全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題

全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題(一)

一、選擇題(共8小題，每小題5分，共40分)

1.要使方程組的解是一對(duì)異號(hào)的數(shù)，則。的取值范圍是()

2x+3y=2

444

(A)—<a<3(B)a<—(C)a>3(D)a>3^a<—

333

2.一塊含有30。角的直角三角形(如圖)，它的斜邊AB=8cm,

里面空心ADEF的各邊與AA5C的對(duì)應(yīng)邊平行，且各對(duì)應(yīng)邊的

距離都是1cm,那么ADEF的周長(zhǎng)是()

(A)5cm(B)6cm(C)(6-73)cm(D)(3+百)cm

3.將長(zhǎng)為15cm的木棒截成長(zhǎng)度為整數(shù)的三段，使它們構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊,

則不同的截法有()

(A)5種(B)6種(C)7種(D)8種

4.作拋物線A關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線B,再將拋物線B向左平移2個(gè)單位，向

上平移1個(gè)單位，得到的拋物線C的函數(shù)解析式是y=2(x+l/—1,則拋物線

A所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是()

(A)j=-2(x+3)2-2(B)y=-2(x+3)2+2

(C)y=-2(x-l)2-2(D)y=-2(x+3)2+2

5.書(shū)架上有兩套同樣的教材，每套分上、下兩冊(cè)，在這四冊(cè)教材中隨機(jī)抽取兩

冊(cè)，恰好組成一套教材的概率是()A

(A)j(B)|(C)|(D)|

6.如圖，一枚棋子放在七邊形ABCDEFG的頂點(diǎn)處，卜/t

現(xiàn)順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)這枚棋子10次，移動(dòng)規(guī)則是：第左次

依次移動(dòng)左個(gè)頂點(diǎn)。如第一次移動(dòng)1個(gè)頂點(diǎn)，棋子停在E

(第6題)

頂點(diǎn)B處，第二次移動(dòng)2個(gè)頂點(diǎn)，棋子停在頂點(diǎn)D。依

這樣的規(guī)則，在這10次移動(dòng)的過(guò)程中，棋子不可能分為兩停到的頂點(diǎn)是()

(A)C,E,F(B)C,E,G(C)C,E(D)E,F.

7.一元二次方程ax2+/>x+c=0（a，0）中，若a,〃都是偶數(shù)，C是奇數(shù)，則這個(gè)

方程（）

（A）有整數(shù)根（B）沒(méi)有整數(shù)根（C）沒(méi)有有理數(shù)根（D）沒(méi)有實(shí)數(shù)根

8.如圖所示的陰影部分由方格紙上3個(gè)小方格組成，我們稱這樣的圖案為L(zhǎng)形,

那么在由4x5個(gè)小方格組成的方格紙上可以畫(huà)出不同位置的L形圖案?jìng)€(gè)數(shù)是

（）

（A）16（B）32（C）48（D）64

二、填空題：（共有6個(gè)小題，每小題5分，滿分30分）

9.已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3cm,4cm,那么以兩直角邊為直徑的兩

圓公共弦的長(zhǎng)為cm.

10.將一組數(shù)據(jù)按由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕校幱谧钪虚g位置的數(shù)（當(dāng)數(shù)

據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)），或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)）叫做這

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)共100個(gè)數(shù)，其中有15個(gè)數(shù)在中位數(shù)和平均數(shù)

之間，如果這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)都不在這100個(gè)數(shù)中，那么這組數(shù)據(jù)中小

