教師資格《初中數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與能力》第一章數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)（下）

教師資格《初中數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與能力》第一章數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)(下)

79［簡(jiǎn)答題］

,已知矩陣4=1I-1,求亞陣4的特征值和特征向最

011

參考解析:

坦陣A的特征多項(xiàng)式為IAE-AI=-1A-l1=A(A-l)\所以.由A(A-l)U)知A的特征根兒=0.

0-1A-1

A尸21；當(dāng)A=0時(shí),由-1-11z,=0得*產(chǎn)2*,.工尸-*“因此，屬于特征何4=0的特征向量為＜?產(chǎn)-1。當(dāng)

0-1-1

入=1時(shí),由-10Ix/=0得4=?,.必=0,因此.屬于特征值A(chǔ)=1的特征向量為a占0I

80［簡(jiǎn)答題］

求出齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系并用它表示出全部解。

Ixl-2x1+xr-x^￥x,=o,

2xi+xr"^3+2x4-3xj=0,

3孫一21：2-?%4-2?5=0,

2x\-5xr^xyrlx^2x<=0n

參考解析：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣作初等變換，有

1-21-111-21-11-21-111-2-1

21-12-305-34-5011000100

3-2-11-204-44-500-84-5004-5

2-51-220-1-10000-84-50000

乂因?yàn)?/p>

-1

00

04

所以「04后女5,方程綱的基礎(chǔ)解系含有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的M向量,且原方程的同解方程組為

xrHtjsO,

-8xr*4x4-5xs=0,

T

令Zj=ltzt=O,W可產(chǎn)(-1,7.1?2t0).

T

令zr=Otx1=l,W小=(,0.0..1).

則內(nèi)，小為原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.且嫉齊次線性方程組的全部解為4=%?“外。其中心,自為任意

實(shí)數(shù).

81［簡(jiǎn)答題］

'xi+xz-rtjxO,

設(shè)線性方程組W+ZXMM,與方程組4+如+皈產(chǎn)所1有公共解，求a的值及所有公共解

|x,+4xrHTXi=0

參考解析：將方程聯(lián)立

ZJ+XJ+XJSO,

X1+2xyHirj=O.

勺44打后孫=0.

X|4XfHlX^=a-le

1110102-a0

12a001所10

讀方程組的制即為兩個(gè)方程組的公共制,矩陣經(jīng)過(guò)線性變換得到

14<?000(a-1)(a-2)0

11aa>l00a-la-1

「1

(1)當(dāng)0=1時(shí)r(4)=r(A)=2<3,方程組有無(wú)數(shù)組解,所以兩個(gè)方程組有公共解A0"為常數(shù));

?I

0

(2)當(dāng)《=2時(shí)，r(A)=r(4)?3,方程組有唯一『-1，所以兩個(gè)方程組有公共解為I

82［簡(jiǎn)答題］

1

X|-2X2+3XI-4X4=4,

求解線性方程組與r，+%=-3,

工］+3孫+44=】，

-7X^+3XX+XA=-3A

參考解析：

1-23-441-23-44

01-11-301-11-3

方程組的增廣矩陣;U.通過(guò)適當(dāng)?shù)某醯刃凶儞Q為階梯形矩陣,解得

0-731-300080

xi=-8.X,=3.XI=6.X4=0:

83［簡(jiǎn)答題］

?2

巳知直線+y=I在矩陣A=(。對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€/'：*+以=Io

\01/

(1)求實(shí)數(shù)。凈的值;(3分)

(2)若點(diǎn)P(*°,)b)在直線/上，且A「)=「卜求點(diǎn)夕的坐標(biāo)。(4分)

［解析】(I)設(shè)直線As+y=1上任一點(diǎn)M(x.y)

在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下的像是M'(x'.y'),

由O―)?將

尸=X.2〉.

二>,

又點(diǎn)設(shè)(/?力在「上?所以/?“'=1，即"

(b+2)y=1?

「。=1.rosI?

4、”&力1L依題意得解得

參考解析：1,6?2=1,Is=-1?

(2)由o「)，得廣=?,解得

lyjlyjbo=y0.

y0=oo

又點(diǎn)P(*o.%)在直線/上.所以％=I.

