《數(shù)學》復習人教A（新高考）-第2節(jié)　第一課時　利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

第三章

第2節(jié)導數(shù)在研究函數(shù)中的應用知識分類落實考點分層突破課后鞏固作業(yè)內容索引///////123//////////////知識分類落實夯實基礎回扣知識1知識梳理///////1.函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內可導，則：(1)若f′(x)>0，則f(x)在這個區(qū)間內

；(2)若f′(x)<0，則f(x)在這個區(qū)間內

；(3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個區(qū)間內是

.單調遞增單調遞減常數(shù)函數(shù)2.函數(shù)的極值與導數(shù)條件f′(x0)＝0x0附近的左側f′(x)

0，右側f′(x)

0x0附近的左側f′(x)

0

，右側f′(x)

0圖象形如山峰形如山谷極值f(x0)為極

值f(x0)為極

值極值點x0為極

值點x0為極

值點大小大小><><(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條

的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內的

；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中

的一個是最大值，

的一個是最小值.3.函數(shù)的最值與導數(shù)連續(xù)不斷極值最大最小1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上遞增，則f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上單調遞增”的充分不必要條件.2.對于可導函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件.3.求最值時，應注意極值點與所給區(qū)間的關系，關系不確定時，需要分類討論，不可想當然認為極值就是最值.4.函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關系.1.判斷下列結論正誤(在括號內打“√”或“×”) (1)若函數(shù)f(x)在(a，b)內單調遞增，那么一定有f′(x)>0. (

) (2)如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內恒有f′(x)＝0，則f(x)在此區(qū)間內沒有單調性.(

) (3)函數(shù)的極大值一定大于其極小值. (

) (4)對可導函數(shù)f(x)，若f′(x0)＝0，則x0為極值點. (

) (5)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值. (

)

解析(1)f(x)在(a，b)內單調遞增，則有f′(x)≥0. (3)函數(shù)的極大值也可能小于極小值. (4)x0為f(x)的極值點的充要條件是f′(x0)＝0，且x0兩側導函數(shù)異號.×√××√2.函數(shù)f(x)＝x2－2lnx的單調遞減區(qū)間是 (

) A.(0，1] B.[1，＋∞) C.(－∞，－1] D.[－1，0)∪(0，1]

由f′(x)≤0，得0<x≤1.A3.如圖是f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象，則f(x)的極小值點的個數(shù)為 (

) A.1 B.2 C.3 D.4

解析

由題意知在x＝－1處f′(－1)＝0，且其兩側導數(shù)符號為左負右正.A4.(2017·浙江卷)函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是 (

)

解析

設導函數(shù)y＝f′(x)與x軸交點的橫坐標從左往右依次為x1，x2，x3，由導函數(shù)y＝f′(x)的圖象易得當x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)時，f′(x)<0；當x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)時，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函數(shù)f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上單調遞減，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上單調遞增，觀察各選項，只有D選項符合.D5.(多選題)(2021·濟南調研)如果函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則以下關于函數(shù)y＝f(x)的判斷正確的是 (

) A.在區(qū)間(2，4)內單調遞減

B.在區(qū)間(2，3)內單調遞增

C.x＝－3是極小值點

D.x＝4是極大值點 解析A項，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(2，4)內f′(x)＞0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，4)上單調遞增，故A不正確；BDB項，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(2，3)內的導數(shù)f′(x)＞0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，3)上單調遞增，故B正確；C項，由圖象知當x＝－3時，函數(shù)f′(x)取得極小值，但是函數(shù)y＝f(x)沒有取得極小值，故C錯誤；D項，當x＝4時，f′(x)＝0，當2＜x＜4時，f′(x)＞0，函數(shù)y＝f(x)為增函數(shù)，當x＞4時，f′(x)＜0，函數(shù)y＝f(x)為減函數(shù)，則x＝4是函數(shù)f(x)的極大值點，故D正確.6.(2021·青島檢測)已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋4cosx－ax在R上單調遞減，則實數(shù)a的取值范圍是_________________.

解析

f′(x)＝2cos2x－4sinx－a

＝2(1－2sin2x)－4sinx－a

＝－4sin2x－4sinx＋2－a＝－(2sinx＋1)2＋3－a.