12.設(shè)直線？=區(qū)+左一1和直線y=（左+l）x+左（左是正整

數(shù)）及X軸圍成的三角形面積為sk,則S1+$2+$3…+$2006的值是

13.如圖，正方形ABCD和正方形CGEF的邊長(zhǎng)分別是口

E

2和3,且點(diǎn)B、C、G在同一直線上，M是線段AE的

A廠

中點(diǎn)，連結(jié)MF,則MF的長(zhǎng)為_(kāi)_________o

14.邊長(zhǎng)為整數(shù)的等腰三角形一腰上的中線將其周長(zhǎng)分為

1;2的兩部分，那么所有這些等腰三角形中，面積最小的BCG

（第13題）

三角形的面積是______________0

三、解答題（共4題，分值依次為12分、12分、12分和14分）

15.(12分)已知a,Z>,c都是整數(shù)，且a-28=4,aZ>+c2-1=0,求a+Z>+c的值。

16.做服裝生意的王老板經(jīng)營(yíng)甲、乙兩個(gè)店鋪，每個(gè)店鋪在同一段時(shí)間內(nèi)都能售

出A,B兩種款式的服裝合計(jì)30件，并且每售出一件A款式和B款式服裝，

甲店鋪獲毛利潤(rùn)分別為30元和40元，乙店鋪獲毛利潤(rùn)分別為27元和36

元。某日王老板進(jìn)貨A款式服裝35件，B款式服裝25件。怎樣分配給每

個(gè)店鋪各30件服裝，使得在保證乙店鋪毛利潤(rùn)不小于950元的前提下，王

老板獲取的總毛利潤(rùn)最大？最大的總毛利潤(rùn)是多少？

17.如圖所示，<30沿著凸n邊形AiA2A3…AiAn的外側(cè)(圓和邊相切)作無(wú)

滑動(dòng)的滾動(dòng)一周回到原來(lái)的位置。

(1)當(dāng)。O和凸n邊形的周長(zhǎng)相等時(shí)，證明。O自身轉(zhuǎn)動(dòng)了兩圈；

(2)當(dāng)。O的周長(zhǎng)是，凸n邊形的周長(zhǎng)是時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)明此時(shí)。O自身轉(zhuǎn)動(dòng)的圈

數(shù)。

18.已知二次函數(shù)y=/+2(加+》/+1。

(1)隨著m的變化，該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)P是否都在某條拋物線上？如

果是，請(qǐng)求出該拋物線的表達(dá)式；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)如果直線y=x+1經(jīng)過(guò)二次函數(shù)y=x2+2(m+l)x-m+1圖象的頂點(diǎn)

P,求此時(shí)m的值。

全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題(一)參考答案

一、選擇題

1.答案D

3d—4

解：解方程組，得,5要使方程組的解是一對(duì)異號(hào)的數(shù),

6—2〃

3ci—4<0p3d-4>04、

只需＜6-2八。或,即〃<—或Q>3

6-2a<03

2.答案B

解：連結(jié)BE,分別過(guò)E,F作AC的平行線BC于點(diǎn)

M和N,則EM=1,BM=百，MN=4-6一1=3-百

二小三角形的周長(zhǎng)是MN+2MN+V3MN=6cm

3.答案C

解：能組成三角形的只有(1,7,7)、(2,6,7)、(3,5,7)、(3,6,6)、

(4,4,7)、(4,5,6)、(5,5,5)七種

4.答案：D

解：將拋物線C再變回到拋物線A：即將拋物線y=2(x+l)2-l向下平移1個(gè)

單位，再向右平移2個(gè)單位，得到拋物線y=2(x-l)2-2,而拋物線y=2(x-l)2-2

關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線是y=-2(x-l)，2

5.答案：A

解：四冊(cè)教材任取兩冊(cè)共有6種不同的取法，取出的兩冊(cè)是一套教材的共有

4種不同的取法，故所求概率是34=3?

6.答案：A

解：經(jīng)實(shí)驗(yàn)或按下方法可求得頂點(diǎn)C,E和F棋子不可能停到

設(shè)頂點(diǎn)A,B,C,D,E,F,G分別是第0,1,2,3,4,5,6格，因棋

子移動(dòng)了k次后走過(guò)的總格數(shù)是1+2+3+…+k=：左伏+1),應(yīng)停在第

:左(左+1)—7p格，這是P是整數(shù)，且使0忘g左(上+1)-7“46,分別取k=l,

(第6題)

