導(dǎo)數(shù)（30題）-2024年考前15天高考數(shù)學(xué)沖刺大題訓(xùn)練（新高考）含答案

沖刺大題05導(dǎo)數(shù)(精選30題)

1.(2024?安徽?二模)已知函數(shù)/(x)=x2_10x+3/'⑴Inx.

⑴求函數(shù)/(x)在點處的切線方程；

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

2

2.(2024?江蘇南京?二模)已知函數(shù)/(x)二廠一"+q,其中

eA

⑴當(dāng)。=0時，求曲線歹=/(x)在(1,7(1))處的切線方程；

⑵當(dāng)。＞0時，若/(X)在區(qū)間[0,。]上的最小值為』，求a的值.

e

3.(2024?浙江紹興?模擬預(yù)測)已知/(x)=ae*-x,g(x)=cosx.

⑴討論的單調(diào)性.

(2)若使得/(%)=8(%),求參數(shù)"的取值范圍.

4.(2024?福建漳州?一模)已知函數(shù)/(x)=alnx-x+a,aeR且a#0.

⑴證明：曲線y=/(x)在點(1,7(1))處的切線方程過坐標(biāo)原點.

(2)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

5.(2024?山東?二模)已知函數(shù)/(》)=。2猶,-_￥-11?.

(1)當(dāng)。=卡時，求/'(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵當(dāng)。＞0時，/(x)＞2-a,求。的取值范圍.

6.(2024?山東?一模)已知函數(shù)〃無)=lnx+；aQ-l)2.

(1)當(dāng)。=-；時，求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

八3

⑵若函數(shù)g(x)=/(x)-2x+l有兩個極值點須,%2，且8(再)+8(%2)之一1一丁,求Q的取值范圍.

2a

7.(2024?湖北?二模)求解下列問題，

⑴若fcr-121nx恒成立，求實數(shù)k的最小值;

(2)已知a,6為正實數(shù)，xe[o,l],求函數(shù)g(x)=ax+(l-x)b-罐的極值.

8.(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測)函數(shù)

H

/(x)=tanx+sinx--<x<],g(x)=sinx-x"cosx,xe(0,^),MeN+.

⑴求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若g(x)>0恒成立，求”的最大值.

9.(2024?湖北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(無)=ax2-x+ln(x+l),aeR,

(1)若對定義域內(nèi)任意非零實數(shù)M，花，均有/(*)"“)>意求。；

x{x2

(2)1己乙=1+：+???+，，證明：乙一+

2no

10.(2024?湖南?一模)已知函數(shù)/(x)=sinx-ox-cosx,aeR.

(1)當(dāng)。=1時，求函數(shù)/(x)在x=5處的切線方程；

(2)xe(0,3時；

(i)若〃x)+sin2x>0,求。的取值范圍；

(ii)證明：sin2x-tanx>x3.

11.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)--二.

(1)求曲線>=在(0,7(0))處的切線方程；

⑵若xe(T/),討論曲線y=/(x)與曲線y=-2cosx的交點個數(shù).

12.(2024?廣東佛山?二模)已知〃x)=-Je2，+4e，-ax-5.

⑴當(dāng)a=3時，求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)有兩個極值點％,,x2,證明：/(x1)+/(x2)+x1+x2<0.

13.(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=x(e“-履)，后eR.

(1)當(dāng)后=0時,求函數(shù)/(x)的極值；

⑵若函數(shù)/(x)在(0,+8)上僅有兩個零點，求實數(shù)上的取值范圍.

2

14.(2024?江蘇南通?二模)已知函數(shù)/(x)=lnx-ax,g(x)=一，a40.

ax

⑴求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a>0且4g(x)恒成立，求a的最小值.

15.(2024?山東濟南?二模)已知函數(shù)/(》)="2-111%-16(元)=泥*-辦2(0€11)，

⑴討論〃龍)的單調(diào)性；

⑵證明：/(x)+g(x)>x.

