公務(wù)員考試容斥原理類解法

容斥原理類解法

對于容斥原理類的題目，近年來在公務(wù)員行政職'也能力測驗(yàn)中考的不少。熟練掌握三集合整體重復(fù)型公式

成為了做題關(guān)鍵。

對于容斥原理類的題目，近年來在公務(wù)員行政職業(yè)能力測驗(yàn)中考的不少。縱觀歷年真題,

我們可以發(fā)現(xiàn)：2006年國家公務(wù)員考試考了一道三集合圖示標(biāo)數(shù)型;2007年國家公務(wù)員考試

考了兩道兩集合型題目;2009年國家公務(wù)員考試考了一道三集合的題目，可以直接套用三集

合標(biāo)準(zhǔn)型核心公式;2010年和2011年國家公務(wù)員考試連續(xù)兩年考了三集合整體重復(fù)型。因

此，熟練掌握三集合整體重復(fù)型公式成為了做題關(guān)鍵。

一、介紹三集合整體重復(fù)型核心公式

在三集合題型中，假設(shè)滿足三個(gè)條件的元素?cái)?shù)量分別是A、B和C,而至少滿足三個(gè)條

件之一的元素的總量為W。其中，滿足一個(gè)條件的元素?cái)?shù)量為X,滿足兩個(gè)條件的元素?cái)?shù)量

為y,滿足三個(gè)條件的元素?cái)?shù)量為z,根據(jù)下圖可以得到以下兩個(gè)等式：

A+B+C=xxl+yx2+zx3

二、典型的三集合整體重復(fù)型的題目講解

例1、某班有35個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少參加英語小組、語文小組、數(shù)學(xué)小組中的一個(gè)

課外活動(dòng)?，F(xiàn)已知參加英語小組的有17人，參加語文小組的有30人，參加數(shù)學(xué)小組的有1

3人。如果有5個(gè)學(xué)生三個(gè)小組全參加了，問有多少個(gè)學(xué)生只參加了一個(gè)小組?(2004年浙江

公務(wù)員考試行測第20題)

A.15人B.16人C.17人D.18人

【答案】A解析：此題有兩種解法可以解出:

英語

解一：如圖，分別設(shè)只參加英語和語文、英語和數(shù)學(xué)、語文和數(shù)學(xué)小組的人為x、y、z,

則只參加英語小組的人為17-5-x-y,只參加語文小組的人有30-5-x-z,只參加數(shù)學(xué)小組的人

有13-5-y-z,則只參加三個(gè)小組中的一個(gè)小組的人和只參加其中兩個(gè)小組的人和三個(gè)小組都

參加的人的總和為總?cè)藬?shù)，即17-5-x-y+30-5-x-z+13-5-y-z+x+y+z+5=35。則求x+y+z=15,所

以只參加一個(gè)小組的人數(shù)的和為15。

解二：套用三集合整體重復(fù)型公式：

W=x+y+z

A+B+C=xxl+yx2+zx3

35=x+y+5

17+30+13=xxl+yx2+5x3

解得：x=15,y=15

例2、某調(diào)查公司就甲、乙、丙三部電影的收看情況向125人進(jìn)行調(diào)查，有89人看過甲片，

有47人看過乙片，有63人看過丙片，其中有24人三部電影全看過，20人一部也沒有看過,

則只看過其中兩部電影的人數(shù)是（）（2009年江蘇公務(wù)員考試行測A類試卷第19題）

A.69B.65C.57D.46

【答案】D解析：本題也是一道典型的三集合整體重復(fù)型題目，直接套用三集合整體

重復(fù)型公式：

W=x+y+z

A+B+C=xxl+yx2+zx3

這里需要注意的是W=105,而非125,

105=x+y+24

89+47+63=xx1+yx2+24x3

兩個(gè)方程，兩個(gè)未知數(shù)，解出y=46,這里y表示只看過兩部電影的人數(shù)，即所求。

例3、某高校對一些學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參加注冊會(huì)計(jì)師考

試的有63人，準(zhǔn)備參加英語六級考試的有89人，準(zhǔn)備參加計(jì)算機(jī)考試的有47人，三種考

試都準(zhǔn)備參加的有24人，準(zhǔn)備選擇兩種考試參加的有46人，不參加其中任何一種考試的有

15人。問接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人?（2010年國家公務(wù)員考試行測第47題）

A.120B.144C.177D.192

【答案】A解析：本題的特征也很明顯，直接套用公式，只是要注意的是，題目中最

后問的是接受調(diào)查的總?cè)藬?shù)，我們求出W之后，還需要再加上不參加其中任何一種考試的

那15個(gè)人,

W=x+46+24

63+89+47=xx1+46x2+24x3

通過解方程，可以求出W=105,這只是至少準(zhǔn)備參加一種考試的人數(shù)，所以接受調(diào)查

的總?cè)藬?shù)為105+15=120。

例4、某市對52種建筑防水卷材產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量抽檢，其中有8種產(chǎn)品的低溫柔度不合

格，10種產(chǎn)品的可溶物含量不達(dá)標(biāo)，9種產(chǎn)品的接縫剪切性能不合格，同時(shí)兩項(xiàng)不合格的有

7種，有1種產(chǎn)品這三項(xiàng)都不合格，則三項(xiàng)全部合格的建筑防水卷材產(chǎn)品有多少種?（2011年

國家公務(wù)員考試行測試卷第74題）

A.37B.36C.35D.34

【答案】D解析：本題屬于典型的三集合整體重復(fù)，直接套用公式：

W=x+7+l

8+10+9=xx14-7x2+1x3

可以解除W=18,所以至少有一項(xiàng)不合格的有18種，則三項(xiàng)全部合格的建筑防水卷材

產(chǎn)品有F2-18=34。

在三集合整體重復(fù)型的題目中，我們需要辨認(rèn)A、B、C,x、y、z具體指代什么，特別

是需要搞清W是哪個(gè)量，這里再強(qiáng)調(diào)一遍，至少滿足三個(gè)條件之一的元素的總量為W,而

并非題目總量即為W,只要掌握這一點(diǎn)，這類題日即可迎刃而解。

數(shù)量關(guān)系容斥原理

對公務(wù)員考試行測中數(shù)學(xué)運(yùn)算各個(gè)題目進(jìn)行整理，有?類是“容斥原理”問題，主要包括兩集合問題和三集

合問題，此類問題是每年必考的題型，現(xiàn)在對此類題目進(jìn)行匯總，希望能幫助4.24聯(lián)考的廣大考生順利通

過考試。

對公務(wù)員考試行測中數(shù)學(xué)運(yùn)算各個(gè)題目進(jìn)行整理，有一類是“容斥原理''問題，主要包括

兩集合問題和三集合問題，此類問題是每年必考的題型，現(xiàn)在對此類題目進(jìn)行匯總，希望能

幫助4.24聯(lián)考的廣大考生順利通過考試。

1、公式法：適用于條件與問題都可直接代入公式的題目。利用公式法解決問題時(shí)要注

意公式中每個(gè)字母所代表的含義，這是考生經(jīng)常容易出錯(cuò)的地方。

(1)兩個(gè)集合：

涉及到兩個(gè)集合的容斥原理的題目相對比較簡單，可以按照下面公式代入計(jì)算：

1都的個(gè)數(shù)+2都的個(gè)數(shù)一1、2部的個(gè)數(shù)=總一1、2都不的個(gè)數(shù)

