2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步練習(xí)-4平行關(guān)系

第六章立體幾何初步

§4平行關(guān)系

4.2平面與平面平行

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一平面與平面平行的性質(zhì)

L若平面?！ㄆ矫妗?點(diǎn)4先a虺旌￡廁直線/C〃直線刃的充要條件是

（）

A.AB//CD

B.AD//CB

C.4B與"相交

D.4SC〃四點(diǎn)共面

2.（多選）已知直線a和兩個(gè)不重合的平面明。若a〃B,au%則下列四個(gè)結(jié)

論中正確的是（）

A.a與尸內(nèi)的所有直線平行

B.a與尸內(nèi)的無數(shù)條直線平行

C.a與6內(nèi)的任何一條直線都不垂直

D.a與萬沒有公共點(diǎn)

3.（2022河南濮陽一中月考）如圖，平面a〃平面￡,△必夕所在的平面與。，￡分

別交于⑦和的若小2,。=3,切=1廁AB=_______.

4.如圖,四棱柱/貿(mào)》45G〃中，平面N陽4〃平面CDDC,且m〃尾，試判斷四邊

形/比下的形狀.

5.如圖所示，已知三棱柱/及三4'夕'。'中，〃是區(qū)的中點(diǎn)〃'是皮。'的中點(diǎn)設(shè)平面

A'"夕n平面4吐a,平面ADC'n平面A'"。'=自試判斷直線a,b的位置關(guān)系，并證

明.

6.（2022上海奉賢月考）如圖，平面?！ㄆ矫妗?，點(diǎn)f是平面明萬外一點(diǎn),從點(diǎn)〃

引三條不共面的射線力,陽/C與平面a分別相交于點(diǎn)4〃C與平面尸分別相交

于點(diǎn)A',B'.求證:△/aS△/'B'C'.

題組二平面與平面平行的判定

7.侈選）（2022湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)期中）設(shè)a,B為兩個(gè)平面廁?！ā甑某浞謼l

件可以是（）

A.￡內(nèi)的所有直線都與a平行

B.￡內(nèi)有三條直線與a平行

C.a和￡平行于同一條直線

D.。和￡都平行于同一平面Y

8.（多選）（2022安徽合肥十中期中）已知弓6是不同的直線,a,B是不同的平面，則

下列命題中錯(cuò)誤的是（）

A.若2,是異面直線,aua,a〃￡/u￡/〃a,則a〃￡

B.若aua力ua,a〃￡,6〃￡，則a〃尸

C.若Ma,au￡,a〃a廁a〃￡

D.若aua,a〃。廁6〃a

9.（2021寧夏銀川一中期末）在正方體跖吠/EG園中，下列四對(duì)截面彼此平行的

是（）

A.平面E、FG\與平面EGH、

B.平面碇與平面FHG

C.平面E〃月與平面FHE、

D.平面￡用與平面EHxG

10.（2021北京昌平二模）已知棱長(zhǎng)為1的正方體4為￡〃-4比。物是煙的中點(diǎn)動(dòng)

點(diǎn)〃在正方體內(nèi)部或表面上運(yùn)動(dòng)，且，如〃平面4做,則動(dòng)點(diǎn)〃的軌跡所形成區(qū)域的

面積是（）

A.B.V2C.1D.2

11.（2022浙江溫州期中）正方體然處44G〃的棱長(zhǎng)為2,￡￡初分別為

〃的中點(diǎn)則過陽且與既平行的平面截正方體所得的截面的面積為

（）

A.V2B.2C.2V2D.4

12.（2021安徽蕪湖一中期中）如圖，在四棱錐R/四中，底面/頗為平行四邊形，

點(diǎn)即;0分別在陽能切上（不與端點(diǎn)重合），目PM\MA=BN\N2PQ：QD.求證:平面

助他〃平面PBC.

13.如圖，在正方體4況》中,S是BQ的中點(diǎn),分別是比MCSC的中點(diǎn)

求證：

⑴直線比〃平面BDDB；

⑵平面跖G〃平面BDDB.

