高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計訓(xùn)練

高中數(shù)學(xué)概率和統(tǒng)計學(xué)小練習(xí)

【題1】微信是騰訊公司推出的一種手機通訊軟件，它支持發(fā)送語音、

短信、視頻、圖片和文字，一經(jīng)推出便風(fēng)靡全國，甚至涌現(xiàn)出一批在

微信的朋友圈內(nèi)銷售商品的人(被稱為微商).為了調(diào)查每天微信用戶

使用微信的時間，某經(jīng)銷化妝品的微商在一廣場隨機采訪140位市民

進行調(diào)查，其中每天玩微信超過6小時的用戶稱為“微信控”，否則

稱其為“非微信控”，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下：

微信控非微信控合計

女性60

男性30

合計70140

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，把表格中的數(shù)據(jù)填寫完整；

(2)利用(1)完成的表格數(shù)據(jù)回答下列問題：

①是否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“微信控”與“性

別”有關(guān)；

②已知在被調(diào)查的女性“微信控”市民中有5位退休老人，其中2位

是教師，現(xiàn)從這5位退休老人中隨機抽取2人，求至少有1位老師的

概率.

附表：g+')a+HX"cXB+㈤'其中”=a+"c+d.

P(K22

0.0500.0250.0100.0050.001

k)

k3.8415.0246.6357.87910.828

［題2］我國正逐漸進入老齡化社會，老有所依也是政府的民生工程.

某市共有戶籍人口400萬,其中老人（年齡60歲及以上）人數(shù)約有66

萬，為了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機抽取600人并委托

醫(yī)療機構(gòu)免費為他們進行健康評估，健康狀況共分為不能自理、不健

康尚能自理、基本健康、健康四個等級，并以80歲為界限分成兩個

群體進行統(tǒng)計，樣本分布被制作成如下圖表：

部分老人每月發(fā)放生活補貼，標準如下：

①80歲及以上長者每人每月發(fā)放生活補貼300元；

②80歲以下老人每人每月發(fā)放生活補貼200元；

③不能自理的老人每人每月額外發(fā)放生活補貼100元.

則政府執(zhí)行此計劃的年度預(yù)算為萬元.

【題3】為了踐行習(xí)近平總書記提出的“綠水青山就是金山銀山，

堅持人與自然和諧共生”的理念，我市在經(jīng)濟速發(fā)展同時一，更注重

城市環(huán)境衛(wèi)生的治理，經(jīng)過幾年的治理，市容市貌煥然一新，為了

調(diào)查市民對城區(qū)環(huán)境衛(wèi)生的滿意程度，研究人員隨機抽取了1000名

市民進行調(diào)查，并將滿意程度統(tǒng)計成如圖所示的頻率分布直方圖，

其中《知

（1）求的值；

（2）若按照分層抽樣的方式從［270）中隨機抽取5人，再從

這5人中隨機抽取2人，求至少有1人的分數(shù)在15°,8）的概率.

［題4］2019年籃球世界杯在中國舉行，中國男籃由于主場作戰(zhàn)而備

受觀眾矚目.為了調(diào)查國人對中國男籃能否進入十六強持有的態(tài)度，

調(diào)查人員隨機抽取了男性觀眾與女性觀眾各100名進行調(diào)查，所得情

況如下表所示：

男性觀眾女性觀眾

認為中國男籃能夠進入十

60

六強

認為中國男籃不能進入十

六強

若在被抽查的200名觀眾中隨機抽取1人，抽到認為中國男籃不能進

入十六強的女性觀眾的概率為*.

（1）完善上述表格；

（2）是否有99%的把握認為性別與對中國男籃能否進入十六強持有

的態(tài)度有關(guān)？

附：g+'Xc+dXa+c）S+d）,其中尸a+b+c+d.

