高中數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊第五章函數(shù)應(yīng)用培優(yōu)2

高中數(shù)學(xué)北師大版(2019)必修第一冊第五章函數(shù)

應(yīng)用培優(yōu)專練2

第I卷(選擇題)

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一、單選題

1.已知函數(shù)，(x)=,X若函數(shù)g(x)=,f(x)-ox+a存在零點，則

實數(shù)〃的取值范圍為()

2.若不等式(仆+3)評-垃,0對任意的X?0,4w)恒成立，則()

A.ab2=9B.crh-9?avOC.b=9『，avOD.b?=9a

log?x,x>0

2

3.已知函數(shù)/(")=i函數(shù)g(x)=x。若函數(shù)y=/(x)-g(x)有3個

ax+—

2-緊。

零點，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(5,+8)B.3同C.(5s口.(或

4.對于a/eR,定義運算"◎'：a?b=\a~ah'a~b設(shè)/(x)=(2x-l)&x-l),且

b-ab,a>b

關(guān)于X的方程/?=eR)恰有三個互不相等的實數(shù)根為,J七，則%+%+七的取值

范圍是()

/、x2-ax+2,x>a/、

5.已知函數(shù)x<4，若對于任意正數(shù)左，關(guān)于X的方程/(x)=Z都恰

有兩個不相等的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù)a的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.無數(shù)

6.已知IwR,函數(shù)/。)=|/-4|+/+船的定義域為R,若函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,4)上有

兩個不同的零點，則k的取值范圍是()

A.-7<k<—2B.4v-7或Q-2

C.-7<k<0D.—2<As<0

二、多選題

7.已知函數(shù)f(x)=,+3x+l卜小|,則下列結(jié)論正確的是()

A.若/(x)沒有零點，貝ijae(7o,0)

B.若f(x)恰有2個零點，則。?1,5)

C.若f(x)恰有3個零點，則。=1或。=5

D.若“X”恰有4個零點，則ae(5,r)

x2-x+l,O<x<1,

8.已知定義域為R的奇函數(shù)/(x),當(dāng)x>0時，f(x)=|1下列說法中

----,x>1.

I2x-1

正確的是()

A.當(dāng)一;<西時，恒有/(再)>/(工2)

B.若當(dāng)xe(O,汨時，的最小值為二,則機的取值范圍為

4|_2o

C.不存在實數(shù)公使函數(shù)尸(x)=f(x)-履有5個不相等的零點

D.若關(guān)于x的方程/U)-7"(x)-口=0所有實數(shù)根之和為0,則。=-=

L4」4

第H卷(非選擇題)

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三、填空題

他竺x>0

9.設(shè)f(x)=JX'(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)=r(x)-(2,〃-l)/(x)+2,

-2019%,x<0

若函數(shù)g(x)恰有4個不同的零點，則實數(shù)機的取值范圍為.

10.已知定義在(0,+8)上的單調(diào)函數(shù)/(X),若對任意xe(0,+8)都有

(\

f/(x)+log,x=3,則方程〃x)=2+&的解集為.

11.某廠商為推銷自己品牌的可樂，承諾在促銷期內(nèi)，可以用3個該品牌的可樂空罐換

1罐可樂.對于此促銷活動，有以下三個說法：

①如果購買10罐可樂，那么實際最多可以飲13罐可樂；

試卷第2頁，共4頁

②欲飲用100罐可樂，至少需要購買67罐可樂:

n—1

③如果購買〃(〃eN*)罐可樂，那么實際最多可飲用可樂的罐數(shù)/(〃)=〃+f.(其中

［司表示不大于x的最大整數(shù))

則所有正確說法的序號是.

12.若平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點尸，。滿足條件：①P,Q都在函數(shù)/(x)的圖象上；②P,

Q關(guān)于原點對稱，則稱點對(RQ)是函數(shù)“X)的圖象上的一個“友好點對”).已知函數(shù)

"x)=|k+21*x<0且"6若此函數(shù)的“友好點對”有且只有一對’則實

數(shù)。的取值范圍是

四、解答題

13.已知函數(shù)f(x)=l-b)(其中“，8eR且a*0)的圖象關(guān)于原點對稱.