由題設，f′(x)≤0在R上恒成立.

因此a≥3－(2sinx＋1)2恒成立，則a≥3.[3，＋∞)第一課時利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性考點分層突破題型剖析考點聚焦21.函數(shù)f(x)＝x2－2lnx的遞減區(qū)間是 (

) A.(0，1) B.(1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－1，1) ∴當x∈(0，1)時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)； 當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù).考點一不含參函數(shù)的單調性///////自主演練A2.函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的遞增區(qū)間是 (

) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4) D.(2，＋∞)

解析

f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex， 令f′(x)>0，解得x>2，故選D.D3.已知定義在區(qū)間(－π，π)上的函數(shù)f(x)＝xsinx＋cosx，則f(x)的遞增區(qū)間是

________________________.

解析

f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.

令f′(x)＝xcosx>0，確定函數(shù)單調區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區(qū)間；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區(qū)間.感悟升華解函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，考點二討論含參函數(shù)的單調性///////師生共研∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；當a＝1時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；1.(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.(2)劃分函數(shù)的單調區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內討論，還要確定導數(shù)為0的點和函數(shù)的間斷點.2.個別導數(shù)為0的點不影響所在區(qū)間的單調性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0時取到)，f(x)在R上是增函數(shù).感悟升華【訓練1】已知函數(shù)f(x)＝ax＋lnx(a∈R)，求f(x)的單調區(qū)間. ①當a≥0時，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0， 所以f(x)的單調遞增區(qū)間(0，＋∞).因為x＝1是f(x)＝2x＋＋lnx的一個極值點，所以f′(1)＝0，即2－b＋1＝0.解得b＝3，經檢驗，適合題意，所以b＝3.令f′(x)<0，得0<x<1.所以函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(0，1).考點三根據(jù)函數(shù)單調性求參數(shù)///////典例遷移因為函數(shù)g(x)在[1，2]上單調遞增，所以g′(x)≥0在[1，2]上恒成立，所以a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立，所以a≥(－2x2－x)max，x∈[1，2].因為在[1，2]上，(－2x2－x)max＝－3，所以a≥－3.所以實數(shù)a的取值范圍是[－3，＋∞).【遷移1】本例(2)中，若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，2]上單調遞減，求實數(shù)a的取值范圍. ∴當x∈[1，2]時，a≤－2x2－x恒成立， ∴當x＝2時，t＝－2x2－x取得最小值－10.

所以a≤－10，即實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－10].【遷移2】在本例(2)中，若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，2]上不單調，求實數(shù)a的取值范圍.

解

∵函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，2]上不單調， ∴g′(x)＝0在區(qū)間(1，2)內有解， 易知該函數(shù)在(1，2)上是減函數(shù)， ∴a＝－2x2－x的值域為(－10，－3)， 因此實數(shù)a的取值范圍為(－10，－3).1.(1)已知函數(shù)的單調性，求參數(shù)的取值范圍，應用條件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立的理論求解)，應注意參數(shù)的取值是f′(x)不恒等于0的參數(shù)的范圍.(2)如果能分離參數(shù)，則盡可能分離參數(shù)后轉化為參數(shù)值與函數(shù)最值之間的關系.2.若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上不單調，則轉化為f′(x)＝0在(a，b)上有解.感悟升華考點四與導數(shù)有關的函數(shù)單調性的應用///////多維探究CDD∴g′(x)<0，則g(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù).由f(－2)＝2，且f(x)在R上是奇函數(shù)，所以x<2.1.利用導數(shù)比較大小，其關鍵在于利用題目條件構造輔助函數(shù)，把比較大小的問題轉化為先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，進而根據(jù)單調性比較大小.2.與抽象函數(shù)有關的不等式，要充分挖掘條件關系，恰當構造函數(shù)；題目中若存在f(x)與f′(x)的不等關系時，常構造含f(x)與另一函數(shù)的積(或商)的函數(shù)，與題設形成解題鏈條，利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調性，從而求解不等式.感悟升華【訓練2】(1)(2021·新高考8省聯(lián)考)已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，則(

