高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題9.1直線與直線方程(知識(shí)點(diǎn)講解)(原卷版+解析)VIP

專題9.1直線與直線方程（知識(shí)點(diǎn)講解）【知識(shí)框架】【核心素養(yǎng)】（1）通過(guò)考查直線的斜率與傾斜角、考查直線方程的幾種形式，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．（2）通過(guò)考查兩直線的平行與垂直的判斷、兩直線的平行與垂直的條件的應(yīng)用、考查與充要條件、基本不等式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等相結(jié)合，以及考查直線與圓、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)應(yīng)用的核心素養(yǎng)．【知識(shí)點(diǎn)展示】知識(shí)點(diǎn)1．直線的傾斜角與斜率1．直線的傾斜角①定義．當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸的正方向與直線l向上的方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.②范圍：傾斜角的范圍為．2．直線的斜率①定義．一條直線的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即，傾斜角是90°的直線沒(méi)有斜率．當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),,.②過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式為.3.每一條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線都存在斜率．傾斜角為90°的直線斜率不存在．4.直線的傾斜角、斜率k之間的大小變化關(guān)系：（1）當(dāng)時(shí)，越大，斜率越大；（2）當(dāng)時(shí)，越大，斜率越大.知識(shí)點(diǎn)2．直線的方程1.直線的點(diǎn)斜式方程：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為，則直線的方程為：.這個(gè)方程就叫做直線點(diǎn)斜式方程.特別地，直線過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為：.這個(gè)方程叫做直線的斜截式方程.2.直線的兩點(diǎn)式方程直線過(guò)兩點(diǎn)其中，則直線的方程為：.這個(gè)方程叫做直線的兩點(diǎn)式方程.當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，所以直線方程為：；當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，直線方程為：.特別地，若直線過(guò)兩點(diǎn)，則直線的方程為：，這個(gè)方程叫做直線的截距式方程.3.直線的一般式方程關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）叫做直線的一般式方程.由一般式方程可得，B不為0時(shí)，斜率，截距.知識(shí)點(diǎn)3．兩條直線平行與垂直1．兩直線的平行關(guān)系(1)對(duì)于兩條不重合的直線，其斜率為，有.(2)對(duì)于兩條直線，有.2．兩條直線的垂直關(guān)系(1)對(duì)于兩條直線，其斜率為，有.(2)對(duì)于兩條直線，有.知識(shí)點(diǎn)4．距離問(wèn)題1．兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)兩點(diǎn)，則.2．點(diǎn)到直線的距離公式設(shè)點(diǎn)，直線，則點(diǎn)到直線的距離.3．兩平行線間的距離公式設(shè)兩條平行直線，則這兩條平行線之間的距離.知識(shí)點(diǎn)5．兩條直線的交點(diǎn)1.兩條直線相交：對(duì)于兩條直線，若，則方程組有唯一解，兩條直線就相交，方程組的解就是交點(diǎn)的坐標(biāo).2.兩條直線，聯(lián)立方程組，若方程組有無(wú)數(shù)組解，則重合．知識(shí)點(diǎn)6．對(duì)稱問(wèn)題1.中點(diǎn)坐標(biāo)公式2．兩條直線的垂直關(guān)系(1)對(duì)于兩條直線，其斜率為，有.(2)對(duì)于兩條直線，有.【?？碱}型剖析】題型一：直線的傾斜角與斜率例1.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線的傾斜角為（

）A． B． C．1 D．例2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．例3.（2023·北京·高考真題）為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為，用的大小評(píng)價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.給出下列四個(gè)結(jié)論：①在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；③在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；④甲企業(yè)在這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________________．【規(guī)律方法】1.求直線的斜率與傾斜角.若已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則直接利用斜率公式求斜率；若條件中給出一條直線，則求出直線上的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用斜率公式求斜率.求直線的傾斜角，則先求出直線的斜率，再利用求傾斜角.2.求直線的斜率與傾斜角的范圍.若斜率k是含參數(shù)的一個(gè)式子，則利用函數(shù)或不等式的方法求其范圍；若是給出圖形求斜率與傾斜角的范圍，則采用數(shù)開(kāi)結(jié)合的方法求其范圍．3.從高考題看，對(duì)直線斜率的考查，越側(cè)重其應(yīng)用.題型二：直線的方程例4.(2023·山東·高考真題）如下圖，直線的方程是（

）A． B．C． D．例5.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程是（

