北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊?？碱}專練專題09與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的最值問題(原卷版+解析)

專題09與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的最值問題題型一菱形中的1．如圖，在中，，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，連接、、，且，按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）：以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△（得到、的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、，則，．2．如圖，已知等腰三角形，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)不在邊界上）．請你運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)和“兩點(diǎn)之間線段最短”等數(shù)學(xué)知識、方法，求出的最小值為．3．如圖，在中，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，連接、、，的最小值為A． B． C． D．4．已知：是邊長為1的正方形內(nèi)的一點(diǎn)，求的最小值．5．如圖，已知，，，點(diǎn)在內(nèi)，將繞著點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．則的最小值為A． B．8 C． D．6．問題背景：如圖1，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，與交于點(diǎn)，可推出結(jié)論：．問題解決：如圖2，在中，，，．點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離和的最小值是．7．（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則度．（2）【解決問題】①如圖2，在邊長為的等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)，，，求的面積．②如圖3，在中，，，是內(nèi)的一點(diǎn)，若，，，則．（3）【拓展應(yīng)用】如圖4是，，三個村子位置的平面圖，經(jīng)測量，，，為內(nèi)的一個動點(diǎn)，連接，，．求的最小值．8．問題提出（1）如圖①，已知中，，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得△，連接．則；問題探究（2）如圖②，已知是邊長為的等邊三角形，以為邊向外作等邊，為內(nèi)一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．①求證：；②求的最小值；問題解決（3）如圖③，某貨運(yùn)場為一個矩形場地，其中米，米，頂點(diǎn)，為兩個出口，現(xiàn)在想在貨運(yùn)廣場內(nèi)建一個貨物堆放平臺，在邊上（含，兩點(diǎn)）開一個貨物入口，并修建三條專用車道，，．若修建每米專用車道的費(fèi)用為10000元，當(dāng)，建在何處時，修建專用車道的費(fèi)用最少？最少費(fèi)用為多少？（結(jié)果保留整數(shù)）9．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在是一個可以變化的角），，，以為邊在的下方作等邊，求的最大值．小明是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合，他的方法是以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心將逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，當(dāng)點(diǎn)落在上時，此題可解（如圖（1）請你回答：的最大值是．參考小明同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：（2）如圖3，等腰，邊，為內(nèi)部一點(diǎn)，則的最小值是多少？為什么？（結(jié)果可以不化簡）提示：要解決的最小值問題，可仿照題目給出的作法，把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△．（3）如圖4，是等邊內(nèi)一點(diǎn)，，，，則．10．中，，，，為內(nèi)一個動點(diǎn)，則的最小值為．題型二矩形中的問題11．如圖，是等邊三角形，，是的中點(diǎn)，是直線上一動點(diǎn)，線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，則的最小值為A．2 B． C． D．12．如圖，在中，，，直線，是上的一個動點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，則點(diǎn)運(yùn)動過程中，的最小值是．13．如圖，直線于點(diǎn)，，點(diǎn)是直線上一動點(diǎn)，以為邊向上作等邊，連接，則的最小值為A．1 B．2 C．3 D．414．如圖，中，，，為中點(diǎn)，是線段上一動點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則點(diǎn)在運(yùn)動過程中，的最大值為，最小值為．15．如圖，在中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一個動點(diǎn)，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．則的最小值是A． B．1 C． D．16．如圖，在中，，，是的中點(diǎn)，是直線上的一個動點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則在點(diǎn)運(yùn)動過程中，的最小值是．17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知軸上一點(diǎn)，為軸上的一動點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，如圖所示，連接，則的最小值是．