“都”是指滿足該條件的集合數(shù)。

(2)三個(gè)集合：

IAUBUC|=|A|+|B|+|C|-|APBI-IBHCI-ICHAI+IADBClC|

2、韋恩圖法：用圖形來表示集合關(guān)系，變抽象文字為形象圖示。因其具有直觀性，便

捷性和可行性，因此推薦首選文氏畫圖解題。

(1)兩個(gè)集合:

針對歷年的真題進(jìn)行講解。

例1、對某單位的100名員工進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中

58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有1

8人，既喜歡看電影乂喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的

有()。(2005年國家公務(wù)員考試一卷行測第45題)

A.22人B.28人C.30人D.36人

解析：設(shè)人=喜歡看球賽的人(58),13=喜歡看戲劇的人(38),C=喜歡看電影的人(52),則

有：

人”=既喜歡看球賽的人乂喜歡看戲劇的人(18)

Bnc=既喜歡看電影又喜歡看戲劇的人(16)

AABnC=三種都喜歡看的人(12)

AlJBUC=看球賽和電影、戲劇至少喜歡一種(100)

由集合運(yùn)算公式可知：

CCIA=A+B+C-(AUBUC+ADB+BCC-AriBnC)

=148-(100+18+16-12)=26

所以，只喜歡看電影的人=C-BnC-CCA+ACBnC

=52-16-26+12

=22

注：這道題運(yùn)用公式運(yùn)算比較復(fù)雜，運(yùn)用文氏畫圖法我們很快就可以看出結(jié)果。文氏解

法如下：

由題意知：(40-x)+x+(36-x)+6+12+4+16=100,解得x=14;則只喜歡看電影的人有36-

x=22

例2、外語學(xué)校有英語、法語、II語教師共27人，其中只能教英語的有8人，只能教I卜語

的有6人，能教英、日語的有5人，能教法、日語的有3人，能教英、法語的有4人，三種

都能教的有2人，則只能教法語的有（）。（2005年國家公務(wù)員考試二卷行測第45題）

A.4人B.5人C.6人D.7人

解析：首先采用公式法解決此題，設(shè)人=英語教師（8+5+4-2=15）,B=法語教師，C=日語

教師（6+5+3-2=12）,（但應(yīng)注意的是在做題之前，我們首先必須了解公式中A,B,C三個(gè)集合

所代表的含義，并非A=8,C=6.）,則

C=AUBUC-A-C+AnB+BClC+CnA-AnBnC

=27-15-12+5+3+4-2=10,那么只能教法語的教師=10-3-4+2=5

另外，此題如果用韋恩圖法會(huì)相當(dāng)簡單，設(shè)只能教法語的人數(shù)為X,則依題意得韋恩圖（見

下圖）:

山題意我們有27=8+3+6+2+2+1+X,解得X=5。

例3、某高校對?些學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參加注冊會(huì)計(jì)師考

試的有63人，準(zhǔn)備參加英語六級考試的有89人，準(zhǔn)備參加計(jì)算機(jī)考試的有47人，三種考

試都準(zhǔn)備參加的有24人，準(zhǔn)備選擇兩種考試都參加的有46人，不參加其中任何一種考試的

都15人。問接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人?（）（2010年國家公務(wù)員考試行測第47題）

A.120B.144C.177D.192

解析：同上，我們可以直接利用三個(gè)集合并的運(yùn)算來解決這個(gè)集合問題，公式如下：

AUBUC=A+B+C-AnB-AOC-BnC+AOBnC,但是這里的“準(zhǔn)備選擇兩種考試都參加的

有46人”并不是我們所說的AOB+Anc+Bnc,AOB+Anc+Bnc中還包含著選擇三種考試

的人即ADBAC,因此ACB+Anc+Bnc=46+AABnC*3=118,這樣AUBUC=63+89+47-

118+24=105,總?cè)藬?shù)為105+15人20.

另外我們也可以用韋恩圖：

依題意可得:

A+D+E+G=63

B+D+F+G=89

C+E+F+G=47

D+E+F=46

設(shè)參加人數(shù)為N,貝I」有N=A+B+C+D+E+F+G+15=1201.

極值問題歸納及技巧點(diǎn)撥

在我們福建省即將到來的424聯(lián)考中，數(shù)學(xué)運(yùn)算直是大家比較頭痛的問題，尤其是其中相

對較難的極值問題(又稱為構(gòu)造問題)，更是大家一直不得要領(lǐng)但又年年必考的難題。下面，

老師將用幾道國考和聯(lián)考的真題為大家點(diǎn)撥這一類題目的技巧。

一、同色抽取的極值問題

該類問題一般表述為：有若干種不同顏色的紙牌，彩球等，從中至少抽出幾個(gè)，才能保

證在抽出的物品中至少有n個(gè)顏色是相同的。

解題常用通法：先對每種顏色抽取(n-1)個(gè)，如果某種顏色的個(gè)數(shù)不夠(n-l)的，就對這種

顏色全取光，然后再將各種顏色的個(gè)數(shù)加起來，再加1,即為題目所求。

【例1】從一副完整的撲克牌中，至少抽出()張牌，才能保證至少6張牌的花色相同。

A.21B.22

C.23D.24

【解析】先對四種常見花色“桃杏梅方”各抽取n-l=5個(gè)，總共抽取5x4=20張。

考慮到這是一副完整的撲克牌，再對特殊的花色“大小王”進(jìn)行抽取，大小王只有2張，

不夠n-l的要求，就對其全部取光，總共抽取2張。

將以上各種顏色的個(gè)數(shù)加起來，再加1,即5x4+2+1=23張，即為所求，答案選C。

二、特定排名的極值問題

該類問題一般表述為：若干個(gè)整數(shù)量的總和為定值，且各不相同（有時(shí)還會(huì)強(qiáng)調(diào)：各不

為0或最大不能超過多少），求其中某一特定排名的量所對應(yīng)的最大值或最小值。

解題常用通法：將所求量設(shè)為n,如果要求n最大的情況，則考慮其它量最小的時(shí)候；

反之，要求n最小的情況，則考慮其它量盡可能大。

【例2】5人的體重之和是423斤，他們的體重都是整數(shù)，并且各不相同，則體重最輕

的人，最重可能重（）?