2,3,4,5,6,7時(shí)，夕伏+1）—7p=l,3,6,3,1,0,0,發(fā)現(xiàn)第2,4,

5格沒(méi)有停棋，若7<k10,設(shè)k=7+t（t=l,2,3）代入可得，

^k（k+l）-7p=7m+^t（t+l）,由此可知，停棋的情形與k=t時(shí)相同，故第

2,4,5格沒(méi)有停棋，即頂點(diǎn)C,E和F棋子不可能停到。

7.答案B

解：假設(shè)有整數(shù)根，不妨設(shè)它的根是2k或2k+l（k為整數(shù)），分別代入原方

程得方程兩邊的奇偶性不同的矛盾結(jié)果，所以排除A；若a,b,c分別取4,

8,3則排除C,D

8.答案C

解：每個(gè)2義2小方格圖形有4種不同的畫(huà)法，而位置不同

的2X2小方格圖形共有12個(gè)，故畫(huà)出不同位置的L形圖

形案?jìng)€(gè)數(shù)是12X4=48

（第8題）

二、填空題

17

9.答案：y

解：不難證明其公共弦就是直角三角形斜邊上的高（設(shè)為h）,則5h=3X4,h=—

10.答案：35%或65%（答對(duì)一個(gè)給3分）

解：如果平均數(shù)小于中位數(shù)，那么小于平均數(shù)的數(shù)據(jù)有35個(gè)；如果平均數(shù)大于

中位數(shù)，那么小于平均數(shù)的數(shù)據(jù)有65個(gè)，所以這組數(shù)據(jù)中小于平均數(shù)的數(shù)據(jù)占

這100個(gè)數(shù)據(jù)的百分比是35%或65%

11.答案：Vio

解：不難驗(yàn)證，a2=b2+c2,所以aABC是直角三角形，其中a是斜邊。

,.,■,bcc~+b2a~

bsinBD+csinCn=Z??—+c?—=------=—=a=<10

aaaa

1003

12.答案:

2007

解:方程組［I］富二的解為RI直線的交點(diǎn)是T⑴

小、

直線y=kx+k-l,y=（左+1）%+左與無(wú)軸的交點(diǎn)分別是

1-k-k_J_j_1

Sk,所以

k1+1-2IT+T

11

S1+S2+S3+…+S20061--

4-22334"20062007

11003

20072007

13.答案：—

2

解：連結(jié)DM并延長(zhǎng)交EF于N,則△ADMgA

ENM,

FN=1,則FM是等腰直角4DFN的底邊上的（第13題）

高'所以FM=1

14.答案：孚

解:設(shè)這個(gè)等腰三角形的腰為x,底為y,分為的兩部分邊長(zhǎng)分別為n和

2n,得

XxcIn4n

x+—=nx+—=2nx=——x=——

2或2解得<3或3

X.X5nn

-+y=2n;一+y=〃y=-y=—

12J33

??c2n5n

?2x——<——（此時(shí)不能構(gòu)成三角形,舍去）

33

4〃

x=——

二.?。?其中n是3的倍數(shù)

n

y=—

3

三角形的面積SA=LX^X對(duì)于叢"

