函數專題二次函數在閉區(qū)間上的最值問題（5大題型）（原卷版）

二次函數在閉區(qū)間上的最值問題一、二次函數的三種形式1、一般式：2、頂點式：若二次函數的頂點為，則其解析式為3、兩根式：若相應一元二次方程的兩個根為，，則其解析式為二、二次函數在閉區(qū)間上的最值二次函數在區(qū)間上的最值，核心是函數對稱軸與給定區(qū)間的相對位置討論，一般為：對稱軸在區(qū)間的左邊、中間、右邊三種情況.設，求在上的最大值與最小值。將配方，得頂點為，對稱軸為（1）當時，的最小值為，的最大值為與中的較大值；（2）時，若，由在上是增函數，則的最小值為，最大值為；若，由在上是減函數，則的最小值為，最大值為；三、二次函數在閉區(qū)間上的最值類型1、定軸定區(qū)間型：即定二次函數在定區(qū)間上的最值，其區(qū)間和對稱軸都是確定的，要將函數配方，再根據對稱軸和區(qū)間的關系，結合函數在區(qū)間上的單調性，求其最值（可結合圖象）；2、動軸定區(qū)間型：即動二次函數在定區(qū)間上的最值，其區(qū)間是確定的，而對稱軸是變化的，應根據對稱軸在區(qū)間的左、右兩側和穿過區(qū)間這三種情況分類討論，再利用二次函數的示意圖，結合其單調性求解；3、定軸動區(qū)間型：即定二次函數在動區(qū)間上的最值，其對稱軸確定而區(qū)間在變化，只需對動區(qū)間能否包含拋物線的定點橫坐標進行分類討論；4、動軸動區(qū)間型：即動二次函數在動區(qū)間上的最值，其區(qū)間和對稱軸均在變化，根據對稱軸在區(qū)間的左、右兩側和穿過區(qū)間這三種情況討論，并結合圖形和單調性處理。題型一定軸定區(qū)間求二次函數最值【例1】（2023秋·河南鄭州·高一?？茧A段練習）函數的值域是（）A．B．C．D．【變式11】（2022秋·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┮阎瘮?，則在區(qū)間的值域為．【變式12】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數，則的值域為（）A．B．C．D．【變式13】（2023秋·廣西玉林·高一?？奸_學考試）已知二次函數.（1）寫出這個二次函數圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標；（2）當時，求函數最大值、最小值.題型二定軸動區(qū)間求二次函數最值【例2】（2023秋·江西宜春·高三?？茧A段練習）已知函數，不等式的解集為，且.（1）求函數的解析式；（2）設函數在上的最小值為，求的表達式.【變式21】（2023·全國·高一專題練習）已知二次函數，，的最大值為16；（1）求函數的解析式；（2）求函數在區(qū)間的最大值.【變式22】（2023秋·貴州黔東南·高三?？茧A段練習）已知函數.（1）求的解析式；（2）若為任意實數，試討論在上的單調性和最小值.【變式23】（2023秋·陜西渭南·高一考階段練習）已知函數.（1）若，求函數的最小值和最大值；（2）當，時，求函數的最小值.【變式24】（2023·全國·高一專題練習）已知二次函數滿足，且．（1）求的解析式；（2）求函數在區(qū)間，上的最大值．題型三動軸定區(qū)間求二次函數最值【例3】（2023秋·陜西咸陽·高三校考階段練習）已知二次函數．（1）若，求在上的最值；（2）求函數在上的最小值．【變式31】（2022秋·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）已知函數，．（1）若，求實數的取值范圍；（2）求的最小值．【變式32】（2023·全國·高一專題練習）已知二次函數滿足，且.（1）求的解析式；（2）設函數，當時，求的最小值.【變式33】（2022秋·山東淄博·高一?？计谥校┮阎猘，若函數在區(qū)間[1，2]上的最小值為（1）求的函數表達式；（2）若求的最大值.題型四動軸動區(qū)間求二次函數最值【例4】（2023·全國·高一課堂例題）設是正數，且函數在上的最大值為，求的表達式．【變式41】函數在區(qū)間上的最小值為，求的表達式.【變式42】已知二次函數，設對任意的，都有恒成立，求實數的取值范圍.【變式43】設函數在閉區(qū)間上的最大值為，最小值為，求與的表達式.題型五逆向型二次函數最值問題【例5】（2023秋·山東淄博·高一統(tǒng)考開學考試）已知二次函數，當時，若該函數的最大值為m，最小值為，則m等于（）A．1B．2C．3D．4【變式51】（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一校考開學考試）當時，函數有最大值3，最小值2，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式52】（2023·全國·高一專題練習）已知函數，當時，，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式53】（2023·全國·高一專題練習）（多選）已知函數在上的值域為，則實數的值可以是（）A．1B．2C．