高中數(shù)學競賽（強基計劃）歷年真題練習 6 不等式 （學生版+解析版）

【高中數(shù)學競賽真題.強基計劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】

專題06不等式真題專項訓(xùn)練（全國競賽+強基計劃專用）

一、單選題

1.（2020?北京?高三強基計劃）若正實數(shù)x,y,z,w滿足xNy2w和x+y?2（z+w）,

wZ

則一+一的最小值等于（）

xy

37

A.-B.-C.1D.前三個答案都

48

不對

2.（2021?北京?高三強基計劃）已知a,6,ceR‘，且（a+=3,則

\abc）

的最小值是（）

A.417+240V3B.417-240百

C.417D.以上答案都不對

3.（2021?北京?高三強基計劃）若a,6,c為非負實數(shù)，S.a2+b2+c2-ab-bc-ca=25，

貝iJa+/?+c的最小值為（）

A.3B.5C.7D.以上答案都不

對

二、填空題

4.（2021?北京?高三強基計劃）在銳角A8C中，tanAtanB+2tan3tanC+3tanCtanA

的最小值是.

5.（2021?全國?高三競賽）已知正實數(shù)出,，出02。滿足4+/++喂0=1，則

二^+工一++工^的最小值為.

a\+。2出+生〃202（）+a\

）91

6.（2022?浙江,高二競賽）設(shè)。，b,c,dcR",abed=1,則+二h的最小值為

a~4La

7.（2021?全國?高三競賽）設(shè)正實數(shù)4，%，…，％02。滿足Z4=1，則必，2。2。+最大值

1=11十乙4

￡=|

為.

8.（2021秋?天津河北?高三天津外國語大學附屬外國語學校校考階段練習）設(shè)

x>0,y>0,x+2y=5,則當產(chǎn)時，2Vx取到最大值.

三、解答題

9.（2023?全國?高三專題練習）設(shè)=滿足=1,2,，加又設(shè)

i=0

2

,（=0,1,,2力滿足"（刈2=次城,證明：^+1<1[/（1）].

i=o2

10.（2023?全國?高三專題練習）設(shè)/（x）=?>R，g（x）=Zc4是兩個實系數(shù)非零多項

/=0/=0

式，且存在實數(shù)r使得g（x）=（x-r）〃x）.記。=思既｛同｝,。=居給｛同｝,證明：

a4（〃+l）c.

11.（2021?全國?高三競賽）已知：a,b,c>0,a+b+c=2,求證：

becaab,

-------------------------1--------------------------1------------------------K1t,

1+ahc（a+h）1+abc（b+c）1+abc[c+a）

12.（2021?全國?高三競賽）求所有的正實數(shù)”，使得存在實數(shù)x滿足/儲*+〃衿2**2.

13.（2022?新疆?高二競賽）（1）若實數(shù)x,y,z滿足V+y2+z2=i,證明：

|x-y|+|y-z|+|z-x|M20；

（2）若2023個實數(shù)為,占，，々023滿足*：+￥++%2023=1>求

1%—七|+|*2-￡|++|*2022—X2023I+|“2023-*||的最大值.

14.（2021?全國?高三競賽）設(shè)機為正整數(shù)，且〃=加+1,求所有的實數(shù)組不芻，,x“，

ry2

使得X[=1+----萼----7,對所有i=1,2,，〃成立.

%+x2++xn

15.（2021?全國?高三競賽）求最大的正實數(shù)A,使得對任意正整數(shù)〃及正實數(shù)與,當，,x?,

"]〃1

均有口嗎―

+X*

16.(2021?全國?高三競賽)已知0<x,<l(ie{0,l,,10})證明：存在i,jw{0,l,2,,10),

使得0<x用[廠著）<春.

