人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章第2節(jié)第3課時利用導(dǎo)數(shù)證明不等式－－構(gòu)造法證明不等式課件

第三章

導(dǎo)數(shù)及其運用第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第3課時利用導(dǎo)數(shù)證明不等式——構(gòu)造法證明不等式【例1】(2024·邢臺模擬)已知函數(shù)f(x)＝x(lnx＋a)．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；解：f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1＋a.令f′(x)＝0，得x＝e－a-1.令f′(x)＜0，解得0＜x＜e－a-1；令f′(x)＞0，解得x＞e－a-1.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，e－a-1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(e－a-1，＋∞)．核心考點提升“四能”移項作差構(gòu)造函數(shù)證明不等式

反思感悟待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般可以直接構(gòu)造“左減右”或“右減左”的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性等相關(guān)函數(shù)性質(zhì)證明不等式．

所以F′(x)≥F′(1)＝e＋cos1－0－1＞0，所以F(x)＝ex＋sinx－xlnx－1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增．所以F(x)≥F(1)＝e＋sin1－0－1＞0.又因為x＞0，所以g(x)－f(x)＝x(ex＋sinx－xlnx－1)＞0，所以g(x)＞f(x)得證．【例2】(2024·濟南質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝xlnx－ax＋1(a∈R)．(1)若a≤1，討論f(x)零點的個數(shù)；解：由題意可得函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1－a.令f′(x)＞0，可得x＞ea-1；令f′(x)＜0，可得0＜x＜ea-1，所以f(x)在(0，ea-1)上單調(diào)遞減，在(ea-1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在x＝ea-1處取得極小值，也是最小值，f(x)min＝f(ea-1)＝1－ea-1.當(dāng)a＜1時，f(ea-1)＝1－ea-1＞0，此時f(x)沒有零點；當(dāng)a＝1時，f(ea-1)＝1－e1-1＝0，此時f(x)有且只有一個零點．綜上，當(dāng)a＜1時，f(x)沒有零點；當(dāng)a＝1時，f(x)有且只有一個零點．放縮構(gòu)造法

反思感悟用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式的問題中，最常見的是ex和lnx與其他代數(shù)式結(jié)合的問題，對于這類問題，可以考慮先對ex和lnx進行放縮，使問題簡化，簡化后再構(gòu)建函數(shù)進行證明．常見的放縮公式如下：(1)ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取等號．(2)lnx≤x－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號．

【例3】(2024·漢中模擬)已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－a)．(1)若f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；解：函數(shù)f(x)＝x(lnx－a)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1－a.因為f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f′(x)＝lnx＋1－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤ln

x＋1在(1，＋∞)上恒成立．設(shè)g(x)＝lnx＋1，函數(shù)g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故g(x)＞g(1)＝ln1＋1＝1.所以a≤1.故a的取值范圍是(－∞，1].構(gòu)造雙函數(shù)法

反思感悟1．在證明不等式的問題中，若無法轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的最值問題，則可以考慮轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值問題．2．在證明過程中，“隔離化”是關(guān)鍵．如果證g(x)≥f(x)恒成立，只需證g