高三數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí) 第7知識塊第3講 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系隨堂訓(xùn)練 文 新人教A版

第3講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系一、選擇題1．(·模擬精選)若異面直線a，b分別在平面α、β內(nèi)，且α∩β＝l，則直線l()A．與直線a，b都相交B．至少與a，b中的一條相交C．至多與a，b中的一條相交D．與a，b中的一條相交，另一條平行解析：若l與a，b都不相交，∵l與a都在α內(nèi)，∴a∥l，l與b都在β內(nèi)，∴b∥l，∴a∥b，與條件矛盾．答案：B2．一個正方體紙盒展開后如圖，在原正方體紙盒中有下列結(jié)論：①AB⊥EF；②EF與MN是異面直線；③MN∥CD，其中正確的是()A．①③ B．②③ C．③ D．①②解析：如右圖所示，畫出折疊后的正方體后，由正方體的性質(zhì)知①②正確．答案：D3．(·天津模擬)已知異面直線a，b互相垂直，定點P不在直線a，b上，若過P點的直線l與a成25°角，則l與b所成角θ的取值范圍為()A．[0°，45°) B．[65°，90°]C．[45°，90°) D．(0°，25°]解析：將異面直線a、b平移至相交于P點：當(dāng)平移后的直線a，b與l這三條直線在同一平面內(nèi)時，θ取得最小值65°，當(dāng)b垂直a，l所在的平面時，θ取得最大值90°.答案：B4.如右圖所示，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：連結(jié)D1C，AC，易證A1B∥D1C，∴∠AD1C即為異面直線A1B與AD1所成的角．設(shè)AB=1，則AA1=2，AD1=D1C=，AC=，答案：D二、填空題5．(·遼寧大連調(diào)研)如圖，表示一個正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有____對．解析：原來的正方體應(yīng)為右圖．其中AB與CD、AB與GH、EF和GH三對異面直線．答案：36．設(shè)a，b，c是空間的三條直線，下面給出四個命題：①若a⊥b，b⊥c，則a∥c；②若a、b是異面直線，b、c是異面直線，則a、c也是異面直線；③若a和b相交，b和c相交，則a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，則a和c也共面．其中真命題的個數(shù)是________個．解析：∵a⊥b，b⊥c，∴a與c可以相交、平行、異面，故①錯．∵a、b異面，b、c異面，則a、c可能異面、相交、平行，故②錯．由a、b相交，b、c相交，則a、c可以異面，故③錯．同理④錯，故真命題個數(shù)為0個．答案：07．(·廣東中山調(diào)研)如圖所示，在三棱錐C－ABD中，E、F分別是AC和BD的中點，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，則EF與CD所成的角是________．解析：取CB中點G，連接EG、FG，∴EG∥AB，F(xiàn)G∥CD.∴EF與CD所成的角為∠EFG.又∵EF⊥AB，∴EF⊥EG.在Rt△EFG中，EG=AB=1，F(xiàn)G=CD=2，∴sin∠EFG=，∴∠EFG=30°.∴EF與CD所成的角為30°.答案：30°三、解答題8．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1 的中點．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點．證明：(1)如圖所示，連接CD1，EF，A1B，∵E、F分別是AB和AA1的中點，∴EF∥A1B且EF=A1B，又∵A1D1綊BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴EF與CD1確定一個平面α，∴E，F(xiàn)，C，D1∈α，即E，C，D1，F(xiàn)四點共面．(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝eq\f(1,2)CD1，∴四邊形CD1FE是梯形，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，則P∈CE?平面ABCD，且P∈D1F?平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三線共點．9.如右圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G、H分別為FA、FD的中點．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點是否共面？為什么？證明：(1)由題設(shè)知，F(xiàn)G=GA，F(xiàn)H=HD，所以GH綊eq\f(1,2)AD.又BC綊eq\f(1,2)AD，故GH綊BC.所以四邊形BCHG是平行四邊形．(2)解：C、D、F、E四點共面．理由如下：由BE綊eq\f(1,2)AF，G是FA的中點知，BE綊GF，所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面，又點D在直線FH上，所以C、D、F、E四點共面．10．如圖所示，設(shè)A是BCD所在平面外一點，AD＝BC＝2cm，E、F分別是AB、CD的中點．(1)若EF＝eq\r(2)cm，求異面直線AD和BC所成的角；(2)若EF＝eq\r(3)cm，求異面直線AD和BC所成的角．解：如圖所示，取AC的中點G，連結(jié)EG、FG.∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，∴EG∥BC且EG=eq\f(1,2)BC=1cm，F(xiàn)G∥AD且FG＝eq\f(1,2)AD＝1cm，∴∠EGF即為所求異面直線所成的角或其補(bǔ)角．(1)當(dāng)EF＝eq\r(2)cm時，由EF2＝EG2＋FG2，得∠EGF＝90°.∴異面直線AD和BC所成的角為90°.(2)當(dāng)EF＝eq\r(3)cm時，在△EFG中，取EF的中點H，連結(jié)GH，∵EG＝GF＝1cm，∴GH⊥EF，EH＝FH＝eq\f(\r(3),2)cm，∴GH＝eq\r(GF2－HF2)＝eq\f(1,2)cm，得∠GFH＝∠GEH＝30°，∴∠FGE＝120°，其補(bǔ)角為60°.∴異面直線AD和BC所成的角為60°.1．(★★★★)已知直線m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α內(nèi)到兩條直線m、n距離相等的點的集合可能是：(1)一條直線；(2)一個平面；(3)一個點；(4)空集．其中正確的是()A．(1)(2)(3) B．(1)(4)C．(1)(2)(4) D．(2)(4)解析：如圖(1)，當(dāng)直線m或直線n在平面α內(nèi)時不可能有符合題意的點；如圖(2)，直線m、n到已知平面α的距離相等且兩直線所在平面與已知平面α垂直，則已知平面α為符合題意的點；如圖(3)，直線m、n所在平面與已知平面α平行，則符合題意的點為一條直線，從而選C.答案：C2．(·創(chuàng)新題)在平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交、平行、重合三種．已知α、β是兩個相交平面，空間兩條直線l1，l2在α上的射影是直線s1，s2，l1，l2在β上的射影是直線t1，t2.用s1與s2，t1與t2的位置關(guān)系，寫出一個總能確定l1與l2是異面直線的充分條件：__________________