向量法求立體幾何中的折疊探索及最值問題 高三數(shù)學一輪復(fù)習

高考大題研究課七向量法求立體幾何中的折疊、探索及最值問題會用向量法解決立體幾何中的折疊、角的存在條件及最值問題，提高學生空間想象能力、數(shù)學運算能力．

題后師說折疊問題的兩個解題策略

∵SA＝SB＝AB＝2，∴△SAB為等邊三角形，∵O為AB的中點，∴SO⊥AB，∵平面ABCD⊥平面SAB，SO?平面SAO，平面ABCD∩平面SAB＝AB，SO⊥AB，∴SO⊥平面ABCD，∵BD?平面ABCD，∴SO⊥BD，即BD⊥SO，又∵BD⊥OC，SO∩OC＝O，SO，OC?平面SOC，∴BD⊥平面SOC.

題后師說(1)對于存在判斷型問題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”轉(zhuǎn)化為“點的坐標的方程是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等．(2)對于位置探究型問題，通常借助向量，引進參數(shù)，綜合已知條件和結(jié)論列出等式，解出參數(shù)．

題型三

最值問題例3[2020·新高考Ⅰ卷]如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．

解析：(1)證明：在正方形ABCD中，AD∥BC，因為AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC，又因為AD?平面PAD，平面PAD∩平面PBC＝l，所以AD∥l，因為在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC，所以l⊥DC，且PD⊥平面ABCD，所以AD⊥PD，所以l⊥PD，因為CD∩PD＝D，所以l⊥平面PDC.

題后師說利用向量法求解與角有關(guān)的最值問題時，往往將問題轉(zhuǎn)化為某一個相關(guān)量的問題，即轉(zhuǎn)化為關(guān)于其中一個量的函數(shù)，求其最大值或最小值的問題．根據(jù)具體情況，有函數(shù)法、不等式法、三角函數(shù)法等方法可供選擇．鞏固訓練3如圖，已知圓柱的軸截面ABCD為正方形，E，F(xiàn)為圓弧AB上的兩個三等分點，EH，F(xiàn)G為母線，P，Q分別為線段AD，F(xiàn)G上的動點(與端點不重合)，經(jīng)過C，P，Q的平面α與線段EH交于點M.(1)證明：CP∥MQ；(2)當AP＝GQ時，求平面α與圓柱底面O所成夾角的正弦值的最小值．解析：(1)證明：因為E，F(xiàn)為圓弧AB上的兩個三等分點，所以EF∥AB.因為EF?平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.同理可得，EH∥平面ABCD.因為EF∩EH＝E，EF，EH?平面EFGH，所以平面EFGH