故點(diǎn)夕的坐標(biāo)為(1.0)

84［簡(jiǎn)答題］

在一次軍事演習(xí)中，某舟橋連接到命令要趕到某小河D岸為行進(jìn)中的A

部隊(duì)架設(shè)浮橋。假設(shè)舟橋連到達(dá)D岸的時(shí)間服從7點(diǎn)到7點(diǎn)30分這時(shí)

間段內(nèi)的均勻分布，架設(shè)浮橋需要20分鐘時(shí)間，A部隊(duì)到達(dá)D岸的時(shí)間

服從7點(diǎn)30分到8點(diǎn)整這時(shí)間段內(nèi)的均勻分布，且舟橋連的到達(dá)時(shí)間

和A部隊(duì)的到達(dá)時(shí)間相互獨(dú)立。求A部隊(duì)到達(dá)D岸時(shí)能立即過(guò)橋的概率。

參考解析：假設(shè)7點(diǎn)是零時(shí)，記x,y分別表示舟橋連與A部隊(duì)到達(dá)D

岸的時(shí)間，則A部隊(duì)到達(dá)D岸時(shí)

.x+20W,,

能.即過(guò)橋的充要條件是，OWxWSO.

.30GW60.

如圖，陰影部分為不等式組表示的區(qū)域，

010V)

這是一個(gè)幾何戳乜.所求概率為。=

_工

二互：

85［簡(jiǎn)答題］

設(shè)可為AX=8(bK0)的一個(gè)解…《…為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組AX=O的基鼬解系，證明

—《［，…《…由線性無(wú)關(guān)。

參考解析：設(shè)V為4X=M”0)的一個(gè)解4.晶…為

對(duì)應(yīng)齊次線性方程綱AX=0的樁珈解系.證明

&《2.…《…E線性無(wú)關(guān)

(解析】證明：用反證法進(jìn)行注明由圣.

品為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組AX=。的基礎(chǔ)解系，

知或，另.….金一線性無(wú)關(guān)

設(shè).…者E線性相關(guān).

則”可由摹&.….#…線性表示.即》?叫。+

因齊次線性方程組解的線性組合還是齊次線性方程組的解，故n必是

AX=O的解，這與已知條件n為AX=b(b/o)的一個(gè)解相矛盾。

由上可知E線性無(wú)關(guān)

86［簡(jiǎn)答題］

設(shè)函數(shù)/(工)連續(xù),且關(guān)于工=廣對(duì)稱,a<T<6,證明：［/(x〃k=2(/U)dx+［，(x)d"

【解析】證明/(G關(guān)于x=7■對(duì)稱，即/(；+T)=

令2T-u=*,則/*/(x)&=(7(2T-u)d(-“)=

_0r-(u-r))du=-j7ir+(u-r)]du

=-￡/(u)du=-j/(*)dx.

參考解析：則(/(Gdx.1/(”)dx=O.

上式兩邊同時(shí)加上[/(4)dx,得1/(x)dx=

[〃x)dx?Jj⑸去?1/(x)dx

//(X)<lx?/(x)dx+^/(x)dx?1/(x)dx

=2j/(x)dx-￥￡/(x)dx.

原式得證。

87［簡(jiǎn)答題］

己知曲線x?+2y2+4x十4y+4=0按向量a=(2,1)平移后得到曲線C。(1)

求曲線C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)D(0,2)的直線1與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M、N1,且M在D、

N之間，設(shè)aw=AMX.求實(shí)數(shù)人的取值范圍。

參考解析：(Dx2+2y2+4x+4y+4=0可化為」尸+(川廠'=1由已知設(shè)點(diǎn)

2

(x0+2)?lv2,

P(xO,yO)滿足一LW。+D.=L設(shè)按向量a=(2,l)平移后平移后點(diǎn)P的

x-x0=2,

對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q(x,y),則ke，故平移后曲線C的方程為

(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，M(0,1),N(0,-1),此時(shí)入=1/2；當(dāng)直線

的斜率存在時(shí)，設(shè)1：y=kx+2,代入曲線C得，(2k2+l)x2+8kx+6=0,

22

A=64k-24(2k+l)>0,得戶>2設(shè)M(x“%),N(x2,y2),則

弘6

x.+x,=；—,x.x,=-；—,

'229+1'22U+1

由DM=AM/V,M*I=A(X2-*I),

又A#Xj,A=,M'l-

X2

故3怖畢

x3I+AA

又乜巨=-V-2

3（2M

由爐>,，得4V32y竽即2V乜+乜,

23(2+±)3x2x,3

即2<"；+1："<，,解得人■或A<—

1?人人J1/

又人>0.故A>y,

綜上可知人ee,+8)