) A.c<b<a B.b<c<a C.a<c<b D.a<b<cD所以f(x)在(0，1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，所以f(3)<f(4)<f(5)，f(c)<f(b)<f(a)，所以a<b<c.a，b，c依次為方程①②③的根，結合圖象，方程的根可以看作兩個圖象的交點的橫坐標，因為f(x)>f′(x)，所以g′(x)<0，所以函數(shù)g(x)在R上單調遞減.因為f(x)＋2021為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＋2021＝0，所以f(0)＝－2021，則g(0)＝－2021，所以不等式f(x)＋2021ex<0等價于g(x)<g(0)，所以x>0，所以不等式f(x)＋2021ex<0的解集為(0，＋∞).B以“函數(shù)凹凸性”為背景的導數(shù)問題C所以f′(x)＝ex－lnx－1－mx，思維升華A.f(2)<f(e)<f(π)B.f′(π)<f′(e)<f′(2)C.f(2)<f′(2)－f′(3)<f(3)D.f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)解析因為f′(x)>0，所以f(x)在R上單調遞增.ABD所以y＝f(x)的圖象是向上凸起的，大致圖象如圖所示.由圖可知f(2)<f(e)<f(π)，故A項正確.因為f′(x)反映了函數(shù)f(x)圖象上各點處的切線的斜率，由圖可知，隨著x的增大，f(x)的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以f′(π)<f′(e)<f′(2)，故B項正確.所以結合圖可知f′(3)<kAB<f′(2)，故D正確.顯然只有f(2)<f′(2)－f′(3)<f(3)無法判斷正誤，即C不一定正確.課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓練3一、選擇題1.函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝f′(x)的圖象可能是 (

)

解析

由函數(shù)f(x)的圖象可知，f(x)在(－∞，0)上單調遞增，f(x)在(0，＋∞)上單調遞減， 所以在(－∞，0)上，f′(x)>0；在(0，＋∞)上，f′(x)<0，選項D滿足.D解析因為函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，BD令g(x)＝2ax2－4ax－1，則函數(shù)g(x)＝2ax2－4ax－1的對稱軸方程為x＝1，若f(x)在(1，4)上不單調，則g(x)在區(qū)間(1，4)上有零點.當a＝0時，顯然不成立；4.已知f(x)是定義在區(qū)間(0，＋∞)內的函數(shù)，其導函數(shù)為f′(x)，且不等式xf′(x)<2f(x)恒成立，則 (

) A.4f(1)<f(2) B.4f(1)>f(2) C.f(1)<4f(2) D.f(1)>4f′(2)B所以函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，因此g(1)>g(2)，∴f(x)在R上是增函數(shù).故f(a－1)＋f(2a2)≤0?f(a－1)≤f(－2a2)，DBD解析由導函數(shù)的圖象可知，導函數(shù)f′(x)的圖象在x軸下方，即f′(x)＜0，故原函數(shù)為減函數(shù)，并且遞減的速度是逐漸減慢.所以f(x)的示意圖如圖所示：f(x)＜0恒成立，沒有依據(jù)，故A不正確；B表示(x1－x2)與[f(x1)－f(x2)]異號，即f(x)為減函數(shù)，故B正確；C，D左邊的式子意義為x1，x2中點對應的函數(shù)值，即圖中點B的縱坐標值，右邊式子代表的是函數(shù)值的平均值，即圖中點A的縱坐標值，顯然有左邊小于右邊，故C不正確，D正確.二、填空題7.已知a為實數(shù)，f(x)＝ax3＋3x＋2，若f′(－1)＝－3，則函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間 為________________________.

解析f(x)＝ax3＋3x＋2，則f′(x)＝3ax2＋3， 又f′(－1)＝3a＋3＝－3，解得a＝－2，

8.(2020·長沙質檢)若函數(shù)f(x)＝2x2－lnx在其定義域的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)

內不是單調函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是______________.(－∞，－2)∪(0，2)又f(2)＝0，即φ(2)＝0，∴在(0，＋∞)上，當且僅當0<x<2時，φ(x)>0，此時x2f(x)>0.又f(x)為奇函數(shù)，∴h(x)＝x2f(x)也為奇函數(shù)，由數(shù)形結合知x∈(－∞，－2)時，f(x)>0.故x2f(x)>0的解集為(－∞，－2)∪(0，2).所以h(x