專題08 奇偶性、對稱性與周期性-2025年高考數(shù)學一輪復習講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）原卷版

2/2專題08奇偶性、對稱性與周期性（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 12【考點1】函數(shù)的奇偶性 12【考點2】函數(shù)的周期性及應用 16【考點3】函數(shù)的對稱性 22【考點4】函數(shù)性質(zhì)的綜合應用 28【分層檢測】 33【基礎篇】 33【能力篇】 40【培優(yōu)篇】 42考試要求：1.理解函數(shù)奇偶性的含義.2.了解函數(shù)的最小正周期的含義.3.會利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性解決函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.知識梳理知識梳理1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關于y軸對稱奇函數(shù)一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關于原點對稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.1.函數(shù)周期性的常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).2.對稱性的四個常用結(jié)論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.(2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點(b，0)中心對稱.(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱；特別地，當a＝b時，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)時，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關于點(a，b)對稱.特別地，當b＝0時，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0時，則y＝f(x)的圖象關于點(a，0)對稱.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．22．（2023·全國·高考真題）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．13．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．14．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．5．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．6．（2021·全國·高考真題）設函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（

）A． B． C． D．二、多選題7．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點8．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．三、填空題9．（2023·全國·高考真題）若為偶函數(shù)，則．10．（2021·全國·高考真題）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)．①；②當時，；③是奇函數(shù)．11．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則.考點突破考點突破【考點1】函數(shù)的奇偶性一、單選題1．（2024·重慶·三模）設函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．2．（2024·廣東佛山·一模）已知為奇函數(shù)，則在處的切線方程為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若均為奇函數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．4．（2024·湖南邵陽·模擬預測）已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且對任意的，，都有，則（

）A．是奇函數(shù) B．C．的圖象關于對稱 D．三、填空題5．（2024·河南三門峽·模擬預測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則的值為.6．（2024·廣東佛山·二模）已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的實數(shù)x的取值范圍為.反思提升：1.判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立.2.利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.3.畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關問題.【考點2】函數(shù)的周期性及應用一、單選題1．（2024·陜西渭南·模擬預測）已知定義在R上的函數(shù)滿足，為奇函數(shù)，則（

）A． B．0 C．1 D．22．（21-22高三上·四川攀枝花·階段練習）定義在R上的函數(shù)滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．的值域為B．圖象的對稱軸為直線C．當時，D．方程恰有5個實數(shù)解二、多選題3．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）已知函數(shù)，及其導函數(shù)，的定義域均為，若的圖象關于直線對稱，，，且，則（

）A．為偶函數(shù) B．的圖象關于點對稱C． D．4．（2024·廣西·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足.若的圖象關于點對稱，且，則（

）A．的圖象關于點對稱B．函數(shù)的圖象關于直線對稱C．函數(shù)的周期為2D．三、填空題5．（2024·山東棗莊·一模）已知為偶函數(shù)，且，則．6．（2024·寧夏銀川·一模）若定義在上的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，，，則．反思提升：1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常數(shù)，且a≠0)，則2a為函數(shù)f(x)的一個周期.2.利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進而解決問題.【考點3】函數(shù)的對稱性一、單選題1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知定義在R上的函數(shù)滿足．若的圖象關于點對稱，且，則（

）A．0 B．50 C．2509 D．24992．（22-23高三上·遼寧營口·期末）設函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2020·山東淄博·一模）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，對于任意，都有成立，當時，，給出下列結(jié)論，其中正確的是（

）A．B．點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在上有3個零點4．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則是的極值點B．，使得C．若是的極小值點，則在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖象是中心對稱圖形三、填空題5．（23-24高三下·河南濮陽·開學考試）已知函數(shù)的定義域為，且的圖象關于點中心對稱，若，則.6．（2024·寧夏固原·一模）已知定義在R上的函數(shù)滿足對任意實數(shù)都有，成立，若，則．反思提升：對稱性的三個常用結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱.(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝－f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))對稱.(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則函數(shù)f(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))對稱.【考點4】函數(shù)性質(zhì)的綜合應用一、單選題1．（2024·遼寧撫順·一模）函數(shù)滿足：當時，，是奇函數(shù)．記關于的方程的根為，若，則的值可以為（

）A． B． C． D．12．（2024·安徽合肥·一模）已知函數(shù)的定義域為，且，記，則（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·河南開封·三模）已知函數(shù)的定義域為，且，，則（

）A． B．C．是周期函數(shù) D．的解析式可能為4．（2024·全國·模擬預測）已知，，則（

）A． B．恒成立C． D．滿足條件的不止一個三、填空題5．（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù)滿足，.則.6．（2023·全國·模擬預測）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則方程的所有解的和為.反思提升：1.比較函數(shù)值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；2.對于抽象函數(shù)不等式的求解，應變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉(zhuǎn)化為x1<x2(或x1>x2)求解.3.周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行轉(zhuǎn)換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.4.函數(shù)f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個關系時不要混淆.分層檢測分層檢測【基礎篇】一、單選題1．（2023·福建福州·模擬預測）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．2．（2023高三上·江蘇徐州·學業(yè)考試）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．3．（2024·廣東茂名·一模）函數(shù)和均為上的奇函數(shù)，若，則（

）A． B． C．0 D．24．（2024·全國·模擬預測）函數(shù)，則（

）A．2024 B． C．e D．二、多選題5．（2021·江蘇連云港·模擬預測）函數(shù)的定義域為，且與都為奇函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù) B．為周期函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)6．（23-24高一上·云南昆明·期中）函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的值域為C．是偶函數(shù) D．，7．（2024·全國·模擬預測）已知，，則（

）A．將的圖象向左平移個單位長度可以得到的圖象B．將的圖象向右平移個單位長度可以得到的圖象C．的圖象與的圖象關于直線對稱D．的圖象與的圖象關于直線對稱三、填空題8．（23-24高一下·內(nèi)蒙古·期中）已知，函數(shù)是奇函數(shù)，則，．9．（2024·陜西西安·二模）已知定義域為的函數(shù)滿足，且當時，，則.10．（2024·四川成都·模擬預測）函數(shù)，若，則.四、解答題11．（2023·陜西西安·模擬預測）已知奇函數(shù)在處取得極大值2.(1)求的解析式；(2)求在上的最值.12．（2020·廣東中山·模擬預測）已知函數(shù)的定義域為，當時，，且對任意滿足．（1）求的值；（2）判斷的單調(diào)性，并加以說明；（3）當時，試比較與的大?。灸芰ζ恳?、單選題1．（2024·山東濟南·二模）已知函數(shù)的定義域為R，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題2．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)的定義域為，且的圖象關于點對稱，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．的圖象關于直線對稱C．的最小正周期為4D．若，則三、填空題3．（2024·全國·模擬預測）寫出一個同時滿足下列三個條件的函數(shù)的解析式．①；②；③的導數(shù)為且．四、解答題4．（2024·上海徐匯