88［簡(jiǎn)答題］

TT

已知R3的兩組基Q尸（1,0,-l）,a2=（2,1,1）,a3=（1,1,1）,與B

TT

MO,1,1）\P2=（-h1，0）,83=（1,2,1）O

⑴求基a”a2,(13到基Bi,B：,,的過(guò)渡矩陣；

⑵求尸(9,6,5廠在這兩組基下的坐標(biāo)；

(3)求向量6,使它在這兩組基下有相同的坐標(biāo)。

參考解析：(1)設(shè)從基a”a2,a3,到基Bi,02,3的過(guò)渡矩陣為C,

則（Bi,82,33）—（3.1，@2,@3）C,則

12r0-11■o

C=（6，q,aj"（四，d=011i12-i

-1111012

(2)設(shè)丫在基a”a2,④下的坐標(biāo)為(y”N2,則有y】Bi+y282+丫3B3二

f+力=9,

|力+力+2力=6,

Y,即［%+r、=5.

T

解得YLO,Y2=-4,Y3=5O設(shè)Y在基a”a2,a3下的坐標(biāo)為(X1,X2,X3),

按坐爐變換公式乂^丫，

有l(wèi)244」L5」LJ故丫在這兩組基下的坐標(biāo)分別為(I,2,4尸

和(0,-4,5)\

(3)設(shè)6rgl+*必+x、a,：+>孫，

即孫+x2(a?/。+4(a、-/3J=0,

%+3巧=0,

解得看=0=看=0,

....1-2々+必=0,

所以，僅有零向量在這兩組基下有相同的坐標(biāo)。

89［簡(jiǎn)答題］

在尸中，求由基￡|,叫,￡,到基的過(guò)渡矩陣，其中

斤(1,0,0)哂=(1.1,-1)

區(qū)尸(0,1,0)”產(chǎn)(0.2.1)

e,=(0.0.1)>?j=(l.1,4)

并求乒3.電2)在建,和小下的坐標(biāo)。問(wèn)是否存在一非零向量-它在基用,向,用和甚初,m.

小下有相同的坐標(biāo)。若存在，求出該向量的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由。

參考解析:

0I

gm%）=但,。2,與）2I=（6|,02,%M,這里A=即為所求由基耳,邑到基

小B”隊(duì)的過(guò)渡矩陣□

將上式兩邊右集41德

（6i,G.e,）=（/B-WJ4T.

Xj,所以向小）卜的坐標(biāo)為A”訃

00

I0

（4：￡）eI200

-I!0

7

0100T

0400

3

105

10T

=T"'）’即從’=

3

10Io5

設(shè)《在兩級(jí)基下的坐標(biāo)均為（力，力.力）,則

布齊次雄性力祖姐?2co.即方

程紈只而軍鮮.所以不存在一萍零血置，,它在冬￡1?七?明和慕麟.陰.明下有相同的半標(biāo)

90［簡(jiǎn)答題］

122

求矩陣A=212的特征值和特征向量:

221

參考解析：因?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式為

A-1-2-2

AE-A|=-2A-I-2=(A*l)a(A-5).

—2—2A—1

所以特征值是-1（二重）和5.

把特征值-1代人齊次方程組

!(A-1反廣^廠備川.

I-Zxj+CA-l)xj-2?ia0.

L2IL2?MA-1)X,=0.

海到

-2XL2*L2?H).

r-2?|-2?7-2xi=0,

1

-2XI-2XJ-2X,=()O

它的基即"系是

，lX0、

0.1.

-1-I

\//

f］)f0、

因此*于特征值-1的全部特征向量是九oMlI.其中&“心是不同時(shí)為零的任意實(shí)效對(duì)二

-1-1

/\/

再用特征值5代人,得到

4孫-2?3-3=0.

-2xi+4ji2-2xj=O,

-2?「2xyf4xH)0

它的草礎(chǔ)解系是

1

I7

r1

因此屆r特征值5的全都特征向但是AI，其中￡是不等于零的任意實(shí)效,

91［簡(jiǎn)答題］

設(shè)al=(L-1,2,4),a2=(0,3,1,2),a3=(3,0,7,14),a4=(l,

-1,2,0),a5=(2,1,5,6)o

⑴證明al,a2線性無(wú)關(guān);

(2)把a(bǔ)l,a2擴(kuò)充成一極大線性無(wú)關(guān)組。

參考解析：

(I)由于a-a：的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)分置不成比例.因而小,.級(jí)性無(wú)關(guān)。

⑵因?yàn)镺h=3aly?,且由

可事得

A|M#4=0,

所以4,a?.a,線性無(wú)關(guān)。

再令

k。產(chǎn)<r$=0.

代人向總后.由f相應(yīng)的齊次級(jí)性方程組的系數(shù)行列式為0.因?yàn)榧谍R次線性方程組存在非零解，即50”人,

4城性相關(guān)，所以明可以向4,4,a.統(tǒng)性表出。

所以a,.a?.<r4就是原向量姐的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.