題型三正方形中的問題18．如圖，在中，，，為邊上一動點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至，則線段的最小值為．19．如圖，在三角形中，，，，，將三角形繞頂點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到三角形，與相交于點(diǎn)，則線段長度的最小值為A．6 B．5.2 C．4.8 D．420．如圖，在中，，，為邊上一動點(diǎn)點(diǎn)除外），把線段繞著點(diǎn)沿著順時針的方向旋轉(zhuǎn)至，連接，則面積的最大值為A．16 B．8 C．32 D．1021．如圖，是等邊三角形外一點(diǎn)，，，當(dāng)長最大時，的面積為．22．如圖，在中，，將繞頂點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，若，，則線段的最大值為．23．如圖，在中，，，，點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段的最小值是．24．如圖，中，，，，點(diǎn)是斜邊上任意一點(diǎn)，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則線段長度的最小值為A． B． C． D．325．如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，將繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，則線段的最大值與最小值之差為．26．如圖，中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，以為旋轉(zhuǎn)中心，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，、、的對應(yīng)點(diǎn)分別為、、，則的最大值為．27．如圖，等邊中，，為的中點(diǎn)，為內(nèi)一動點(diǎn)，，連接，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接，則線段的最小值為．28．如圖，中，，，，點(diǎn)是邊上的一個動點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則在點(diǎn)運(yùn)動過程中，線段的最小值為．專題09與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的最值問題題型一費(fèi)馬點(diǎn)最值1．如圖，在中，，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，連接、、，且，按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）：以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△（得到、的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、，則，．【解答】解：（1），，，，，，將繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△（得到、的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、，，，，，，；（2），為等邊三角形，，，而，，點(diǎn)在直線上，同理可得點(diǎn)、、共線，，，，即．故答案為，．2．如圖，已知等腰三角形，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)不在邊界上）．請你運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)和“兩點(diǎn)之間線段最短”等數(shù)學(xué)知識、方法，求出的最小值為．【解答】解：如圖：以為邊作等邊三角形，以為邊作等邊．連接交于點(diǎn)．和是等邊三角形，，且，當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時，值最小，，是的垂直平分線，，，，，，最小值為，故答案為．3．如圖，在中，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，連接、、，的最小值為A． B． C． D．【解答】解：將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，，是等邊三角形，，，，，當(dāng)，在直線上時，的值最小，，，，的最小值為，故選：．4．已知：是邊長為1的正方形內(nèi)的一點(diǎn)，求的最小值．【解答】解：將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)60度，可得為等邊三角形．即得要使最小只要，，在一條直線上，即如下圖：可得最?。藭r，所以，，，，則，在中，勾股定理得：．5．如圖，已知，，，點(diǎn)在內(nèi)，將繞著點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．則的最小值為A． B．8 C． D．【解答】解：如圖，連接，，過作垂線交延長線于，繞著點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，，，，為等邊三角形，即，，，，，，，，．故選：．6．問題背景：如圖1，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，與交于點(diǎn)，可推出結(jié)論：．問題解決：如圖2，在中，，，．點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離和的最小值是．【解答】（1）證明：如圖1，在上截取，在和中，，，，，，是等邊三角形，，；（2）解：如圖2：以為邊作等邊三角形，以為邊作等邊．連接，作，交的延長線于．和是等邊三角形，，，在和中，當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時，值最小，，，，，．，，，最小值為，故答案為，7．（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則65度．（2）【解決問題】①如圖2，在邊長為的等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)，，，求的面積．②如圖3，在中，，，是內(nèi)的一點(diǎn)，若，，，則．