分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(教學設(shè)計)

1.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（2）（教學設(shè)計）教學目標知識與技能：①理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理；②會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題；過程與方法：通過對兩個原理概念的學習培養(yǎng)學生的理解能力、歸納概括能力和類比分析能力；②通過對兩個原理的應(yīng)用，提高學生對數(shù)學知識的應(yīng)用能力；情感態(tài)度與價值觀：①了解學習本章的意義，激發(fā)學生的學習興趣②引導(dǎo)學生形成“自主學習”與“合作學習”等良好的學習方式.教學重點：分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，能應(yīng)用它們解決簡單的實際問題。教學難點：正確地區(qū)分“分類”或“分步”用兩個計數(shù)原理解決一些實際問題。教學過程：一、復(fù)習回顧1、分類加法計數(shù)原理完成一件事情有n類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，……，在第n類方案中有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.2、分步乘法計數(shù)原理完成一件事情，需要分成n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，……，做第n步有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.3、兩原理的相同點與不同點相同點：它們都是研究完成一件事情,共有多少種不同的方法；不同點：分類加法計數(shù)原理分類完成一件事，任何一類辦法中的任何一個方法都能完成這件事；分步乘法計數(shù)原理分步完成一件事，這些方法需要分步,各個步驟順次相依,且每一步都完成了,才能完成這件事情。二、師生互動，新課講解：例1（課本P6例5）.給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z,后兩個要求用數(shù)字1～9．問最多可以給多少個程序命名？分析：要給一個程序模塊命名，可以分三個步驟：第1步，選首字符；第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字符．而首字符又可以分為兩類．解：先計算首字符的選法．由分類加法計數(shù)原理，首字符共有7+6=13種選法．再計算可能的不同程序名稱．由分步乘法計數(shù)原理，最多可以有13×9×9==1053個不同的名稱，即最多可以給1053個程序命名．例2（課本P7例6）.核糖核酸（RNA）分子是在生物細胞中發(fā)現(xiàn)的化學成分，一個RNA分子是一個有著數(shù)百個甚至數(shù)千個位置的長鏈，長鏈中每一個位置上都由一種稱為堿基的化學成分所占據(jù)．總共有4種不同的堿基，分別用A,C,G,U表示．在一個RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個位置上的堿基與其他位置上的堿基無關(guān)．假設(shè)有一類RNA分子由100個堿基組成，那么能有多少種不同的RNA分子？分析：用圖1.1一2來表示由100個堿基組成的長鏈，這時我們共有100個位置，每個位置都可以從A,C,G,U中任選一個來占據(jù)．解：100個堿基組成的長鏈共有100個位置，如圖1.1一2所示．從左到右依次在每一個位置中，從A,C,G,U中任選一個填人，每個位置有4種填充方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，長度為100的所有可能的不同RNA分子數(shù)目有（個）例3（課本P7例7）.電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)．因此計算機內(nèi)部就采用了每一位只有O或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進制．為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8個二進制位構(gòu)成．問：(1）一個字節(jié)（8位）最多可以表示多少個不同的字符？(2）計算機漢字國標碼（GB碼）包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？分析：由于每個字節(jié)有8個二進制位，每一位上的值都有0,1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計數(shù)原理求解本題．解：(1）用圖1.1一3來表示一個字節(jié)．圖1.1一3一個字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一個字節(jié)最多可以表示2×2×2×2×2×2×2×2=28=256個不同的字符；(2）由（1）知，用一個字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個，我們就考慮用2個字節(jié)能夠表示多少個字符．前一個字節(jié)有256種不同的表示方法，后一個字節(jié)也有256種表示方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，2個字節(jié)可以表示256×256=65536個不同的字符，這已經(jīng)大于漢字國標碼包含的漢字個數(shù)6763．所以要表示這些漢字，每個漢字至少要用2個字節(jié)表示．例4（課本P8例8）.計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行測試．程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（即程序從開始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù)．一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成．如圖1.1一4（課本P8），它是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊．問：這個程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？另外，為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù)你能幫助程序員設(shè)計一個測試方法，以減少測試次數(shù)嗎？分析：整個模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點；第2步是從A點執(zhí)行到結(jié)束．而第1步可由子模塊1或子模塊2或子模塊3來完成；第2步可由子模塊4或子模塊5來完成．因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個計數(shù)原理．解：由分類加法計數(shù)原理，子模塊1或子模塊2或子模塊3中的子路徑共有18+45+28=91（條）;子模塊4或子模塊5中的子路徑共有38+43=81（條）.又由分步乘法計數(shù)原理，整個模塊的執(zhí)行路徑共有91×81=7371（條）.在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊．這樣，他可以先分別單獨測試5個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常．總共需要的測試次數(shù)為18+45+28+38+43=172.再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第1步中的各個子模塊和第2步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測試次數(shù)為3×2=6.如果每個子模塊都工作正常，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就工作正常．這樣，測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)?72+6=178（次）.顯然，178與7371的差距是非常大的．例5（課本P9例9）.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有3個不重復(fù)的英文字母和3個不重復(fù)的阿拉伯數(shù)字，并且3個字母必須合成一組出現(xiàn)，3個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)．那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？分析：按照新規(guī)定，牌照可以分為2類，即字母組合在左和字母組合在右．確定一個牌照的字母和數(shù)字可以分6個步驟．解：將汽車牌照分為2類，一類的字母組合在左，另一類的字母組合在右．字母組合在左時，分6個步驟確定一個牌照的字母和數(shù)字：第1步，從26個字母中選1個，放在首位，有26種選法；第2步，從剩下的25個字母中選1個，放在第2位，有25種選法；第3步，從剩下的24個字母中選1個，放在第3位，有24種選法；第4步，從10個數(shù)字中選1個，放在第4位，有10種選法；第5步，從剩下的9個數(shù)字中選1個，放在第5位，有9種選法；第6步，從剩下的8個字母中選1個，放在第6位，有8種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，字母組合在左的牌照共有26×25×24×10×9×8=11232000（個）.同理，字母組合在右的牌照也有11232000個．所以，共能給11232000+11232000=22464000（個）.輛汽車上牌照． 用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要進行仔細分析―需要分類還是需要分步．分類要做到“不重不漏”．分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．分步要做到“步驟完整”―完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當然步與步之間要相互獨立．分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．課堂練習1：（課本P10練習NO：1；2；3；4）課堂練習2：1、五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多少？又他們爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？２、如下圖,要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？3、如圖,用5種不同顏色給圖中的A、B、C、D四個區(qū)域涂色,規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色,相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有種。三、課堂小結(jié)，鞏固反思：1．理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，并加區(qū)別分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相對獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成后才算做完這件事.2．運用分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的注意點：分類加法計數(shù)原理：首先確定分類標準，其次滿足：完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，并且分別屬于不同的兩類的方法都是不同的方法，即"不重不漏".