92［簡(jiǎn)答題］

-2X|+x2+Xj=-2,

非齊次線性方程組

(1)當(dāng)A取何值時(shí)有解，并求其解；(4分)

(2)當(dāng)A取何值時(shí)無(wú)解；(3分)

(3)當(dāng)A取何值時(shí)有唯一解，說(shuō)明理由。(3分)

參考解析：(1)對(duì)非齊次線性方程組對(duì)應(yīng)的增廣矩陣作初等變換有,

/-2

(AM=

1-2

+A-1)

Vooo(A-I)(A*2)；

要使方程組有解.必沏有(4-1)(4+2)=0,即人

=1或人■2,

當(dāng)J時(shí).(A?=

/-2I-21l\

101-10.

0000；

方程組的解為則此時(shí)方程組的星礎(chǔ)

常數(shù))

當(dāng)2時(shí),(A.b)

(-2I-2)/I0-12\

2I-2U01

-12

-24J100

I100>

方程組的斛為?則此時(shí)方程組的基礎(chǔ)

H*2.

小

解系為負(fù)=/I,特解為2.

JJ\°>

方程組的通解為［/為任重

常數(shù))

(2)由(1)知，當(dāng)人且人2-2時(shí)，方程組無(wú)解。

(3)方程組沒(méi)有唯一解。只有當(dāng)r(A)=r(A,b)=n時(shí)，方程組有唯一解,

而本題中r(A)=2<3,因此無(wú)唯一解。

93［簡(jiǎn)答題］

巳知R'的兩組基6=(1,0,-1)T,?,=(2,1",小=(1.1,1)T與禺=(0.1,1)T,P：=

(1)求基《,小.防到基⑶.伐.氏的過(guò)渡矩陣;(3分)

(2)求丫=(9,6,5廠在這兩組基下的坐標(biāo)；(3分)

(3)求向量6,使它在這兩組基下有相同的坐標(biāo)。(4分)

參考解析：(II議從基a.6.a,到柒A./r4,的過(guò)

渡矩陣為c.

則（?,在必）=（%.a,.a,）C.

/121Y'

則C?（a,5?丹）“（四必必）=01I

「11L

AO-I1\f0I1X

II2=-I-3-2

J0iJl244;

（2）設(shè)>在基///，下的坐標(biāo)為（力，力?力了，

則有yfi\?+，四=>.

f?力=9,

即,h+力+2”=6,解得力=0,力=-4,、=5

?力二"

設(shè)y在基?1a下的坐標(biāo)為(8?*2.小)T,按

坐標(biāo)變換公式x=cy.

故>在這兩組基F的坐標(biāo)分別為“，2,4)r和

(0.-4.5兒

(3)設(shè)6=x(a)+x】a：?r)at=孫⑶?工力】

+/Ai,

即5(a-Bi)+“式。2?住)?%(%-閉)=0.

X,+3盯=0,

(Tf=0,解得陽(yáng)=勺=0.

-2x,+x,=0.

所以，僅有零向量在這兩組基下有相同的坐標(biāo)。

94［簡(jiǎn)答題］

<11a\(1)

設(shè)矩陣A=1a1,。=1，已知線性方程組AX=口有解但不唯一。

<aII/\—2?

(1)試求a的值；(5分)

(2)求正交矩陣Q,使Q「AQ為對(duì)角矩陣。(5分)

參考解析：(1)對(duì)線性方程組AX=B的增廣矩陣作行初等變換，有

<11a1\

11-27

fl1a1\

0<i-1I-<i0?

kO0(a-l)(a*2)ad

因?yàn)榉匠探MAX=。有解但不唯、所以r(A)=

KA)<3.故a=-2.

/II-2、

(2)由(1)知.A=1-2I.對(duì)應(yīng)的特

<-2II>

征方程為|“E-AI=A(A-3)(*+3).

可得特征值為兒=3.A：=-3,A,=0.

T

時(shí)應(yīng)特征向量分別為.=(1.0.-l),a:=

(1.-2,l)T,a,?(1,1,l)T,

將a,.a：,a,單位化得.

2=w=

=日r(言?:HO:

(11j_\

厲而有

21

令Qo后.則有Q'AQ=

卜萬(wàn)1

(300>

0-30

、000>

95［簡(jiǎn)答題］

設(shè)A為3階矩陣為4的分別屬于特征值-11的特征向量,向量小滿足A6=4+a、

(I)證明%,外,外線性無(wú)關(guān);(6分)

(2)令尸=(-&),求尸乂尸(4分)

參考解析：（I）證明:沒(méi)存在數(shù)*,AA,使得上6?