）A． B．C． D．【規(guī)律方法】求直線方程的常用方法：1.直接法：根據(jù)已知條件靈活選用直線方程的形式，寫出方程．2.待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)求系數(shù)，最后代入求出直線方程．3.直線在x(y)軸上的截距是直線與x(y)軸交點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)，所以截距是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)，也可為0，而不是距離．4.從高考命題看，側(cè)重于直線與圓、直線與圓錐曲線位置關(guān)系的考查.題型三：兩條直線平行與垂直例6.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“”是“直線與直線垂直”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件例7.（2023·臺(tái)州市書生中學(xué)高二期中）已知直線：，直線：，若，則_________若，則________【易錯(cuò)提醒】當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件．題型四：距離問(wèn)題例8.（2023·江蘇高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是曲線y=x+4x(x>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x例9.(2023·上?！じ呖颊骖}（文））已知平行直線，則的距離是_______________.【規(guī)律方法】?jī)煞N距離的求解思路(1)點(diǎn)到直線的距離的求法可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式．(2)兩平行線間的距離的求法①利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離．②利用兩平行線間的距離公式(利用公式前需把兩平行線方程中x，y的系數(shù)化為相同的形式)．題型五：兩條直線的交點(diǎn)例10.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線，相交于點(diǎn)，其中.(1)求證：、分別過(guò)定點(diǎn)、，并求點(diǎn)、的坐標(biāo)；(2)當(dāng)為何值時(shí)，的面積取得最大值，并求出最大值.例11.（2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）求過(guò)直線和的交點(diǎn)P，且與直線垂直的直線l的方程.【規(guī)律方法】1.兩直線交點(diǎn)的求法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程聯(lián)立組成的方程組，得到的方程組的解，即交點(diǎn)的坐標(biāo)．2.求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這樣能簡(jiǎn)化解題過(guò)程．3.涉及兩直線的交點(diǎn)問(wèn)題，往往需借助于圖形，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，探索解題思路，這也是解析幾何中分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的重要特征.題型六：對(duì)稱問(wèn)題例12.（2023·山東高考真題）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是（）A． B．C． D．例13.（浙江·高考真題（理））直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是（）A． B．C． D．例14.（2023·河北高考模擬（理））設(shè)點(diǎn)為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，，則的最小值為（）A． B． C． D．【規(guī)律方法】涉及對(duì)稱問(wèn)題，主要有以下幾種情況：1．若點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)對(duì)稱點(diǎn)是，則線段的中點(diǎn)在直線上且直線，由此可得一方程組，解這個(gè)方程組得：的值，從而求得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).2．若直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由于對(duì)稱直線必與直線平行，故可設(shè)對(duì)稱直線為.因?yàn)橹本€間的距離是點(diǎn)到直線的距離的二倍，則有，解這個(gè)方程可得的值（注意這里求出的有兩個(gè)），再結(jié)合圖形可求得對(duì)稱直線的方程．3．若直線關(guān)于直線對(duì)稱，則在直線上取兩點(diǎn)，求出這兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式便可得直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的方程．4.中心對(duì)稱問(wèn)題的兩種類型及求解方法5.軸對(duì)稱問(wèn)題的兩種類型及求解方法點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)直線關(guān)于直線對(duì)稱①若直線與對(duì)稱軸平行，則在直線上取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后用點(diǎn)斜式求解．②若直線與對(duì)稱軸相交，則先求出交點(diǎn)，然后再取直線上一點(diǎn)，求該點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，最后由兩點(diǎn)式求解專題9.1直線與直線方程（知識(shí)點(diǎn)講解）【知識(shí)框架】【核心素養(yǎng)】（1）通過(guò)考查直線的斜率與傾斜角、考查直線方程的幾種形式，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．（2）通過(guò)考查兩直線的平行與垂直的判斷、兩直線的平行與垂直的條件的應(yīng)用、考查與充要條件、基本不等式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等相結(jié)合，以及考查直線與圓、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)應(yīng)用的核心素養(yǎng)．【知識(shí)點(diǎn)展示】知識(shí)點(diǎn)1．直線的傾斜角與斜率1．直線的傾斜角①定義．當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸的正方向與直線l向上的方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.②范圍：傾斜角的范圍為．2．直線的斜率①定義．