17.（2021?全國?高三專題練習）已知:。>0,b>0,a+b=l.求證:

18.（2021?全國?高三專題練習）已知小力為正數(shù)，且疝力，證明

2

19.（2022?湖北武漢?高三統(tǒng)考強基計劃）設(shè)不…,x,,（“22）皆為正數(shù)，且滿足

---++???+=^—,證明.也也…X”>2022

zuzz

X.+2022々+2022x?+20222022n_x~

20.（2023?全國?高三專題練習）實數(shù)”,4c和正數(shù)幾使得〃力=^+6+區(qū)+。有三個

實數(shù)根內(nèi),々,毛.且滿足：（1）x2-x,=X.（2）三>4（%+%2），求2"'27：-9一的最

大值.

21.（2021?全國?高三競賽）設(shè)/wR+，i=l,2,

其中求和是對1,2,〃的所有C：個上元組合%,%%進行的，求證:

Dk>DM.(k=\,2,，〃-1).

22.（2021?全國?高三競賽）已知4，aJ,%eR,且滿足+4；=1,求

〔4一％|+|4一七|+L一力的最大值.

23.（2021?全國?高三競賽）已知正實數(shù)4,出，，勺（〃>2）滿足4+出++4=1.證明:

a2a3an,a\aT,an,,”"T/1

----------------------1-------------------------rH-------------------------±----------------.

q+〃—2生+〃—2〃〃+,7—2（〃—1）~

24.（2021?浙江金華?高三浙江金華第一中學?？几傎悾?shù)列｛為｝定義為q=1,

1=1+工才4（〃訓(xùn).證明，存在正整數(shù)〃，使得4,>2020.

n%=|

25.（2021?全國?高三競賽）給定正整數(shù)〃23.求最大的實數(shù)M.使得2>M

*=lIak+ak+l，

對任意正實數(shù)4，%，，凡恒成立，其中?！?1=4.

26.（2019?河南?高二校聯(lián)考競賽）銳角三角形A3C中，求證:

cos(B-C)cos(C-A)cos(A-8)..8cosAcosBcosC.

27.（2022?貴州?高二統(tǒng)考競賽）正數(shù)滿足a+A=l,求證：［十一/1/一/

28.（2022?江蘇南京?高三強基計劃）已知整數(shù)證明:

29.（2022?浙江杭州?高三學軍中學?？几傎悾┰O(shè)實數(shù)4,4,M“滿足

fl(a,+l)=n(?,.-1),求之同的最小值.

1=1/=1?=1

30.(2021?浙江?高二競賽)設(shè)x,y,Z>0,G+6+6

犬+連2y4+z2^z,+W

證明~~5>1

%2(y+z)y2(z+x)z2(y+x)

【高中數(shù)學競賽真題?強基計劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】

專題06不等式真題專項訓(xùn)練(全國競賽+強基計劃專用)

一、單選題

1.(2020?北京?高三強基計劃)若正實數(shù)x,y,z,w滿足xNyNvv和x+y?2(z+w),

wZ

則一+一的最小值等于()

*y

37

A.-B.-C.1D.前三個答案都

48

不對

【答案】D

【分析】利用基本不等式可求最小值，從而可得正確的選項.

【詳解】根據(jù)題意，有

wz、卬x+y-2wwx11，、口1

—+—>—+=—+—+>21+——1>V2——,

xyx2yx2y2y\x2y22

等號當X：>：2：卬=&：1：也二11時取得，因此所求最小值為

’22

故選：D.

2.(2021?北京?高三強基計劃)已知〃也ceR+,且(。+8-c)(，+?-R=3,則

\abc)

(a4+6,+c**)(十+(?+3?)的最小值是()

A.417+24073B.417-240^

C.417D.以上答案都不對

【答案】A

【分析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)扇=1,利用柯西不等式可求最小值.

【詳解】由(4+6-/，+?」]=3可得曰互><_1_9，+工，

由對稱性可設(shè)M=l,則條件即(a+8-c)[a+匕」]=3即c+1=^亙，

kc)ca+b

從而“”N2=a+/?N1+73,

a+b

根據(jù)柯西不等式(a,+6"+c')(/+/+/)2(/+/+1)，

=[(“+力4-4(4+份2+31

>417+240>/3,

等號當c=l,a+b=l+G時取得.因此所求最小值為417+2406.

