2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)：立體幾何

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)立體幾何第一講空間幾何體的表面積與體積、截面與交線(xiàn)——小題備考微專(zhuān)題1空間幾何體的表面積和體積?？汲Ｓ媒Y(jié)論

1．柱體、錐體、臺(tái)體的表面積公式：①圓柱的表面積S＝2πr(r＋l)；②圓錐的表面積

S＝πr(r＋l)；③圓臺(tái)的表面積S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)．2．柱體、錐體的體積公式：①V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)；

答案：C

答案：B

答案：D

答案：AC(2)如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)都是a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，則四面體B-B1DE的體積為_(kāi)_______．

技法領(lǐng)悟1．求幾何體的表面積及體積問(wèn)題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵．求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上．2．求空間幾何體的體積，還常用分割或補(bǔ)形的方法，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，易于求解．技法領(lǐng)悟1．求幾何體的表面積及體積問(wèn)題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵．求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上．2．求空間幾何體的體積，還常用分割或補(bǔ)形的方法，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，易于求解．

答案：B

答案：D

答案：B

答案：C

3．[2023·湖南常德二模]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是線(xiàn)段A1C1的中點(diǎn)，若四面體M-ABD的外接球體積為36π，則正方體棱長(zhǎng)為_(kāi)_______．4

答案：D

答案：B

技法領(lǐng)悟1．確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與幾何體的位置和數(shù)量關(guān)系．2．求解球與棱柱、棱錐的接、切問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．3．補(bǔ)成正方體、長(zhǎng)方體、正四面體、正棱柱、圓柱等規(guī)則幾何體．

答案：D

8π

微專(zhuān)題3立體幾何中的截面與交線(xiàn)問(wèn)題常考常用結(jié)論

正方體的基本截面如下．正方體的截面不會(huì)出現(xiàn)以下圖形：直角三角形、鈍角三角形、直角梯形、正五邊形．

答案：A

答案：C

3.如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M，N，P分別為棱AA1，CC1，AD的中點(diǎn)，Q為該正方體表面上的點(diǎn)，若M，N，P，Q四點(diǎn)共面，則點(diǎn)Q的軌跡圍成圖形的面積為_(kāi)_______．

答案：ABD

技法領(lǐng)悟1．找截面和交線(xiàn)的一般方法：(1)直接連接法(2)作平行線(xiàn)法(3)作延長(zhǎng)線(xiàn)找交點(diǎn)法2．作截面的關(guān)鍵在于確定截點(diǎn)．通過(guò)位于多面體同一表面上的兩個(gè)不同截點(diǎn)即可連接成截線(xiàn)，從而得到截面．

答案：D

(2)[2023·河南許昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模]在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝4，以CC1的中點(diǎn)M為球心，4為半徑的球面與側(cè)面ABB1A1的交線(xiàn)長(zhǎng)為(

)A．2πB．3πC．4πD．8π答案：C

1.如圖，正方體中，E、F分別是AA1、CC1的中點(diǎn)，則與直線(xiàn)A1D1、EF、DC都相交的直線(xiàn)(

)A．有且僅有一條

B．有且僅有兩條C．有且僅有三條

D．無(wú)數(shù)條答案：D解析：在EF上任意取一點(diǎn)M，直線(xiàn)A1D1與點(diǎn)M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與DC有且僅有1個(gè)交點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與DC有不同的交點(diǎn)H，而直線(xiàn)MH與這3條異面直線(xiàn)都有交點(diǎn)，故在空間中與三條直線(xiàn)A1D1、EF、DC都相交的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條．故選D.2．[2023·山東日照三模]已知直線(xiàn)a⊥平面α，則“直線(xiàn)a∥平面β”是“平面α⊥平面β”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：A解析：若“直線(xiàn)a∥平面β”成立，設(shè)l?β，且l∥a，又a⊥平面α，所以l⊥平面α，又l?β，所以“平面α⊥平面β”成立；若“平面α⊥平面β”成立，且直線(xiàn)a⊥平面α，可推出a∥平面β或a?平面β，所以“直線(xiàn)a∥平面β”不一定成立．綜上，“直線(xiàn)a∥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分不必要條件．故選A.