(1)求。，6的值；

(2)當(dāng)。>0時，

①判斷y=在區(qū)間(0,+?)上的單調(diào)性(只寫出結(jié)論即可)；

②關(guān)于x的方程/(d')-x+ln%=0在區(qū)間(0,ln4］上有兩個不同的解，求實數(shù)Z的取值范

圍.

14.2021年5月，“共和國勛章”獲得者、“雜交水稻之父”袁隆平先生辭世，他的功績將

永遠(yuǎn)被人們銘記：在他和幾代科學(xué)家的共同努力下，中國用全世界7%的耕地，養(yǎng)活了

全世界22%的人口，目前，我國年人均糧食占有量已經(jīng)穩(wěn)定在470千克以上，遠(yuǎn)高于國

際公認(rèn)的400千克糧食安全線，雅禮中學(xué)數(shù)學(xué)建模小組的同學(xué)想研究假如沒有雜交水稻

的推廣，沒有合理的人口、土地政策，僅以新中國成立時的自然條件為前提，我國年人

均糧食占有量會如何變化？根據(jù)英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯《人口論》的觀點“人口呈幾何

級數(shù)增長，而生活資料呈直線型增長”，該小組同學(xué)做了以下研究.根據(jù)馬爾薩斯的理

論，自然狀態(tài)下人口增長模型為y=y°e”①(其中，表示經(jīng)過的時間，兒表示r=o時的

人口數(shù)，，表示人口的年平均增長率，y表示f年后的人口數(shù)，單位：萬人)根據(jù)國家統(tǒng)

計局網(wǎng)站的數(shù)據(jù)，我國1950年末、1959年末的人口總數(shù)分別為55196萬和67207萬.該

小組同學(xué)根據(jù)這兩個數(shù)據(jù)，以1950年末的數(shù)據(jù)作為f=0時的人口數(shù)，求得①式人口增

長模型.

(1)請求出該小組同學(xué)①式的人口增長模型；

(2)根據(jù)馬爾薩斯的理論，該小組同學(xué)把自然狀態(tài)下糧食增長模型近似看作直線型模

型，通過查閱我國1950年末至1959年末糧食產(chǎn)量，得到糧食增長模型近似為

產(chǎn)600什13600(其中，表示經(jīng)過的時間，y表示第［年的糧食年產(chǎn)量，單位：萬

噸)./(0=--------不—(/wN)表示從1950年末開始第，年的年人均糧食占有量,

單位：噸/人.

/㈤

①求滿足＜1的正整數(shù)A的最小值.

/(I)

②按此模型，我國年人均糧食占有量能達(dá)到400千克嗎？試說明理由.

參考數(shù)據(jù)：ln67207-ln55196a9x0.02188,In130000-In55196?39.15x0.02188,

e002188?1.022,55196xl.02223?91050.

15.已知函數(shù)〃x)=e'+eT.

(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，研究/(x)的單調(diào)性；

(2)若g(x)=*—2x+0'(x—1)有唯一零點，求。的值.

16.已知aeR,函數(shù)f(x)=+.

(1)若a=T,用單調(diào)性定義證明函數(shù)/(x)在((),一)上是減函數(shù);

(2)若a=l,求y=/(x)(xNl)的值域；

(3)若存在王＜0＜七,使/(百)=/(々)，求a的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案

1.B

【分析】

若函數(shù)g(x)=/(x)-or+a存在零點，即有解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)和丁=依-。

圖像的交點，結(jié)合圖像，找到臨界值，即可得解.

【詳解】

若函數(shù)g(x)=/(x)-G：+a存在零點，

即/(x)=or-a有解，

轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)和了=以一。圖像的交點，

如圖所示，

丫=以一4恒過(1,0),

過端點(-2」)與(1,0)的直線的斜率&=、1m-0=v1，

—2—13

設(shè)3=口-4與丫=/相切與(%*),

則切點處的導(dǎo)數(shù)為e&,

則過切點的直線方程為y-e“=(xF),

又切線過(1,0),則-*=*(1-X。)，

所以x<)*=2e*,得々=2,

此時切線斜率為『，

由圖可知，若函數(shù)g(x)=/(x)-ar+a存在零點，

則實數(shù)〃的取值范圍是或〃之/,

答案第1頁，共21頁

故選：B.