故選：A.

3.(2021?北京?高三強基計劃)若〃，兒c為非負實數(shù)，S.a2+b2+c2-ab-bc-ca^25,

貝lja+b+c的最小值為()

A.3B.5C.7D.以上答案都不

對

【答案】B

【分析】利用非負性可求最小值.

【詳解】根據(jù)題意，

有a+6+c=yja2+b2+c2+2(ab+bc+ca)>\Ja2+b2+c2-ab-be-ca=5，

等號當(a,6,c)=(5,0,0)字時可以取得，因此所求最小值為5.

故選：B.

二、填空題

4.(2021?北京?高三強基計劃)在銳角A8C中，tanAtanB+2tanBtanC+3tanCtanA

的最小值是.

【答案】6+2夜+26+2指

【分析】利用柯西不等式及三角形的恒等式可取最小值.

【詳解】記題中代數(shù)式為M,我們熟知三角形中的三角恒等式：

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1,

于是M=tanAtanB+2tanBtanC+3tanCtanA

>________(1+應(yīng)+兩2__________

cotAcot8+cotBcotC+cotCcotA

=(1+力+后=6+2夜+26+2卡.

等號當tanAtanB=忘tanBtanC=V3tanCtanA=>tanA:tanB:tanC=>/2:>/3:1時取

得，因此所求最小值為6+20+2G+26

故答案為：6+2垃+2#>+2底

5.(2021?全國?高三競賽)已知正實數(shù)%%，“2。20滿足4+4++02020=1，則

222

二十』一++西戊。的最小值為.

°2020+4

4+生。2+〃3

【答案】1##0.5

【詳解】由柯西不等式知

/2

+?，2020

[(4+々2)+(%+%)++(“2220+a\)]上+

、q+%+%。202+4J

之(4+/++/2。)2=1，

a

\%++々22。

且(q+%)+(%+q)++(%O2O+4)=2,所以

a

aA+a24+a3〃2O2O+\-r

且當q=4=="2020=2020時取到等“'

故答案為：.

191

+

6.(2022?浙江?高二競賽)設(shè)〃，b,c,JGR+,abed=1,則X-T77-的最小值為

a"4La

【答案】/73

【詳解】由題意可得!=。乩，且胡勖&d,

a

9

4

則/S)=丁5+7+12c2+

。+力+CH-----

abc

原問題等價于求函數(shù)/(〃)的最小值.

f⑷=-2a~3+2a?b2c2--

4-(-a-+-b+?-c-+-d-)72{0-a}

-2,19a-d

=，+2a?

a3a2d24a(a+b+c+d)2

_2(〃—d?)9(a-d)a2d2

a3d24a3(a+b+c+J)2d2

S(a2-d2ya+b+c+d)2-9(a-d)(a2d2)

4a\a+b+c+d)2d2

a-d

,(8(〃+d)(a+b+c+d)2-9a?d~),

4〃3(a+b+c+d)2d2

a+b+c+d..a+3d,

z.(a+h+c+d)2J^a+3d)2Mad,

8(〃+d)(〃+〃+c+d)2-9a2d2

..83+辦1次/-9版2=3ad\32(a+d)-3ad],

令g(a)=32(a+d)-3ad,則g'(a)=32-3d,

由a幅夕d可得dW1,

則夕(a)>O,g(a)單調(diào)遞增，

/.g(a)..g(d)=Md-3d2=d(64-3d)>0,

則/⑷>OJ(a)單調(diào)遞增，f(a)Nf(d),

此時a=〃=c=d=l,/(a)../(I)=—.

16

73

故答案為：7f.

lo

2020min—----------

7.(2021?全國?高三競賽)設(shè)正實數(shù)《嗎，，。,問滿足Z“，=1，則必如。弋最大值

,=11十乙4

2=1

為.

【答案】

【詳解】解析：最大值為1-忐.