卜必+乩6=0.1

用A左乘①的兩邊并由Aax=-<r,,4a,二嗎得

-klal+（為+&,）.+&必=0,②

①-②得.2小0-*必=0.

???5.6為從的屬于不同特征值的特征向情.

5必線性無(wú)關(guān),從而匕=3=0，

代人①得k［4=0,乂由于％~0..?.k2=0,

故,%⑷1線性無(wú)關(guān)C

（2）尸=（%,%,%）可逆，

AP=A（a｝，/.%）;（4a,,Aa,,Aa,）=

（一丹，s必+aA）=

第三節(jié)圖形與幾何

1［單選題］已知平面直角學(xué)標(biāo)系內(nèi)一個(gè)圓，其方程為

/+9+2右\-2#3=0,若在線y=Qx沿x軸平移后與圓相切，則移動(dòng)后的直線在

Y軸上最小的截距是（）

A.-2

B.-6

C.2

D.6

正確答案：C

參考解析：圓的方程簡(jiǎn)化為（"⑸'+GT）』，圓心為（-6」），半徑為1。

設(shè)平移后的直線方程為“需：,直線與圓相切，則直線到圓心的距離

小也立近？1%

也簡(jiǎn)得|b-41=2,解得b=2或b=6,要使截距最小，

則取b=2。

tx-lvxyj-2z

2［單選題］直線人工二二1和的夾角o為（）

A.n/6

B.JI/4

C.Ji/3

D.Ji/2

正確答案：B

參考解析：直線11的方向向量為Sl=(l,-4,1),直線12的方向向

量為S2=(2,-2,-l)o由夾角公式有

mM=.："x2+(Y)x(二+〃包所以外工

>/14+(-4)I+1V22+(-2)3+(-1)124'故選及

(x-l)1+(y+4)2+zJ=25,

方程所表示的圖形為()

3［單選題］J'+I=0

A.球面

B.橢球面

C.圓面

D.橢圓

正確答案：C

參考解析：方程(X-1)'+(>+4『+?=25表示空

間一球面，方程y+l=0表示空間中一平面，則題干中方程表示平面丫=

一1截球面所得的曲面，為一圓面。故選C。

4［單選題］^aeR,則“a=l”是“直線L：ax+2y-l=0與直線R

x+(a+l)y+4=0平行”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

正確答案：A

參考解析：當(dāng)a=l時(shí)，直線L：x+2y-l=0與直線以x+2y+4=0顯然

a2—1

平行；若直線11與直線12平行，則有了=展+/丁，解得a=l或-2,所以

“a=l”是“直線11：ax+2y-l=0與直線12：x+(a+l)y+4=0平行”的充

分不必要條件，故選A。

5［單選題］方程2+5丁=1表示的曲面是()

A.旋轉(zhuǎn)雙曲面

B.旋轉(zhuǎn)橢球面

C.旋轉(zhuǎn)拋物面

D.橢圓拋物面

正確答案：A

參考解析：方程所表示的曲面是可以由雙曲線繞z軸

旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)雙曲面。故選A。

6［單選題］一圓柱底面積為S,側(cè)面展開(kāi)圖為正方形，則這個(gè)圓柱的全

面積為()

A.4ns

B.(1+4Ji)S

C.(2+4Ji)S

D.(3+4Ji)S

正確答案：C

參考解析：設(shè)圓柱底面半徑為r,則S=lnN,底面周長(zhǎng)為1=2nr,

又側(cè)面展開(kāi)圖為正方形，故圓柱的全面積為2S+l=2S+4Jis=(2+4Ji)So

7［單選題］下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是()

