）一般規(guī)律：證明：【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理，考查三角恒等式的證明，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.21．已知．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（）；（2）．【分析】（1）根據(jù)兩角和正弦公式、二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)可得，令，即可求得的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）根據(jù)（1）化簡(jiǎn)可得，則原題等價(jià)于，即可，利用二倍角公式，對(duì)化簡(jiǎn)變形，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】（1）化簡(jiǎn)得==，令，解得所以單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由（1）可得，即，對(duì)任意的恒成立，只需要即可，，令，因?yàn)椋瑒t，所以，所以，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以．【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握恒等變換各個(gè)公式，并靈活應(yīng)用，齊次式問(wèn)題，需上下同除，得到關(guān)于的方程，再結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，求解即可，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題.22．已知函數(shù).(1)若，且，求；(2)記函數(shù)在上的最大值為b，且在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的最小值.【答案】(1