分步乘法計數(shù)原理：首先確定分步標準，其次滿足：必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟，這件事才算完成.

四、分層作業(yè)：A組：1.某一數(shù)學問題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有5名同學只會用綜合法證明，有3名同學只會用分析法證明，現(xiàn)從這些同學中任選一名同學證明這個問題，不同的選法種數(shù)為()A.8 B.15 C.18 D.20【解析】選A.可從5名只會用綜合法證明的同學中任選一名，有5種選法，也可從只會用分析法證明的3名同學中任選一名，有3種選法，由分類加法計數(shù)原理知，共有5+3=8種不同的選法.2.某學生去書店，發(fā)現(xiàn)3本好書，決定至少買其中一本，則購買方式共有()A.3種 B.6種 C.7種 D.9種【解析】選C.分3類：買1本書，買2本書和買3本書.各類的購買方式依次有3種、3種和1種，故購買方式共有3+3+1＝7種.3.若x∈1,2,3,y∈6,7,8，9，用(x，y)表示點的坐標，則不同的點的個數(shù)為()A.7 B.4 C.3 D.12【解析】選D.x的取法有3種，y的取法有4種，不同的(x，y)共有3×4=12(個).4、用1，2，3，4，5這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有(A)(A)24個(B)30個(C)40個(D)60個5.如圖，從A→C有_______________種不同的走法.【解析】分為兩類：不過B點有2種走法，過B點有2×2＝4種走法，共有4+2＝6種走法.答案：66.某電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告、2個不同的世博會宣傳廣告、1個公益廣告，要求最后播放的不能是商業(yè)廣告，且世博會宣傳廣告與公益廣告不能連續(xù)播放，2個世博會宣傳廣告也不能連續(xù)播放，則有多少種不同的播放方式？【解析】用1，2，3，4，5，6表示廣告的播放順序，則完成這件事有3類方法.第一類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是2，4，6.分6步完成這件事，共有3×3×2×2×1×1＝36種不同的播放方式.第二類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1，4，6，分6步完成這件事，共有3×3×2×2×1×1＝36種不同的播放方式.第三類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1，3，6，同樣分6步完成這件事，共有3×3×2×2×1×1＝36種不同的播放方式.由分類加法計數(shù)原理得：6個廣告不同的播放方式有36+36+36＝108種.B組：1、用0，1，2，3，4這5個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，若按從小到大的順序排列，那么12340應(yīng)是(B)(A)第9個數(shù)(B)第10個數(shù)(C)第11個數(shù)(D)第12個數(shù)2、某城市中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分(如圖)，現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種1種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽法有_______種．解：由于第1、2、3塊兩兩相鄰，我們先安排這三塊，給第1、2、3塊種花時分別有4、3、2種法，所以共有4×3×2=24種不同種法．下面給第4塊種花，若第4塊與第6塊同色，只有一種種植方法，則第5塊只有2種種法，若第4塊與第2塊同色時，共有2×1=2種種法．若第4塊與第6塊不同色，但第4塊與第2塊同色，則第6塊有2種種植的方案，而第5塊只有1種種法，共有2種不同的種植方法．若第4塊與第6塊不同色，但第4塊與第2塊不同色，則第6塊有1種種法，則第5塊也有一種不同種法，所以第4塊與第6塊不同色時，有1種種法．綜上共有24×(2＋2＋1)=120