~5/2

記s=%齊鳴=哺…1,則《=巧-租,故svXd%即

1+'應(yīng)X1X,.

k=l

1-S2也，對,?=1,2,3,,2020,

再

求和，并結(jié)合算術(shù)-幾何平均不等式，

2020(^^2020

x2020_2020

有2020(1-S)22口22020x」-

/=!Xi\"2020)網(wǎng)1-20202

故SWI-等號當“蟲20啦yr20啦尸(i=l,2,3,，2°2°)時取到?

所以原式的最大值為1-冊.

故答案為：1-4寧

8.(2021秋?天津河北?高三天津外國語大學附屬外國語學校?？茧A段練習)設(shè)

x>0,y>0,x+2'=5,則當產(chǎn)時，2Vxt取到最大值.

【答案】1##2.5

[分析]巧妙利用換元z=log,x得到10=2川+2川，

將M=2"刈取對數(shù)運算得到Iog2”=(y+i)(z+i)-i,將所求問題轉(zhuǎn)化為求

(y+l)(z+l)的最大值問題，

由10=2川+2”使用兩次基本不等式可求出(y+D(z+D的最大值，考查等號取得條件

即可.

【詳解】設(shè)M=25'+i,則log2M=丫+(?+1)1鳴X，設(shè)z=k>g?x,貝ijx=2"

可知2工+2,=5,log2M=y+(y+l)z=(y+l)(z+l)-l.

10=2:+|+2>+|>2?—f—>2.2'/(z+l)<v+l),(當且僅當z=y，即x=2，=2時取等號.)

所以5之2對而，故以+D(z+D有最大值(Iog25)2,

yy+,

所以log2M就有最大值，即M=2x有最大值.

故答案為：

【點睛】使用基本不等式求最值關(guān)鍵是要有定值才能求最值，沒有明顯的定值要進行變

形拼湊.在此題中拼湊的定值有:①2=+2”=5及10=2川+2、"，為求(z+1)+(y+1)最大值

做準備;②通過提取公因式實現(xiàn)因式分解拼湊乘積，y+(y+l)z=(y+l)(z+l)-1,產(chǎn)生

了(y+l)(z+l)與上面(z+l)+(y+l)遙相呼應(yīng)，可以使用基本不等式.

三、解答題

9.(2023?全國?高三專題練習)設(shè)/(x)=￡qx'eR[x],滿足04a；4%,i=1,2,，機又設(shè)

i=0

〃(i=0,l,,2〃)滿足"(切2=￡31證明：1[/(1)]2.

/=02

【答案】證明見解析.

【分析】根據(jù)給定條件，利用多項式平方運算求出"(X)f,再利用賦值法結(jié)合已知及

進行不等式的放縮，推理判斷作答.

【詳解】"(刈2=(￡即療=￡(2的不，于是女=2>巧，

1=0s=0i+j=s'+六'

這《)[=；(￡a：+2Zq巧)2；(2￡%%)=￡咽

乙Zi=0Z/=004vj"乙0S?<j<,n"jus"

2Z-=匯%，

0=i<j^ny=i

因為04q4%,i=l,2,,n,則

b“+i=￡aiaj=aian+a2a?-i++"M440a"+a<Ai+=&Z%4j"(D『，

i+j=n+lj=\乙

所以〃向4；"⑴f.

_〃4+!

10.(2023?全國?高三專題練習)設(shè)/(x)=Z"X，g(x)=Z，X是兩個實系數(shù)非零多項

<=01=0

式，且存在實數(shù)r使得g(x)=(尤-</(%).記。=黯｛同｝，。=黯|｛同｝，證明：

?<(?+!)(?.

【答案】證明見解析.

【分析】根據(jù)給定條件，利用多項式恒等定理求出多項式/(x),g(x)的對應(yīng)項系數(shù)的關(guān)

系，再按I，區(qū)1和1川>1討論，并結(jié)合含絕對值不等式的性質(zhì)推理作答.

