2023年山東省日照市中考數(shù)學(xué)真題（解析版）

日照市2023年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題

（滿分120分，時間120分鐘）

注意事項：

1.本試題分第I卷和第n卷兩部分，共6頁.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自

己的姓名、準(zhǔn)考證號、座號等填寫在答題卡規(guī)定的位置上.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡

一并交回.

2.第I卷每小題選出答案后，必須用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，先用橡皮擦干凈，再改涂其它答案標(biāo)號.

3.第II卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)，在試卷

上答題不得分；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案.

第I卷（選擇題36分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的，請將符合題目要求選項的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上.

I.計算：2-（一3）的結(jié)果是（）

A.5B.1C.-lD.-5

【答案】A

【解析】

【分析】把減法化為加法，即可求解。

【詳解】解：2-（-3）=2+3=5,

故選A.

【點睛】本題主要考查有理數(shù)的減法運算，掌握有理數(shù)的減法法則是關(guān)鍵.

2.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.下列窗花作品既是軸對稱圖形又是

中心對稱圖形的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直

線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)18（）。，如果旋轉(zhuǎn)

后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心.

【詳解】解：A、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

B、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

故選A.

【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，熟知二者的定義是解題的關(guān)鍵.

3.芯片內(nèi)部有數(shù)以億計的晶體管，為追求更高質(zhì)量的芯片和更低的電力功耗，需要設(shè)計4積更小的晶體

管.目前，某品牌手機自主研發(fā)了最新型號芯片，其晶體管柵極的寬度為0.000000014米，將數(shù)據(jù)

0.000000014用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.4x10-8B.14xl（r7C.0.14x10-6D.1.4xl0-9

【答案】A

【解析】

【分析】科學(xué)計數(shù)法的記數(shù)形式為：axW，其中1＜同＜1（）,當(dāng)數(shù)值絕對值大于1時，〃是小數(shù)點向右移

動的位數(shù)；當(dāng)數(shù)值絕對值小于1時，〃是小數(shù)點向左移動的位數(shù)的相反數(shù).

【詳解】解：0.000000014=1.4x10^，

故選A.

【點睛】本題考查科學(xué)計數(shù)法，掌握科學(xué)計數(shù)法的記數(shù)形式是解題的關(guān)鍵.

4.如圖所示的幾何體的俯視圖可能是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案.

【詳解】解：從上邊看，是一個六邊形和圓形.

故選：C.

【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖是解題關(guān)鍵.

5.在數(shù)學(xué)活動課上，小明同學(xué)將含30°角的直角三角板的一個頂點按如圖方式放置在直尺上，測得

【答案】B

【解析】

(分析］根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖：

Z2=/BCD,

在一ABC中，ZBCE>=Z1+ZA,

NA=30°,

故N2=N8CE>=Nl+NA=230+30°=53。，

故選：B.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.下列計算正確的是()

A.a2-a3-a6B.(-2/M2)=-8/M6C.(X+^)2=x2+y2D.2ab+3a2b-5a3b2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)整式乘法運算法則及加法法則逐一判斷即可.

【詳解】A、。2.4=。5,故錯誤；

B、（一2W2，=一8機6,故正確；

C、（x+^）2=x2+2xy+y2,故錯誤;

D、2a氏34"不是同類項，不能合并，故錯誤；

故選：B.

【點睛】本題考查整式乘法與加法運算法則，熟記基本的運算法則是解題關(guān)鍵.

7.《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買雞，人出九，盈十一；人

出六，不足十六.問人數(shù)雞價各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出9錢，會多出11錢；每人出6錢，

又差16錢.問人數(shù)、買雞的錢數(shù)各是多少？設(shè)人數(shù)為x,可列方程為（）

A.9x+ll=6x+16B.9x-ll=6x-16C.9x+il=6x-16D.9x-\l=6x+16

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)人數(shù)為X，根據(jù)每人出9錢，會多出11錢，可得雞的價格為（9x-11）錢，根據(jù)每人出6錢，又

差16錢，可得雞的價格為（6x+l可錢，由此歹咄方程即可.

【詳解】解：設(shè)人數(shù)為X,

由題意得，9x-ll=6x+16，

故選D.