16.(2024?福建?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(無)="lnx-法在處的切線在y軸上的截距為-2.

⑴求。的值；

(2)若/(x)有且僅有兩個零點，求6的取值范圍.

17.(2024?浙江杭州?二模)已知函數(shù)〃無)="ln(x+2)-;x2(aeR).

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個極值點,

(i)求實數(shù)。的取值范圍；

(ii)證明：函數(shù)“X)有且只有一個零點.

18.(2024?河北滄州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=lnx-Q+l,aeR.

(1)討論/'(x)的單調(diào)性；

(2)若Vx>0,/(X)4xe2工-2ax恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

19.(2024?廣東?二模)已知=+(l-2a)x-21nx,a>0.

⑴求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵函數(shù)〃x)的圖象上是否存在兩點么(再,%),8(%,%)(其中x尸X2),使得直線43與函數(shù)/(x)的圖象在

%=土十處的切線平行？若存在，請求出直線43;若不存在，請說明理由.

20.(2024?廣東深圳?二模))知函數(shù)f(x)=("+l)e*,/'(x)是〃x)的導(dǎo)函數(shù)，且/(x)-/(x)=2e1

⑴若曲線>=/(x)在x=0處的切線為>求公6的值；

⑵在(1)的條件下，證明：f(x)>kx+b.

21.(2024?遼寧?二模)已知函數(shù)/(叼=?？一ax-lnx.

(1)若曲線〉=/(x)在x=1處的切線方程為y^mx+2,求實數(shù)a,m的值；

(2)若對于任意x21,+恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

22.(2024?黑龍江哈爾濱?一模)已知函數(shù)〃x)=^-ae',aeR.

⑴當(dāng)。=0時，求〃x)在x=l處的切線方程；

(2)當(dāng)a=1時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑶若對任意xeR,有/(x)Ve1恒成立，求。的取值范圍.

23.(2024?安徽合肥?二模)已知曲線C：/(x)=e=xe'在點處的切線為/.

(1)求直線/的方程；

(2)證明：除點A外，曲線C在直線/的下方；

(3)設(shè)/(占)=/(工2)=/,尤1,求證：x,+x2.

e

24.(2024?江蘇揚州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=21?-a/+l(aeR).

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若存在正數(shù)x,使/⑺川成立，求。的取值范圍；

(3)若0＜網(wǎng)＜七，證明：對任意ae(0,+oo),存在唯一的實數(shù)/e(網(wǎng),)，使得/(%)=.(：)：；(*)成立.

25.(2024?重慶?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=(x-3)e，+at+hu}aeR),

⑴若過點(2,0)的直線與曲線＞=/(x)切于點(1,7(1)),求a的值；

⑵若/(x)有唯一零點，求。的取值范圍.

26.(2024?江蘇南通?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)/(x)=(x-a)lnx-x+a,aeR.

⑴若。=0,求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若-搟＜。＜0,試判斷函數(shù)/(x)在區(qū)間(e3e2)內(nèi)的極值點的個數(shù)，并說明理由；

⑶求證：對任意的正數(shù)”，都存在實數(shù)乙滿足：對任意的xe",/+a),/(x)＜a-l.

27.(2024?河北保定?二模)已知函數(shù)/(x)=asinx+xcosx.

⑴若a=0,求曲線了=〃x)在點(0,〃0))處的切線方程;

⑵若xe(-兀,兀)，試討論/(x)的零點個數(shù).

28.(2024?河北?二模)已知函數(shù)/(x)=e\

(1)求曲線V=/(x)在x=0處的切線/與坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長；

(2)若函數(shù)/(x)的圖象上任意一點尸關(guān)于直線x=l的對稱點0都在函數(shù)g(x)的圖象上，且存在xw[0,l),使

〃x)-2exN加+g(x)成立，求實數(shù)加的取值范圍.

29.(2024?河北邯鄲?二模)已知函數(shù)/(無)=6'-加工8卜)=%-〃”!《:.