能力提升練

題組一平面與平面平行的性質(zhì)

1.（2020江西宜春上高二中月考）如圖所示，在三棱臺(tái)44GT和中點(diǎn)〃在44上，

且回〃幽點(diǎn)"是△4笈G內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且有平面能加〃平面4c則動(dòng)點(diǎn)

"的軌跡是（）

A.平面B.直線

C.線段,但只含1個(gè)端點(diǎn)D.圓

2.（2020河南開封校際聯(lián)考）如圖所示，已知正方體力式》44G〃的棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)E

在45上,且臺(tái)后1,記圖中陰影平面為平面明且平面a〃平面6G￡若平面aA

平面446廬則"的長(zhǎng)為（）

A.1B.1.5C.2D.3

3.（2022山東荷澤東明一中月考）如圖,四棱柱4岫46G〃中,四邊形力加9為平行

四邊形,￡尸分別在線段能加上，且宗R在3上且平面力環(huán)〃平面瓦%則

C.DL

4.（2020廣東深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考）如圖,多面體4?。切跖中儲(chǔ)如0四兩兩垂直平面

/%〃平面龐河平面龐F〃平面ADGC.AB^AD-D^.AOEF-1.

⑴證明:四邊形力的是正方形；

⑵判斷點(diǎn)及C￡G是否共面,并說明理由.

題組二平面與平面平行的判定

5.（2021安徽合肥第六中學(xué)診斷性測(cè)試）如圖所示，在三棱柱/〃廿44G中名廠分別

是BBM上靠近點(diǎn)0。的三等分點(diǎn)在4G上確定一點(diǎn)。使平面際〃平面AM,

則舒-

6.（2020江西師范大學(xué)附屬中學(xué)期末）如圖①所示，在直角梯形ABCP

中,AP〃BC/PIA5AB=B*APQ為"的中點(diǎn),分別為氣切力的中點(diǎn)將△也?

沿⑦折起彳導(dǎo)到四棱錐P如圖②所示.求證:在四棱錐P/M?中,"〃平面

EFG.

7.（2022福建廈門雙十中學(xué)期中）如圖，已知正方體力吐"G〃的棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)E

在用上，點(diǎn)分在夕上,G在即上，目AFFCEBG3H是BC的中點(diǎn).求證：

⑴四點(diǎn)共面；

⑵平面4陽〃平面BEDF

H

題組三面面平行中的探索性問題

8.（2020湖南衡陽二模）如圖，在四棱錐P居切中，△必打是等邊三角

骸BC，AB,BOCD=2gAFA22.若加=3龐;則在線段回上是否存在一點(diǎn)￡使得平

9.（2020江西臨HI第二中學(xué)模擬）如圖所示，矩形四切和矩形ABEF電好AD點(diǎn)M,N

分別在仍以上,4滬蹲矩形［應(yīng)F可沿四任意翻折.

⑴求證:當(dāng)￡4〃三點(diǎn)不共線時(shí)，線段腑總平行于平面FAD.

⑵“不管怎樣翻折矩形/應(yīng)'6線段法V總和線段川平行.”這個(gè)結(jié)論對(duì)嗎?如果對(duì),

請(qǐng)證明;如果不對(duì)，請(qǐng)說明能否改變個(gè)別已知條件，使上述結(jié)論成立.

答案與分層梯度式解析

第六章立體幾何初步

§4平行關(guān)系

4.2平面與平面平行

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.D

2.BD若兩平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面內(nèi)的直線平行或異面，所以A、C錯(cuò)

誤,B、D正確.故選BD.

3.答案|

解析根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)及已知可得切〃明所以冷震，因?yàn)樾?,俏=3,61,所以

ABPA

_CDPA1X55

力An廬----=——

PC22

4.解析因?yàn)?'〃比，所以";確定一個(gè)平面，設(shè)為明則平面。C平面5〃G=G￡平面aC平面

ABB\A\=AE,

又平面/眼4〃平面鶴G,所以AE//QF,

所以四邊形尸是平行四邊形.

5.解析直線a與方平行.證明如下：

連接如：平面4a'〃平面4'8'。',平面/6rl平面46C=a,平面4'〃'8門平面力'6'。'=4'〃'，

C.A'D'//a.

同理可證AD//b.

???〃是6c的中點(diǎn)〃'是6Z'的中點(diǎn)，頗6Z',

.?.頌8'〃’,.?.四邊形是平行四邊形，

:.DD'BBB：

又緲'回A4',回44',

四邊形AA為平行四邊形，

：.A，D，//AD,：.a//b.

6.證明由題意可知夕4￡”,6'在同一平面上，

又因?yàn)閍〃￡,所以

所以△身6s△必"測(cè)卷嗡=需，

由題意可知月及。8',。'在同一平面上，

又因?yàn)?。〃氏所以比?'。'，

所以△冏Cs△陽工「則黑=照.