一條直線的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即，傾斜角是90°的直線沒(méi)有斜率．當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),,.②過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式為.3.每一條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線都存在斜率．傾斜角為90°的直線斜率不存在．4.直線的傾斜角、斜率k之間的大小變化關(guān)系：（1）當(dāng)時(shí)，越大，斜率越大；（2）當(dāng)時(shí)，越大，斜率越大.知識(shí)點(diǎn)2．直線的方程1.直線的點(diǎn)斜式方程：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為，則直線的方程為：.這個(gè)方程就叫做直線點(diǎn)斜式方程.特別地，直線過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為：.這個(gè)方程叫做直線的斜截式方程.2.直線的兩點(diǎn)式方程直線過(guò)兩點(diǎn)其中，則直線的方程為：.這個(gè)方程叫做直線的兩點(diǎn)式方程.當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，所以直線方程為：；當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，直線方程為：.特別地，若直線過(guò)兩點(diǎn)，則直線的方程為：，這個(gè)方程叫做直線的截距式方程.3.直線的一般式方程關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）叫做直線的一般式方程.由一般式方程可得，B不為0時(shí)，斜率，截距.知識(shí)點(diǎn)3．兩條直線平行與垂直1．兩直線的平行關(guān)系(1)對(duì)于兩條不重合的直線，其斜率為，有.(2)對(duì)于兩條直線，有.2．兩條直線的垂直關(guān)系(1)對(duì)于兩條直線，其斜率為，有.(2)對(duì)于兩條直線，有.知識(shí)點(diǎn)4．距離問(wèn)題1．兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)兩點(diǎn)，則.2．點(diǎn)到直線的距離公式設(shè)點(diǎn)，直線，則點(diǎn)到直線的距離.3．兩平行線間的距離公式設(shè)兩條平行直線，則這兩條平行線之間的距離.知識(shí)點(diǎn)5．兩條直線的交點(diǎn)1.兩條直線相交：對(duì)于兩條直線，若，則方程組有唯一解，兩條直線就相交，方程組的解就是交點(diǎn)的坐標(biāo).2.兩條直線，聯(lián)立方程組，若方程組有無(wú)數(shù)組解，則重合．知識(shí)點(diǎn)6．對(duì)稱問(wèn)題1.中點(diǎn)坐標(biāo)公式2．兩條直線的垂直關(guān)系(1)對(duì)于兩條直線，其斜率為，有.(2)對(duì)于兩條直線，有.【常考題型剖析】題型一：直線的傾斜角與斜率例1.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線的傾斜角為（

）A． B． C．1 D．答案：A【解析】分析：利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.【詳解】過(guò)A、B的斜率為，則該直線的傾斜角為，故選：A．例2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．答案：A【解析】分析：直接由斜率的定義判斷即可.【詳解】由斜率的定義可知，.故選：A．例3.（2023·北京·高考真題）為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為，用的大小評(píng)價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.給出下列四個(gè)結(jié)論：①在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；③在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；④甲企業(yè)在這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________________．答案：①②③【解析】分析：根據(jù)定義逐一判斷，即可得到結(jié)果【詳解】表示區(qū)間端點(diǎn)連線斜率的負(fù)數(shù)，在這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；①正確；甲企業(yè)在這三段時(shí)間中，甲企業(yè)在這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率最小，其相反數(shù)最大，即在的污水治理能力最強(qiáng)．④錯(cuò)誤；在時(shí)刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②正確；在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水打標(biāo)排放量以下，所以都已達(dá)標(biāo)；③正確；故答案為：①②③【規(guī)律方法】1.求直線的斜率與傾斜角.若已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則直接利用斜率公式求斜率；若條件中給出一條直線，則求出直線上的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用斜率公式求斜率.求直線的傾斜角，則先求出直線的斜率，再利用求傾斜角.2.求直線的斜率與傾斜角的范圍.若斜率k是含參數(shù)的一個(gè)式子，則利用函數(shù)或不等式的方法求其范圍；若是給出圖形求斜率與傾斜角的范圍，則采用數(shù)開(kāi)結(jié)合的方法求其范圍．3.從高考題看，對(duì)直線斜率的考查，越側(cè)重其應(yīng)用.題型二：直線的方程例4.(2023·山東·高考真題）如下圖，直線的方程是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：由圖得到直線的傾斜角為30，進(jìn)而得到斜率，然后由直線與軸交點(diǎn)為求解.【詳解】由圖可得直線的傾斜角為30°，所以斜率，所以直線與軸的交點(diǎn)為，所以直線的點(diǎn)斜式方程可得：，即．故選：D例5.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】分析：利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可求解.【詳解】由題意可知，設(shè)所求直線的方程為，將點(diǎn)代入直線方程中，得，解得，所以所求直線的方程為，即.故選：B.