【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元一次方程，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

8.日照燈塔是日照海濱港口城市的標(biāo)志性建筑之一，主要為日照近海及進出日照港的船舶提供導(dǎo)航服

務(wù).數(shù)學(xué)小組的同學(xué)要測量燈塔的高度，如圖所示，在點B處測得燈塔最高點A的仰角NABZ）=45。，再

沿方向前進至C處測得最高點A的仰角NA8=60。，3c=15.3m,則燈塔的高度大約是

（）（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：6=1.73）

A.31mB.36mC.42mD.53m

【答案】B

【解析】

【分析】在RtAO3中，得出AT>=5D,設(shè)AO=x,則8D=x,CD=x-15.3,在RtADC中,

AJ~yjrr—

根據(jù)正切得出tanZACD=——=----------=V3,求解即可得出答案.

CDx-15.3

【詳解】解：在RjADB中，ZABD=45。,

AD-BD>

設(shè)=則8￡>=x,C0=x—15.3,

在RLAD。中，ZAC￡>=60°,

AD_

tanZACD5

CDx-15.3

.?.x?36,

燈塔的高度AD大約是36m.

故選：B.

【點睛】本題考查了解直角三角形中的仰俯角問題，解題的關(guān)鍵是弄清有關(guān)的直角三角形中的有關(guān)角的度

數(shù).

9.已知直角三角形的三邊滿足c>a>b,分別以為邊作三個正方形，把兩個較小的正方形放

置在最大正方形內(nèi)，如圖，設(shè)三個正方形無重疊部分的面積為5,均重疊部分的面積為S2,則（）

C.S、=s2D.大小無法確定

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由勾股定理可得/+〃=。2,易得。2_儲=〃，然后用a,4C分別表示5和邑，即

可獲得答案.

【詳解】解：如下圖,

為直角三角形的三邊，且。>〃>從

cr+h2-c2，

c2-a2-b2，

S]=(c2-a2)-b(c-a~)=b~-b(c-a)=b[a+b-c),

S2-h[b-(c—a)]=h(a-vb-c),

=

?*.S]S2?

故選：c.

【點睛】本題主要考查了勾股定理以及整式運算，結(jié)合題意正確表示出S］和S?是解題關(guān)鍵.

Y3/71

10.若關(guān)于X方程一--2=解為正數(shù)，則加的取值范圍是（）

x—12x—2

24242

A.m>——B.m<—C.m>——且加工0D./〃<一且mw-

33333

【答案】D

【解析】

4—37774—3/72

【分析】將分式方程化為整式方程解得了=------,根據(jù)方程的解是正數(shù)，可得------->0,即可求出〃?

22

的取值范圍.

2_

【詳解】解:x3m

x—12x—2

2x-2x2(x-l)=3m

2x—4x+4=3m

—2x=3m—4

4-3m

x=-----

2

x

?.?方程---2=-^的解為正數(shù)，且分母不等于0

x-12x—2

4-3m-4-3/zi,

>0,x=

2----------2

42

：.m<—,且機w一

33

故選：D.

【點睛】此題考查了解分式方程，根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解不等式，將方程化為整式方程求出

整式方程的解，列出不等式是解答此類問題的關(guān)鍵.

,[3a+b>0

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ar+法（。工0）,滿足〈八，已知點（一3,加），

（2,〃），（4/）在該拋物線上，則〃?，〃，f的大小關(guān)系為（）

A.t<n<mB.m<t<nC,n<t<mD.n<m<t

【答案】D

【解析】

【分析】利用解不等式組可得一3a<b<—a且。>（）,即可判斷二次函數(shù)的對稱軸位置，再利用函數(shù)的增減

性判斷即可解題.