［題5］《中央廣播電視總臺2019主持人大賽》是中央人民廣播電

視總臺成立后推出的第一個電視大賽，由撒貝寧擔(dān)任主持人，康輝、

董卿擔(dān)任點評嘉賓，敬一丹、魯健、朱迅、俞虹、李洪巖等17位擔(dān)

任專業(yè)評審.從2019年10月26日起，每周六20:00在中央電視臺綜

合頻道播出.某傳媒大學(xué)為了解大學(xué)生對主持人大賽的關(guān)注情況，分

別在大一和大二兩個年級各隨機抽取了100名大學(xué)生進行調(diào)查.下圖

是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生場均關(guān)注比賽的時間頻率分布直方圖和

頻數(shù)分布表，并將場均關(guān)注比賽的時間不低于80分鐘的學(xué)生稱為“賽

迷”.

大-學(xué)生場均關(guān)泮比賽時間的菽串分布直方圖

大二學(xué)生場均關(guān)注比賽時間的頻數(shù)分布表

時間分組頻數(shù)

[0加12

[20,40)20

[40,60)24

[60,80)22

[80,100)16

[100,120]6

(1)將頻率視為概率，估計哪個年級的大學(xué)生是“賽迷”的概率大,

請說明理由；

(2)已知抽到的100名大一學(xué)生中有男生50名，其中10名為“賽

迷”試完成下面的2x2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有90%的把握認為“賽

迷”與性別有關(guān).

非“賽迷”“賽迷”合計

男

女

合計

.2=.4/一反?

附：(a+B)(c+dXa+c)(3+d),其中”=a+5+c+d.

尸d)0.150.100.050.025

2.0722.7063.8415.024

參考答案

7

【題1——答案］（1）表格見解析；（2）①能；@10

【解析】

（1）完善列聯(lián)表即可；

（2）①計算欠的值，并與臨界值比較，可得結(jié)論；

②利用列舉法計算基本事件個數(shù)，以及"至少有1位老師"這一事件

所含基本事件個數(shù)，即可求出相應(yīng)的概率.

解：⑴

微信控非微信控合計

女性402060

男性305080

合計7070140

(2)①

J

.n[ad-bc^140(40x50-30x20)1AO7,O

K.=：-----\-z----r-j---rz---r~-----------------"11.667>10.828

S+b)(c+H)g+c)(b+”)60x80*70x70

二能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為"微信控〃與"性別”有

美.

②記2位老師為44,另3位老人為馬遇，瑪，

從5位退休老人中隨機抽取2人的情況有：

（4,4）,（4再），（4遇），（4當），（4當），（4遇），（小寫,（4遇）,

（44）,（均居）,共io種，

其中至少有1位老師的情況有：

（4⑷，（4中），（4遇），（4聞，（4聞，（4遇），（4當），共7

種，

P=—

故至少有1位老師的概率為10.

【題2——答案】35376

【解析】

用樣本估計總體，分別求出80歲及以上長者、80歲以下老人以及不

能自理的老人在老人中占比，即可求出政府執(zhí)行此計劃的年度預(yù)算.

用樣本估計總體，

15+20+45+20=1

80歲及以上長者在老人中占比為：6006,

25+50+225+200_5

80歲以下老人在老人中占比為：麗6,

15+25=1

不能自理的老人在老人中占比為：~600~=15,

,政府執(zhí)行此計劃的年度預(yù)算為

—x|-x300+-x200+—X100|x12=35376

5（6615）（萬元）.

故答案為：35376.

7

【題3——答案］（1）0=0.030,產(chǎn)0.015.（2）10

【解析】

（1）由頻率分布直方圖列出方程組，由此能求出

（2）BO,?>）」《）,7。）兩段頻率比為0.1：0.15=2:3,按照分層抽樣的方式

從［50,60）,［60,7。）中隨機抽取5人,分數(shù)在［5。a）中抽取2人，記為％%,

分數(shù)在心0〃。）中抽取3人，記為4,鳥，鳥，從這5人中隨機抽取2

人，利用列舉法能求出至少有1人的分數(shù)在BO,60）的概率.