23

SA=等取最小

當(dāng)n20時(shí)，S△隨著n的增大而增大，故當(dāng)n=3時(shí),

三、解答題

15.解：將a=4+2b代入ab+c2T=0,得2b2+曲+(?-1=0,

.,-2±V6-2c2

.?b=----------

2

???b,C都是整數(shù)，.?.只能取F="2=\『二2卜=,

q=i匕=t心=1&=t

相對(duì)應(yīng)ai=4,a2=4,a3=0,a4=0

故所求a+b+c的值有4個(gè)：5,3,-1,-3

16.解：設(shè)分配給甲店鋪A款式服裝x件(x取整數(shù)，且5WxW30),則分配給

甲店鋪B款裝(30-x)件，分配給乙店鋪A款服裝(35-x)件，分配給乙店鋪B

款式服裝[25-(30-x)]=(x-5)件，總毛利潤(rùn)(設(shè)為y總)為：

Y總=30x+40(30-x)+27(35-x)+36(x-5)=-x+1965

乙店鋪的毛利潤(rùn)(設(shè)為y乙)應(yīng)滿足：

Y乙=27(35-x)+36(x-5)N950,得x220』

9

對(duì)于y總=-x+1965,y隨著x的增大而減小，要使y總最大，x必須取最小值，

又x220』，故取x=21,即分配給甲店鋪A、B兩種款式服裝分別為21件和9件，

9

分配給乙店鋪A,B兩種款式服裝分別為14件和16件，此時(shí)既保證了乙店鋪獲

毛利潤(rùn)不小于950元，又保證了在此前提下王老板獲取的總毛利潤(rùn)最大，

最大的總毛利潤(rùn)為y總最大=—21+1965=1944(元)

的切線，OO滾動(dòng)經(jīng)過(guò)端點(diǎn)Ai后到。(F的位置，此時(shí)A1A2是。(T的切線，因

此OALAnAi,CTAJA1A2,當(dāng)。O轉(zhuǎn)動(dòng)至。(F時(shí)，則NY就是。O自身轉(zhuǎn)動(dòng)

的角。

VZY+Z0=9O°,Za+ZP=90°,AZy+Za,即。0滾動(dòng)經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)Al自

身轉(zhuǎn)動(dòng)的角度恰好等于頂點(diǎn)A1的一個(gè)外角。對(duì)于頂點(diǎn)是銳角或直角的情況，類

似可證(注：只證明直角的情況)

?.?凸n邊形的外角和為360°

二00滾動(dòng)經(jīng)過(guò)n個(gè)頂點(diǎn)自身又轉(zhuǎn)動(dòng)一圈

.I.00自身轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)是(9+1)圈

a

18.解：(1)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)P是在某條拋物線上，求該拋物線的函數(shù)

表達(dá)式如下：

利用配方，#y=(x+m+1)2-m2-3m,頂點(diǎn)坐標(biāo)是P(-m-1,-n]2-3m)

方法一：分別取1,得到三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是Pi(-L,O)、Pz(0,2)、P3C2,-4),

過(guò)這三個(gè)頂點(diǎn)的二次函數(shù)的表達(dá)式是y=-x2+x+2

將頂點(diǎn)坐標(biāo)P(-mT,-m2-3m)代入y=-x2+x+2的左右兩邊，左邊=-m2-3m,右邊

=-(-mT)2+(-mT)+2=-m2-3m,.,.左邊=右邊，即無(wú)論m取何值，頂點(diǎn)P都在拋物

線y=-x?+x+2上，即所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y=-x?+x+2(注：如果沒(méi)有“左

邊=右邊”的證明，那么解法一最多只能得4分)

方法二：令將m=-x-l代入-mYm,得

-(-x-1)Y(-x-1)=-X2+X+2

即所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y=-x2+x+2上

(2)如果頂點(diǎn)P(-m-l,-m2-3m)在直線y=x+l上，貝！J-m2-3m=-m-l+l,

即m2=-2mm=0或m=-2

/.當(dāng)直線y=x+l經(jīng)過(guò)二次函數(shù)y=x2+2(m+1)x-m+1圖象的頂點(diǎn)P時(shí)，m的值是-2

或0

全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽(二)

一、選擇題(本題共8小題，每小題6分，滿分48分)：下面各題給出的

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi).

1.化簡(jiǎn)(工-工)+粵^得()

x+yy-xx-y

D4

444

2x-l5-3x

---------+1>x-------------

2.滿足不等式組32的所有整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

xcx-1

—<3+

[53

A.1B.2C.21D.22

3.兩個(gè)相似三角形，他們的周長(zhǎng)分別是36和12.周長(zhǎng)較大的三角形的最大

邊為15,周長(zhǎng)較小的三角形的最小邊為3,則周長(zhǎng)較大的三角形的面積是（）

A.52B.54C.56D.58

4.由一元二次方程x2+px+q=0的兩個(gè)根為p、q,則p、q等于()