（3）【拓展應(yīng)用】如圖4是，，三個村子位置的平面圖，經(jīng)測量，，，為內(nèi)的一個動點(diǎn)，連接，，．求的最小值．【解答】（1）【操作發(fā)現(xiàn)】解：如圖1中，繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，，，，故答案為：65．（2）【解決問題】①解：如圖2中，將繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△，是等邊三角形，，，，，，，即，，，即，，，．②如圖3，將繞著點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，，，△為等腰直角三角形，，，，，，，，．故答案為：2．（3）【拓展應(yīng)用】解：如圖4中，將繞順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接、．將繞順時針旋轉(zhuǎn)，得到，，，，，，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，，，在中，，，，即的最小值為．8．問題提出（1）如圖①，已知中，，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得△，連接．則；問題探究（2）如圖②，已知是邊長為的等邊三角形，以為邊向外作等邊，為內(nèi)一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．①求證：；②求的最小值；問題解決（3）如圖③，某貨運(yùn)場為一個矩形場地，其中米，米，頂點(diǎn)，為兩個出口，現(xiàn)在想在貨運(yùn)廣場內(nèi)建一個貨物堆放平臺，在邊上（含，兩點(diǎn)）開一個貨物入口，并修建三條專用車道，，．若修建每米專用車道的費(fèi)用為10000元，當(dāng)，建在何處時，修建專用車道的費(fèi)用最少？最少費(fèi)用為多少？（結(jié)果保留整數(shù)）【解答】解：問題提出：（1）由旋轉(zhuǎn)有，，，根據(jù)勾股定理得，，故答案為：；問題探究：（2）①是等邊三角形，，，由旋轉(zhuǎn)得，，，，在和中；②如圖1，連接，，是等邊三角形，，由①有，，，由兩點(diǎn)之間線段最短得，，，當(dāng)點(diǎn)，，，在同一條直線上時，取最小值為的長，作，為邊長是的等邊三角形，，，，，，，，即：取最小值為12；實際應(yīng)用：（3）如圖2，連接，，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得△，由（2）知，當(dāng)，，，在同一條直線上時，最小，最小值為，在上，當(dāng)時，取最小值，設(shè)交于，是等邊三角形，，，，，，最少費(fèi)用為萬元；建在中點(diǎn)米）處，點(diǎn)在過且垂直于的直線上，且在上方米處，最少費(fèi)用為萬元．9．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在是一個可以變化的角），，，以為邊在的下方作等邊，求的最大值．小明是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合，他的方法是以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心將逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，當(dāng)點(diǎn)落在上時，此題可解（如圖（1）請你回答：的最大值是6．參考小明同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：（2）如圖3，等腰，邊，為內(nèi)部一點(diǎn)，則的最小值是多少？為什么？（結(jié)果可以不化簡）提示：要解決的最小值問題，可仿照題目給出的作法，把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△．（3）如圖4，是等邊內(nèi)一點(diǎn)，，，，則．【解答】解：（1）如圖2，逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，，，，△是等邊三角形，，在△中，，即，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時，，即，的最大值是：6，故答案是：6．（2）的最小值是．理由：如圖3，是等腰三角形，，以為中心，將逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，則，，，．當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時，最短，即線段最短，，長度即為所求．過作延長線于．由旋轉(zhuǎn)可知，，．，，，．在△中，，的最小值是：（或．（3）如圖4，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，使得與重合，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)，連接，則是邊長為3的等邊三角形，是邊長為3、4、5的直角三角形，．故答案為：．10．中，，，，為內(nèi)一個動點(diǎn)，則的最小值為．【解答】解：如圖，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，過點(diǎn)作交的延長線于．，，，，都是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，的最小值為．故答案為：．題型二軌跡類最值（瓜豆）11．如圖，是等邊三角形，，是的中點(diǎn)，是直線上一動點(diǎn)，線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，則的最小值為A．2 B． C． D．【解答】解：作于，于，如圖，設(shè)，在中，，而，，線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，，，易得，當(dāng)在上時，，，在中，，此時沒有最小值，當(dāng)在的延長線上時，，，在中，，當(dāng)時，有最小值，的最小值為．解法二：過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作交的延長線于，過點(diǎn)作于，于，過點(diǎn)作于．證明，推出，推出點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是直線，當(dāng)時，的值最小，最小值．故選：．12．