解：（1）由頻率分布直方圖得：

（0.01+<2+^+0.035+0.01）x10-1,

/.a+6-0.045,

又。=?,

解得媒=0.030,-0.015.

（2）QA0,8）,毆，70）兩段頻率比為O.l：0.15=2:3,

二按照分層抽樣的方式從【5°,8）,g，7。）中隨機抽取5人，

分數(shù)在口0,8）中抽取2人，記為巧，%,

分數(shù)在毆，7。）中抽取3人，記為自，2,2,

.-?從這5人中隨機抽取2人的所有情況為：

（色，的）,a,4）,幻，@,與，（的，幻，@,“），

a,0,與）,（忙⑷，色，與，共io個，

其中，至少有1人的分數(shù)在DO,④）包含的基本事件有7個，

P=L

二至少有1人的分數(shù)在即，劭的概率一10.

【題4——答案］（1）表格見解析；（2）沒有

【解析】

(1)由概率可求出認為中國男籃不能進入十六強的女性觀眾的人數(shù),

結(jié)合男女各100人，即可求出表中所有數(shù)據(jù).

(2)代入求出配的觀測值，進而可判斷.

(1)依題意，得認為中國男籃不能進入十六強的女性觀眾人數(shù)為

200x-=50

4

完善表格如下表所示:

男性觀眾女性觀眾

認為中國男籃能夠進入十

6050

六強

認為中國男籃不能進入十

4050

六強

k_(融50-40x50)，X200”20?<§635

(2)本次試驗中，K3的觀測值8100x100x110x90',.

所以沒有99%的把握認為性別與對中國男籃能否進入十六強持有的

態(tài)度有關(guān).

【題5——答案］(1)大一學(xué)生是"賽迷"的概率大，理由見解析(2)

列聯(lián)表見解析，沒有的把握認為“賽迷”與性別有關(guān).

【解析】

(1)由頻率分布直方圖，求出大一學(xué)生是"賽迷〃的概率，再由頻率

分布表，求出大二學(xué)生是"賽迷〃的概率，對比即可得出結(jié)論;

(2)由頻率直方圖求出"賽迷"、非"賽迷"人數(shù)，得出列聯(lián)表，求出膽

的觀測值，結(jié)合提供的數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)論.

(1)由頻率分布直方圖可知，大一學(xué)生是“賽迷〃的概率

月=(0.0025+0.010)x20=0.25,

由頻數(shù)分布表可知，大二學(xué)生是"賽迷〃的概率

攵鬻=。方

因為片>4,所以大一學(xué)生是"賽迷"的概率大.

(2)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中,

“賽迷"有(0.0025+0.010)x20x100=25(人)，

非"賽迷”有18-25=75(人)，

2x2列聯(lián)表如下:

非"賽迷"“賽迷〃合計

男401050

女351550

合計7525100

k=100x(40x15-35x10)2=01333

則75x25x50x503,

因為1.333<2.706,所以沒有的把握認為“賽迷”與性別有關(guān).

附概率和統(tǒng)計知識歸納

簡單隨機抽樣的定義：

一般地，設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個

體作為樣本（nWN）,如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會

都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣。

⑴用簡單隨機抽樣從含有N個個體的總體中抽取一個容量為n的樣

本時，每次抽取一個個體時任一個體被抽到的概率為一;在整個抽樣

過程中各個個體被抽到的概率為—O

（2）簡單隨機抽樣的特點是，逐個抽取，且各個個體被抽到的概率相等;

⑶簡單隨機抽樣方法，體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性，是其他更復(fù)雜

抽樣方法的基礎(chǔ).

⑷簡單隨機抽樣是不放回抽樣;它是逐個地進行抽取;它是一種等概率

抽樣

簡單抽樣常用方法：

⑴抽簽法:先將總體中的所有個體（共有N個）編號（號碼可從1到N）,

并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上（號簽可用小球、卡片、紙條

等制作），然后將這些號簽放在同一個箱子里，進行均勻攪拌，抽簽

時每次從中抽一個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個容量為n的樣本

適用范圍：總體的個體數(shù)不多時優(yōu)點：抽簽法簡便易行，當總體的個

體數(shù)不太多時適宜采用抽簽法.