A.0B.1C.1或-2D.0或1

5.如圖，ZiABC中，NB=40°,AC的垂直平分線交AC于D,交BC于E,且

ZEAB：NCAE=3：1,則NC等于

A.28°B.25°

C.22.5°D.20°

E

6.全班有70%的學(xué)生參加生物小組,75%的學(xué)生參加化學(xué)小組，85%的學(xué)生

參加物理小組，90%的學(xué)生參加數(shù)學(xué)小組,則四個(gè)小組去參加的學(xué)生至少占全班

的百分比是

()

A.10%B.15%C.20%D.25%

7.有純農(nóng)藥一桶，倒出20升后用水補(bǔ)滿；然后又倒出10升，在用水補(bǔ)滿,

這是桶中純農(nóng)藥與水的容積之比為3:5,則桶的容積為()

A.30升B.40升0.50升D.60升

8.三角形的三條外角平分線所在直線相交

構(gòu)成的三角形()

A.一定是銳角三角形

B.一定是鈍角三角形

C.一定是直角三角形

D.與原三角形相似

二、填空題（本提供4小題，每小題8分，

滿分32分）：將答案直接填在對(duì)應(yīng)題中的橫線上

9.如圖，在4ABC中，AB=AC,AD±BC,CG/7AB,BGA

分別交AD.AC于E,F.若嘉

于

10.方程||x-3|+3x|=1的解是

11.AD、BE、CF是△ABC的三條中線，若

BC—3,CA—b,AB—c,

貝IjAD2+BE2+CF2=.

12.有兩個(gè)二位數(shù)，它們的差是58,它們的平方數(shù)的末兩位數(shù)相同,則這

個(gè)二位數(shù)是.

三、解答題（本題共3小題，每小題20分，滿分60分）

13.AABC中，AB=1,AC=2,D是BC中點(diǎn)，AE平分NBAC交BC于E,且DF〃AE.

求CF的長(zhǎng).A/Z匚

14.某建筑公司承包了兩項(xiàng)工程，分別由兩個(gè)工程隊(duì)施工，根據(jù)工程進(jìn)度情況,

建筑公司可隨時(shí)調(diào)整兩隊(duì)的人數(shù)，如果從甲隊(duì)調(diào)70人到乙隊(duì)，則乙隊(duì)人數(shù)為甲

隊(duì)人數(shù)的2倍，如果從乙隊(duì)調(diào)若干人去甲隊(duì)，則甲隊(duì)人數(shù)為乙隊(duì)人數(shù)的3倍，

問(wèn)甲隊(duì)至少有多少人？

15.把數(shù)字1,2,3,9分別填入右圖的9個(gè)圈內(nèi)，要求三角形ABC和三角

形DEF的每條邊上三個(gè)圈內(nèi)數(shù)位之和等于18.A

I給出符合要求的填法Q

II共有多少種不同填法？證明你的結(jié)論

參考答案（二）

一、選擇題DCBCACBA

GFCFAB-AFAB,b-a

------------=--------1=-------

BFAFAFAFa

GF=(BE+EF)=(BE+-BE)I"

b-a+ab

BE-BEBE

3

10.-2或-111.-(a-+b-+c2)12.79和21

三、解答題

13.解：分別過(guò)E作EH_LAB于H,EGLAC于G,因AE平分NBAC,所以有EH=EG

BE=S.=ABJ

從而有

CE--AC-5

r-L用CFCD1BC1BE+EC1H113

又由DF〃AE,得一=—=----=---------(+1)=(+1)=

CACE2CE2CE2CE224

333

所以CF=-xCA=-x2=-

442

14.解：設(shè)甲隊(duì)有x人，則乙隊(duì)有［2(x-70)-70］人,即乙隊(duì)有(2x-210)人

設(shè)從乙隊(duì)調(diào)y人去甲隊(duì)，甲隊(duì)人數(shù)為乙隊(duì)人數(shù)的3倍，則

3(2x-210-y)=x+y,

即x=126+gy

由y>0知y至少為5,即x=126+4=130.所以甲隊(duì)至少有130人.