【點睛】

本題考查了函數(shù)零點問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化零點為函數(shù)圖像的交點，關(guān)鍵是求出臨界

值，在求切線方程時，切入口是設(shè)出切點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解，同時考查了直線

斜率問題，設(shè)及知識點較多，屬于較難題.

2.B

【分析】

先分析特殊點對。力的要求，再結(jié)合函數(shù)的趨勢，排除掉一些范圍，最終確定函數(shù)

f(x-)=ax+3,g(x)=V-6的零點相同，得到關(guān)系式，最終求出答案.

【詳解】

".,(ax+3)(/-6),,0對任意X€[0,+oo)恒成立，

???當(dāng)x=0時，不等式等價為-初,,0,即4.0,

當(dāng)xf+8時，X2-h>0<此時奴+3<0,則

設(shè)，(x)=ox+3,g(x)=x2-b,

若匕=0,則g(x)=f>o,

函數(shù)/(x)=or+3的零點為x=-』，則函數(shù)/(x)在(0,-3)上/(x)>0,此時不滿足條件；

aa

若a=0,則/(x)=3>0,而此時xf+8時，g(x)>0不滿足條件，故/;>()；

???函數(shù)f(x)在(0,—|)上/(%)>0,則(-■!，+<?]上/(X)<0,

而g(x)在(0,+oo)上的零點為x=四，且g(x)在(0,揚)上g(x)<0,

貝！](石，+8)上g(x)>0,

二要使("+3)(/-b)?0對任意xw[0,+<?)恒成立，

則函數(shù)〃*)與g(x)的零點相同，即-』=揚，

a

??.a2b=9,

答案第2頁，共21頁

【分析】

先作出兩函數(shù)的圖像，由圖像可知當(dāng)x>0時，"x)=bg；x與g(x)=V有1個交點，所以只

要當(dāng)X40時，/(x)=ax+g-9與g(x)=V有兩個交點即可，結(jié)合圖像可得/(x),g(x)的圖

象在18,一；)上有兩交點，則在卜別上沒有交點，即直線y=-ox-；a弋與y=Y在

,8,一；)有兩交點，且〃x),g(x)的圖象在上沒有交點，即/+以+；〃++0在

1-8,-；)有兩個解，且/(x)=g(x)在上沒有解，然后利用方程根的分布進(jìn)行求解即

可

【詳解】

如圖當(dāng)x>0時，/(幻=陛：*與8*)=/有1個交點.

要使y=/(x)-g(x)有3個零點，貝！|當(dāng)*40時，

f(x)=ax+^與g(x)=/有兩個交點即可，

若aW(),xV(),fM<-,兩函數(shù)沒有交點，所以。>0,

4

畫出〃X),g(X)圖象,如下圖所示,

根據(jù)圖象/(x),g(x)的圖象在-g<x<0內(nèi)至多有一個交點.

當(dāng)/(X),g(X)的圖象在18,一；)上有兩交點，則在卜；，。)上沒有交點.

答案第3頁，共21頁

即直線y=與y=/在1-8,-；)有兩交點，且/(x),g(x)的圖象在上沒

有交點.

115=0在18,一；)有兩個解，且/(x)=g(x)在(-川上沒有解.

即%2-\-ax+—a-\----

24

a>0

設(shè)//(x)=x2+?,且a.0+_L一/<0

24

解得。＞5或。＜-3(舍去)，且

所以此時5＜。＜葭

若在-g＜x＜0上f(x),g(x)的圖象有1個交點，則在(7,-；］上.f(x),g(x)的圖象有1個

交點

即/+依+：4++0在,8,-g)有1個解,且/(X)=g(X)在(jo)上有1個解.

則△=/_4(ga+?)=0且a-0+g-券20,此時無解.