由題意可知“4。力'/'在同一平面上，

又因?yàn)?。〃￡，所?C〃/'C',

所以△為8△必則磊=備.

所以靠盜喘;，故△布

7.AD對(duì)于A,￡內(nèi)的所有直線都與a平行，可知兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，所以。和￡平行，所以A正確;

對(duì)于B,B內(nèi)有三條直線與a平行，若這3條直線是平行線，則這兩個(gè)平面可能相交，所以B不正確；

對(duì)于c,a和￡平行于同一條直線,這兩個(gè)平面可能相交，所以C不正確；

對(duì)于D,。和尸都平行于同一平面匕由平面平行的傳遞性知平面。和￡平行，所以D正確.

故選AD.

8.BCD對(duì)于A,過6作平面/與平面。交于直線G如圖，因?yàn)?〃。/uy,所以6〃c,又a,6是異面直

線所以a,c相交油&氏仁￡得c//￡,又a//B,a,c是a內(nèi)的兩條相交直線，所以a//￡,A中命題正

確；

對(duì)于B,若a//8,則a與8可能相交,B中命題錯(cuò)誤；

對(duì)于C,a中只能確定一條直線與￡平行,這兩個(gè)平面可能平行也可能相交,C中命題錯(cuò)誤;

對(duì)于D,au〃/?，則6〃?；颉a,D中命題錯(cuò)誤.

9.A如圖,?"勿￡6,頗平面E\F￡EGu平面E\F鼠

...%〃平面E\F(h.

同理，可證/億〃平面EF&.

?："ECEG=E,H\E,Ek平面EGH\,

：.平面E\F&//平面EGH、.

10.A如圖所示，夕￡&，"分別是AM以aG,郎的中點(diǎn)廁歷'〃/幾的/〃初由此可知即1〃平面AB仄網(wǎng)〃

平面A即又EFC￡滬￡所以平面力劭〃平面甌祝故點(diǎn)P的軌跡為矩形旗GV及其內(nèi)部.

又，媯=8得,所以加考所以點(diǎn)曲軌跡所形成區(qū)域的面積/1X4當(dāng)故選A.

11.C取四的中點(diǎn)e回的中點(diǎn)可切的中點(diǎn)八；連接功切的的八%由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得，布〃，物則

四邊形.I/O邠為平面圖形.

又EP〃MG*k平面MGHN,EN平面MGHN.

...曲〃平面的砌：

,:FP〃MN,2匕平面加例硝平面MGHN,

平面斷況M

EPCF六P,：.平面價(jià)7力平面MGHN,

又EFu平面EFP,：.EF//平面MGHN,

.?.過G〃且與原平行的平面截正方體所得的截面為矩形MGHN.

"：MG=2,67^V12+12=V2,

二S矩形歌后2讓.故選C.

12.證明,?PM：MA=BN：ND=PQ:QD,

：.MQ//AD,\Q//BP.

七平面勿如網(wǎng)平面PBC,

〃平面PBC.

:底面4比》為平行四邊形，

：.BC//AD,：.MQ//BC.

,：BCu平面P8CJ儂平面PBC,

〃平面PBC.

又WO八3Q平面MNQ//平面PBC.

13.證明⑴如圖，連接期

；分別是8cse的中點(diǎn),EG//SB.

又?加平面為網(wǎng)平面BD仄反,

.,?直線比〃平面BDDiBi.

⑵連接SD,

???￡G分別是用SC的中點(diǎn),二FG//SD.

又?.,S9c平面BDB氏FE平面BDDB,

...川〃平面BDDB.

又￡住平面EFG.I'Ga平面EF&EGCFG^G,

平面砒7〃平面BDDyB、.

方法總結(jié)

⑴要證明兩平面平行，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交且平行于另一個(gè)平面的直線即可.

⑵判定兩平面平行時(shí),應(yīng)遵循“先找后作”的原則，即先在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條與另一個(gè)平面平行的相

交直線，若無法直接找到,可作輔助線.

能力提升練

1.C因?yàn)槠矫鎽?yīng)涉〃平面4a平面BDMC平面平面AiCD平面464=4G,所以〃肌〃4G,過。作

DEJ/AC&5G于點(diǎn)&則點(diǎn)M的軌跡是線段處（不包括〃點(diǎn)）.