【詳解】因為g(x)=(x—r)〃x),即

++

Zqx'=(x-r)Z=Ea,x''-^ra,x'=-ra?+g(a,.,-ra,)x'+anx"'>

i=0i=0r=Oi=0?=1

則有d=-ra0,C,=4T-ra,(<=1,2,,rt),c?+1=an,

22

于是??=—a%=cn+rcn+l,a?_2=%+rc?+rc?+l,,a0=ct+rc2+rc3++r"cn+t,

若卜區(qū)1,則同=|4+I區(qū)蜀4/=|作+/+卜同+瓦以1區(qū)2€,

c2

|%|=|?-i+rc“+rc,I+l|<匕11+舊.|c,,|+r?除+J43c,-,

+

|%|=|q+rG+r2c3++r"cll+l|<|c,|+Hk21+1^1?|c3|*"卜以|4（n+1）。，

所以同4（〃+l）c,于是a4（〃+l）c,

若卜|>1,則^<1，由。0=-外，6=%一廠4。=1,2,,〃）,c?+I=a“，

得.=-Jq>,q=Ja--；q（i=l,2,,?）,（/?=c?+l,

于是同=-c。=j同〈。，㈤:一5’?！猶v向6+#卜加，

kl=~~3C0~~TC^~~C2-A|lCo|+Al|C11+P||Cz|<3c?**l

一：*4向同+向同++向*k〃c,同=k/4c,

所以同<〃c,于是a<(〃+l)c,

綜上得：a4(,+l)c.

11.(2021?全國?高三競賽)已知：a,b,c>0,a+b+c=2,求證:

becaab",

------------1------------1------------W1.

1+abc(a+b)1+abc(b+c)1+abc(c+a)

【答案】證明見解析

【詳解】1+。匕。(。+匕)一(。人+匕。+。。)=[|一。(〃+8)]乂(1—。匕),

因為c>0,a+b+c=2,所以c(a+h)〈lM〃KL

于是1+而c(a+Z?)2a〃+Z?c+ca,

同理1+ahc[b+c)>ah+hc+ca,1+ahc[c-^a)>ab-it-hc+ca.

becaab

則：------------1----------------------------1--------------------------

''l+ahc(a+b)1+abc(b+c)1+abc(c+a)

,becaab.

<----------+----------+----------=1.

ah+he+caah+hc+caah+be+ca

故題中的不等式成立.

12.(2021?全國?高三競賽)求所有的正實數(shù)。，使得存在實數(shù)x滿足“2疝=+/9*±2.

【答案】［0,上^］30,+8）

【詳解】設(shè)Lt?/3則不等式化為f+g—2N0.

t

當Ovavl時，te［6f2,l］；

2

當々=1時，r=l;當a>l時，te[l,a].

因此不等式可化為--2f+aN0.

設(shè)/⑺=產(chǎn)-2/+〃，考慮〃。在1和/之間恒小于零，則/⑴<0,/（〃2）<0,?！?,

a<1

以（0-1）（/+〃_］）<（），

解得嚀所以。的取值范圍是0,與1卜［1,+8）.

13.（2022?新疆?高二競賽）（1）若實數(shù)x,y,z滿足/+/+z?=1,證明:

\^-y\^\y-z\+\z-x\<2y/1；

（2）若2023個實數(shù)為,々，，々。23滿足x：+x；++/3=1,求

|%-々|+卜2-毛|++|鼻22-鼻23|+|鼻23一芭|的最大值.

【答案】（1）證明見解析；（2）2亞芨.

【詳解】（1）不妨設(shè)

則|x一y|+|y-z|+|z一;c|=y_x+z_y+z_x

=2（z-x）=2\lx2+z2-2xz<2^2（X2+Z2）<2^2（x2+y2+z2）=2夜.

（2）因為2023為奇數(shù)，則占,々X：X2023，%中必存在西,加（令*2024=王）同號,

不妨設(shè)對占同號，則:

20233232023

Z上-X,”J=%-Z|+Z%%J可花-々I+同+㈤+2Z|匕I=S.

1=1/=2i=3

不妨設(shè)超2須20，則歸一電|+同+|再|(zhì)=2%,所以：

因此k一電I+1々一七|++1^2022-+1々023一西|的最大值為242022.