要使/(x),g(x)在(YO,0)只有兩交點，貝ij5＜a＜券.

故選：B

此題考查函數(shù)與方程，考查由函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力,

答案第4頁，共21頁

屬于較難題

4.A

【分析】

2尤2_xx<0

,一八，再結(jié)合函數(shù)圖像可知/+占=1，再求出*

1一廠4-X,X>0

的范圍，即可求得結(jié)果.

【詳解】

2x2

小啪門…，、c八小/n/(-D-(2x-D(x-1),2x-1<x-1

由題設(shè)知/(x)=(2x-l)③(x-l)=<,、c,,

[(x—1)~—(2x—l)(x-1),2,x—1>x—1

OvY<0

/'一八，畫出函數(shù)的圖像，如下圖

-x+xx>0

{y

i<

y

由當(dāng)關(guān)于x的方程/(x)=?reR)恰有三個互不相等的實數(shù)根時，r的取值范圍

是fe(o,￡),

設(shè)玉<0<々<與，則尤2，七是-W+X=f的兩個根，關(guān)于X=；對稱，故々+七=1,

下面求士的范圍：[2犬-]=、解得：匕叵

I西<04

Q?e|/O,-|、,.?.1+8/e(l,3),.-.l->/l+8re(l->/3,0),故王e(^^I-,0、

'JI4,

f-V31

所以玉+々+凡￡—5—4

故選：A.

答案第5頁，共21頁

【點睛】

方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

5.B

【分析】

分〃=0、。＞0、三種情況討論，作出函數(shù)/（X）的圖象，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實

數(shù)。的等式與不等式，進(jìn)而可求得實數(shù)。的取值.

【詳解】

.、fx2+2,x＞0,,、

當(dāng)。=0時，〃X）=，作出函數(shù)/（X）的圖象如下圖所示：

I,X＜U

由圖可知，當(dāng)0＜女＜2時，關(guān)于x的方程/（x）=&有且只有一個實根，不合乎題意;

x2-ax+2,x>a

當(dāng)。>0時，/(x)=-x+a,-a<x<a,如下圖所示:

-x-a,x<-a

函數(shù)f（x）在（F,-a）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在（4a）上單調(diào)遞增,

由題意可得/-/+2=|2a|=2?,解得a=1；

答案第6頁，共21頁

2一—?一

右”0,則\<x-ax+2,x>a，如,下圖所不:

-x-a,x<a

由題意可得'a此時a無解.

A=a--8>0

綜上所述，4=1.

故選：B.

【點睛】

方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

答案第7頁，共21頁

6.A

【分析】

寫出人力的分段函數(shù)解析式，利用函數(shù)/（刈在區(qū)間（。，韋上有兩個不同的零點，利用參數(shù)分

,4

—,xG（0,2）

離法轉(zhuǎn)化為％=,有兩個零點，即函數(shù)g（x）的圖像與直線》=%有兩個交點,

---------,XG[2,4）

數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】

4+fee,xw(0,2)

/(x)=|x2-4|+x2+kx=

2x2+fcc-4,xe[2,4)

44

—,xe(0,2)—,xe(0,2)

Xx

令/(x)=0利用參數(shù)分離法得左=令g(x)=<

4-2x2

xe[2,4)xe[2,4)

x

函數(shù)fM在區(qū)間（。，4）上有兩個不同的零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）的圖像與直線y=A在區(qū)間

（0,4）上有兩個交點,

故選：A

【點睛】

方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解

答案第8頁，共21頁

7.AC

【分析】

當(dāng)x=0時，判斷x=0不是的零點；當(dāng)XHO時，由〃x)=0,分離參數(shù)得a=x+J+3,

將問題轉(zhuǎn)化為直線V=a與函數(shù)y=x+1+3圖象的交點個數(shù).作出y=x+'+3的圖象，運

XX

用數(shù)形結(jié)合的思想逐一判斷可得選項.

【詳解】

解：當(dāng)x=0時，/(0)=1*0,所以x=0不是“X)的零點；

當(dāng)XX。時，由f(x)=O,gp|x2+3x+l|-iz|x|=O,得a=x+：+3,

則/(x)的零點個數(shù)等于直線y=“與函數(shù)>=X+5+3圖象的交點個數(shù).

