北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊?？碱}專練專題14全等三角形模型(一)(原卷版+解析)

專題14全等三角形模型（一）題型一三垂直模型1．如圖，，，，，垂足分別為，，，，求的長．2．如圖1，點是線段上一點，，，，，（1）求證：．（2）如果是如圖2這個圖形，、、有什么數(shù)量關(guān)系？并證明．3．如圖所示，在中，，且，點為上一點，連接，過點作于點，交于點，點是上任意一點．（1）如圖1，連接，若，且，求的長；（2）如圖2，連接，交于點，若點恰為中點，求證，．

4．如圖所示，直線一側(cè)有一個等腰，其中，．直線過頂點，分別過點，作，，垂足分別為點，，的角平分線交于點，交于點，連接，恰好滿足．延長，交于點．（1）求證：；（2）求證：．5．一天課間，頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見了，于是有了下面這道題．（1）求證：；（2）如果每塊磚的厚度，請你幫小明求出三角板的面積．6．如圖，在中，點在的延長線上，且．過點作，與的垂線交于點．（1）求證：；（2）請找出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．7．已知：中，，，過點作，且．（1）如圖1，當點在線段上時，過點作于，連接．求證：；（2）如圖2，當點在延長線上時，連接交的延長線于點．求證：．8．如圖，在中，，，點的坐標為，點的坐標為，則點的坐標是A． B． C． D．9．如圖，已知于，于，，，且為上一點，，，則A．13 B．8 C．6 D．510．如圖，，，，，，，則等于A． B． C． D．11．如圖，小明的數(shù)學(xué)作業(yè)本上都是等距的橫線，相鄰兩條橫線的距離都是1厘米，他把一個等腰直角三角板放在本子上，點、、恰好都在橫線上，則斜邊的長度為A．10 B． C． D．12．如圖，已知中，，，三角形的頂點在相互平行的三條直線，，上，且，之間的距離為2，，之間的距離為3，則的長是A． B． C． D．7

題型二一線三等角模型13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長．14．如圖，在中，，點在邊上，點在邊上，連接，．已知，．（1）求證：；（2）若，，求的長．15．如圖，等邊三角形中，放置等邊三角形，且點，分別落在，上，，連結(jié)，若平分，則的長度為．

16．如圖，在中，，，點在線段上運動（不與點，重合），連接，作，交線段于點．（1）當時，，，當點從點向點運動時，逐漸變（填“大”或“小”；（2）當?shù)闹凳嵌嗌贂r，．并說明理由；（3）在點的運動過程中，是否存在是等腰三角形？若存在，請直接寫出此時的度數(shù)；若不存在，請說明理由．17．如圖（1），已知：在中，，，直線經(jīng)過點，直線，直線，垂足分別為點、．證明：．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在中，，、、三點都在直線上，并且有．請直接寫出線段、和之間的數(shù)量關(guān)系．（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），、是、、三點所在直線上的兩動點、、三點互不重合），點為平分線上的一點，且和均為等邊三角形，連接、，若，試證明．

18．如圖，在中，，，，分別是，，上的點，且，，，則的度數(shù)是度．（用含的代數(shù)式表示）19．已知：在中，，直線過點．（1）如圖1，，分別過點，作直線的垂線段，，垂足分別為，．①依題意補全圖1；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖2，當時，設(shè)，作，點，在直線上，直接用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為．題型三對角互補模型20．如圖，已知四邊形，，，，則四邊形的面積為．21．如圖，在四邊形中，，，連接．若，則四邊形的面積為．22．如圖，在中，，，直角的頂點是的中點，兩邊、分別交、于點、，連接交于點，以下五個結(jié)論：①；②；③和互補；④是等腰直角三角形；⑤四邊形的面積是面積的，其中正確的結(jié)論是A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④23．如圖，四邊形中，已知，，，若四邊形的面積為，則．

24．綜合與實踐如圖1，正方形的對角線相交于點，點又是正方形的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，交于點，交于點．知識初探．求證：；探究計算如圖1，若，求四邊形的面積；拓展探究如圖2，四邊形中，，，連接，若，則四邊形的面積是（直接寫出答案，不寫過程）．25．如圖，，將一塊足夠大的三角尺的直角頂點落在的平分線上的任意一點上，使三角形的兩條直角邊與的兩邊分別相交于點，．（1）求證：；（2）若點在的反向延長線上，其他條件不變，問還成立嗎？請說明理由．