⑵隨機數(shù)表法：隨機數(shù)表抽樣"三步曲"：第一步，將總體中的個體編

號;第二步，選定開始的數(shù)字;第三步，獲取樣本號碼概率.

一.算法，概率和統(tǒng)計

1.算法初步

（1）算法的含義、程序框圖

①通過對解決具體問題過程與步驟的分析（如，二元一次方程組

求解等問題），體會算法的思想，了解算法的含義。

②通過模仿、操作、探索，經(jīng)歷通過設(shè)計程序框圖表達解決問題

的過程。在具體問題的解決過程中（如，三元一次方程組求解等問題）,

理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分支、循環(huán)。

（2）基本算法語句經(jīng)歷將具體問題的程序框圖轉(zhuǎn)化為程序

語句的過程，理解幾種基本算法語句一輸入語句、輸出語句、賦值語

句、條件語句、循環(huán)語句，進一步體會算法的基本思想。

（3）通過閱讀中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例，體會中國古代數(shù)學(xué)

對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻。

3.概率（約8課時）

（1）在具體情境中，了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)

定性，進一步了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別。

（2）通過實例，了解兩個互斥事件的概率加法公式。

（3）通過實例，理解古典概型及其概率計算公式，會用列舉法

計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。

（4）了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法（包括計算器產(chǎn)生隨

機數(shù)來進行模擬）估計概率，初步體會幾何概型的意義（參見例3）o

（5）通過閱讀材料，了解人類認識隨機現(xiàn)象的過程。

2.統(tǒng)計

(1)隨機抽樣

①能從現(xiàn)實生活或其他學(xué)科中提出具有一定價值的統(tǒng)計問題。

②結(jié)合具體的實際問題情境，理解隨機抽樣的必要性和重要性。

③在參與解決統(tǒng)計問題的過程中，學(xué)會用簡單隨機抽樣方法從總

體中抽取樣本；通過對實例的分析，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法。

④能通過試驗、查閱資料、設(shè)計調(diào)查問卷等方法收集數(shù)據(jù)。

①通過實例體會分布的意義和作用，在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，

學(xué)會列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖(參見

例1),體會他們各自的特點。

②通過實例理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學(xué)會計算數(shù)據(jù)標

準差。

③能根據(jù)實際問題的需求合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基

本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并作出合理的解釋。

④在解決統(tǒng)計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想,

會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總

體的基本數(shù)字特征；初步體會樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機性。

⑤會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想，解決一些簡

單的實際問題；能通過對數(shù)據(jù)的分析為合理的決策提供一些依據(jù)，認

識統(tǒng)計的作用，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異。

⑥形成對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識。

(3)變量的相關(guān)性

①通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，并利

用散點圖直觀認識變量間的相關(guān)關(guān)系。

②經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關(guān)的過程。知道最小

二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方

程。

二.常用邏輯用語

1o命題及其關(guān)系

①了解命題的逆命題、否命題與逆否命題。

②理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會分析四種命題

的相互關(guān)系。

(2)簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

通過數(shù)學(xué)實例，了解"或"、"且"、"非"的含義。

(3)全稱量詞與存在量詞

①通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實例，理解全稱量詞與存在量詞的意

義。

②能正確地對含有一個量詞的命題進行否定。

3.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

(1)導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義

①通過對大量實例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率

的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會

導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵(參見例2、例3)。

②通過函數(shù)圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

(2)導(dǎo)數(shù)的運算

①能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)y=c,y=x,y=x2,y=l/x的導(dǎo)數(shù)。

②能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法

則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

③會使用導(dǎo)數(shù)公式表。

(3)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

①結(jié)合實例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)

系(參見例4)；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的

多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

②結(jié)合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分

條件