14.（2021?全國?高三競賽）設(shè)機為正整數(shù)，且〃=M+1,求所有的實數(shù)組與與，，％,

2mx

使得x,=l+丁~一一對所有，=1,2,成立.

X+芍++x；

【答案】證明見解析.

【分析】第?步化簡原式，第：步利不等式即可得到&=1或加，這兩種情

況是對稱的，不妨證明左=1的時候成立，所以原式成立.

2/71X~

【詳解】由已知…就……，”,得由=若，故萼全相等.

2A片x,Tx,T

7=1

注意到若實數(shù)用b滿足一一=2,則ab=a+b,即因此看e［，占］,

a-1b-\b-\Ib-\\

bw0,i=1,2,?,/?.

設(shè)看中有7J,〃—攵=〃?2+1一女個兒則有042工加2+1,且

b-l

2

b+（m2+1一女）/2mb2

=

0-D2b-1

即看+(機2+1—左)S-l)=2〃？.

由不等式，若0<2</+1,

y-^-j-+(/+]_%)(0_1)之2#(加+1一%)>2m,

因此必取等，即2=1或>，這兩種情況是對稱的，不妨2=1,貝I」

―!——I-—1)=2m,

b-\

.,.1ri,加+1.

矢口6—1=一,則/?=----,a=m+1.

mm

若上=0,!UiJ(/n2+l)0-l)=2/n,即方=^2^!^,0=^221121.

m+12m

會,2,mil.+1c?,(/n+1)2(w+D2

若左+1,貝！J-----=2m,nb=---------,a=-z----.

b-12mm+1

綜上可知，玉，w，，x“要么1個〃任1,〃/個‘里；要么全是絲業(yè).

mm+1

15.(2021?全國?高三競賽)求最大的正實數(shù)，，使得對任意正整數(shù)"及正實數(shù)x0,x,,,x?,

均有￡"―1-幾"￡--―-1―--??

Mx*t-fXo+X]++4

【答案】2的最大值為3.

【分析】先取與=%=1,%=2,斗=4,,x“=2"T,通過對其求和可得；I的范圍，再利用

111333

放縮法可得一+—++—2——+——:——++-----:——.最后求出最大

與玉x“%+&x0+xt+x2x0+x]++xn

的正實數(shù)義的值.

【詳解】一方面，取%=再=1,》2=2,七=4,,x“=2"T,得

3--^>Z(1-—

2"-'I2")

令”foo,得；143.

114

另一方面對正實數(shù)x,y有一+一±----,故

xyx+y

11、4

—十--—;—，

%玉%+X

11、4

-----+—>---------,

x0+%x2%+玉+x2

11、4

---------+—>-------------.

--------------------------H------2------------------------

%+%++X“TXn與+網(wǎng)++X?

以上各式相加，得

—+—++—>

%+陽+.+x?

故幾=3時，原不等式恒成立.綜上，2的最大值為3.

16.（2021?全國?高三競賽）已知0<七<1（屹{0,1,,10}）證明：存在"€{0,1,2,,10）,

使得。

【答案】證明見解析

【詳解】不妨飛4%0，設(shè)（七一七），

3

當04iVj410時，，因為3尢丙（X/-xJ4（X：+x/j+￡）（X/-x,.）=x]-x,,

BP3f（i,j）<x^-xf,當且僅當i=j時,等號成立.

101（）1

故所以存在窕{1,2,，⑼，使得3/（"草）<白,即

i=l?=11。

30

所以存在仃￡{04,2,,10},使得0<x甬（xj-xj<*.

17.（2021?全國?高三專題練習）已知1：”>0,b>0,a+b=l.求證：

【答案】證明見解析.

【分析】構(gòu)造一個直角三角形，使其兩直角邊長分別為』7：和61,而斜邊之長

則為正（如圖所示），證明不等式成立；再證明

=0(sina+cosa)<2,即彳導(dǎo)證.