答案：C

答案：D

(2)[2023·山東東營(yíng)一中二模]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別是棱DD1和線(xiàn)段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則滿(mǎn)足與DD1垂直的直線(xiàn)MN(

)A．有且僅有1條

B．有且僅有2條C．有且僅有3條

D．有無(wú)數(shù)條答案：D

解析：如圖，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥BC，垂足為E，連接DE，當(dāng)M，N高度一樣，即MD＝NE時(shí)，一定有DD1⊥MN，理由如下：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，NE∥CC1∥MD，所以四邊形MDEN為平行四邊形，所以MN∥DE，因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，且DE?平面ABCD，所以DD1⊥DE，即DD1⊥MN.所以當(dāng)M，N高度一樣，即MD＝NE時(shí)，一定有DD1⊥MN，此時(shí)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)MN有無(wú)數(shù)條．故選D.技法領(lǐng)悟1．根據(jù)空間線(xiàn)面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷來(lái)解決問(wèn)題．2．必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體、四面體等模型中觀察線(xiàn)面位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理來(lái)進(jìn)行判斷．[鞏固訓(xùn)練1]

(1)[2023·河南安陽(yáng)模擬]如圖，ABCDEF-A1B1C1D1E1F1是底面為正六邊形的直棱柱，則下列直線(xiàn)與直線(xiàn)A1B1不垂直的是(

)A．AE

B．A1E

C．BD1

D．E1F

答案：D(2)[2022·全國(guó)乙卷]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則(

)A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D答案：A

答案：C

答案：D

3．[2023·遼寧丹東二模]如圖，電商平臺(tái)售賣(mài)的木制“升斗”，底部封閉，上部開(kāi)口，把該升斗看作一個(gè)正四棱臺(tái)，該四棱臺(tái)側(cè)棱與底面所成角的余弦值為_(kāi)_______．

答案：B

答案：A

技法領(lǐng)悟1．用幾何法求空間角時(shí)，關(guān)鍵要找出空間角，再在三角形中求解．2．用向量法求空間角時(shí)，要熟記公式，還要正確建立空間直角坐標(biāo)系．

答案：B

答案：C

答案：B

答案：A

答案：B

答案：C

技法領(lǐng)悟1．用幾何法求空間距離時(shí)，一般采用等體積法．2．用向量法求空間距離時(shí)，要熟記公式，還要正確建立空間直角坐標(biāo)系．

答案：D

答案：C

第三講空間向量與立體幾何——大題備考

立體幾何大題一般為兩問(wèn)：第一問(wèn)通常是線(xiàn)、面關(guān)系的證明；第二問(wèn)通常跟角有關(guān)，一般是求線(xiàn)面角或二面角，有時(shí)與距離、幾何體的體積有關(guān)．微專(zhuān)題1線(xiàn)面角如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝AP＝BC＝1，AD＝2.(1)求證：CD⊥平面PAC；

(2)若E為PC的中點(diǎn)，求PD與平面AED所成角的正弦值．

2.[2023·河南安陽(yáng)二模]在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為菱形，∠BCD＝60°，AB＝4，EF∥CD，EF＝2，CF＝4，點(diǎn)F在平面ABCD內(nèi)的射影恰為BC的中點(diǎn)G.(1)求證：平面ACE⊥平面BED；

(2)求直線(xiàn)BD與平面ABFE所成的角的正弦值．

1.[2023·山東聊城三模]如圖，三棱臺(tái)ABC-DEF中，AB＝2DE，M是EF的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線(xiàn)段AB上，AB＝4AN，平面DMN∩平面ADFC＝l.(1)證明：MN∥l；

(2)若平面CBEF⊥平面ABC，AC⊥AB，AC＝CF＝FE＝EB，求直線(xiàn)AB與平面DMN所成角的正弦值．

技法領(lǐng)悟

(2)求二面角A-PC-B的大?。?/p>

2．[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷]如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.點(diǎn)A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.(1)證明：B2C2∥A2D2；

(2)點(diǎn)P在棱BB1上，當(dāng)二面角P-A2C2-D2為150°時(shí)，求B2P.

(2)若BD與平面ACD所成的角為60°，求二面角D-AC-B的余弦值．

技法領(lǐng)悟利用空間向量求二面角的答題模板

微專(zhuān)題3空間距離

[2023·江西鷹潭模擬]如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝AC＝CC1＝4，D為AB1的中點(diǎn)，CB1交BC1于點(diǎn)E.(1)證明：CB1⊥C1D；

(2)求點(diǎn)E到平面B1C1D的距離．

5.[2023·河北石家莊二中模擬]如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CA⊥CB，側(cè)面AA1B1B為菱形，△AB1C為等邊三角形．(1)求