2021屆高三數(shù)學(xué)“小題速練”含答案解析16

2021屆高三數(shù)學(xué)“小題速練”16

答案解析

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

1.已知集合M={y|y=-4x+6},P={(x,y)|y=3x+2},則MflP等于()

A.(1,2)B.{1}7{2}C.{(1,2)}D.0

【答案】D

【解析】因?yàn)榧螹是數(shù)集，集合P是點(diǎn)集，兩個集合沒有公共元素，

所以兩個集合的交集為空集.

故選￡).

2.設(shè)當(dāng)=1?，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】由題意知z(l—=

故z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，

故選D.

3.己知向量。4=(-1,2),03=(3,〃7).若麗1,而，則膽的值為()

33

A.—B.4C.--D.

22

【答案】B

【解析】依題意通=（4,加一2）,由于麗,而，所以（-1,2＞（4,加-2）="4+2加-4=0,解得加=4.

故選B.

4.2爐—六）的展開式中，一項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.一280B.280

C.-560D.560

【答案】C

【解析】在（2/一g）7的展開式中，通項(xiàng)公式為小尸G23（-1）當(dāng)，令14-當(dāng)=4,

求得r=3,可得/項(xiàng)的系數(shù)為仁2"（—I）：-560,

故選C.

5.把直線y=^x繞原點(diǎn)逆時針轉(zhuǎn)動，使它與圓/+/+2氐—2y+3=0相切，則直線轉(zhuǎn)動的最小正

角度（）.

■九k兀5TT

A.-B.-C.—D.—

3236

【答案】B

=

【解析】由題意，設(shè)切線為ykxy-/小?—1.

?,?左=0或&=一61?&=-V3時轉(zhuǎn)動最小.

一,一八，2萬71冗

；?最小正角為-------二一

362

故選B.

6.如果甲是乙的充要條件，丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件，那么（）

A.丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件

B.丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件

C.丙是甲的充要條件

D.丙既不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件

【答案】A

【解析】因?yàn)榧资且业某湟獥l件，所以乙O甲；又因?yàn)楸且业某浞謼l件，但不是乙的必要條件，所以丙

=乙，但乙/丙.

綜上，丙二甲，但甲聲丙，

即丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件.

故選A.

7.菱形ABCO的邊長為2,現(xiàn)將△AC。沿對角線AC折起使平面平面ACB，求此時所成空間

四面體體積的最大值（）

16百5Gr,D百

2794

【答案】A

【解析】設(shè)AC的中點(diǎn)為因?yàn)榱=D'A，所以力O_LAC，

D

D

又因?yàn)槠矫鍭CD'_L平面AC8,平面ACD'c平面AC8=AC，所以。0,平面ABC，

八aa

設(shè)NABC=NADC=a,ccG(0,TT),在AACf)中，DO=ADcos—=2cos—,由題意可知：

22

DO=DO=2cos—,

2

S.ABC=；x2x2sina=2sina

1n,c4.aS.aa8,af..?Ya7t\_.a

TZ=c22nrlil

v--SAlirxL)O=-sincccos—=—sin—cos—=—sin—1—sin—0<—<一設(shè)t=sin—,則

D-ABC34ABe3232232(222)2

%詼=|?一/)，且0?1，

?,.%-板=[(1-3/卜

.?.當(dāng)0<「〈爭寸，喉板〉。，當(dāng)去<”1時，—，

.?.當(dāng)/=且時，V取得最大值”且，

327

，四面體。ABC體積的最大值為小叵.

27

故選A.

8.己知函數(shù)/(*)耳愴(％—1)|一優(yōu)［0<0<1)有兩個零點(diǎn)為，則有()

A.X|X2<1B.xtx2<x{+x2

C.x,x2=x1+x2D.xtx2>xt+x2

【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(X)有兩個零點(diǎn)，故方程

旭(x—l)|=a*(O<a<l)有兩個解%，%2(%!<x,).

設(shè)函數(shù)g(x)=pg(x-l)|,函數(shù)〃(%)=優(yōu)，則g(x)=|lg(x-l)|與〃(尤)=a"的圖象有兩個交點(diǎn),

如圖所示:

由圖象知，1<%<2<々，所以0cxi-1<1,%—

所以=，炮(&-1)=/2,

因?yàn)?)<a<l且占<々，所以a*'>a=，得Tg(玉T)>lg(N-1)，

lg[(xi-l)(x2-1)]<0,即0<(為一1)(9-1)<1，

整理得，Xtx2<xt+x2.