A.80斤B.82斤

C.84斤D.86斤

【解析】體重最輕的人，是第5名，設(shè)為n?？紤]其最重的情況，則其他人盡可能輕。

第四名的體重大于第五名n,但又要盡可能輕且不等于n,故第四名是n+屋同理，第

三名至第一名依次大于排名靠后的人且取盡可能小的值，故依次為n+2,n+3,n+4。

五個(gè)人盡可能輕的情況下，總重量為n+n+l+n+2+n+3+n+4=4n+10。

實(shí)際總重量423應(yīng)大于等于盡可能輕的總重量，故4n+10W423,解得nW82.6,所以n最

大為82斤，答案選B。

三、多集合的極值問題

該類問題一般表述為：在一個(gè)量的總和（即全集）里，包含有多種情況（即多個(gè)子集），求

這多種情況同時(shí)發(fā)生的量至少為多少。

解題常用通法：多種情況交叉發(fā)生的量完全不知道，故無法正面求解，所以將題目轉(zhuǎn)化

為：至多有多少量并不是多種情況同時(shí)發(fā)生，也就是只要有?種情況不發(fā)生即可。求出題目

中多個(gè)情況不發(fā)生的量，相加即可得到只要有一種情況不發(fā)生的最大值，再用總題量相減，

即可得所求量。

計(jì)算通式：總和M,每種情況發(fā)生的量分別為a,b,c,d,則多種情況同時(shí)發(fā)生的量

至少為M-[(M-a)+(M-b)+(M-c)+(M-d)]

【例3】某社團(tuán)共有46人，其中35人愛好戲劇，30人愛好體育，38人愛好寫作，40

人愛好收藏，這個(gè)社團(tuán)至少有多少人以上四項(xiàng)活動(dòng)都喜歡?()

A.5B.6

C.7D.8

【解析】每種活動(dòng)不喜歡的人數(shù)分別為46-35=11人，16人，8人，6人。故四種活動(dòng)

都喜歡的反面——“四種活動(dòng)不都喜歡”——即只要有一種活動(dòng)不喜歡的人數(shù)最多為11+16+

8+6=41人，所以四種活動(dòng)都喜歡的人數(shù)最少為46-41=5人，答案選A。

【練習(xí)題】100人參加7項(xiàng)活動(dòng)，已知每個(gè)人只參加一項(xiàng)活動(dòng)，而且每項(xiàng)活動(dòng)參加的人

數(shù)都不一樣，那么，參加人數(shù)第四多的活動(dòng)最多有幾個(gè)人參加?()

A.22B.21

C.24D.23

【解析】第四多的活動(dòng)人數(shù)設(shè)為n,當(dāng)n最大時(shí)，第5-7名盡可能小的值為0,1,2(題

目中沒有說每項(xiàng)活動(dòng)一定有人參加)，第1-3名盡可能小的值為n+3,n+2,n+1,故n+3+n+

2+n+l+n+2+l+0=4n+9為盡可能小的總?cè)藬?shù)，應(yīng)$實(shí)際總?cè)藬?shù)100,故4n+9S100,n<22.75,

所以最多有22人參加，答案選A。

在現(xiàn)在競爭II加激烈的公務(wù)員考試中，極值問題作為年年必考1-2題，且區(qū)分度與難度

都較高的一類題目，其重要性不容小視，希望各位同學(xué)細(xì)細(xì)揣摩，認(rèn)真領(lǐng)會(huì)，祝大家都能在

考試中取得理想的成績。

工程問題

工程問題是近年來考試的熱點(diǎn)問題之一,國家公務(wù)員考試和多省公務(wù)員考試以及很多省份的

省公務(wù)員考試，幾乎每年都會(huì)考那么一道或二道工程問題。2010年12月5日結(jié)束的國家公

務(wù)員考試中，數(shù)量關(guān)系部分同樣考了二道工程問題。工程問題與我們的實(shí)際生活緊密相連,

解決這類問題的能力也是公務(wù)員應(yīng)該具備的基本素質(zhì)之一。

解決工程問題，首先我們應(yīng)該掌握工程問題的核心公式:

工程總量=工作效率x工作時(shí)間

工程總量

工作效率=

工作E寸間

工程總量

工作時(shí)間=

工作效率

解決經(jīng)濟(jì)利益相關(guān)問題的基本方法有：代入排除法，方程法，設(shè)“「思想等。下面將結(jié)

合2011年國考真題來講解解決這類問題的方法。

【例1】同時(shí)打開游泳池的A,B兩個(gè)進(jìn)水管，加滿水需1小時(shí)30分鐘，且A管比B

管多進(jìn)水180立方米，若單獨(dú)打開A管，加滿水需2小時(shí)40分鐘，則B管每分鐘進(jìn)水多少

立方米?（2011國家公務(wù)員考試行測）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解析】本題屬于工程問題。

方程法列：設(shè)B每分鐘進(jìn)水立方米，1小時(shí)30分鐘=90分鐘，2小時(shí)40分鐘=160分鐘,

則A每分鐘進(jìn)水+180/90=+2,列方程得：90(++2)=160(+2),解得，=7,所以選擇B選項(xiàng)。

代入排除法：設(shè)B每分鐘進(jìn)水立方米，則A每分鐘進(jìn)水+180/90=+2,代入A選項(xiàng)得，

90x(6+8)聲160/8,代入B選項(xiàng)，90*7+9尸160*9,同理代入C、D排除。所以選擇B選項(xiàng)。

【例2】甲、乙、丙三個(gè)工程隊(duì)的效率比為6：5：4,現(xiàn)將A、B兩項(xiàng)工作量相同的工

程交給這三個(gè)工程隊(duì)，甲隊(duì)負(fù)責(zé)A工程，乙隊(duì)負(fù)責(zé)B工程，丙隊(duì)參與A工程若干天后轉(zhuǎn)而

參與B工程。兩項(xiàng)工程同時(shí)開工，耗時(shí)16天同時(shí)結(jié)束，問丙隊(duì)在A工程中參與施工多少天?