【詳解】解不等式組可得：-3a<b<-a,且a〉0

所以對稱軸x=—2的取值范圍在,

2a22

由對稱軸位置可知到對稱軸的距離最近的是（2,〃），其次是（4,/）,最遠(yuǎn)的是（-3,加），

即根據(jù)增減性可得〃<m<f,

故選D.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，求不等組的解集，掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.數(shù)學(xué)家高斯推動了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，被數(shù)學(xué)界譽為“數(shù)學(xué)王子”，據(jù)傳，他在計算

1+2+3+4++100時，用到了一種方法，將首尾兩個數(shù)相加，進而得到

1+2+3+4++100=10（）><（1+10（））.人們借助于這樣的方法，得至iJl+2+3+4+-+〃=〃（*）

22

（〃是正整數(shù)）.有下列問題，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點4G,y）,其中

2=1,2,3,,n,,且是整數(shù).記q=x“+y”，如4(0,0),即q=0,4(l,0),即

4=1，4（1，-1），即％=°，，以此類推.則下列結(jié)論正確的是（）

A.4。23=40B.。24=43C.%"切=2"-6D.a（2n_1）2=2n-4

【答案】B

【解析】

【分析】利用圖形尋找規(guī)律A（2“T）2（〃—再利用規(guī)律解題即可.

【詳解】解：第1圈有1個點，即A（0,0），這時4=0；

第2圈有8個點，即4到4（1,1）；

第3圈有16個點,即Ao到&（2,2）,；

依次類推，第〃圈，A（2“T/（〃——1）；

由規(guī)律可知：%23是在第23圈上，且A202s（22,22）,則402a（20,22）即%023=2。+22=42,故A選

項不正確；

A2024是在第23圈上，且怎24（21,22）,即々024=21+22=43,故B選項正確；

第〃圈，A（2,if（〃-1，〃-1），所以a（2"-i）2=2"-2,故c、D選項不正確；

故選B.

【點睛】本題考查圖形與規(guī)律，利用所給的圖形找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

第n卷（非選擇題84分）

二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分.不需寫出解答過程，請將答案直接寫在

答題卡相應(yīng)位置上.

13.分解因式：a,b-ab=.

【答案】成（。-1乂。+1）

【解析】

【分析】根據(jù)提取公因式法和平方差公式，即可分解因式.

【詳解】cc'b-ab-ab(a2=ab(a+l)(tz-l),

故答案是：必(a+l)(a-l).

【點睛】本題主要考查提取公因式法和平方差公式，掌握平方差公式，是解題的關(guān)鍵.

14.若點M(m+3,加-1)在第四象限，則，"的取值范圍是.

【答案】一篦＞一3

【解析】

【分析】根據(jù)第四象限的點橫坐標(biāo)為正，縱坐標(biāo)為負(fù)進行求解即可。

【詳解】解：?.?點M(機+3,加一1)在第四象限，

[771+3＞0

《，

771—1＜0

解得一3cm＜1,

故答案為：-3＜?。?。

【點睛】本題主要考查了根據(jù)點所在的象限求參數(shù)，解一元一次不等式組，熟知第四象限內(nèi)點的符號特點

是解題的關(guān)鍵。

15.已知反比例函數(shù)丁=----(%＞1且左式2)的圖象與一次函數(shù)y=-7x+Z?的圖象共有兩個交點，

且兩交點橫坐標(biāo)的乘積再?々＞0,請寫出一個滿足條件的k值.

【答案】1.5(滿足1＜女＜2都可以)

【解析】

【分析】先判斷出一次函數(shù)y=-7x+b的圖象必定經(jīng)過第二、四象限，再根據(jù)判斷出反比例函

數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象的兩個交點在同一象限，從而可以得到反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，即

6-3攵＞0,最終選取一個滿足條件的值即可.

【詳解】解：-7＜0,

???一次函數(shù)y=-7x+h的圖象必定經(jīng)過第二、四象限，

%1?x2＞0,

???反比例函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象的兩個交點在同一象限,

6—3左

；?反比例函數(shù)反比例函數(shù)丁=——（左>1且左中2）的函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限，

x

6—3k>0,

，滿足條件的左值可以為1.5,

故答案為：1.5（滿足1<%<2都可以）.

【點睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)斗?￡〉。判斷出反比例函數(shù)圖象

和一次函數(shù)圖象的兩個交點在同一象限.