【規(guī)律方法】求直線方程的常用方法：1.直接法：根據(jù)已知條件靈活選用直線方程的形式，寫出方程．2.待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)求系數(shù)，最后代入求出直線方程．3.直線在x(y)軸上的截距是直線與x(y)軸交點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)，所以截距是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)，也可為0，而不是距離．4.從高考命題看，側(cè)重于直線與圓、直線與圓錐曲線位置關(guān)系的考查.題型三：兩條直線平行與垂直例6.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“”是“直線與直線垂直”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件答案：B【解析】分析：由直線與直線垂直求出的值，再由充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】直線與直線垂直,則，解得：或，所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選：B.例7.（2023·臺(tái)州市書生中學(xué)高二期中）已知直線：，直線：，若，則_________若，則________答案：分析：根據(jù)直線平行和垂直得到的關(guān)系，再結(jié)合二倍角公式及弦化切得到答案.【詳解】若，則，此時(shí)，則兩條直線不重合，故；若，則，∴.故答案為：，.【易錯(cuò)提醒】當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件．題型四：距離問(wèn)題例8.（2023·江蘇高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是曲線y=x+4x(x>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x答案：4.【解析】當(dāng)直線x+y=0平移到與曲線y=x+4x相切位置時(shí)，切點(diǎn)Q即為點(diǎn)P到直線由y'=1?4x2即切點(diǎn)Q(2則切點(diǎn)Q到直線x+y=0的距離為2+3故答案為：4．例9.(2023·上?！じ呖颊骖}（文））已知平行直線，則的距離是_______________.答案：【解析】利用兩平行線間的距離公式得.【名師點(diǎn)睛】確定兩平行線間距離，關(guān)鍵是注意應(yīng)用公式的條件，即的系數(shù)必須相同，本題較為容易，主要考查考生的基本運(yùn)算能力.【規(guī)律方法】?jī)煞N距離的求解思路(1)點(diǎn)到直線的距離的求法可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式．(2)兩平行線間的距離的求法①利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離．②利用兩平行線間的距離公式(利用公式前需把兩平行線方程中x，y的系數(shù)化為相同的形式)．題型五：兩條直線的交點(diǎn)例10.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線，相交于點(diǎn)，其中.(1)求證：、分別過(guò)定點(diǎn)、，并求點(diǎn)、的坐標(biāo)；(2)當(dāng)為何值時(shí)，的面積取得最大值，并求出最大值.答案：(1)證明見(jiàn)解析，，(2)時(shí)，取得最大值【解析】分析：（1）在直線的方程中令可得出定點(diǎn)的坐標(biāo)，在直線的方程中令可得出定點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得出結(jié)論；（2）聯(lián)立直線、的方程，可求得兩直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出和，利用三角形的面積公式可計(jì)算出的表達(dá)式，由的表達(dá)式可求得的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值.（1）在直線的方程中，令可得，則直線過(guò)定點(diǎn)，在直線的方程中，令可得，則直線過(guò)定點(diǎn)；（2）聯(lián)立直線、的方程，解得，即點(diǎn).，，，所以，；且，因此，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即.例11.（2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）求過(guò)直線和的交點(diǎn)P，且與直線垂直的直線l的方程.答案：分析：解法一：先取得兩直線的交點(diǎn)，再根據(jù)與直線垂直求解；解法二：根據(jù)直線l垂直于直線，設(shè)直線l的方程為，再將.與的交點(diǎn)代入求解；解法三：根據(jù)直線l過(guò)與的交點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為，再根據(jù)與直線垂直求解.【詳解】解法一：由，解得直線的斜率為，直線的斜率為4.因此滿足條件的直線l的方程為：，即.解法二：直線l垂直于直線.設(shè)直線l的方程為.與的交點(diǎn)為，，解得從而.所以直線l的方程為.解法三：因?yàn)橹本€l過(guò)與的交點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為，即，與直線垂直，，解得.直線l的方程為.【規(guī)律方法】1.兩直線交點(diǎn)的求法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程聯(lián)立組成的方程組，得到的方程組的解，即交點(diǎn)的坐標(biāo)．2.求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這樣能簡(jiǎn)化解題過(guò)程．3.涉及兩直線的交點(diǎn)問(wèn)題，往往需借助于圖形，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，探索解題思路，這也是解析幾何中分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的重要特征.題型六：對(duì)稱問(wèn)題例12.（2023·山東高考真題）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是（）A． B．C． D．答案：D分析：設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入已知直線即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以即.故選：D.例13.（浙江·高考真題（理））直線關(guān)于直線對(duì)