⑴是否存在實數(shù)加，使得/(X)和g(x)在(0,+8)上的單調(diào)區(qū)間相同？若存在，求出加的取值范圍；若不存

在，請說明理由.

(2)已知小馬是“X)的零點，物七是g(x)的零點.

①證明：m>e,

②證明：

,zl2-

30,(2024?浙江杭州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=加—+――--m,g(x)=ex+ex.

(1)當(dāng)機=0時，證明：/(x)<e-%；

(2)當(dāng)x<0時，gW>G求/的最大值；

⑶若“X)在區(qū)間(0,+8)存在零點，求加的取值范圍.

沖刺大題05導(dǎo)數(shù)(精選30題)

1.(2024?安徽?二模)已知函數(shù)〃x)=x2-10x+3-l)lnx.

⑴求函數(shù)/(x)在點(1/(1))處的切線方程；

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

【答案】⑴了=4X-13；

⑵遞增區(qū)間為(0,2),(3,+8),遞減區(qū)間為(2,3),極大值-16+12E2,極小值-21+12M3.

【分析】(1)求出函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)，賦值求得了'⑴，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.

(2)由(1)的信息，求出函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間及極值.

【詳解】(1)函數(shù)/(X)=--10X+3/⑴Inx,求導(dǎo)得/'(x)=2x-10+宜的，

則/'(1)=-8+3/'⑴，解得了⑴=4,于是〃x)=x2T0x+121nx,川)=一9,

所以所求切線方程為：y+9=4(x-l),即y=4x-13.

(2)由(1)知，函數(shù)〃x)=x2_10x+121nx,定義域為(0,+q),

P,、s122(x-2)(x-3)

求導(dǎo)B得A了'(x)=2x-10+—=—--------------,

XX

當(dāng)0<x<2或x>3時，f'(x)>0,當(dāng)2<x<3時，/f(x)<0,

因此函數(shù)f(x)在(0,2),(3,+8)上單調(diào)遞增，在(2,3)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x=2時，/(%)取得極大值〃2)=-16+121n2,

當(dāng)x=3時，f(x)取得極小值/(3)=-21+121n3,

所以函數(shù)小)的遞增區(qū)間為(0,2),(3,+8),遞減區(qū)間為(2,3),

極大值-16+12M2,極小值-21+121n3.

2

2.(2024?江蘇南京?二模)已知函數(shù)/(x)="一"+",其中aeR.

ex

(1)當(dāng)。=0時，求曲線>=/(x)在(1J⑴)處的切線方程；

⑵當(dāng)a>0時，若/(X)在區(qū)間［0,。］上的最小值為1,求a的值.

e

【答案】⑴…尸。

(2”=1

【分析】(1)由〃=0,分別求出/XI)及尸⑴，即可寫出切線方程；

(2)計算出/(X),令/''(x)=0,解得x=2或x=。，分類討論。的范圍，得出/(x)的單調(diào)性，由/(x)在區(qū)

間［0，?1上的最小值為工，列出方程求解即可.

e

丫2

【詳解】(1)當(dāng)。=0時,〃x)=上，則”1)=—1,/'(城="',所以/(1)=—1,

eeee

所以曲線y=〃x)在(1J(D)處的切線方程為：y--=-(x-l),即x-ey=O.

ee

(2)/(x)=一工2+m+2)x2j_(x-2)(x-a),令/，(刈=0,解得》=2或"明

exex

當(dāng)0<a<2時，X￡［O,a］時，/(x)<0,則/(x)在［0,幻上單調(diào)遞減，

所以貝必=1,符合題意；

ee

當(dāng)a>2時，xe［0,2］時，/(x)<0,則“%)在［。,2］上單調(diào)遞減，

xe(29a］時，f\x)>0,則/(x)在(2,Q］上單調(diào)遞增，

4—a1

所以/Xx)血n=/(2)=r=—,則a=4-e<2,不合題意；

e~e

當(dāng)。=2時，xe［0,2］時，/(x)<0,則/(x)在［0,2］上單調(diào)遞減，

21

所以〃幻m=/(2)==r~,不合題意；

1ne~e

綜上，a=1.