(2011國家公務(wù)員考試行測)

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解析】本題屬于工程問題。

代入排除法：因?yàn)榧?、乙、丙三個(gè)工程隊(duì)的效率比為6：5：4,所以甲的效率比乙高，

丙在甲負(fù)責(zé)的A工程中比在乙負(fù)責(zé)的B工程參與時(shí)間要少，又因?yàn)閮身?xiàng)工程同時(shí)開工，耗

時(shí)16天同時(shí)結(jié)束，而C、D選項(xiàng)說明丙在A工程中的參與時(shí)間和B工程參與時(shí)間一樣或者

多，所以排除C、D選項(xiàng)。代入A知，6x16+6x4=15x16+10x4=120,所以A正確。而B選

項(xiàng)，6x16+7x4,5x16+9x4,B選項(xiàng)錯(cuò)誤。所以選擇A選項(xiàng)。

常規(guī)解法：設(shè)兩項(xiàng)工程的工作總量為(6+5+4)x16=240,每項(xiàng)工程的工作總量為120,甲

隊(duì)16天一共完成6x16=96,所以丙工作了(120-96)+4=6天。所以選擇A選項(xiàng)。

列方程法：設(shè)兩項(xiàng)工程的工作總量為(6+5+4)x16=240,每項(xiàng)工程的工作總量為120,

設(shè)丙對在A工程中參與施工天，6x16+4=120,解得x=6,所以選擇A選項(xiàng)。

【點(diǎn)撥】在考試時(shí)，考生往往習(xí)慣性代入A選項(xiàng)，如果A項(xiàng)正確，由于答案的唯一性,

其它選項(xiàng)就不用再代入，那么代入排除法是最快找到正確答案的方法。當(dāng)然方程方法熟練也

是比較快的，相對于其他題型，工程問題是基本題型，難度也較小。

盈虧問題解題思路點(diǎn)撥

【盈虧問題介紹】

現(xiàn)在把若干物體平均分給一定數(shù)量的對象，并不是每次都能正好分完。如果物體還有剩

余，就叫盈;如果物體不夠分，少了，叫虧。凡是研究盈和虧這一類算法的應(yīng)用題就叫盈虧

問題。

盈虧問題是類應(yīng)用非常普遍的應(yīng)用題，在省公務(wù)員考試中考察的比較多，（所以華圖

教育特別提示備考省公務(wù)員考試的考生，加大這方面的訓(xùn)練）因而非常有必要分析這類問題

的具體解題思路，以便在今年的應(yīng)考中有一個(gè)好的對策。

解盈虧問題常常用到比較法。思路是比較兩種不同的做事方法，把盈余數(shù)ij不足數(shù)之和

看作總差數(shù)，用每個(gè)單位的差去除，就可得到單位的數(shù)目，對本題就是栽樹的人數(shù)。我們有

如下的公式：

（盈+虧戶（每個(gè)單位的差尸單位數(shù)

（盈一盈戶（每個(gè)單位的差尸單位數(shù)

（虧一虧廣（每個(gè)單位的差尸單位數(shù)

【真題講解】

例1、若干學(xué)生住若干房間，如果每間住4人則有20人沒地方住，如果每間住8人則

有一間只有4人住，問共有多少名學(xué)生（）（2002年國家公務(wù)員考試行測第32題）

A.30人B.34人

C.40人D.44人

解析：每間住4人，剩余20人沒地方住;每間住8人，有一間缺4人沒住滿。

我們可以假設(shè)這些學(xué)生先4人一間，然后再每間加4人，那么第一次剩余的20人可以

分配至U20+4=5間，還有一問只有4人，可以很容易得到房間為5+1=6間，那么總?cè)藬?shù)為6

,4+20=44人。

通過做這道題H,我們可以進(jìn)步總結(jié)，第?次分配人到房間是盈，第二次分配人到房

間是虧，（盈+虧戶（分配方法之差尸房間數(shù)。

例2、單位安排職工到會(huì)議室聽報(bào)告。如果每3人坐條長椅，那么剩下48個(gè)人沒有

坐;如果每5人坐一條長椅，則剛好空出兩條長椅。聽報(bào)告的職工有多少人?（2009年河北省

公務(wù)員考試行測第119題）

A.128B.135

C.146D.152

解析：每3人坐一條長椅，剩余48人;每5人坐一條長椅，缺10人沒地方坐。

48+10=58人，58-（5-3）=29條長椅，則人數(shù)=（29-2）x5=135人。

當(dāng)然本題還可以直接用人數(shù)能被5整除來進(jìn)行判斷，選擇B。

例3、某單位以箱為單位向困難職工分發(fā)救濟(jì)品，如果有12人每人各分7箱，其余的

每人分5箱，則余下148箱;如果有30人每人各分8箱，其余的每人分7箱，則余下20箱。

由此推知該單位共有困難職工（）（2008年山西省公務(wù)員考試行測第43題）

A.61人B.54人

C.56人D.48人

解析：本題和別的盈虧問題的區(qū)別在于，每次的救濟(jì)品分發(fā)的過程中，有一部分人的分

配方法和其他人不同。對于這樣的問題，我們要做的是首先統(tǒng)一分配方法，即所有人采用相

同的分配方法。

第一次每人分5箱，余下148+12x2=172箱

第二次每人分7箱，余下20+30=50箱

172-50=122箱，122+（7-5尸61人。

由解盈虧問題的公式可以看出，求解此類問題的關(guān)鍵是小心確定兩次分配數(shù)量的差和盈

虧的總額，如果兩次分配是一次是有余，另一次是不足時(shí)，則依上面的計(jì)算過程，先求得人

數(shù)（不是物數(shù)），再求出物數(shù);如果兩次分配都是有余，則計(jì)算過程變成兩次剩余差除以兩次分

配數(shù)之差。

有時(shí)候，必須轉(zhuǎn)化題目中條件，才能從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中尋找解答;有時(shí)候，直接從“包

含'’入手比較困難，可以間接從其反面"不包含'’去想就會(huì)比較容易。

數(shù)量關(guān)系20秒極限解題法

20秒極限解題法可以幫助考生在解答數(shù)量關(guān)系與資料分析問題中實(shí)現(xiàn)“快”、“穩(wěn)”、“準(zhǔn)”的夢想。

20秒極限解題法，是教研團(tuán)隊(duì)結(jié)合行測命題規(guī)律，在總結(jié)近年來國考和地方考試及各

地考試行測真題的基礎(chǔ)上，為考生量身打造的一套解題技巧，使廣大考生在解答數(shù)量關(guān)系與

資料分析問題中實(shí)現(xiàn)“快”、“穩(wěn)”、“準(zhǔn)”的夢想。下面擷取幾例，與廣大考生分享。

極限技巧一：整除法

整除法在公務(wù)員行測考試中占有非常重要的位置，能夠快速提高數(shù)量關(guān)系的解題速度，

有效節(jié)省做題時(shí)間。運(yùn)用整除法的關(guān)鍵在于找到題干中隱藏的關(guān)鍵數(shù)字信息，結(jié)合選項(xiàng)利用