26．已知：如圖13.5.4，是的平分線，是上任意一點，，，垂足分別為點和點．求證：．分析：圖中有兩個直角三角形和，只要證明這兩個三角形全等便可證得．【問題解決】請根據(jù)教材分析，結(jié)合圖①寫出證明的過程．【類比探究】（1）如圖②，是的平分線，是上任意一點，點，分別在和上，連接和，若，求證：；（2）如圖③，的周長是12，、分別平分和，于點，若，則的面積為．專題14全等三角形模型（一）題型一三垂直模型1．如圖，，，，，垂足分別為，，，，求的長．【解答】解：，，，，，，，在和中，，，，，．2．如圖1，點是線段上一點，，，，，（1）求證：．（2）如果是如圖2這個圖形，、、有什么數(shù)量關(guān)系？并證明．【解答】證明：（1），，，，，，，且，，，，，；（2），理由如下：，，，，，，，且，，，，，．3．如圖所示，在中，，且，點為上一點，連接，過點作于點，交于點，點是上任意一點．（1）如圖1，連接，若，且，求的長；（2）如圖2，連接，交于點，若點恰為中點，求證，．【解答】解：（1），，，，在和中，，，；（2）如圖2，過點作，交的延長線于，，，，在和中，，，，，，在和中，，，，，，，．4．如圖所示，直線一側(cè)有一個等腰，其中，．直線過頂點，分別過點，作，，垂足分別為點，，的角平分線交于點，交于點，連接，恰好滿足．延長，交于點．（1）求證：；（2）求證：．【解答】證明：（1），，又，．．在和中，，，；（2），，．在和中，，，．．平分，，．．綜上，．5．一天課間，頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見了，于是有了下面這道題．（1）求證：；（2）如果每塊磚的厚度，請你幫小明求出三角板的面積．【解答】（1）證明：由題意得：，，，，，，，在和中，，；（2）解：由題意得：，，，，，的面積；答：的面積為．6．如圖，在中，點在的延長線上，且．過點作，與的垂線交于點．（1）求證：；（2）請找出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】（1）證明：，，，，，在和中，，；（2）解：，理由：由（1）證得，，，，，．7．已知：中，，，過點作，且．（1）如圖1，當點在線段上時，過點作于，連接．求證：；（2）如圖2，當點在延長線上時，連接交的延長線于點．求證：．【解答】解：（1）證明：，，，，，，在和中，，，；（2）如圖2，過點作，交的延長線于，，，，，，，在和中，，，，，，在和中，，，．8．如圖，在中，，，點的坐標為，點的坐標為，則點的坐標是A． B． C． D．【解答】解：如圖，過點作軸于，過點作軸于，點的坐標為，點的坐標為，，，，，，，且，，，，，點，故選：．9．如圖，已知于，于，，，且為上一點，，，則A．13 B．8 C．6 D．5【解答】解：，，，，在和中．．．故選：．10．如圖，，，，，，，則等于A． B． C． D．【解答】解：，，，，又，且，故選：．11．如圖，小明的數(shù)學(xué)作業(yè)本上都是等距的橫線，相鄰兩條橫線的距離都是1厘米，他把一個等腰直角三角板放在本子上，點、、恰好都在橫線上，則斜邊的長度為A．10 B． C． D．【解答】解：過點作點所在橫線于點，過點作點所在橫線于點，如圖所示．為等腰直角三角形，，．，，．在和中，，，，．在中，，，，，．故選：．12．如圖，已知中，，，三角形的頂點在相互平行的三條直線，，上，且，之間的距離為2，，之間的距離為3，則的長是A． B． C． D．7【解答】解：作于，作于，，又，，在中，根據(jù)勾股定理，得，在中，根據(jù)勾股定理，得；故選：．題型二一線三等角模型13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長．答案:7【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，∴∠ECA＋∠CAE＝180°－α，∠BAD＋∠CAE＝180°－α，∴∠ECA＝∠BAD，在△BAD與△ACE中，EQ\B\lc\{(\a\al(∠BDA＝∠AEC,∠BAD＝∠ACE,AB＝AC))，∴△BAD≌△ACE(AAS)，∴CE＝AD，AE＝BD＝3，∵DE＝AD＋AE＝10，∴AD＝DE－AE＝DE－BD＝10－3＝7．∴CE＝7．14．如圖，在中，，點在邊上，點在邊上，連接，．已知，．（1）求證：；（2）若，，求的長．【解答】（1）證明：，，在與中，，；（2）解：，，，，，．15．如圖，等邊三角形中，放置等邊三角形，且點，分別落在，上，，連結(jié)，若平分，則的長度為2.5．【解答】解：如圖，在上截取，連接，和是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，，平分，，，，，，，，，．故答案為：2.5．16．如圖，在中，，，點在線段上運動（不與點，重合），連接，作，交線段于點．（1）當時，25，，當點從點向點運動時，逐漸變（填“大”或“小”；（2）當?shù)闹凳嵌嗌贂r，．