15.解：I右圖給出了一個(gè)符合要求的填法;II共有6種不同填法

把填入A,B,C三處圈內(nèi)的三個(gè)

數(shù)之和記為x；D,E,F三處圈內(nèi)的三個(gè)

數(shù)之和記為y；其余三個(gè)圈所填的數(shù)位

之和為z.顯然有x+y+z=1+2+…+9=45

①

圖中六條邊，每條邊上三個(gè)圈中之?dāng)?shù)

的和為18,所以有

z+3y+2x=6X18=108②

②-①，得

X+2y=108-45=63③

把AB,BC,CA每一邊上三個(gè)圈中的數(shù)的

F

和相加，則可得

2x+y=3X18=54④

聯(lián)立③，④，解得x=15,y=24,繼而之z=6.

在1,2,3,9中三個(gè)數(shù)之和為24的僅為7,8,9,所以在D,E,F三處圈內(nèi)，

只能填7,8,9三個(gè)數(shù)，共有6種不同填法.顯然，當(dāng)這三個(gè)圈中指數(shù)一旦確定,

根據(jù)題目要求，其余六個(gè)圈內(nèi)指數(shù)也隨之確定，從而的結(jié)論，共有6種不同的

填

全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題(三)參考答案

一、選擇題(共5小題，每小題6分，滿分30分。以下每道小題均給出了

代號(hào)為A,B,C,D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。請(qǐng)將正確

選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里。不填、多填或錯(cuò)填均得0分)

1.在高速公路上，從3千米處開(kāi)始，每隔4千米經(jīng)過(guò)一個(gè)限速標(biāo)志牌；并

且從10千米處開(kāi)始，每隔9千米經(jīng)過(guò)一個(gè)速度監(jiān)控儀.剛好在19千米處第一次

同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩種設(shè)施，那么第二次同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩種設(shè)施的千米數(shù)是()

(A)36(B)37(C)55(D)90

答：C.

解：因?yàn)?和9的最小公倍數(shù)為36,19+36=55,所以第二次同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩

種設(shè)施的千米數(shù)是在55千米處.

故選C.

2.已知用=1+逝"，n=l—V2,且(7"?2—14m+01)(3〃2—672-7)=8,貝(Ja

的值等于()

(A)-5(B)5(C)-9(D)9

答：C.

解：由已知可得加?一2機(jī)=1,n~-2n=l.又

(7"/-14機(jī)+”)(3〃2-6〃-7)=8,所以(7+a)(3-7)=8解得a=-9

故選C.

3.RtaABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C均在拋物線y=V上，并且斜邊AB平

行于x軸.若斜邊上的高為h,則()

(A)h<l(B)h=l(C)l<h<2(D)h>2

答：B.

解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,a?),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(c,c2)(|c|<|a|),則點(diǎn)B

的坐標(biāo)為

(-a,a2),由勾股定理，得AC2=(c—q)2+(c2一。2尸，

BC2=(c+a)2+(c2-a2)2,AC~+BC2=AB2

所以(?2-c2)2=?2-c2.

由于/>02,所以a?—c2=l,故斜邊AB上高h(yuǎn)=a?-c?=l

故選B.

4.一個(gè)正方形紙片，用剪刀沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分；

拿出其中一部分，再沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分；又從得到的

三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分……

如此下去，最后得到了34個(gè)六十二邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數(shù)

是()

(A)2004(B)2005(C)2006(D)2007

答：B.

解：根據(jù)題意，用剪刀沿不過(guò)頂點(diǎn)的直線剪成兩部分時(shí)，每剪開(kāi)一次，使

得各部分的內(nèi)角和增加360。.于是，剪過(guò)k次后，可得(k+1)個(gè)多邊形，這些

多邊形的內(nèi)角和為(k+l)X360。.

因?yàn)檫@(k+1)個(gè)多邊形中有34個(gè)六十二邊形，它們的內(nèi)角和為34X(62-

2)X180°=34X60X180°,其余多邊形有(k+1)—34=k—33(個(gè))，而這些多邊

形的內(nèi)角和不少于(k—33)X180°.所以(k+1)X360°234X60X180°+(k

-33)X180°,解得k22005.