數(shù)字的整除特性解題。

例1：在一次測驗(yàn)中，甲答對4道題，乙答錯(cuò)題目總數(shù)的1/6,兩人都答對的題目是總

數(shù)的1/4。那么乙答對了多少題？

A.10B.8C.20D.16

一一『2010年河南省選調(diào)生錄用考試』

【答案】A

一般解法：設(shè)總量為x,乙答對總題量的5/6,甲答對4道題，又因?yàn)閮扇硕即饘Φ念}

目是總數(shù)的1/4,則有x/4<4,x<16o再往下就無從著手了。

【20秒極限解題法】整除法，同時(shí)代入排除法。由題意知，題目的總數(shù)=乙答對的題目

數(shù)x(6/5),顯然乙答對的題目數(shù)是5的倍數(shù)，首先排除B、D;將20代入，若乙答對的題目數(shù)

為20道，則題目的總數(shù)為24道，又甲答對4道題，所以兩人都答對的題目數(shù)最多為4道,

4W1/4,所以排除C。故選A。

例2：某公司去年有員工830人，今年男員工人數(shù)比去年減少6%,女員工人數(shù)比去年

增加5%,員工總數(shù)比去年增加3人。問今年男員工有多少人?()

一一『2011年中央、國家機(jī)關(guān)公務(wù)員錄用考試』

A.329B.350C.371D.504

【答案】A

?般解法：因此題計(jì)算比較繁瑣，?般數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的學(xué)生按此方法做題約需要60秒以

上。設(shè)去年男員工人數(shù)為X,女員工為830-x,今年男員工人數(shù)為xx(l-6%),女員工為(830-

x)x(l+5%),今年人數(shù)比去年多3人，即xx(l-6%)+(830-x)x(l+5%尸830+3,解方程可求出x,

則今年男員工人數(shù)為xx(l-6%尸329。

【20秒極限解題法】本題可利用整除特性求解。由題知：今年男員工人數(shù)是去年的94

%,即4750,故今年男員工人數(shù)可被47整除。結(jié)合選項(xiàng)，只有A項(xiàng)符合。故選A。

極限技巧二：數(shù)字特性法

數(shù)字特性法：根據(jù)題干列出公式，觀察式子中是否包含某些特定數(shù)字來進(jìn)行答案的排除

及選擇的一種方法。這種方法的核心在于以下兩點(diǎn)：若等式一邊能被某個(gè)數(shù)整除，則另一邊

一定能被某個(gè)數(shù)整除;若等式一邊不能被某個(gè)數(shù)整除，則另一邊一定不能被某個(gè)數(shù)整除。

例3：某機(jī)關(guān)有工作人員48人，其中女性占總?cè)藬?shù)的37.5%,后來又調(diào)來女性若干人,

這時(shí)女性人數(shù)恰好是總?cè)藬?shù)的40%,問調(diào)來幾名女性?()

A.1人B.2人C.3人D.4人

——『2009年河南選調(diào)生錄用考試』

【答案】B

一般解法：設(shè)調(diào)來女性為X,求得原有女性48x37.5%=18人，所以(18+x)+(48+x)=40

%,這樣可以求得x=2。

【20秒極限解題法】本題公式的運(yùn)算可以運(yùn)用數(shù)字特性法。后來的女性的人數(shù)為(48+x)

x40%是一個(gè)整數(shù)，可知48+x一定能夠被5整除，根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)，得到x=2。故選B。

例4：某商場促銷，晚上八點(diǎn)以后全場商品在原來折扣基礎(chǔ)上再打9.5折，付款時(shí)滿40

0元再減100元。已知某鞋柜全場8.5折，某人晚上九點(diǎn)多去該鞋柜買了一雙鞋，花了384.

5元，問這雙鞋的原價(jià)為多少錢?()

A.550元B.600元C.650元D.700元

一一『2008年中央、國家機(jī)關(guān)公務(wù)員錄用考試』

【答案】B

一般解法：該題屬于利潤問題，根據(jù)題意列出下列方程：原價(jià)=(384.5+100)/(0.85x0.95)