如圖，在中，，，直線，是上的一個動點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，則點(diǎn)運(yùn)動過程中，的最小值是2．【解答】解：取線段的中點(diǎn)，連接，如圖所示．，，為等邊三角形，且為的對稱軸，，，，．在和中，，，．當(dāng)時，最小，點(diǎn)為的中點(diǎn)，此時．故答案為：2．13．如圖，直線于點(diǎn)，，點(diǎn)是直線上一動點(diǎn)，以為邊向上作等邊，連接，則的最小值為A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如圖，以為邊作等邊三角形，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，和為等邊三角形，，，，，在和中，，，，，，是直線的動點(diǎn)，在直線上運(yùn)動，的最小值為，，．故選：．14．如圖，中，，，為中點(diǎn)，是線段上一動點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則點(diǎn)在運(yùn)動過程中，的最大值為，最小值為．【解答】解：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，由旋轉(zhuǎn)可得，，又，，為中點(diǎn)，，，，，，①如圖1所示，當(dāng)時，最短，此時是等腰直角三角形，，即的最小值為；②當(dāng)與重合時，；③如圖2所示，當(dāng)與重合時，，即的最大值為．故答案為：，．15．如圖，在中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一個動點(diǎn)，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．則的最小值是A． B．1 C． D．【解答】解：解法一：如圖在的下方作等邊，作射線．，，，，在和中，，，，，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動（點(diǎn)是定點(diǎn)，是定值），當(dāng)時，的值最小，最小值，解法二：如圖，的上方，作等邊，連接，過點(diǎn)作于．，都是等邊三角形，，，，，，的值最小時，的值最小，當(dāng)時，的最小值，的最小值為1．故選：．16．如圖，在中，，，是的中點(diǎn)，是直線上的一個動點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則在點(diǎn)運(yùn)動過程中，的最小值是．【解答】解：如圖，在上取一點(diǎn)，使，連接，，，，旋轉(zhuǎn)角為，，又，，是等腰直角的對稱軸，，，又旋轉(zhuǎn)到，，在和中，，，，根據(jù)垂線段最短，時，最短，即最短，，，，，故答案為：．17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知軸上一點(diǎn)，為軸上的一動點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，如圖所示，連接，則的最小值是3．【解答】解：如圖所示，在第二象限以為邊長作等邊，連接，延長交軸于點(diǎn)，連接，、是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，，，，點(diǎn)隨著點(diǎn)的運(yùn)動形成的圖形是直線，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，是的中垂線，，，又點(diǎn)在直線上運(yùn)動，點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時，的值最小，最小值為的長，，，，的最小值為3．故答案為：3．題型三其他最值18．如圖，在中，，，為邊上一動點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至，則線段的最小值為．【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)作于，由旋轉(zhuǎn)可得，，，，，當(dāng)最短時，最短，且，為邊上一動點(diǎn)，當(dāng)時，最短，，，，當(dāng)時，，此時，，故答案為：．19．如圖，在三角形中，，，，，將三角形繞頂點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到三角形，與相交于點(diǎn)，則線段長度的最小值為A．6 B．5.2 C．4.8 D．4【解答】解：當(dāng)與垂直時，有最小值，如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，，，．故選：．20．如圖，在中，，，為邊上一動點(diǎn)點(diǎn)除外），把線段繞著點(diǎn)沿著順時針的方向旋轉(zhuǎn)至，連接，則面積的最大值為A．16 B．8 C．32 D．10【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于，作于點(diǎn)，，，，，，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，且，，在和中，，，，面積，當(dāng)時，面積的最大值為8，故選：．21．如圖，是等邊三角形外一點(diǎn)，，，當(dāng)長最大時，的面積為．【解答】解：如圖1，以為邊作等邊，連接．，，，，在和中，，，，在中，，，，，的最大值為5，的最大值為5，此時點(diǎn)在上，如圖2，過點(diǎn)作于，，，，，，，，，，的面積，故答案為：．22．如圖，在中，，將繞頂點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，若，，則線段的最大值為6．【解答】解：連接．在中，，，，，，，，，，的最大值為6，故答案為6．23．如圖，在中，，，，點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段的最小值是．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，且，，且，，，，，，，，當(dāng)時，有最小值為，故答案為24．如圖，中，，，，點(diǎn)是斜邊上任意一點(diǎn)，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則線段長度的最小值為A． B． C． D．3【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，為等邊三角形，，當(dāng)最短，最