當(dāng)x>0時，x+->2.lx^-=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1,即x=l時取等號，所以當(dāng)x>0時，

xVxx

y=x+-+3>5,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號，

X

當(dāng)xvO時，^+―=-f-x+—1<-2/%?—=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=，，即1二一1時取等號，所以

x-X)Vxx

當(dāng)％<0時，x+-+3<l,當(dāng)且僅當(dāng)x=—l時取等號，

X

作出函數(shù)y=x+2+3的大致圖象(如下圖所示)，

X

由圖可知：若/(X)沒有零點，則故A正確；

若“X)恰有2個零點，則ae{0}U(l,5),故B不正確；

若恰有3個零點，則。=1或。=5,故C正確；

若“X”恰有4個零點，則a?0,l)U(5,”)，故D不正確，

故選：AC.

答案第9頁，共21頁

【分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及x>0時的解析式作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可判斷AB選項，聯(lián)立

y="與）+1可判斷相切時切點橫坐標(biāo)為］,當(dāng)女工。，x>0時最多一個交點，可判

斷C,根據(jù)函數(shù)奇偶性與對稱性判斷D.

【詳解】

x2-x+l,0<x<l,

當(dāng)x>0時，/?=1L」一,X>1且“X）為R上的奇函數(shù),

2x-l21

X——

2

不是單調(diào)遞減函數(shù)，則/（汨）>f（X2）不成

立，故A不正確;

?Q73

對于B，令^--=解得x=±，由圖象可知，當(dāng)xw（0,汨時，/（%）的最小值為：，

2x-l464

-17'

則"zw,故B正確；

2o

答案第10頁，共21頁

對于C,聯(lián)立I)：山，，得x2-(z+i)x+l=0,

[y=x-x+l

△=(-1)2-4=/+24-3=0,存在2=1,使得△=0,此時x=l,可知最多有3個不同的

交點，

???不存在實數(shù)火，使關(guān)于x的方程/(x)="有,5個不相等的實數(shù)根，故C正確；

對于D,由「/(x)--31[f(x)-a]=0可3得/(X)==或f(x)=%

_4J4

3

???函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，若關(guān)于x的兩個方程/(x)=j與/。)=。所有根的和為0,

???函數(shù)/(x)=43的根與fM=a根關(guān)于原點對稱，則。=-39,

44

317175

但x>0時，方程/有2個根，分別為兩根之和為

42o263

3

若關(guān)于x的兩個方程fM=：與/(%)=。所有根的和為0,

4

則/(x)="的根為―，此時〃=八一3)=。(5、1=一7,故D錯誤.

故選：BC

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：利用奇函數(shù)的對稱性得出函數(shù)的圖象是解決本題的關(guān)鍵所在，結(jié)合函數(shù)的

單調(diào)性，函數(shù)值的變換，函數(shù)圖象的交點，利用數(shù)形結(jié)合解決問題，屬于難題.

9.m>2

【分析】

求函數(shù)廣(X),研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，作出函數(shù)/(X)的圖象，設(shè)，=f(X),若函數(shù)g(x)恰

有4個零點,則等價為函數(shù)6(/)=『-(2m-1)/+2有兩個零點，滿足f>l或利用一元

二次函數(shù)根的分布進(jìn)行求解即可.

【詳解】

當(dāng)x>0時，:(勸=叫以，

X

由尸(%)>0得：解得0cx<e,

由廣。)<0得：l-//u<0,解得%>e,

即當(dāng)x=e時，函數(shù)/(力取得極大值，同時也是最大值，f(e)=1,

當(dāng)?+/(幻-0,

答案第11頁，共21頁

當(dāng)xf0,fix)-=o,

作出函數(shù)/(x)的圖象如圖,

設(shè)r=f(x),

由圖象知，當(dāng)f>l或t<0,方程r=/(x)有一個根，

當(dāng)，=0或f=l時，方程f=/(x)有2個根，

當(dāng)0</<1時，方程r=/(x)有3個根，

則g(x)=f2(x)-(2m-l)f(x)+2,等價為h(t)=r+2,

當(dāng)f=O時，〃(0)=2K0,

二若函數(shù)g(x)恰有4個零點，

則等價為函數(shù)帕)="-⑵"墳+2有兩個零點，滿足f>l或0<f<l,

|/?(0)=2>0

則

[/?(1)<0

h(I)=1—2m+1+2=4-2m<0

解得：，?1>2,

故答案為：m>2

【點睛】

本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)根的分布以及.求的導(dǎo)