=(484.5)/(0.85x0.95)=600。這個(gè)式子本身并不難列出，但若按常規(guī)方法運(yùn)算的話，過程繁瑣

且易出錯(cuò)。

【20秒極限解題法】本題可以運(yùn)用數(shù)字特性法。由上面的公式，484.5能被3整除，而

0.85和0.95都不能被3整除，因此在公式的計(jì)算過程中3沒有被約掉，因此答案必然能被3

整除選項(xiàng)中只有B能夠被3整除，因此選B。

快速解答路程問題

專家以路程問題歷年經(jīng)典真題為例，給大家詳細(xì)講解如何快速解答此類問題，幫助廣大考生在考場上節(jié)省

時(shí)間，提高效率。

路程問題是數(shù)量關(guān)系運(yùn)算題中常見的典型問題，涉及距離、速度和時(shí)間三者之間的關(guān)系。

其中，距離=速度X時(shí)間。這種問題包括三種基本類型：相遇問題、追及問題和流水問題。

下面，專家以路程問題歷年經(jīng)典真題為例，給大家詳細(xì)講解如何快速解答此類問題，幫助廣

大考生在考場上節(jié)省時(shí)間，提高效率。

1.相遇問題

“相遇問題'’（或相背問題）是兩個(gè)物體以不同的速度從兩地同時(shí)出發(fā)（或從一地同時(shí)相背

而行），經(jīng)過若干小時(shí)相遇（或相離）。若把兩物體速度之和稱之為“速度和“，從同時(shí)出發(fā)到相

遇（或相距）時(shí)止，這段時(shí)間叫“相遇時(shí)間兩物體同時(shí)走的這段路程叫“相遇路程”，那么，它

們的關(guān)系式是：相遇路程=速度和X相遇時(shí)間;相遇時(shí)間=相遇路程+速度和;速度和一相遇路

程+相遇時(shí)間。

【例題1】（2007年國家）

A、B兩站之間有一條鐵路，甲、乙兩列火車分別停在A站和B站，甲火車4分鐘走的

路程等于乙火車5分鐘走的路程，乙火車上午8時(shí)整從B站開往A站，開出一段時(shí)間后，

甲火車從A站出發(fā)開往B站，上午9時(shí)整兩列火車相遇，相遇地點(diǎn)離A、B兩站的距離比

是15：16,那么，甲火車在（）從A站出發(fā)開往B站。

A.8時(shí)12分B.8時(shí)15分C.8時(shí)24分D.8時(shí)30分

【答案】B。解析：由題意可知，甲、乙兩列火車的速度比為5：4,兩列火車相遇時(shí)，

各自走過的距離比為15：16,那么這兩列火車所用時(shí)間比很容易算出，為3：4,進(jìn)而得出

甲所用的時(shí)間為3/4x60=45（分鐘）。由此可知，甲火車應(yīng)該是在8時(shí)15分從A站出發(fā)的。

【例題2】（2006年國家）

A、B兩地以一條公路相連。甲車從A地，乙車從B地以不同的速度沿公路勻速率相向

開出。兩車相遇后分別掉頭，并以對方的速率行進(jìn)。甲車返回A地后又一次掉頭以同樣的

速率沿公路向B地開動(dòng)。最后甲、乙兩車同時(shí)到達(dá)B地。如果最開始時(shí)甲車的速率為x米/

秒，則最開始時(shí)乙車的速率為（）。

A.4x米/秒

B.2x米/秒

C.0.5x米/秒

D.無法判斷

【答案】B。解析：甲車從A點(diǎn)到B點(diǎn)時(shí)，乙車已經(jīng)從B點(diǎn)到A點(diǎn)再返回B點(diǎn)，即兩

車相同時(shí)間內(nèi)以乙車速率走過以甲車速率的兩倍路程。已知甲車的速率為x米/秒，則乙車

的速率為2x米/秒。故答案為B。

2.追及問題

追及問題是兩物體以不同速度向同一方向運(yùn)動(dòng)，核心是“速度差”的問題。兩物體同時(shí)運(yùn)

動(dòng)，一個(gè)在前，一個(gè)在后，前后相隔的路程可以稱之為“追及的路程”，那么，在后的追上在

前的時(shí)間叫“追及時(shí)間”。公式為：追及時(shí)間一追及的路程十速度差。

【例題1】（2006年國家）

從12時(shí)到13時(shí)，鐘的時(shí)針與分針可成直角的機(jī)會(huì)有（）。

A.1次B.2次C.3次D.4次

【答案】B。解析：一個(gè)小時(shí)內(nèi)，分針轉(zhuǎn)一圈，與時(shí)針構(gòu)成直角的機(jī)會(huì)有2次。

【例題2】（2003年國家）

兩點(diǎn)到三點(diǎn)鐘之間，分針與時(shí)針什么時(shí)候重合?（）

A.2點(diǎn)10分B.2點(diǎn)30分C.2點(diǎn)40分D.2點(diǎn)50分

【答案】A。解析：時(shí)鐘問題屬于行程問題中的追及問題。鐘面上按"時(shí)'’分為12大格，

按“分''分為60小格。每小時(shí)，時(shí)針走1大格合5小格，分針走12大格合60小格，時(shí)針的

轉(zhuǎn)速是分針的1/12。此題中，兩點(diǎn)鐘的時(shí)候，分針指向12,時(shí)針指向2,分針在時(shí)針后（5x

2）小格。而分針每分鐘可追及1-1/12=11/12（小格），要兩針重合，分針必須追上10小格，這

樣所需要時(shí)間應(yīng)為（10+11/12戶10（分鐘），因此，2點(diǎn)10分時(shí)兩針電合。

3.流水問題

船速是船在靜水中航行的速度;水速是水流動(dòng)的速度;順?biāo)俣?，即船順?biāo)叫械膶?shí)際速

度，等于船速加水速;同理，逆水速度等于船速減水速。流水問題具有行程問題的?般性質(zhì)，

即速度、時(shí)間、路程，可參照行程問題解法。

【例題】（2005年國家）

?只船從甲地開往乙地，逆水航行，每小時(shí)行24千米，到達(dá)乙地后，又從乙地返回甲

地，比逆水航行提前2.5小時(shí)到達(dá)。已知水流速度是每小時(shí)3千米，甲、乙兩地問的距離是

多少千米?（）

A.200B.250C.300D.350

【答案】C。解析：逆水每小時(shí)行24千米，水速每小時(shí)3千米，那么順?biāo)俣葹椋?4+

3/2=30（千米）;比逆水提前2.5小時(shí)，若行逆水那么多時(shí)間，就可多行30x2.5=75（千米），因

每小時(shí)多行3><2=6（千米），兒小時(shí)才多行75千米，這就是逆水時(shí)間。24+3x2=30（千米），24

x[30x2.5+（3x2）]=24x[30x2.5+6]=24xl2.5=300（千米），因此，甲、乙兩地間的距離是300千

米。

快速解答“盈虧問題”

本文講解了盈虧問題的快速答題方法，并結(jié)合例題進(jìn)行講解，希望能給廣大考生一定的啟發(fā)和幫助.

公務(wù)員考試行測試卷中，數(shù)量關(guān)系題里經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)盈虧問題，一般思路都是通過設(shè)未知

數(shù)、列方程的辦法來處理，這樣就耗費(fèi)了比較多的時(shí)間，考生往往一看見這樣的題目就頭疼。

其實(shí)，解決盈虧問題也是有一定技巧的，掌握了這些技巧，可以最大限度的節(jié)約時(shí)間，更快

的選出答案。下面華圖教研中心公務(wù)員考試輔導(dǎo)專家就為廣大考生找到了盈虧問題的快速答

題方法，并結(jié)合例題進(jìn)行講解，希望能給廣大考生一定的啟發(fā)和幫助。

【例1】若干學(xué)生住若干房間，如果每間住4人則有20人沒地方住，如果每間住8人

則有一間只有4人住，問共有多少學(xué)生?（）

A.30B.34C.40D.44

【解析】最容易想到的解題思路就是設(shè)未知數(shù)、列方程的方法：

1y=4x+20(x=6

<<

假設(shè)房間數(shù)為X，學(xué)生總數(shù)為九則行："=8"4，解出卜=",選D

針對偷虧問題，仃種更快速的解題辦法。注意到此類問題中，總廳某個(gè)后是保持不變

的(如上題中的房間數(shù)量),我們稱之為“份數(shù)”.將盈虧問題推廣到更一般的情況:

若干物品，若年份。個(gè)，則多掰個(gè)：若密份3個(gè)，則多加個(gè)，求物品總數(shù).

m-n

x="

r<b-。

y=ax+wbm-an

<y=.

假設(shè)份數(shù)為，物品總數(shù)為，則有：”解出Ib-a

余額差

這就是雒弓問題的一般公式?我們只需要記住：份數(shù)=單位差,其中余額差=朗一%

單位差=?a,則物品總數(shù)也很容易就求出來r.

如例I中，求學(xué)生數(shù)即求物品總數(shù)，房間數(shù)為份數(shù)。

20-(-4).