A.等邊三角形

B.等腰梯形

C.正五邊形

D.正六邊形

正確答案：D

參考解析：等邊三角形、等腰梯形、正五邊形都是軸對(duì)稱圖形，不是

中心對(duì)稱圖形；正六邊形既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形。故選D。

設(shè)直線/：：+''+'+卜°八平面n為4工-2)y-2=0,則(

)□

8［單選題］2r-y-lQz+3=O

A.i平行于n

B.i在其上

C.i垂直于n

D.i與n斜交

正確答案：C

的方向向*為。=(1,3,2?(2,-1.-10)=(-2?.14.-7),平面"的法向總

參考解析:l2x-y-10z+3=0

為西=(4,-2,1),a〃b,所以直線i與平面式垂直。

9［單選題］直線/：峨=誓=等與平面k："r+z=2的位置關(guān)系是()o

A.平行

B.相交但不垂直

C.垂直

D.直線i在平面Ji上

正確答案：B

參考解析：直線1的方向向量為m=（2,-1,-3）,平面的法向量為五

=（1,1,1）,因?yàn)閙和n既不垂直也不平行，所以直線1和平面R相交

但不垂直。

+3y+2/+1=0,

及平面w：2x+6y+4z-l=0,則直線L(

10［單選題］2x-y-IOz+3=0

A.平行于n

B.在Ji上

C.垂直于Ji

D.與R斜交

正確答案：A

參考解析：直線三的方向向量為n=

132=-7(4]-。+*).平面"的法

向量為m=(2,6,4),由m-nmin又

直線〃上一點(diǎn)（-'孑,。）不在平面h上,所以

宜線〃平行干”，

11［單選題］在等腰三角形、平行四邊形、橢圓和拋物線四個(gè)圖形中,

是中心對(duì)稱圖形的有（）

1個(gè)

A.

B2個(gè)

C3個(gè)

4個(gè)

D.

正確答案：B

參考解析：四個(gè)圖形中，橢圓既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形，平

行四邊形是中心對(duì)稱圖形，等腰三角形和拋物線是軸對(duì)稱圖形，所以這

四個(gè)圖形中有2個(gè)是中心對(duì)稱圖形。

12［單選題］下列說(shuō)法中正確的是（）

A.會(huì)重合的圖形一定是軸對(duì)稱圖形

B.中心對(duì)稱圖形一定是會(huì)重合的圖形

C.兩個(gè)成中心對(duì)稱的圖形的對(duì)稱點(diǎn)連線必過(guò)對(duì)稱中心

D.兩個(gè)會(huì)重合的三角形一定關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱

正確答案：C

參考解析：兩個(gè)成中心對(duì)稱的圖形的對(duì)稱點(diǎn)連線必過(guò)對(duì)稱中心。

13［單選題］關(guān)于三角形關(guān)系的描述，初中有“大角對(duì)大邊”，高中有

“正弦定理”，這個(gè)研究過(guò)程的思路主要表現(xiàn)為()。

A.從理論到實(shí)際

B.從一般到特殊

C.從定性到定量

D.從有限到無(wú)限

正確答案：C

參考解析：“大角對(duì)大邊”是定性地描述三角形的邊和角的關(guān)系，而

“正弦定理”——在AABC中內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,三

角形外接圓的半徑為R,則有、in4?inWuin/：

——是定量地給出了三角形的邊和角的關(guān)系，所以這個(gè)研究過(guò)程的思路

主要表現(xiàn)為從定性到定量。故本題選C。

14［單選題］已知三點(diǎn)A(L2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),則4ABC

的面積為()。

A.14

B.5^2

C.2萬(wàn)

D./

正確答案：D

參考解析：一一

由題患可得.可=(2.2.2).4^=(1.2.4),所以.6x,記=

/2222122k1-?

:4,4~\\,\\2=(冢-6.2),T是AABC的面積S-詆=三|初kx.記|=-x

//+(-6)，+2,=/?4故本題選D

15［單選題］平面yOz內(nèi)的一條直線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圖形不可能

是()。

A.旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面

B.圓柱面

C.圓錐面

D.平面

正確答案：A

參考解析：坐標(biāo)平面yOz內(nèi)的一條直線，①如果平行于z軸，則直線

繞z軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形是圓柱面；②如果與z軸相交但不垂直，則

直線繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形是圓錐面；③如果與Z軸垂直，則直線

繞z軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形是平面。故本題選A。

16［單選題］方程y2=2-x表示的空間曲面為()。

A.球面

B.旋轉(zhuǎn)雙曲面

C.圓錐面

D.拋物柱面

正確答案：D

參考解析：球面的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=/。旋轉(zhuǎn)雙曲面

的方程：?jiǎn)稳~雙曲

的軌跡叫作柱面，拋物柱面的方程為y2=2px0y2=2-x為母線平行于z軸，

準(zhǔn)線為xOy平面上的拋物線的拋物柱面。

6JX1X1/Jii

而二+與一斤=1,雙葉雙曲面-r+9-丁=-I。圓錐面方程為=/。直線沿定曲線C移動(dòng)形成

a*bcabcaa

17［單選題］三角形外接圓的畫法依據(jù)是()。

A.三角形內(nèi)角的平分線到角的兩邊距離相等

B.線段的垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端的距離相等

C.三角形內(nèi)角的平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊距離相等

D.線段的垂直平分線到線段兩端的距離相等

正確答案：B

參考解析：三角形外接圓是與三角形各頂點(diǎn)都相交的圓，三角形的外

接圓圓心是任意兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)，所以三角形外接圓的畫法依

據(jù)是線段的垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端的距離相等。C項(xiàng)中，三