【詳解】證明：為了使得條件〃+》=1與待證式的中間部分在形式上接近一些，我們將

該條件作如下變形：

=2,進而有=(&Y.①

我們來構(gòu)造這樣一個直角三角形，使其兩直角邊長分別為小+；和J+；，而斜邊之

長則為正（如圖所示）.顯然，這個直角三角形的三邊長之間的關(guān)系是符合①的，從而

滿足條件。+方=1.

由圖所示，根據(jù)定理“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，而有不等式

至于這個雙聯(lián)不等式的右邊部分，也可由圖,并根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系知

J<7+—=V2cosa，+—=Vasina.

V2V2

于是有=V2(sina+cos<z)=J2->/2sin|cr+—|<2

V2V214)

所證不等式近<+即|<2成立.

18.（2021?全國?高三專題練習）已知mh為正數(shù)，且。'"證明

la2+b2a+h1—2

q2>2>疝>1+「

—十—

ab

【答案】證明見解析

［分析］如圖所示，可先構(gòu)造RtAABC,再構(gòu)造RtBCD.最后，作RtAfiCD^RtABCD,

由圖形直觀得AB>3C>B￡）>8E,即得證.

【詳解】證明：由于/且盧=與）+（專斗

可先構(gòu)造RtZ\A8C,使得BC=",AC=—學,如圖所示.

21

1

Arr-rrB

最后，作RtZ\BC'￡>四RtZYBCD,

_BD2（V^）22

過點力作￡>E_LBC'交BC于點E,由BD2=BE-BC'得"-BC~a+b~1—\，

-------T—

2ab

由圖形宜觀得AB>BC>BD>BE,

la2+/?2a-^br—r2

即匕~~>?。┒《?/p>

—I—

ab

19.（2022?湖北武漢?高三統(tǒng)考強基計劃）設(shè)3,…,乙（〃22）皆為正數(shù)，且滿足

-------+--------+???+--------=—^—,證明.新1…X”>2022

為+2022々+2022x?+2022202273,-zuzz

【答案】證明見解析

【詳解】證法一：由AM-GM不等式有：

口多-rjy]

2022（升+2022）%;白4+2022

2即<=|（I）市I4+2i022,、

口（占+2022）’

J=1

即必乜±22022.

n-1

證法二：

不妨設(shè)必=一，而廁x,=--2022,]<i<n.

&+2022y.

從而原題轉(zhuǎn)化為：

?11n（i、

已知？產(chǎn)版'。氣〈痂,求證小仁-2。22F皿2022（E）].

令人>）川/2。22卜”赤，則f（加（-022/廣

不失一般性,我們設(shè)M4%44，則:

⑴若4券二工;，由Jesen不等式有:

4044

沙)"掙卜『總=nln[2022(n-l)].

(2)若<y?,t<^<yn.

容易得到￡/(%)取得最小值當且僅當y=%==山.

1=1

20.(2023?全國?高三專題練習)實數(shù)”為,c和正數(shù)4使得/(力=/+以2+8+。有三個

實數(shù)根不法與.且滿足：(1)々-西=兀；(2)x3>|(x,+x2),求2優(yōu)+27：-9“"的最

2元

大值.

【答案】巫

2

【分析】解法一：設(shè)內(nèi)=根-弓，x2=m+^,&=〃?+r(/>0),利用韋達定理可化筒所

求式子為法示J(93-4產(chǎn))8產(chǎn)，結(jié)合基本不等式可求得最大值，驗證取等條件即可確

定結(jié)果；

解法：：山2tz3+27c-9ab=+毛+9—2七)可令W=X+4，

+X3-2X1)(XI-2X2)(A,

毛=再+4+〃(〃>()),由此可化筒所求式子為2.2一令?="0,

22A\^)

g⑺=|二-2/”0),利用導(dǎo)數(shù)可求得gQ,即為所求式子的最大值.

