高中數(shù)學選修21課時達標訓練（十三）圓錐曲線的統(tǒng)一定義

課時跟蹤訓練(十三)圓錐曲線的統(tǒng)一定義1．雙曲線2x2－y2＝－16的準線方程為________．2．設P是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一點，M，N分別是兩圓：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的點，則PM＋PN的最小值、最大值分別為________________．3．到直線y＝－4的距離與到A(0，－2)的距離的比值為eq\r(2)的點M的軌跡方程為________．4．(福建高考)橢圓Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝eq\r(3)(x＋c)與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________．5．已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1內部的一點為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,3)))，F(xiàn)為右焦點，M為橢圓上一動點，則MA＋eq\r(2)MF的最小值為________．6．已知橢圓eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1上有一點P，到其左、右兩焦點距離之比為1∶3，求點P到兩準線的距離及點P的坐標．7．已知平面內的動點P到定直線l：x＝2eq\r(2)的距離與點P到定點F(eq\r(2)，0)之比為eq\r(2).(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)若點N為軌跡C上任意一點(不在x軸上)，過原點O作直線AB，交(1)中軌跡C于點A、B，且直線AN、BN的斜率都存在，分別為k1、k2，問k1·k2是否為定值？8．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是左支上一點，P到左準線的距離為d，雙曲線的一條漸近線為y＝eq\r(3)x，問是否存在點P，使d、PF1、PF2成等比數(shù)列？若存在，則求出P的坐標，若不存在，說明理由．答案1．解析：原方程可化為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,8)＝1.∵a2＝16，c2＝a2＋b2＝16＋8＝24，∴c＝2eq\r(6).∴準線方程為y＝±eq\f(a2,c)＝±eq\f(16,2\r(6))＝±eq\f(4\r(6),3).答案：y＝±eq\f(4\r(6),3)2．解析：PM＋PN最大值為PF1＋1＋PF2＋1＝12，最小值為PF1－1＋PF2－1＝8.答案：8,123．解析：設M(x，y)，由題意得eq\f(|y＋4|,\r(x2＋y＋22))＝eq\r(2).化簡得eq\f(y2,8)＋eq\f(x2,4)＝1.答案：eq\f(y2,8)＋eq\f(x2,4)＝14．解析：直線y＝eq\r(3)(x＋c)過點F1(－c,0)，且傾斜角為60°，所以∠MF1F2＝60°，從而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，MF1＝c，MF2＝eq\r(3)c，所以該橢圓的離心率e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2c,c＋\r(3)c)＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－15．解析：設M到右準線的距離為d，由圓錐曲線定義知eq\f(MF,d)＝eq\f(\r(2),2)，右準線方程為x＝eq\f(a2,c)＝2eq\r(2).∴d＝eq\r(2)MF.∴MA＋eq\r(2)MF＝MA＋d.由A向右準線作垂線，垂線段長即為MA＋d的最小值，∴MA＋d≥2eq\r(2)－1.答案：2eq\r(2)－16．解：設P(x，y)，左、右焦點分別為F1、F2.由已知的橢圓方程可得a＝10，b＝6，c＝8，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，準線方程為x＝±eq\f(25,2).∵PF1＋PF2＝2a＝20，且PF1∶PF2＝1∶3，∴PF1＝5，PF2＝15.設P到兩準線的距離分別為d1、d2，則由eq\f(PF1,d1)＝eq\f(PF2,d2)＝e＝eq\f(4,5)，得d1＝eq\f(25,4)，d2＝eq\f(75,4).∴x＋eq\f(a2,c)＝x＋eq\f(25,2)＝eq\f(25,4)，∴x＝－eq\f(25,4).代入橢圓方程，得y＝±eq\f(3\r(39),4).∴點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，\f(3\r(39),4)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，－\f(3\r(39),4))).7．解：(1)設點P(x，y)，依題意，有eq\f(\r(x－\r(2)2＋y2),|x－2\r(2)|)＝eq\f(\r(2),2).整理，得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.所以動點P的軌跡C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由題意，設N(x1，y1)，A(x2，y2)，則B(－x2，－y2)，eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),4)＋eq\f(y\o\al(2,2),2)＝1.k1·k2＝eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2))＝eq\f(2－\f(1,2)x\o\al(2,1)－2＋\f(1,2)x\o\al(2,2),x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2))＝－eq\f(1,2)，為定值．8．解：假設存在點P，設P(x，y)．∵雙曲線的一條漸近線為y＝eq\r(3)x，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，b2＝3a2，c2－a2＝3a2.∴eq\f(c,a)＝2.若d、PF1、PF2成等比數(shù)列，則eq\f(PF2,PF1)＝eq\f(PF1,d)＝2，PF2＝2PF1.①又∵雙曲線的準線為x＝±eq\f(a2,c)，∴PF1＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x0＋2·\f(a2,c)))＝|2x0＋a|，PF2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x0－2·\f(a2,c)))＝|2x0－a|.又∵點P是雙曲線左支上的點，∴PF1＝－2x0－a，PF2＝－2x0＋a.代入①得－2x0＋a＝2(－2x0－a)，x0