數(shù)，研究函數(shù)的f(x)的單調(diào)性和極值是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題.

10.{4,16).

【分析】

由題可求=2Tog/,再利用數(shù)形結(jié)合即求.

2

【詳解】

答案第12頁，共21頁

?定義在(0，+8)上的單調(diào)函數(shù)f(x),對任意x?0,+8)都有//(x)+10g,x=3,

k27

令f(x)+k)g/=c,貝I]〃c)=3,

在上式中令x=c，則“c)+l°g|C=c'，10g|C=c-3,解得c=2,

22

故〃x)=2—log/,

2

由〃x)=2+&得，2-log產(chǎn)=2+4即1og2x=?,

2

在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=iog?x和y=4的圖像，

可知這兩個圖像有2個交點，即(4,2)和(16,4),

則方程〃力=2+4的解集為{4,16}.

故答案為：{4,16}.

11.②③.

【分析】

①10罐可樂有10個可樂空罐，第一次可換3罐可樂還剩1個空罐，第二次可換1罐可樂還剩2

個空罐，由此算出最多可飲用的可樂罐數(shù)；

②：先分析購買66罐可樂的情況，再分析購買67罐可樂的情況，由此確定出至少需要購買

的可樂罐數(shù)；

③：先分析購買1到9罐可樂分別可飲用多少罐可樂以及剩余空罐數(shù)，然后得到規(guī)律，再分

奇偶罐數(shù)對所得到的規(guī)律進(jìn)行整理，由此計算出/(〃)的結(jié)果.

【詳解】

①：購買10罐可樂時，第一次可換3罐還剩1個空罐，第二次可換1罐還剩2個空罐，所以最

答案第13頁，共21頁

多可飲用10+3+1=14罐可樂，故錯誤；

②：購買66罐時，第一次可換22罐可樂，第二次可換7罐可樂還剩1個空罐，

第三次可換2罐可樂還剩2個空罐，第四次可換1罐可樂還剩2個空罐，所以一共可飲用

66+22+7+2+1=98罐；

購買67罐時，第一次可換22罐可樂還剩I個空罐，第二次可換7瓶可樂還剩2個空罐，

第三次可換3罐可樂，第四次可換1罐可樂還剩1個空罐，所以一共可飲用

67+22+7+3+1=100罐；

所以至少需要購買67罐可樂，故正確；

③：購買1到9罐可樂分別可飲用可樂罐數(shù)以及剩余空罐數(shù)如下表所示：

購買數(shù)飲用數(shù)剩余空罐數(shù)

111

222

341

452

571

682

7101

8112

9131

由表可知如下規(guī)律：

(1)當(dāng)購買的可樂罐數(shù)為奇數(shù)時，此時剩余空罐數(shù)為1,當(dāng)購買的可樂罐數(shù)為偶數(shù)時，此時

剩余的空罐數(shù)為2；

(2)實際飲用數(shù)不是3的倍數(shù)；

(3)每多買2罐可樂，可多飲用3罐可樂，

(4)實際飲用的可樂罐數(shù)要比購買的可樂罐數(shù)的1.5倍少0.5或1；

設(shè)購買了〃罐可樂，實際可飲用的可樂罐數(shù)為了(〃)，

答案第14頁，共21頁

3〃]

3m-2(n=2ni-l,meN']~~(?=2m-\,meNj

所以，(")=/，即〃〃)=?。，即

3mT(〃=2〃?,〃?eN)=2肛mwN*)

n—\/

〃+n=2m-l/nwN")

/(?)=,

n-2/

/?+n=2m,mwN')

又因為F，q可看作一，即不大于?的最大整數(shù)，所以/(〃)=〃+等成立,

故正確;

故答案為：②③.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛:解答本題時，一方面需要通過具體購買的可樂罐數(shù)去分析實際飲用的可樂罐數(shù),

另一方面需要對實際的購買情況進(jìn)行歸納，由此得到購買的可樂罐數(shù)與實際飲用的可樂罐數(shù)

的關(guān)系，從而解決問題.