---------=6

由公式可得房間數(shù)8-4間，那么，學(xué)生數(shù)1X6+20=44人.所以答案選D,

下面通過兩個(gè)例題來熟悉?下這種方法。

【例2】(北京2007T9)彳廠?堆螺絲和螺母，若一個(gè)例紇配2個(gè)螺母,則多10個(gè)螺母，若

一個(gè)螺絲配3個(gè)螺母，則少6個(gè)螺母，共有多少螺紋？()

A.16B.22C.42D.48

10-(-6)_

X——1b

【解析】利用公式，螺紋數(shù)即為份數(shù)，3-2，選A.

【例3】(北京2006-23)若干個(gè)同學(xué)去劃船，他們租「一些船.若每船4人則多5人；若

每船5人則船上有4個(gè)空位，共仃多少同學(xué)？()

A.17B.19C.26I).41

5-(-4)

Xr—--------9

【解析】利用公式.船數(shù)即為份數(shù)，5-4,則同學(xué)數(shù)=4X9+5=41人，選A.

5X5-4X(-4)

y=-------------=41

也可以直代入接公式，同學(xué)數(shù)5-4,選A。

以上解題方法簡單易懂，容易掌握，能借助考生快速準(zhǔn)確地答題。見后，華圖教育祝愿

考生們在考試中取得理想的成績！

巧用集成思想破解數(shù)學(xué)運(yùn)算

I導(dǎo)讀I近幾年在四川公務(wù)員考試行測測試中出現(xiàn)了一些過程極其復(fù)雜或者條件極少的的數(shù)學(xué)運(yùn)算題。專家

總結(jié)出解決這類題0的獨(dú)特的解題思想一''集成思想

隨著四川公務(wù)員考試的逐漸成熟和報(bào)考人數(shù)的逐年增多，近兒年在四川公務(wù)員考試行測

測試中出現(xiàn)了一些過程極其復(fù)雜或者條件極少的的數(shù)學(xué)運(yùn)算題。如果運(yùn)用傳統(tǒng)的解題方法去

解這類題H,不僅會(huì)浪費(fèi)極其寶貴的考試時(shí)間，有些題目甚至是無法解決的。專家總結(jié)出解

決這類題目的獨(dú)特的解題思想——“集成思想

所謂的“集成”思想又叫做整體思想，是指用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)

整體，把握已知和所求之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識的整體處理來解決問題的方法.從

整體出發(fā)的處理方法，體現(xiàn)了一種著眼全局、通盤考慮的整體觀念。

例題1：甲、乙二人從相距20千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲的速度為6千米/時(shí),

乙的速度為4千米/時(shí).一只小狗與甲同時(shí)出發(fā)向乙奔去，遇到乙后立即調(diào)頭向甲跑去，遇到

甲后又立即調(diào)過頭來迎乙……直到二人相遇為止.若小狗的速度是13千米/時(shí)，在這一奔跑

過程中，小狗的總行程是多少千米？

A.18B.23C.26D.29

【解析】對本題的處理，可以有以下幾種不同的方案

第一種方案：逐段計(jì)算小狗奔跑的路程.這是可以做到的：例如，第一次遇到乙時(shí)，小

狗所走的路程為x13（千米），求所有路程的和即得。

第二種方案：逐段計(jì)算小狗奔跑的時(shí)間.例如，第一次遇到乙時(shí)，小狗奔跑的時(shí)間為（小

時(shí)），求出奔跑時(shí)間的總和，再乘以小狗的速度即得。

第三種方案：注意到小狗來回奔跑的時(shí)間之和，恰等于甲、乙二人從出發(fā)到相遇所需的

時(shí)間（這一發(fā)現(xiàn)很重要，因?yàn)樵谶@段時(shí)間內(nèi)，小狗是不停奔跑的），故小狗奔跑的總時(shí)間為=

2小時(shí)，從而輕而易舉地得到小狗奔跑的總路程為13x2=26（千米）。

比較上述三種方案可知，如果我們的思路被小狗牽著鼻子走，沿著它的奔跑路線去逐段

計(jì)算路程或時(shí)間（即執(zhí)行第一、二種方案），將要進(jìn)行大量的計(jì)算，且要涉及無窮遞縮等比數(shù)

列求和的運(yùn)算，過程比較繁復(fù)，而第三種方案，我們忽略了小狗奔跑的細(xì)節(jié)，只是根據(jù)題目

中的條件計(jì)算出小狗奔跑的總時(shí)間，顯得機(jī)巧、簡捷、一目了然。

【答案】C

例題2:有甲、乙、丙三種貨物。若購甲3件、乙7件、丙1件，共需3.15元;若購甲4

件、乙10件、丙1件，共需4.2元?，F(xiàn)在計(jì)劃購甲、乙、丙各一件，共供需多少錢？

A.0.95元B.1.05XC.1.08元D.1.10元

【解析】這道題包括3個(gè)未知數(shù)，但只有2個(gè)獨(dú)立的條件，如果按傳統(tǒng)的解題思路，我

們需要分別計(jì)算出甲、乙、丙貨物的單價(jià)，但按照題目條件我們是做不到的，這道題目看似

山窮水盡。但用“集成”的思想我們就會(huì)很快解出。

設(shè)甲、乙、丙各一件分別需元，元，元，依題意列方程得：

3x+7y+z=3.15（1）

4x+10y+z=4.20（2）

3x（l）-2x（2尸x+y+z=1.05（元）

因?yàn)樵谶@一過程中我們忽略了一些無關(guān)結(jié)果的細(xì)節(jié)，因此用這種法法解題往往達(dá)到事半

功倍的效果，真叫山窮水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村。

49個(gè)常見問題公式法巧解

一.頁碼問題

對多少頁出現(xiàn)多少1或2的公式

如果是X千里找?guī)祝绞?000+X00*3如果是X百里找?guī)?，就?00+X0*2,X有

多少個(gè)0就*多少。依次類推!請注意，要找的數(shù)一定要小于X,如果大于X就不要加100

。或者100一類的了,

比如，7000頁中有多少3就是1000+700*3=3100(個(gè))

20000頁中有多少6就是2000*4=8000(個(gè))

友情提示，如3000頁中有多少3,就是300*3+1=901,請不要把3000的3忘了

二，握手問題

N個(gè)人彼此握手，則總握手?jǐn)?shù)

S=(n-1){a1+a(n-1)}/2=(n-1){1+1+(n-2)}/2=[nA2-nJ/2=N?N-l)/2

例題：

某個(gè)班的同學(xué)體育課上玩游戲，大家圍成?個(gè)圈，每個(gè)人都不能跟相鄰的2個(gè)人握手，

整個(gè)游戲一共握手152次，請問這個(gè)班的同學(xué)有()人

A、16B、17C、18D、19

【解析】此題看上去是一個(gè)排列組合題，但是卻是使用的多邊形對角線的原理在解決此

題。按照排列組合假設(shè)總數(shù)為X人則Cx取3=152但是在計(jì)算X時(shí)卻是相當(dāng)?shù)穆闊?。?/p>

們仔細(xì)來分析該題目。以某個(gè)人為研究對象。則這個(gè)人需要握x-3次手。每個(gè)人都是這樣。

則總共握了xx(x-3)次手。但是沒2個(gè)人之間的握手都重復(fù)計(jì)算了1次。則實(shí)際的握手次數(shù)