16.如圖，矩形ABC。中，AB=6,AD=8,點P在對角線5。上，過點尸作肱V_LBD,交邊

AD,3c于點/，N,過點M作“E_LAZ）交8。于點E，連接EN,BM,DN.下列結(jié)論：①

96

EM=EN；②四邊形的面積不變；③當(dāng)AM:MD=1:2時，S=—；④

AMPE25

3M+MN+ND的最小值是20.其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一可知MP=PN,可以判斷①；利用相似和勾股定理可以得出

30=10,MN==,,利用S四邊形（^皿二:阿乂⑶力判斷②；根據(jù)相似可以得到&至=（世］，判

22

SDAB\BD）

斷③；利用將軍飲馬問題求出最小值判斷④.

【詳解】解：：￡M=EN,MN工BD,

；.MP=PN,

在點P移動過程中，不一定MP=PN,

相矛盾，

故①不正確；

AMD

BpNC

延長ME交8c于點巴

則ABPA/為矩形，

BD=VAF+AD7=V62+82=10

VMEI.AD，MN工BD,

：.ZMED+ZMDE=ZMEP+ZEMN=90°,

，AMDE=NEMN,

：.-MPNSQAB,

.MP_PN_MN

,ADABBD

,6PNMN

即一=

8610

915

解得：PN=~,MN=—,

22

???S四邊形MBND=SBMN+SDMN=；MN又BP+；MNxDP=gMNxBD=gx^xl0=個

故②正確；

MEAB,

DMES&DAB,

.MEMD2

?(-—,

ABAD3

:.ME=4,

VZMDE^ZEMN,ZMPE=ZA=90。，

；?,MPEs^DAB，

.SMPE(ME\4

?'SDAB\BD)25,

44196

JSMPE=—SDAB=-X~X^X^=—^

乙J乙，乙乙。

故③正確，

BM+MN+ND^BM+ND+—,

2

即當(dāng)MB+NO最小時，3M+M?V+NZ）的最小值，作8、。關(guān)于A￡＞、3c的對稱點4、R,

9

把圖1中的CR向上平移到圖2位置，使得CD=],連接4A，即旦A為MB+M）的最小值，則

7

AC=BDl=-,BB]=12,

這時BR=dBD*BB；=（五+122=，

即BM+MN+ND的最小值是20,

故④正確；

故答案為：②③④

A

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

三、解答題：本題共6個小題，滿分72分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要

的文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(1)化簡：我一卜一0|+2-2—2xsin45°；

fir.\1

x-2x—l其中x=一‘.

（2）先化簡，再求值:---------XH-----------

、％-2)X2-4X+42

【答案】（1）—；（2）2（x-2）,—5

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平方根，絕對值，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，特殊角的三角函數(shù)，實數(shù)的混合運算法則進行計算即可;

（2）根據(jù)分式的性質(zhì)進行化簡，再將％=-，代入求解即可.

2

【詳解】⑴解：^-|l-V2|+2-2-2xsin45°

=20一(0一1)+；一2*4

2V2-V2+1+--V2

4

5

4

X2-2X—1

(2)解:---------X

x-2x2-4x+4

2

%-2x(x-2)、x-1

x—2x—2,[I)?

x2-2x(x-2)'x-1

x—2x—2)lx")?

_x2-2-x2+2x(X-2)2

x-2x-l

^2(x-l)(x-2)2

x-2x-l

=2(x—2)

將X=-g代入可得，原式=2x1-g—2

=—1—4=—5.

【點睛】本題考查了平方根，絕對值，負(fù)整數(shù)指數(shù)基，特殊角的三角函數(shù)，實數(shù)的混合運算法則，分式的化

簡求值等，熟練掌握以上運算法則是解題的關(guān)鍵.

18.2023年3月22日至28日是第三十屆“中國水周”，某學(xué)校組織開展主題為“節(jié)約用水，共護母親

河”的社會實踐活動.A小組在甲，乙兩個小區(qū)各隨機抽取30戶居民，統(tǒng)計其3月份用水量，分別將兩個

小區(qū)居民的用水量x(m3)分為5組，第一組：5<x<7,第二組：7Wx<9,第三組：9Kx<11,第

四組：114尤<13,第五組：13Wx<15,并對數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析，得到如下信息：

信息一：

甲小區(qū)3月份用水量頻數(shù)分布表

用水量(x/m)頻數(shù)(戶)

5<x<74

7<x<99

9Vx<1110

ll<x<135

13<x<152

乙小區(qū)3月份用水量頻數(shù)分布直方圖

15用水量/n?