⑵(；，l)u(l，+8)

【分析】

若此函數(shù)的“友好點對”有且只有一對，則等價為函數(shù)/(x)=log〃x,(x>0)與y=-|x-2|,

(0<x<4),只有一個交點，作出兩個函數(shù)的圖象如圖，然后分。>1和0<。<1兩種情況討論

即可

【詳解】

當(dāng)TWO時，函數(shù)y=|x+2]關(guān)于原點對稱的函數(shù)為—y=|—x+2],即y=—|x—2],(0<x44),

若此函數(shù)的“友好點對”有且只有一對,

則等價為函數(shù)/(x)=log〃x,(尤>0)與y=—|x-2|,(0<x<4),只有一個交點，作出兩個函

數(shù)的圖象如圖:

若a>l,則〃x)=log,X,(x>0)與y=-|x-2|,(0<xW4),只有一個交點，滿足條件,

當(dāng)x=4時，j=-|4-2|=-2,若0<”1,

要使兩個函數(shù)只有一個交點，則滿足〃4)<—2,Bpiog?4<-2=loga-4w^<4,

得a〈一;或a〉；，vO<a<l,綜上;<a<l或々>1,

答案第15頁，共21頁

即實數(shù)a的取值范圍是［；,l］u(l，+8),

故答案為：G，I)U(I,+8).

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)的對稱性，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為對稱函

數(shù)的相交問題，利用函數(shù)圖像求解，考查分類討論思想，有一定的難度

13.(1)或二:⑵①在區(qū)間(0,+?)上單調(diào)遞增；②2&+3＜心日.

【分析】

(1)由圖象關(guān)于原點對稱知：〃T)+〃X)=O,結(jié)合函數(shù)解析式可得=1即可

求參數(shù).

(2)由已知得/(x)=ln：W，①y=/(e')為"1-高，g(r)=lnr的構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，

由它們在(0,+?)上均單調(diào)遞增，即知y=.f(e')的單調(diào)性；②由①整理方程得k=e'(e'+l)

ex-1

在區(qū)間(O』n4］上有兩個不同的解，令〃=/_］,〃€(0,3］有％=〃+,3,結(jié)合基本不等式

求其最值，進(jìn)而確定&的取值范圍.

【詳解】

(1)由題意知：〃-尤)+/(x)=0,整理得儂('x+匕S-I1=0,即

x-\X+1

(a-蛾V-6=爐-1,對于定義域內(nèi)任意x都成立,

答案第16頁，共21頁

（"力=1a=2a=-2

,解得b=I或

b2=\b=-\

\ci=z

⑵由。>。知：k=1

由ekg⑺=lnt在(0,+?)上均單調(diào)遞增,

y=f(e')在區(qū)間(0,+?)上的單調(diào)遞增.

②由①知In巴]一x+lnZ=O,可得In吐Llnd+ln%=0,即左=￡｛上）在區(qū)間（0,ln4]

xx

e+le'+le

上有兩個不同的解，令“=e=l,(0,3］

...卜=e'(e'+l)=("+1("+2)=〃+2+3N2,號+3=20+3當(dāng)且僅當(dāng)〃=0時等號成立,

e*-1uu\u

而％="+*2+3在((),&［上遞減，在［也3］上遞增，且〃=3時4=7與0.

u3

?.2^+3<fc<—.

3

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：

(1)利用函數(shù)的對稱性，結(jié)合解析式列方程求參數(shù)值；

(2)根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成判斷單調(diào)性，應(yīng)用參變分離、換元思想，將方程轉(zhuǎn)化為

k="+2+3在“?0,3］上存在不同的“對應(yīng)相同的女值，求參數(shù)范圍.