角形內(nèi)角的平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊距離相等是三角形內(nèi)切圓的

畫法依據(jù)。A,D兩項(xiàng)的說(shuō)法本身就有誤。故本題選B。

18［簡(jiǎn)答題］

已知圓C：(xT)?+(y-2)425及直線1：(2m+l)x+(m+l)y=7m+4(mGR)0

證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線Z與圓C恒相交。

r2x+y-7=0,

參考解析：直線1可化為x+y-4ix+'7=o+m(2x+y-7)=0,即不論m取

r2x-?7-7=0,

什么實(shí)數(shù)，它恒過(guò)直線x+y-4=0與2x+y-7=0的交點(diǎn)。由方程組卜+、-4=0

得交點(diǎn)為(3,1)。

又。V(3-1)2+(1-2)2=5<25,

??.點(diǎn)(3,1)在圓內(nèi)部,

，不論m為何實(shí)數(shù)，直線Z與圓恒相交。

19［簡(jiǎn)答題］

求橢球面。言+*=1,在點(diǎn)|送，我—譚力處的切平面和法線；

參考解析：

令網(wǎng)3)號(hào)語(yǔ)+P，則?會(huì),我■卜會(huì)聞云,古，我?卜落?

d去，%，方卜合■?故切平面方程為號(hào)小卜占卜吊卜-云卜

0.即

abc

法線方程為。卜-氏同尸備卜(a我■卜

20［簡(jiǎn)答題］

求由尸|lnx|與直線x=*,x=10和彳軸所圍成圖形的面積。

§=：］十|111?|dz=j^(-!nx)dx+［lnxdx=-(slnx-x)工+ainxr)，

參考解析：=需1n8需。

21［簡(jiǎn)答題］

求由兩個(gè)圓柱面PMM與L+xM所圍成立體的體積。

參考解析：

如圖所示為設(shè)立體在第一卦限部分的圖像(占整體的八分之一).對(duì)任意如打0,同,平面X』與這部分立體

的裁面是一個(gè)邊長(zhǎng)為丫公式的正方念，所以截面函數(shù)d(x)=d--.Me［O,a1由定機(jī)分的知識(shí)知,對(duì)截面函數(shù)

A(3)在區(qū)間［O,a］上積分就是詼立體在第一卦眼部分的體根。所以

V=8二(d-J)d?=-*d。

22［簡(jiǎn)答題］

試求通過(guò)點(diǎn)檢(-1.0,4),垂直于平面〃：3x-4y+z-10=0,且與在線心若嘮平行

的平面方程。

參考解析：

平面〃的法向直線/的方向向*￡(3,1,2).所以所求平面的法向3-41=-9i-

p12

y*l5*=(-9.-3.15).平面上任意一點(diǎn)MG,y.z),則.*=(x+1.y.：-4),由磯用

-9(x+l)-3J,*15(J-4)3=0

整理得所有平面方程：%*y-5z+23=O.

23［簡(jiǎn)答題］

根據(jù)k一不同取值，說(shuō)明(9-k)x2+(4-k)y2(l-k)z2=l表示的各是什么圖

形。

方程(9-**+(4-*)盧(1-*)？?1(1)

①4>9時(shí).(1)式不成立.不表示任何圖形；

②44<9時(shí).(1)式變?yōu)榕c-4-4=1,表示雙葉雙曲線；

③1?<4時(shí)，⑴式變?yōu)榕c+4-與=1.表示單葉雙曲線；

(r6c

參考解析：④*T時(shí).(1)式變?yōu)?+￡，,川’表示橢球面；

3=1時(shí)，(口式變?yōu)閃+W"=1.表示母線平行z牯的怖球柱面；

⑥*=4時(shí),⑴式變?yōu)椤?；=1,表示雙曲柱面；

a*C*

⑦*=9時(shí)，(1)式變?yōu)?Hl,不表示任何留影。

h*r*

24［簡(jiǎn)答題］

求由兩個(gè)圓柱面/+)'=/'/+/圍成立體的體積。

參考解析：如圖所示為兩圓柱面在第一卦限部分的圖象。

對(duì)任意赤￡：0.a］,平面x=/與兩圓柱面所圍立

體的截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形,所以

截面函數(shù)4(x)=a2-x^ze［0,a］o

由定積分的幾何意義知，對(duì)截面函數(shù)A(x)在區(qū)間［0,a］上的積分就是該

立體在第一卦限部分的體積，

所以>':8((A:-x2)dx=8?y-j|=竽/

25［簡(jiǎn)答題］

求圓域x2+(y-b)2Wa"其中b>a)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積。

【解析】如圖所示.卜平網(wǎng)周的方程為y,=1>

上半10周的方程為“=&+vs-4，

選取x為積分變/則體枳元索為dl=

（砌；-w?]）<lx-4-nb>/a'-x"dx.