信息二：甲、乙兩小區(qū)3月份用水量數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)如下:

甲小區(qū)乙小區(qū)

平均數(shù)9.09.1

中位數(shù)9.2a

信息三：乙小區(qū)3月份用水量在第三組的數(shù)據(jù)為:9,9.2,9.4,9.5,9.6,9.7,10,10.3,3.4,10.6.

根據(jù)以上信息，回答下列問題:

(1)a=_______

(2)在甲小區(qū)抽取的用戶中，3月份用水量低于本小區(qū)平均用水量的戶數(shù)所占百分比為乙，在乙小區(qū)抽取

的用戶中，3月份用水量低于本小區(qū)平均用水量的戶數(shù)所占百分比為打，比較4，大小，并說明理由;

（3）若甲小區(qū)共有600戶居民，乙小區(qū)共有750戶居民，估計兩個小區(qū)3月份用水量不低于13m3的總戶

數(shù)；

（4）因任務(wù)安排，需在8小組和C小組分別隨機抽取1名同學(xué)加入A小組，已知B小組有3名男生和1

名女生，C小組有2名男生和2名女生，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的兩名同學(xué)都是男生的概

率.

【答案】（1）9.1

（2）%理由見解析

（3）甲小區(qū)有40戶，乙小區(qū)有50戶

（4）-

8

【解析】

【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義進行計算即可；

（2）根據(jù)題意分別求出3月份用水量低于平均數(shù)的戶數(shù)，再計算進行比較即可；

（3）用總戶數(shù)乘以不低于13m3所占的比例即可求解；

（4）畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩名同學(xué)都是男生的結(jié)果有8種，再由概率公式求解

即可.

【小問1詳解】

解：：隨機抽取了30戶居民，

故中位數(shù)是數(shù)據(jù)從小到大排列的第15個和第16個的平均數(shù)；

根據(jù)條形統(tǒng)計圖可知：用水量在5Wx<7的有3戶，用水量在7Wx<9的有11戶，用水量在9Wx<ll

的有10戶，用水量在114x<13的有4戶，用水量在13Wx<15的有2戶，故中位數(shù)是在第三組中，且

是第三組中第1個和第2個的平均數(shù)，

?.?乙小區(qū)3月份用水量在第三組的數(shù)據(jù)為:9,9.2,9.4,9.5,9.6,9.7,10,10.3,10.4,10.6.

二乙小區(qū)3月份用水量的中位數(shù)9是+9"空2=9」；

2

故答案為：9.1.

【小問2詳解】

解：在甲小區(qū)抽取的用戶中，3月份用水量的平均數(shù)為：9.0；

低于本小區(qū)平均用水量的戶數(shù)為4+9=13（戶），

13

故在甲小區(qū)抽取用戶中，3月份用水量低于本小區(qū)平均用水量的戶數(shù)所占百分比為一六43.3%,即

a=43.3%；

在乙小區(qū)抽取的用戶中，3月份用水量的平均數(shù)為：9.1；

低于本小區(qū)平均用水量的戶數(shù)為3+11+1=15（戶），

故在乙小區(qū)抽取的用戶中，3月份用水量低于本小區(qū)平均用水量的戶數(shù)所占百分比為"=50%,即

30

2=50%；

50%>43.3%,

故打>仄.

【小問3詳解】

2

解：甲小區(qū)3月份用水量不低于13m3的總戶數(shù)為600x.=40（戶），

2

乙小區(qū)3月份用水量不低于13m3的總戶數(shù)為750x.=50（戶），

即甲小區(qū)3月份用水量不低于13m3的總戶數(shù)有40戶，乙小區(qū)3月份用水量不低于13m的總戶數(shù)有50

戶.

【小問4詳解】

解：畫樹狀圖如圖：

共有16種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩名同學(xué)都是男生的結(jié)果有6種，

...抽取的兩名同學(xué)都是男生的概率為9=3.