14.

(1)卜55196x1.022’

(2)①24；②不能；理由見解析

【分析】

(1)由題意得67207=55196/，，兩邊取自然對數(shù)化筒計算可求得"，從而可求得①式的人

口增長模型，

答案第17頁，共21頁

…f(k)600左+13600600(上一1)+13600

(2)①由音可得------不一<-~~/了一，化簡計算得%>23.8,從而

f(I)%e%e(?"

可求出正整數(shù)%的最小值，

②由①當(dāng)&>23.8時，〃由</依-1),所以當(dāng)發(fā)>23時,/(由最大,計算”23)。0.301,

從而得0.301x1000=301<400,進(jìn)而可得結(jié)論

(1)

由題意可得%=55196,則67207=55196e",In67207=In(55196^,r)=ln55196+9r,

所以9r=ln67207—ln55196=9x0.02188,所以r=0.02188,

所以y=55196e3.3s55196x1.022'.

(2)

①由f(k扃)<1,得管/)、<〃/i)、，所600k+13600以600(^-1)+13600，

化簡得600〃+13600<(60(U+13000)，，即600k+13600<(600火+13000)x1.022,解得

0.132女>3.14,%>23.8因為火為正整數(shù)，所以正整數(shù)k的最小值為24,

②由①當(dāng)%>23.8時，/(*)</(*-1),所以當(dāng)女>23時，f(k)最大,

600x23+13600600x23+1360027400

"23)=比0.301,gp0.301x1000=301<4(X),

55196xl.0222391050

所以按此模型，我國年人均糧食占有量不能達(dá)到400千克.

15.(1)“X)在區(qū)間(0,+功上單調(diào)遞增，在區(qū)間(F,0)上單調(diào)遞減；(2)a=g.

【分析】

(1)易知函數(shù)的定義域為R,容易證明函數(shù)是一個偶函數(shù)，，先探討函數(shù)在(0,+8)上的單

調(diào)性，再根據(jù)偶函數(shù)的特征得到函數(shù)在(—,0)上的單調(diào)性.

(2)根據(jù)題意可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)g(x)向左平移一個單位后是偶函數(shù)(定義為力(力)，現(xiàn)在考慮

函數(shù)/?(x)只有一個零點即可，???函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，.??唯一的零點必然在40處，

解得即可.

【詳解】

(1)“X)的定義域為(F，m),對任意的X,有/(f)=ef+e'=/(x),

答案第18頁,共21頁

所以函數(shù)〃x)=e、+為偶函數(shù).

先考慮了(X)在(口，伊)上的單調(diào)性：

e(O,M),且“<X2，

有f(xj_f(%)=(e，+e』)_(W+ef)=(e'y)+(e』-e』)

由工2>』>0,得e*—e-vO,eX|+X2>1,ef+傳>0,于是〃與)一/(毛)<°，

即〃芭)</(々)，所以〃x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

又因為f(x)是偶函數(shù)，所以〃x)在(—,0)上單調(diào)遞減.

綜上所述，/(x)在區(qū)間(0,”)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(—,0)上單調(diào)遞減.

(2)因為g(x)=x2_2x+a(e*T+eTM)

=(x-l)2+a[e,-|+e'(x-1)]-l

將g(x)的圖像向左平移1個單位得至1」/7(耳=丁+。卜，+葭)-1,

對任意的xeR,有MT)=MX)，故Mx)是偶函數(shù).

要使g(x)有唯一零點，即/?(x)有唯一零點，而從”的圖像關(guān)于y軸對稱，

故"(0)=0,求得”=g.

由(1)可知，當(dāng)a=g時，力⑺在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，在(3,0)上單調(diào)遞減，又包0)=0,

故可知Mx)有唯一零點0,符合題意，故〃=；.

16.(1)證明見解析；(2)；(3)as(-00-1)0(-1,1).

【分析】

(1)根據(jù)單調(diào)性的定義，先設(shè)自變量加三并給定大小關(guān)系，再根據(jù)/(百)-/(々)與0的大