故選B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.對于不同直線機(jī)，”和不同平面a,B,有如下四個命題，其中正確的是()

A.若加_La,〃///7,ml.n,則a//用

B.若〃z_La,mHn,nufi,則a_L/7

C.若“_La,〃_L/?,m±a,則〃z_LA

D.若加J_。，mLn,則〃//a

【答案】BC

【解析】選項(xiàng)A.若利」a,n///3,mln,則。與夕可能相交可能平行，故A不正確.

選項(xiàng)B.若mJ_a,〃〃/〃，則“_La,又〃u￡,所以。故B正確

選項(xiàng)C.若〃_La,n±j3,則a//￡,又加_La,所以根J?尸，故C正確

選項(xiàng)D.若〃?_La,mA-n,則〃//a或〃ua,故D不正確.

故選：BC

10.已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線/交拋物線于A、3兩點(diǎn)，以線段A3為直徑

的圓交>軸于M、N兩點(diǎn)，設(shè)線段A3的中點(diǎn)為P，則（）

A.OAOB=--p2

4

B.若MM?忸司=4p2,則直線A8的斜率為石

C.若拋物線上存在一點(diǎn)￡（2,0到焦點(diǎn)F的距離等于3,則拋物線的方程為/=4x

D.若點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離為2,貝UsinNPMN的最小值為:

【答案】ACD

【解析】設(shè)A（x，y）,

設(shè)直線/：x=，肛，+g與拋物線方程聯(lián)立

P

x=my+—

222

y-2pmy-p=0,y,+y2=2pm,yxy2=-p,

y2=2px

______y：/3

A.OAOB=xx+yy=-^-^+y=-p~=--P~,

l2]22P2Pyi244

故A正確；

B.根據(jù)焦半徑公式可知網(wǎng)=%+^,\BF\=X2+^,

|A*即=1+S,+々J=(加X+P)(m%+P)

22

=my}y2+pm(yi+y2)+p

=-nrp2+2p2nrp2=p2(m2+1),

由條件可知，7%2+l=4，解得：〃?=±e，

直線/的斜率左='=±且，故B不正確；

m3

C.由題意可知2+"=3,解得：P=2,

2

則拋物線方程是V=4x,故C正確；

D.由題意可知p=2,所以y+>2=4，〃，

由圓的幾何性質(zhì)可知sinNPMN=-,

r

。是點(diǎn)p到y(tǒng)軸的距離4=三土上，網(wǎng)=西+±+J

222

由分析可知玉=町,x2=my2+y,

2

且X+%=2p〃2,yiy2=~P^

得d=2m2+1,r=2m2+2,

.d2m2+1,1

所以沏/0仰=7=茄壬=1一而旬,

當(dāng)加2=o時，sin/PMN取得最小值g,

此時直線/：x=l,故D正確.

故選：ACD

11.南宋楊輝在他1261年所著的《詳解九章算術(shù)》一書中記錄了一種三角形數(shù)表，稱之為“開方作法本源”圖,

即現(xiàn)在著名的“楊輝三角''.下圖是一種變異的楊輝三角，它是將數(shù)列｛〃“｝各項(xiàng)按照上小下大，左小右大的原

則寫成的，其中｛??｝是集合｛2、+2[0<s<:目6"GZ｝中所有的數(shù)從小到大排列的數(shù)列，即

q=3,。2=5,%=6,4=9,%=1°…下列結(jié)論正確的是()

3

56

91012

A.第四行的數(shù)是17,18,20,24B.0如=3-2'~

2

C.=2〃+1D.40G=16640

2

【答案】ABD

【解析】利用(SJ)來表示每一項(xiàng)，由題可知：

第一行：3(0,1)

第二行：5(0,2),6(1,2)

第三行：9(0,3),10(1,3),12(2,3)

第四行：17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4)

故A正確

。四生表示第n行的第〃項(xiàng)，則％如=2"'+2"=3?2'i,

22

故B正確

則小「2。+2"=1+2"

由“四山+1表示第〃行的第1項(xiàng),八.----+]