0夕

【詳解】解法一：由題意可設(shè)「尸爪5,5"+于

=m,可令毛=m+r(r>0),

a=-(xj+x2+工3)=_(3機+。

7,2c萬

由韋達定理得：b=XjX2+x2x3+x3x{=3m~+2mt--

22

322A

c=-xix2x3--m

27Q

貝U2/-9ah=a(2a2-9b)=27w3+21m2t--mA2--A2t-2t\

2777

322

27c=-27m-27m2f+-m^+—2/,

44

則2/+27:-9嘰9朽今3最則”“4/>0,

萬2A3

2yf(胡一…總婀一

_1j2(92--4r)+8r-l=延(當且僅當9萬一4/=8」，即1=且4時取等號)，

4&3皿3J22

又廣34滿足9加一4/>0,

2

?二取加=0,A=2,則f=石，此時為=-1,W=1，七二百，a=-\f3>b=_T,c=>/3

12a3+27c-9ab3A/3

時，無、=2，

2"、2尸出的最大值為巫.

A32

解法二：2〃3+27c—9。0=27(—1)+〃(—1)+b[—W)+c'=27日

=27(_]_西)]_]_工2)(_三一七)=(_々_3西)(_4_3工2)(_。_3

X3),

又一Q=X+%+W,

2石）（西十七一2々）（西+O—2天）,

令％=玉+2，x3=x,+—+n(/7>0),

/.2〃3+27(?-9〃〃=停4+")仁義-〃卜〃

c3c八，2nf-A2-n2>|

2a'+27c-946(4)9n-期

：.----------Z--------=--——--------=------

分Z32A

人〃，n1bi2as+27c-9ab9_

令二=，>0,貝lj-------------------=-t-2t

AA32

go產(chǎn)，令（）解得：好乎，

令g(/)=夕-2J”0),則g，⑺4_6g'f=o,

二當fe1(),等卜寸，g'⑺>0；當Z+8時，g，⑺<0；

X

???g(f)在0,與上單調(diào)遞增，在(與

8上單調(diào)遞減，

7

.-.,(/)=g(?|=述_2xK=g

一.

v7max\2J482

=A/3>，匕時,

?二當丸=2,n=5/3時，即石=—1,x2=1,a=-&=-1,c=G

2/+27C-9"373

232

2〃+27：-%力的最大值為巫

笛2

21.（2021?全國?高三競賽）設(shè)"段,1=1,2,

其中求和是對1,2,…，”的所有C：個％元組合44，%進行的，求證:

Dk>Dk^.（k=1,2,，〃-1）.

【答案】證明見解析

【詳解】任取4，%，，。.，由柯西不等式，有:

號_________1________2_______________<+1)2_______________

月4+氣++%-%-(G+D(q+%+?+%)-(4+%++%.,)

=-(-2-+--1)-2--------1--------

k%+a,++他??

_________1_________(^+1)2V______1______

所以乙巧+…k乙氣+—.十%-

其中求和對1,2,...,〃的所有個&+1元組合進行.

上式左邊實際上是一些Z元組合的求和，因?qū)θ我鈑元組合％，為，，%，選這么個數(shù)

的4+1元組合有〃-上個（余下的“-上個數(shù)中任意一個數(shù)都與其構(gòu)成一個人+1元組合）,

故￡自a+%++%*,

這樣便有（〃-泣…：+”*胃工+」+%

26+1)2>______1

(〃-k)C：%+%++%

再注意到（”一幻&=（A+I）C"，即得:

這就證明了222“，其中A=l,2,,"-1.

即有R222…222。*+；…2。,.

22.（2021?全國?高三競賽）己知4。，1，46/?,且滿足42+片++a；=\,求

k一局+l%-％I+L+|加-4,1+1%-q|的最大值.

【答案】當〃為偶數(shù)時，最大值為2?,當n為奇數(shù)時，最大值為2?二T.

【詳解】,一叼卜㈤+同當且僅當4巧4。時等號成立.

（1）當”為偶數(shù)時，|4一回+|七-局+L+|的一?！皘+|?！耙宦勛畲髸r，顯然需滿足

々.《“WO,否則用-4M替換4+i依然滿足條件，且值增大.

設(shè)