是xx(x-3)+2=152計(jì)算的x=19人

三，鐘表重合公式

鐘表幾分重合，公式為：x/5=(x+a)/60a時(shí)鐘前面的格數(shù)

四，時(shí)鐘成角度的問題

設(shè)X時(shí)時(shí)，夾角為30X,Y分時(shí)，分針追時(shí)針5.5,設(shè)夾角為A.(請大家掌握)

鐘面分12大格60小格每一大格為360除以12等于30度，每過一分鐘分針走6度，時(shí)

針走0.5度，能追5.5度。

1.[30X-5.5Y]或是360-【30X-5.5Y][]表示絕對值的意義(求角度公式)

變式與應(yīng)用

2.[30X-5.5Y]=人或360-130X-5.5Y】=A(已知角度或時(shí)針或分針求其中一個(gè)角)

五，往返平均速度公式及其應(yīng)用(引用)

某人以速度a從A地到達(dá)B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的平均速度v

=2ab/(a+b)。

證明：設(shè)A、B兩地相距S,貝IJ

往返總路程2S,往返總共花費(fèi)時(shí)間s/a+s/b

故v=2s/(s/a+s/b)=2ab/(a+b)

六，空心方陣的總數(shù)

空心方陣的總數(shù)=（最外層邊人（物）數(shù)-空心方陣的層數(shù)“空心方陣的層數(shù)><4

=最外層的每一邊的人數(shù)人2-（最外層每邊人數(shù)-2*層數(shù)）八2

=每層的邊數(shù)相加x4-4x層數(shù)

空心方陣最外層每邊人數(shù)=總?cè)藬?shù)/4/層數(shù)+層數(shù)

方陣的基本特點(diǎn)：①方陣不論在哪一層，每邊上的人（或物）數(shù)量都相同.每向里一層邊

上的人數(shù)就少2;

②每邊人（或物）數(shù)和四周人（或物）數(shù)的關(guān)系：

③中實(shí)方陣總?cè)耍ɑ蛭铮?shù)=（每邊人（或物）數(shù)）2=（最外層總?cè)藬?shù)，4+1）2

例：①某部隊(duì)排成?方陣，最外層人數(shù)是80人，問方陣共有多少官兵?（441人）

②某校學(xué)生剛好排成一個(gè)方隊(duì)，最外層每邊的人數(shù)是24人，問該方陣有多少名學(xué)生？

（576名）解題方法：方陣人數(shù)=（外層人數(shù)+4+1）2=（每邊人數(shù)）2

③參加中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)團(tuán)體操比賽的運(yùn)動(dòng)員排成了一個(gè)正方形隊(duì)列。如果要使這個(gè)正方

形隊(duì)列減少一行和一列，則要減少33人。問參加團(tuán)體操表演的運(yùn)動(dòng)員有多少人?（289人）

解題方法：去掉的總?cè)藬?shù)=原每行人數(shù)乂2-1=減少后每行人數(shù)x2+l

典型例題：某個(gè)軍隊(duì)舉行列隊(duì)表演，已知這個(gè)長方形的隊(duì)陣最外圍有32人，若以長和

寬作為邊長排出2個(gè)正方形的方陣需要180人。則原來長方形的隊(duì)陣總?cè)藬?shù)是（）

A、64,B、72C、96D、100

【解析】這個(gè)題目經(jīng)過改編融合了代數(shù)知識中的平方和知識點(diǎn)。長方形的（長+寬）x2=3

2+4得到長+寬=18。可能這里面大家對于長+寬=18有些難以計(jì)算。你可以假設(shè)去掉4個(gè)

點(diǎn)的人先不算。長+寬（不含兩端的人戶2+4（4個(gè)端點(diǎn)的人）=32,則計(jì)算出不含端點(diǎn)的長+

寬=14考慮到各自的2端點(diǎn)所以實(shí)際的長寬之和是14+2+2=18。求長方形的人數(shù)，實(shí)際上

是求長x寬。根據(jù)條件長x長+寬x寬=180綜合（長+寬）的平方=長、長+寬x寬+2x長x寬=18x1

8帶入計(jì)算即得到B。其實(shí)在我們得到長寬之和為18時(shí)，我們就可以通過估算的方法得到

選項(xiàng)B

七，青蛙跳井問題

例如：①青蚌從井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，這樣青蛙需

跳兒次方可出井?（6）

②單杠上掛著一條4米長的爬繩，小趙每次向上爬1米又滑下半米來，問小趙幾次才能

爬上單杠?（7）

總解題方法：完成任務(wù)的次數(shù)=井深或繩長-每次滑卜米數(shù)（遇到半米要將前面的單位

轉(zhuǎn)化成半米）

例如第二題中，每次下滑半米，要將前面的4米轉(zhuǎn)換成8個(gè)半米再計(jì)算。

完成任務(wù)的次數(shù)=（總長-單長）/實(shí)際單長+1

八，容斥原理

總公式：滿足條件?的個(gè)數(shù)+滿足條件2的個(gè)數(shù)-兩個(gè)都滿足的個(gè)數(shù)=總個(gè)數(shù)-兩個(gè)都不滿

足的個(gè)數(shù)

【國2006一類-42]現(xiàn)有50名學(xué)生都做物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)，如果物理實(shí)驗(yàn)做正確的有40

人，化學(xué)實(shí)驗(yàn)做正確的有31人，兩種實(shí)驗(yàn)都做錯(cuò)的有4人，則兩種實(shí)驗(yàn)都做對的有多少人?

A.27人B.25人C.19人D.10人

上題就是數(shù)學(xué)運(yùn)算試題當(dāng)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的“兩集合問題”，這類問題一般比較簡單，使用

容斥原理或者簡單畫圖便可解決。但使用容斥原理對思維要求比較高，而畫圖浪費(fèi)時(shí)間比較

多。鑒于此類問題一般都按照類似的模式來出，卜面華圖名師李委明給出一個(gè)通解公式，希

望對大家解題能有幫助：

例如上題，代入公式就應(yīng)該是：40+31-x=50-4,得到x=25。我們再看看其它題目：【國

2004A-461某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)為32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中

有24人及格，若兩次考試中，都沒有及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是多少?A.

22B.18C.28D.26

代入公式：26+24-x=32-4,得