22

故C錯

又卬00表示第14行的第9項(xiàng)，所以40G=2'+2"=16640

故D正確

故選：ABD

xe\x<V>

x

12.已知函數(shù)/(x)=<e,函數(shù)g(x)=^(x),下列選項(xiàng)正確的是()

—r,X21

A.點(diǎn)(0,0)是函數(shù)的零點(diǎn)

B.3x,G(0,1),X2G(1,3),使/(%)>/。2)

C.函數(shù)/(X)的值域?yàn)椋邸猠T,yo)

D.若關(guān)于x的方程限(切2-2改(》)=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】BC

對于選項(xiàng)A,0是函數(shù)/(x)的零點(diǎn)，零點(diǎn)不是一個點(diǎn)，所以A錯誤.

對于選項(xiàng)B,當(dāng)x<l時，-(x)=(x+l)e',可得，

當(dāng)x<—l時，"X)單調(diào)遞減；當(dāng)一1<X<1時，/(X)單調(diào)遞增；

所以，當(dāng)0<x<l時，0</(x)<e

當(dāng)x>l時，=可得，

當(dāng)l<x<3時，/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>3時，八幻單調(diào)遞增：

所以，當(dāng)l<x<3時，e<f(x)〈幺，綜上可得，選項(xiàng)B正確.

27

對于選項(xiàng)C,/W=/(-l)=--，選項(xiàng)C正確.

mine

對于選項(xiàng)D,關(guān)于x的方程[g(x)『-2ag(x)=()有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

O關(guān)于x的方程g(x)[g(x)-2〃]=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

。關(guān)于x的方程g(x)-2。=0有一個非零的實(shí)數(shù)根

o函數(shù)y=g(x)與y=2a有一個交點(diǎn)，且無。()

2x

xe\x<1

g(無)=gxzi

X

當(dāng)xvl時，g!(x)=ex(x2+2x)

當(dāng)工變化時，g'(x),g(x)的變化情況如下:

Xx<-2-2—2<x<000<^<1

g(X)+0—0+

g(x)/極大值極小值/

4

極大值g(—2)=^,極小值g(0)=0

e

當(dāng)xNl時，g，(x)=e'(殍2)

當(dāng)X變化時，g'(x),g(x)的變化情況如下:

X1[<x<22x>2

g'(x)—0+

g(x)e極小值/

極小值g(2)=J

4

綜上可得，Nv2avJ或2々>e,

e4

(2?2、e

a取值范圍是—U(；,+8),D不正確.

le28J2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

n\一1

13.已知復(fù)數(shù)——(aeR)是實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)3+出尸是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)8的值為

1+1

【答案】±1

_a-l+(a+l)z

【解析】由題得1+z-(l+z)(l-i)-2-

因?yàn)閺?fù)數(shù)c^ii——1(aeR)是實(shí)數(shù),

1+i

所以a+1=(),;.a=—1.

所以S+ai)2=S—i)2=及-1一2尻,

因?yàn)閺?fù)數(shù)S+ai)2純虛數(shù),

%2_1=0

所以《,:.b=+l.

-2b^0

故答案為：±1

14.(l-x)(l+ax)6(a>0)的展開式中V的系數(shù)為9,則"

【答案】1

k

【解析】(1+ax)6(a>0)的通項(xiàng)公式TM=C：(ax)=C*3*，

若第一括號是1,則第二個括號必須是爐相乘,

若第一括號是一％,則第二個括號必須是X相乘,

則爐項(xiàng)系數(shù)C；?c『一6。=9,

即5cr—2〃—3=0，得3—1)(5〃+3)=0,

3

得&=1或。=——(舍)，

故答案為：1.

15.已知定義在R上的函數(shù)Ax)滿足：/(x)=2—/(—x),且函數(shù)/(x+1)是偶函數(shù)，當(dāng)xe[T,O]時,

13

【答案】—

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)滿足：,/Xx)=2—/(—x),且函數(shù)/(x+1)是偶函數(shù)，

所以/(x+l)+/(-x—l)=2,且f(x+l)=/(—x+l),可得/(-x+l)+/(-x-l)=2,即

/(x+l)+/(x-l)-2

所以/(x+2)+/(x)=2…①,/(x+4)+/(x+2)=2…②

②-①，可得/(x+4)