168

【點睛】本題考查了用樹狀圖法求概率，中位數(shù)，條形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體等，樹狀圖法可以不重復(fù)

不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)

與總情況數(shù)之比.

19.如圖，平行四邊形A3C。中,點E是對角線AC上一點，連接BE,DE,且=

AD

ZV

(1)求證：四邊形A8CO是菱形；

(2)若AB=10,tanNBAC=2,求四邊形A8CO的面積.

【答案】(1)證明見解析

(2)80

【解析】

【分析】(1)如圖所示，連接6。與AC交于O,先由平行四邊形對角線互相平分得到03=0。，再利

用SSS證明工80石注一D0E得到ZEOBuNEOD,進而證明△5OC也△DOC,得到BC=￡)C，由

此即可證明平行四邊形ABC。是菱形；

(2)先由菱形的性質(zhì)得到AC=2OA,BD=2OB,再解得到O8=2Q4,利

用勾股定理求出。4=2百，則AC=4逐，8。=8石，則S四邊形ABCO=；ACB￡>=80.

【小問1詳解】

證明：如圖所示，連接8D與AC交于0,

V四邊形ABCO是平行四邊形，

OB=OD,

△BOE和_DOE中,

OB=OD

<OE=OE,

BE=DE

ABOE/DOE(SSS),

/./EOB=/EOD，

在，BOC和△DOC中，

OB=OD

<NBOC=ZDOC,

oc=oc

：.ABOC好△￡X?C(SAS),

BC-DC,

，平行四邊形A5C0是菱形；

【小問2詳解】

解：：四邊形ABC。菱形,

AC±BD,AC=BD=2OB,

在Rt/XAOB中，tanZBAO=tanZBAC=—2,

OA

OB=2OA,

OB2+OA2=AB2，

/.4(9A2+(9A2=102.

/.OA=275(負(fù)值舍去)，

；?AC=OB=2OA=445,

BD=2OB=875，

???S四邊形ASS=；AC.8。=；x8百X4#=80.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判

定，勾股定理等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

20.要制作200個48兩種規(guī)格的頂部無蓋木盒，4種規(guī)格是長、寬、高都為20cm的正方體無蓋木盒，B

種規(guī)格是長、寬、高各為20cm,20cm,10cm的長方體無蓋木盒，如圖1.現(xiàn)有200張規(guī)格為

4()cmx40cm的木板材，對該種木板材有甲、乙兩種切割方式，如圖2.切割、拼接等板材損耗忽略不

計.

(1)設(shè)制作A種木盒x個，則制作B種木盒個；若使用甲種方式切割的木板材),張，則使用

乙種方式切割的木板材張;

（2）該200張木板材恰好能做成200個A和B兩種規(guī)格的無蓋木盒，請分別求出4,B木盒的個數(shù)和使用

甲，乙兩種方式切割的木板材張數(shù)；

（3）包括材質(zhì)等成本在內(nèi)，用甲種切割方式木板材每張成本5元，用乙種切割方式的木板材每張成本8

元.根據(jù)市場調(diào)研，A種木盒的銷售單價定為。元，8種木盒的銷售單價定為元，兩種木盒的

銷售單價均不能低于7元，不超過18元.在（2）的條件下，兩種木盒的銷售單價分別定為多少元時，這

批木盒的銷售利潤最大，并求出最大利潤.

【答案】（1）（200-x）,（200-y）

（2）制作4種木盒100個，B種木盒100個；使用甲種方式切割的木板150張，使用乙種方式切割的木板

50張

（3）A種木盒的銷售單價定為18元，B種木盒的銷售單價定為11元時，這批木盒的銷售利潤最大，最大

利潤為1750元

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意即可求解；

（2）根據(jù)題意可得，制作一個A種木盒需要長、寬均為20cm的木板5個，制作一個B種木盒需要長、寬

均為20cm的木板1個，長為10cm、寬為20cm的木板4個；甲種方式可切割長、寬均為20cm的木板4個，

乙種方式可切割長為10cm、寬為20cm的木板8個；列關(guān)系式求解即可；

（3）先根據(jù)（2）中數(shù)據(jù)求得總成本金額，根據(jù)利潤=售價-成本列式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.