2.A因?yàn)槠矫鎍//平面6G月平面aC平面44片戶4月平面B&EC平面44笈戶龐;所以4尸〃BE.又

4?〃身訴斤以四邊形4￡即是平行四邊形，所以上4代2,所以4戶1.

3.答案!

解析連接笈Z外：

,平面4⑦〃平面做&且平面/切丫）平面BRD序EF,平面9GC平面BB\D\D=BK,

：.EF//

'FDiEB2

易得平面ADD\A\//平向BCC\B\,

又BGc平面BCCB,."G〃平面ADDyAx.

?平面4/〃平面B仄G,Bg平面做G

."G〃平面,4跖

平面AEFH平面ADDJrAF,：.BG//AF,

.?.6C4/7可確定平面ABGF.

又平面力眼4〃平面CBflQ平面力%FA平面力仍4=仍平面48研-1平面CDDxOFG,

：.AB//FG,：.CD//FG,

CC-LDDX3

4.解析⑴證明:因?yàn)槠矫鍭BC//平面龐河平面ABEDC平面4除仍平面ABEDC平面龐小?！晁?/p>

AB//DE.

同理/〃〃能所以四邊形/版為平行四邊形.

又ABLAD,AB=AD,

所以平行四邊形，仿功是正方形.

⑵點(diǎn)附共面.理由如下：

如圖，取〃。的中點(diǎn)。連接PA.PF.

因?yàn)槠矫纨嬍ㄆ矫?2GC平面EFGDC平面龐e四平面仔&〃n平面ADGC=DG,

所以EF〃DG.

同理4C〃〃G.

因?yàn)镻為%的中點(diǎn)，好2,小1,

所以斯〃也般心則四邊形￡7刃9為平行四邊形，所以DE//PF^陽PF.

又AB〃DE.DE,所以ABUPF且"=例所以四邊形4函為平行四邊形，

所以在〃質(zhì)

因?yàn)镻為的的中點(diǎn)，

所以PG=^DG=\=AC,

又因?yàn)榱ξ鹳妓运倪呅?屐次為平行四邊形，所以AP//8所以BF//CG.

故RC￡G四點(diǎn)共面.

5.答案!

解析如圖，過尸作FP//4c交4c于點(diǎn)。連接EP.

V〃分別是BB“CC\上靠近點(diǎn)作的三等分點(diǎn)，

二EF//BC,又EFCFkF,BCCAiOC,

平面陽'〃平面46c故點(diǎn)P為滿足題意的點(diǎn)，此時(shí)罄=去弓.

PC】FJ2

6.證明在四棱錐上ABCD中,￡尸分別為PC.PD的中點(diǎn),二EF//◎同理EG//PB.

由題意知40比；；.四邊形48口是平行四邊形，,AB//CD,：.EF//AB.,：￡閃平面PAB,AI^平面PAB,：.EF//

平面PAB.同理,比〃平面PAB.又EFCEG=E,：.平面EFG//平面PAB.Y"t平面PAB,：.AP//平面EFG.

7.證明⑴在加上取一點(diǎn)A,使得用J連接CN,EN；：CB淤1,：.C六N22.

又阻V.四邊形。加V是平行四邊形，

F〃。'且gCN.

同理,且EMAD.

又BC//4〃且BOAD,：.EN//6c且EN=BC,

.??四邊形。旗是平行四邊形，

：.CN//BE^CN=BE,

:.隊(duì)F〃BEmIXP-BE,

.??四邊形〃砸■為平行四邊形，

四點(diǎn)共面.

⑵易知A、E〃BG且小&BG,

四邊形G6圓為平行四邊形,4G〃BE,

又4爾平面BEDxF.BE^平面BERF,

.?.4G〃平面BE1XF.

取法的中點(diǎn)/連接G/,則G是A/的中點(diǎn)，

又〃是BC的中點(diǎn),二GI//HG.

,:BI〃C\F,BI=C\F,

.??四邊形6/G廠是平行四邊形，

：.CJ//BF.^BF//HG.

'：BFu平面BED、F,HO呼面BED、F,

...雨〃平面BEDF

：HGCAG=G,HGAfc平面4GH,

，平面平面BEDxF.

8.解析如圖，過點(diǎn)￡作EF//用交比于點(diǎn)C連接AF.AC.

因?yàn)閮z3國(guó)所以E是"上