并說明理由；（3）在點的運動過程中，是否存在是等腰三角形？若存在，請直接寫出此時的度數(shù)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1），，，，，，，由圖形可知，逐漸變小，故答案為：；；小；（2）當時，，理由：，，，，，在和中，，；（3）當?shù)亩葦?shù)為或時，的形狀是等腰三角形，當時，，；當時，，，此時，點與點重合，不合題意；當時，，，，綜上所述，當?shù)亩葦?shù)為或時，的形狀是等腰三角形．17．如圖（1），已知：在中，，，直線經(jīng)過點，直線，直線，垂足分別為點、．證明：．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在中，，、、三點都在直線上，并且有．請直接寫出線段、和之間的數(shù)量關(guān)系．（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），、是、、三點所在直線上的兩動點、、三點互不重合），點為平分線上的一點，且和均為等邊三角形，連接、，若，試證明．【解答】證明：（1），，，，，，在和中，，，，，；（2）結(jié)論：成立．理由：，，．在和中，，，；（3）和均為等邊三角形，，，，．在和中，，，，．，，．在和中，．18．如圖，在中，，，，分別是，，上的點，且，，，則的度數(shù)是度．（用含的代數(shù)式表示）【解答】解：，，在和中，，，，，，，故答案為：．19．已知：在中，，直線過點．（1）如圖1，，分別過點，作直線的垂線段，，垂足分別為，．①依題意補全圖1；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖2，當時，設(shè)，作，點，在直線上，直接用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為．【解答】解：（1）①依題意補全圖形如圖1所示．②用等式表示，，之間的數(shù)量關(guān)系為．證明：，，．．，直線過點，．．又，，，．．（2）用等式表示，，之間的數(shù)量關(guān)系為，理由如下：是的一個外角，，，，在和中，，，，，．故答案為：．題型三對角互補模型20．如圖，已知四邊形，，，，則四邊形的面積為8．【解答】解：如圖，作、，交的延長線于點，，四邊形為矩形，，，，在與中，，，，與的面積相等，四邊形的面積正方形的面積，正方形的面積，四邊形的面積，故答案為：8．21．如圖，在四邊形中，，，連接．若，則四邊形的面積為32．【解答】解：過作，交的延長線于，如圖所示：，，，，，，，，，在和中，，，，的面積的面積，四邊形的面積的面積，故答案為：32．22．如圖，在中，，，直角的頂點是的中點，兩邊、分別交、于點、，連接交于點，以下五個結(jié)論：①；②；③和互補；④是等腰直角三角形；⑤四邊形的面積是面積的，其中正確的結(jié)論是A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④【解答】解：，，，故①正確；點為的中點，，，，，，，，在和中，，，，是等腰直角三角形，四邊形的面積為，故④正確，⑤不正確；，和互補，故③正確；不是定長，故②不正確．正確的有：①③④，故選：．23．如圖，四邊形中，已知，，，若四邊形的面積為，則4．【解答】將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到．四邊形內(nèi)角和，．，、、三點共線．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知度，，是等邊三角形．四邊形面積等于面積，等邊面積，解得．故答案為4．24．綜合與實踐如圖1，正方形的對角線相交于點，點又是正方形的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，交于點，交于點．知識初探．求證：；探究計算如圖1，若，求四邊形的面積；拓展探究如圖2，四邊形中，，，連接，若，則四邊形的面積是8（直接寫出答案，不寫過程）．【解答】解：知識初探證明：在正方形和正方形中，，，，，，，在和中，，，；探究計算解：在正方形中，，在中，，，由上題可知，，．拓展探究解：四邊形中，，，，四邊形的面積是：．故答案為：8．25．如圖，，將一塊足夠大的三角尺的直角頂點落在的平分線上的任意一點上，使三角形的兩條直角邊與的兩邊分別相交于點，．（1）求證：；（2）若點在的反向延長線上，其他條件不變，問還成立嗎？請說明理由．【解答】證明：（1）過作，交于，則，，平分，，是等腰直角三角形，，，，，，，，（2）成立，理由是：如圖2，作，交于，則，同理得：是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，．26．【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材