當(dāng)我們按如下方式剪2005刀時(shí)，可以得到符合條件的結(jié)論.先從正方形上

剪下1個(gè)三角形，得到1個(gè)三角形和1個(gè)五邊形；再在五邊形上剪下1個(gè)三角形，

得到2個(gè)三角形和1個(gè)六邊形……如此下去，剪了58刀后，得到58個(gè)三角形和

1個(gè)六十二邊形.再取33個(gè)三角形，在每個(gè)三角形上剪一刀，又可得到33個(gè)三

角形和33個(gè)四邊形，對(duì)這33個(gè)四邊形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，

便34個(gè)六十二邊形和33X58個(gè)三角形.于是共剪了

58+33+33X58=2005(刀).

故選B.

5.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于。O,點(diǎn)P在劣弧AB上，連結(jié)DP,交AC

于點(diǎn)Q.若QP=QO,則空的值為()八/

QA%----------------

(A)273-1/\/\

(B)2百

(C)73+V2

P

(D)V3+2(第5題圖)

答：D.

解：如圖，設(shè)。O的半徑為r,QO=m,則QP=m,QC=r.

QA=r—m./卜、

在。O中，根據(jù)相交弦定理，得QA?QC=QP?Qi/\

(第5題圖)

y-yyy

即(r—m)(r+m)=m?QD,所以QD=---------.

m

連結(jié)DO,由勾股定理，#QD2=DO2+QO2,

(2_2rz

即—-----=r2+m2,解得機(jī)二—r

、mJ3

r+mV3+1

所以,QC=V3+2

QAr—mV3-1

故選D.

二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）

6.已知a,b,c為整數(shù)，且a+b=2006,c—a=2005.若a〈b,則a+b+c

的最大值為.

答：5013.

解：由。+/?=2006,c-a=2005,得a+b+c=a+4011.

因?yàn)閍+6=2006,a<b,a為整數(shù)，所以，a的最大值為1002.

于是，a+b+c的最大值為5013.

7.如圖，面積為的正方形DEFG內(nèi)接于

面積為1的正三角形ABC,其中a,b,c為整數(shù)，

且b不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除，則寧的值

b

等于.

（第7題圖）

出20

答「

解:設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為x,正三角形ABC的邊長(zhǎng)為m,則川

由△ADGSAABC,可得±=解得x=（2/一3）機(jī)

m

于是X2=(2A/3-3)2m2=2873-48,

由題意，＜7=28,b=3,c=48,所以—-=

b3

8.正五邊形廣場(chǎng)ABCDE的周長(zhǎng)為2000米.甲、乙兩人分別從A、C兩

點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿A-B-C-D-E-A-…方向繞廣場(chǎng)行走，甲的速度為50米/

分，乙的速度為46米/分.那么出發(fā)后經(jīng)過(guò)分鐘，甲、乙兩人第一次行

走在同一條邊上.

答：104.

解：設(shè)甲走完x條邊時(shí)，甲、乙兩人第一次開(kāi)始行走在同一條邊上，此時(shí)

400r

甲走了400x米，乙走了46X^^=368x米.于是368(x-1)+800-400(x-

1)>400,

400y13

所以，12.5^x<13.5.故x=13,此時(shí)/=------=104.

50

229

9.已知0<a<l,且滿足a+—+ci-\----+…+ci~\----=18,貝!|[10旬的

3030

值等于.(同表示不超過(guò)x的最大整數(shù))

答：6.

122912

解：因?yàn)?vaH----vaT------<…<〃H<2,所以aH-----aH-----,

3030303030

。+竺］等于o或1.由題設(shè)知，其中有18個(gè)等于1,所以

1211121329

aH---—--aH-----aH---=-0-,ClH---—--ClH---=--???=aH-----

303030303030

所以0<。+口<1,l^a+—<2.

3030

故18W30aV19,于是6W10a〈g,所以［10a］=6.