【小問I詳解】

解：???耍制作200個A,8兩種規(guī)格的頂部無蓋木盒，制作A種木盒x個，

故制作B種木盒（200-X）個；

:有200張規(guī)格為40cmX40cm的木板材，使用甲種方式切割的木板材y張，

故使用乙種方式切割的木板材（200-＞）張；

故答案為：（200—x）,（200-y）.

【小問2詳解】

解：使用甲種方式切割的木板材），張，則可切割出4），個長、寬均為20cm的木板，

使用乙種方式切割的木板材（200—y）張，則可切割出8（2（X）—y）個長為10cm,寬為20cm的木板；

設(shè)制作4種木盒x個，則需要長、寬均為20cm的木板5x個，

制作B種木盒（200—x）個，則需要長、寬均為20cm的木板（200—x）個，需要長為l（）cm、寬為20cm的

木板4（200—x）個；

4y=5x+（200-x）

故V

[8（200-y）=4（200-x）

fx=100

解得：1…，

y=150

故制作A種木盒100個,制作B種木盒100個，

使用甲種方式切割的木板150張，使用乙種方式切割的木板材50張，

【小問3詳解】

解：???用甲種切割方式的木板材每張成本5元，用乙種切割方式的木板材每張成本8元，且使用甲種方式

切割的木板150張，使用乙種方式切割的木板材50張，

故總成本為150x5+8x50=1150（元）；

?..兩種木盒的銷售單價均不能低于7元，不超過18元，

7<?<18

即，1,

7<20——a<18

2

7<?<18

解得:

4<tz<26

故。的取值范圍為718：

20n

設(shè)利潤為w，則卬=100a+100-1150

整理得：卬=850+50。，

???々=50>0,故他隨。的增大而增大，

故當(dāng)。=18時，卬有最大值，最大值為850+50x18=1750,

則此時B種木盒的銷售單價定為20—'xl8=11（元）,

2

即4種木盒的銷售單價定為18元，8種木盒的銷售單價定為11元時，這批木盒的銷售利潤最大，最大利

潤為1750元.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)，一元一次不等式組的應(yīng)

用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系進行列式是解題的關(guān)鍵.

21.在探究“四點共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動課上，小霞小組通過探究得出：在平面內(nèi)，一組對角互補的四

邊形的四個頂點共圓.請應(yīng)用此結(jié)論.解決以下問題：

如圖1,中，AB=AC,ABACa(60°<a<180°).點。是BC邊上的一動點(點。不與

B,C重合)，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a到線段AE，連接8E.

(1)求證：A,E,B,。四點共圓；

(2)如圖2,當(dāng)AD=C￡>時，、。是四邊形AE8O的外接圓，求證：AC是：。的切線；

(3)已知a=120。，8C=6,點M是邊BC的中點，此時，尸是四邊形AE8O的外接圓，直接寫出圓

心P與點M距離的最小值.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析(3)也

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=A￡>,ZDAE=a,證明44￡=NC4O,進而證明

_ABE^ACD,可以得到NA￡B=NAOC,由NADC+NAOB=180°,可得

ZAEB+ZADB=1SO0,即可證明A、B、￡>、E四點共圓；

(2)如圖所示，連接OAOD,根據(jù)等邊對等角得到/ABC=NACB=NZMC,由圓周角定理得到

ZAOD=2ZABC=2ZDAC,再由Q4=QD,得到NQ4O=NO0A,利用三角形內(nèi)角和定理證明

ZDAC+ZOAD=90°,即NQ4C=90°,由此即可證明AC是<。的切線；

(3)如圖所示，作線段A8的垂直平分線，分別交A3、BC于G、F,連接AM，先求出

NB=NC=30°,再由三線合一定理得到BM=CM=，BC=3,AMA.BC,解直角三角形求出

2

AB=2。則BG=gA3=6,再解Rt_BG/得到B尸=2,則R0=1；由是四邊形AEBO的

外接圓，可得點P一定在AB的垂直平分線上，故當(dāng)心LG/時，有最小值，據(jù)此求解即可.

