高中數(shù)學選擇性必修一課件：2 2 2 直線的兩點式方程(人教A版)

2.2.2直線的兩點式方程課標要求素養(yǎng)要求1.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線的兩點式方程.2.了解直線的截距式方程的形式特征及適用范圍.通過學習直線的兩點式及截距式方程，提升數(shù)學抽象及邏輯推理素養(yǎng).新知探究斜拉橋又稱斜張橋，橋身簡約剛毅，力感十足.若以橋面所在直線為x軸，橋塔所在直線為y軸建立平面直角坐標系，那么斜拉索可看成過橋塔上一點與橋面上一點的直線.怎樣表示直線的方程呢？問題能否用直線上兩個已知點的坐標來表示直線的方程？提示根據(jù)直線上的兩點坐標我們可以求出直線的斜率，進而利用上節(jié)課中的點斜式方程寫出直線方程.1.直線的兩點式方程(y2－y1)(x－x1)＝(x2－x1)(y－y1)可表示過任意兩點的直線方程x＝x1y＝y(tǒng)12.直線的截距式方程涉及到兩坐標軸上的截距是倍數(shù)關系(包括相等關系，互為相反數(shù)關系)時，不要漏掉截距為0的情況ab拓展深化[微判斷]1.能用兩點式方程表示的直線也可用點斜式方程表示.()3.過點(1，3)和(1，5)的直線也可以用兩點式方程來表示.()

提示因為1－1＝0不能作分母，故不能用兩點式來表示.√××[微訓練]1.過點A(5，6)和點B(－1，2)的直線的兩點式方程是(

)答案B2.在x軸、y軸上的截距分別為2，－3的直線方程為(

)答案A2.在x軸、y軸上的截距分別為2，－3的直線方程為(

)答案A解析由方程知直線在x軸上的截距為4，在y軸上的截距為－5，故4＋(－5)＝－1.答案－1[微思考]1.截距式方程能否表示過原點的直線？

提示不能，因為ab≠0，即有兩個非零截距.2.所有的直線都可以用兩點式方程來表示嗎？

提示與x軸平行或與y軸平行的直線無法用兩點式方程來表示.題型一直線的兩點式方程【例1】已知三角形的頂點是A(1，3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求這個三角形三邊所在直線的方程.直線AC垂直于x軸，故AC邊所在直線的方程為x＝1.直線BC平行于x軸，故BC邊所在直線的方程為y＝－1.規(guī)律方法利用兩點式求直線方程當已知兩點坐標，求過這兩點的直線方程時，首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件，若滿足即可考慮用兩點式求方程.在斜率存在的情況下，也可以先應用斜率公式求出斜率，再用點斜式寫方程.【訓練1】已知△ABC三個頂點坐標A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三條邊所在直線的方程.解∵A(2，－1)，B(2，2)，A，B兩點橫坐標相同，∴直線AB與x軸垂直，故AB邊所在直線的方程為x＝2.由A(2，－1)，C(4，1)，即x－y－3＝0.故AC邊所在直線的方程為x－y－3＝0.故BC邊所在直線的方程為x＋2y－6＝0.【訓練1】已知△ABC三個頂點坐標A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三條邊所在直線的方程.解∵A(2，－1)，B(2，2)，A，B兩點橫坐標相同，∴直線AB與x軸垂直，故AB邊所在直線的方程為x＝2.由A(2，－1)，C(4，1)，即x－y－3＝0.故AC邊所在直線的方程為x－y－3＝0.故BC邊所在直線的方程為x＋2y－6＝0.題型二直線的截距式方程【例2】求過點A(3，4)，且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線l的方程.即x－y＋1＝0.綜上，直線l的方程為x－y＋1＝0或4x－3y＝0.【遷移1】若將點A的坐標改為“A(－3，－4)”，其他條件不變，又如何求解？(2)當直線l過原點時，設直線l的方程為y＝kx，由于l過(－3，－4)，所以－4＝k·(－3)，所以直線l的方程為4x－3y＝0.綜上，直線l的方程為x－y－1＝0或4x－3y＝0.【遷移2】若將例2中“截距互為相反數(shù)”改為“截距相等”呢？(2)當截距為0時，設直線l的方程為y＝kx，又l過(3，4)，∴4＝k·3，綜上，直線l的方程為x＋y－7＝0或4x－3y＝0.規(guī)律方法零截距的重要性：如果題目中出現(xiàn)直線在兩坐標軸上的“截距相等”、“截距互為相反數(shù)”、“在一坐標軸上的截距是另一坐標軸上截距的m倍(m>0)”等條件時，采用截距式求直線方程，一定要注意考慮“零截距”的情況.【訓練2】過點A(3，－1)且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線有(