10.小明家電話號(hào)碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位號(hào)碼和第二位號(hào)碼

之間加上數(shù)字8,成為一個(gè)七位數(shù)的電話號(hào)碼；第二次升位是在首位號(hào)碼前加上

數(shù)字2,成為一個(gè)八位數(shù)的電話號(hào)碼.小明發(fā)現(xiàn)，他家兩次升位后的電話號(hào)碼的

八位數(shù)，恰是原來(lái)電話號(hào)碼的六位數(shù)的81倍，則小明家原來(lái)的電話號(hào)碼

是.

答：282500.

解：設(shè)原來(lái)電話號(hào)碼的六位數(shù)為Me慮九則經(jīng)過(guò)兩次升位后電話號(hào)碼的八

位數(shù)為

2a8bcdef.根據(jù)題意，有81Xabcdef=2a8bcdef.

記x=bxl()4+cxl()3+dxl()2+exlO+/,于是

81xaxl05+81x=208xl05+tzxl06+x,

解得x=1250X(208—71a).

因?yàn)镺WxVlO)所以O(shè)W1250X(208—71a)<IO)故」

7171

因?yàn)閍為整數(shù)，所以a=2.于是x=1250X(208—71X2)=82500.

所以，小明家原來(lái)的電話號(hào)碼為282500.

三、解答題(共4題，每小題15分，滿分60分)

h

11.已知x=2,a,方為互質(zhì)的正整數(shù)(即a,6是正整數(shù)，且它們的最

a

大公約數(shù)為1),且aW8,—1<x<—1.

(1)試寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的x；

(2)求所有滿足條件的x.

解：(l)x=」?jié)M足條件..........

2

5分

(2)因?yàn)閤=—a,為互質(zhì)的正整數(shù)，且所以

a9

V2-1<-<V3-1,即(V2-l)tz<Z?<(V3-l)tz.

a

當(dāng)a=l時(shí)，(72-1)x1<^<(V3-l)xl,這樣的正整數(shù)6不存在.

當(dāng)a=2時(shí)，(V2-l)x2!<^<(V3-1)X2,故6=1,此時(shí)x=』.

2

當(dāng)a=3時(shí)，(V2-l)x3i<Z?<(V3-l)x3,故6=2,此時(shí)x=|.

當(dāng)a=4時(shí)，(V2-l)x4\<b<(V3-1)x4,與a互質(zhì)的正整數(shù)b不存在.

當(dāng)a=5時(shí)，(JI-l)x5；<Z?<(V3-l)x5,故6=3,此時(shí)x=g.

當(dāng)a=6時(shí)，(72-1)X€><b<(V3-1)x6,與a互質(zhì)的正整數(shù)6不存在.

當(dāng)a=7時(shí)，(JI一1)x7<&<(V3-l)x7,故6=3,4,5此時(shí)x=三，一，

當(dāng)a=8時(shí)，(VI—l)x8<6<(g—l)x8,故6=5,此時(shí)x=9

8

所以，滿足條件的所有分?jǐn)?shù)為:，j%5

8

15分

12.設(shè)a,b,。為互不相等的實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式

b'+c2=2cr+16a+14①

be=a2—4a—5②

求a的取值范圍.

解法一：由①一2X②得（。一=24（。+1）>0,所以a>—1.

當(dāng)a>-l時(shí)，=2。2+16。+14=2（。+1）（。+7）>0............................

10分

又當(dāng)時(shí)，由①，②得c2=tz2+16o+14,③

ac=a2-4a-5

④

將④兩邊平方,結(jié)合③得“2(/+16。+14)=(/_4a—5)2

化簡(jiǎn)得24a3+8/一40。-25=0,故(6。+5)(4〃-2。-5)=0,

解得a=—9,或.=1±Vil.

64

所以，a的取值范圍為a>—l且。。一9,。。山史..................

64

15分

2,

解法二：因?yàn)?十/二2cl2+16〃+149be—ct—4〃—5,所以

2

(Z?+c)?=2/+16〃+14+2(i—4〃—5)—4〃2+8a+4=4(〃+1)9