【小問1詳解】

證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AZ),ZDAE=a,

，ABAC=ADAE,

/.ABAC-/BAD=ADAE-ABAD,即ZBAE=ZCAD，

又?；AB=AC,

：.△ABE絲△ACD(SAS),

：.ZAEB^ZADC,

ZADC+ZADB=ISO°,

：.ZAEB+ZADB=ISO°,

；.A、B、D、E四點共圓；

【小問2詳解】

證明：如圖所示，連接0AOD,

?：AB=AC,AD=CD,

：.ZABC=ZACB=ZDAC,

。是四邊形的外接圓，

ZAOD=2ZABC,

：.ZAOD=2ZABC=2ZDAC,

,:OA-0D,

ZOAD=ZODA,

,：ZOAD+NODA+ZAOD=180°,

2ZDAC+2/OAD=180°,

ZDAC+ZOAD=90°,即ZOAC=90°,

；?OAA.AC,

又是〔O的半徑，

4。是(。的切線；

【小問3詳解】

圖2

解：如圖所示，作線段A3的垂直平分線，分別交AB、BC于G、F,連接AM，

VAB=AC,NBA。=120°,

/.ZB=ZC=30°,

?..點M是邊BC的中點，

BM=CM——BC-3,AM±BC,

2

AB=-^-=2y/3,

cosB

BG=—AB=上,

2

在Rt3GE中，BF=-^-=2,

cosB

；.FM=1，

：」P是四邊形AEBO的外接圓，

...點P一定在AB的垂直平分線上，

.?.點P在直線GF上，

...當(dāng)時，PM有最小值，

???NPFM=NBFG=90°-NB=60°,

...在Rt4Mf戶中，PM=MFsinNPFM=

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，解直角三角形，圓周角定理，切線的判定，三角形外

接圓的性質(zhì)，垂線段最短等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，拋物線〉=一52+5歐+2（<7>0）交），軸于點。，過點C作x軸的平行線

交該拋物線于點D.

（1）求點C,。的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)〃=’時，如圖1,該拋物線與x軸交于A,8兩點（點A在點B的左側(cè)），點P為直線AD上方拋

3

物線上一點，將直線PD沿直線AO翻折，交x軸于點M（4,0）,求點尸的坐標(biāo)；

（3）坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點七（：,。+1）,尸（5,。+1）,以線段ER為邊向上作正方形ENG”.

①若。=1,求正方形EFG"的邊與拋物線的所有交點坐標(biāo)；

②當(dāng)正方形EFG”的邊與該拋物線有且僅有兩個交點，且這兩個交點到x軸的距離之差為3時，求a的

2

值.

【答案】（1）C（0,2）,0（5,2）

⑶①（1,6）,（4,6）,（5,2）；②a=0.5

【解析】

【分析】（1）先求出C（（）,2）,再求出拋物線對稱軸，根據(jù)題意可知C、。關(guān)于拋物線對稱軸對稱，據(jù)此求

出點。的坐標(biāo)即可；

（2）先求出A（—1,0）,如圖，設(shè)。P上與點M關(guān)于直線4）對稱的點為N（〃z,〃），由軸對稱的性質(zhì)可

（"2+1）2+〃2=F4-（-l）T

得=DN=DM,利用勾股定理建立方程組《L」，解得加=3

（加―5）2+（〃—2）2=（5—4）,22

1Q

或加=4（舍去），則N（3,3）,求出直線OP的解析式為y=—5X+5,然后聯(lián)立

3

；，解得＜

y-——x2+—x+2

33

(3)分圖3-1,圖3-2,圖3-3三種情況，利用到x軸的距離之差即為縱坐標(biāo)之差結(jié)合正方形的性質(zhì)列出方

程求解即可.

【小問1詳解】

解：在y=-or2+5ar+2(a>0)中，當(dāng)x=0時，y=2,

：.C((),2),

拋物線解析式為y=-ax1+5ov+2(。>0),

拋物線對稱軸為直線x=--=-,

—2a2

?.?過點C作x軸的平行線交該拋物線于點D,

???C