于是所求旋轉(zhuǎn)體的體積為I=4豆

<Lr=8irA{vzu:-*2dx=8ir6,號(hào)-=2tr

26［簡(jiǎn)答題］

拋物線y2=2x把圓x2+y2=8分成兩部分，求這兩部分面積之比。

參考解析：拋物線y2=2x把圓x2+y2=8分成兩部分，求這兩部分面積

之比。

I斛析［拋物線/=2x與園/>/=8的交點(diǎn)分

別為(2,2)與(2.-2),加圖所示,攤物線將如分

成兩個(gè)部分4.記它們的面積分別為S,.S,.

則-ft-S,=］,(/8-0-5)小,=

*i------r-ft<，0irJW

rV8-dy-丁=8Jro<6Me——

去+2”?S1=8ir-A|=6n-于是I=

4.

33—+2

449n-2

27［簡(jiǎn)答題］

X+y+6=0,,,

在平面7T上,而平面"與曲面/+/=；相切于點(diǎn)(1,-2,5),求a,6的值。

{x+ay-z=3

曲面F?/二，相切于點(diǎn)(I??2.5),求a.6的值

［解析】設(shè)函數(shù)*(>,>,:)=x:?『-z.

A\(.r,y?*)=2i.f，(x.j.*)=2),f\(x,y,x)=

-1.

所以曲面J?/=:在點(diǎn)(L-2.5)處的切平面77

參考解析：的法向最為巾=(2,-4.-1).

過(guò)直線L的平面束方程為(x+y+b)+k(x+ay-z-3)=0,整理得

(k+1)x+(ak+1)y-kz-3k+b=0,其法向量為n=(k+l,ak+1,-k)o

根據(jù)題感知,即娥=也??二

L一9一I

解得k=l,a=-5o

將點(diǎn)(1,-2,5)代入平面(x+y+b)+k(x+ay-z-3)=0,得b=-2。故a=-5,

b=-2o

28［簡(jiǎn)答、題］

在橢圓［+W=l(a>b>0)內(nèi)接一個(gè)矩形,使其平行于橢圓的軸，且面積最大.求這一矩形的邊長(zhǎng)

(T6，

及面積

'參'*解析：設(shè)X,y分別為橢圓內(nèi)接矩形兩鄰邊邊長(zhǎng)的一半，則矩形

面積為S=4xy,由題可知(x,y)為橢圓上的點(diǎn)，

因?yàn)?0w，w2宣.

'廠ly=b*in/.

所以S=4a從in/ccwf=2abgin2,.則S'=4a/>eoQ,5*

=-8a6sin2/.

令9=0,得r,=?2=竽.

5*二,二一8"。<0.5*I,.?=8必>0,

故當(dāng)，=子時(shí),3殿大.Sa=s(左)=2由此時(shí).

矩形的邊長(zhǎng)分別為2工=及0.2>=點(diǎn)，

29［簡(jiǎn)答題］

求過(guò)z軸且與平面2.r+>-6;-7=0的夾角為/的平面方程

［?析】平面過(guò)￡軸，則點(diǎn)0(0.0.0)是平面上的

一點(diǎn),平面2jt+y-61-7=。的法向增為m=

(2.1,-^)o

設(shè)所求平面的法向最為"=M+"+c*,則”?*

=0,可得r=0,可設(shè)平面方程為s+by=0,

所求平面與已知平面的夾角等于半,則。8年=

〃?/wi,2a_工

"?"yTT?'-/io"2'

解得a=-36或a=y,

參考解析：所以所求F面方程為X+3v=0或3一,=0

30［簡(jiǎn)答題］

在以0為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)依次為：(-2,1,

4),(-2,2,6),(-1,3,3)o

⑴求三角形ABC的面積；(3分)

⑵求四面體O-ABC的體積。(4分)

參考解析：

ijA

(1)由題可知，病=(0.1.2),元=(1.2.-1).所以痛012=(-5.2.-I),由向鼠外

12-1

積的幾何意義可得.△.48C的面積S=；|.而x探|=+2’+