) A.2條 B.3條

C.4條 D.無數(shù)多條∴滿足條件的直線共有3條.故選B.答案B題型三直線方程的綜合應用【例3】已知三角形的三個頂點A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在直線的方程.整理得5x＋3y－6＝0.這就是BC邊所在直線的方程.這就是BC邊上中線所在直線的方程.規(guī)律方法直線方程的選擇技巧(1)已知一點的坐標，求過該點的直線方程，一般選取點斜式方程，再由其他條件確定直線的斜率.(2)若已知直線的斜率，一般選用直線的點斜式或斜截式，再由其他條件確定直線的一個點或者截距.(3)若已知兩點坐標，一般選用直線的兩點式方程，若兩點是與坐標軸的交點，就用截距式方程.(4)不論選用怎樣的直線方程，都要注意各自方程的限制條件，對特殊情況下的直線要單獨討論解決.【訓練3】已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0).求： (1)△ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的方程并化為截距式方程； (2)BC邊的中線所在直線的方程并化為截距式方程.解(1)平行于BC邊的中位線就是AB，AC中點的連線.一、素養(yǎng)落地1.通過本節(jié)課的學習，重點提升數(shù)學抽象及邏輯推理素養(yǎng).2.與直線方程的適用條件、截距、斜率有關問題的注意點： (1)明確直線方程各種形式的適用條件：點斜式、斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線；兩點式方程不能表示垂直于x，y軸的直線；截距式方程不能表示垂直于坐標軸和過原點的直線. (2)截距不是距離，距離是非負值，而截距可正可負，可為零.在與截距有關的問題中，要注意討論截距是否為零. (3)求直線方程時，若不能斷定直線是否具有斜率時，應注意分類討論，即應對斜率是否存在加以討論.二、素養(yǎng)訓練1.過兩點(－2，1)和(1，4)的直線方程為(

)A.y＝x＋3 B.y＝－x＋1C.y＝x＋2 D.y＝－x－2答案A2.經過P(4，0)，Q(0，－3)兩點的直線方程是(

)答案C3.過點P(4，－3)且在坐標軸上截距相等的直線有(

) A.1條 B.2條 C.3條 D.4條答案B4.過點M(3，－4)，且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程是________.即x＋y＝a.∴a＝3＋(－4)＝－1，∴直線方程為x＋y＋1＝0.綜上，所求直線方程為4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.答案4x＋3y＝0或x＋y＋1＝05.直線l經過點A(－3，4)，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍，求該直線的方程.∴直線方程為x＋2y＝5，即x＋2y－5＝0.綜上可得直線方程為：4x＋3y＝0或x＋2y－5＝0.備用工具&資料4.過點M(3，－4)，且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程是________.即x＋y＝a.∴a＝3＋(－4)＝－1，∴直線方程為x＋y＋1＝0.綜上，所求直線方程為4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.答案4x＋3y＝0或x＋y＋1＝02.經過P(4，0)，Q(0，－3)兩點的直線方程是(

)答案C2.直線的截距式方程涉及到兩坐標軸上的截距是倍數(shù)關系(包括相等關系，互為相反數(shù)關系)時，不要漏掉截距為0的情況ab[微訓練]1.過點A(5，