3,(2024浙江紹興?模擬預(yù)測)已知/(x)=ae=x,g(x)=cosx.

(1)討論〃x)的單調(diào)性.

⑵若入。使得/(X。)=g(%),求參數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴當(dāng)aWO時，〃”在(-明+8)上單調(diào)遞減；當(dāng)。>0時,/(尤)在(-8,-Ina)上單調(diào)遞減,在

(-Ina,+oo)上單調(diào)遞增.

⑵(-訓(xùn)

【分析】(1)對〃》)=敏一求導(dǎo)數(shù)，然后分類討論即可；

(2)直接對a>1和aW1分類討論，即可得到結(jié)果.

【詳解】⑴由〃x)=ae=x,知/'(x)=ae「l.

當(dāng)aWO時，<r(x)=aex-l<0-l=-l<0,所以/(x)在(一8,+。)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，對x<-ln“有/''(x)=aer-1<ae-lnu-l=l-l=0,

對x>-lna有/'(x)=ae1-1>ae-lnu-l=l-l=0,

所以〃x)在(-應(yīng)Tna)上單調(diào)遞減，在(-Ina,+s)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)“W0時，”X)在(-8,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，/(無)在(-叫-Ina)上單調(diào)遞減，在(-Ina,+s)上單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)“>1時，由(1)的結(jié)論，知/'(x)在(---In°)上單調(diào)遞減，在(-Ina,+。)上單調(diào)遞增,

所以對任意的x都有/(x)>/(-Ina)=ae-lna+lna=1+lna>1+lnl=1>cosx=g(x),

故/(x)>g(x)恒成立，這表明此時條件不滿足；

當(dāng)aVl時，設(shè)〃(x)=ae*-x-cosx,由于

〃(-同-1)=ae-同t+|a|+l-cos(-|a|-1)>ae^'+同>+|a|=同(1-丁"口)2國(l-e。)=0,

//(0)=cze°-0-cos0=cz-l<0,

故由零點存在定理，知一定存在x°e[-同使得力優(yōu))=0,

故/(xoAgGohae*。-毛-cosXo=〃(%0)=0,從而/伉)=g^),這表明此時條件滿足.

綜上，。的取值范圍是

4.(2024?福建漳州?一模)已知函數(shù)/(x)=alnx-x+a,aeR且awO.

⑴證明：曲線了=/⑺在點(1,7(1))處的切線方程過坐標(biāo)原點.

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.

【答案】(1)證明見解析

(2)答案見解析

【分析】(1)先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得/(X)在(1,7。))處的切線方程，從而得證;

(2)分類討論a<0與a>0,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】⑴因為/(x)=alnx-x+a(x>0),所以八》)，_1=紇

XX

貝|/(l)=qlnl_l+Q=Q_l,/'(I)=a-1,

所以〃X)在(1J⑴)處的切線方程為:了-("1)=(a-1)(X-1),

當(dāng)x=0時，y-{a-\)={a-1)(0-1)=-(a-1),故y=0,

所以曲線>=〃x)在點(L/。))處切線的方程過坐標(biāo)原點.

(2)由(1)得/(無)=3-1=匕，

XX

當(dāng)〃<0時，a-x<Q,則/'(x)<0,故/(%)單調(diào)遞減；

當(dāng)〃>0時，令/'(')=0貝!Jx=Q,

當(dāng)0<x<〃時，f\x)>0,/(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，/'(%)<0,/(%)單調(diào)遞減;

綜上：當(dāng)。<0時，/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)〃〉0時，/(X)在?〃)上單調(diào)遞增，在3+8)上單調(diào)遞減.

5.(2024?山東?二模)已知函數(shù)〃%)=。2氏"-1-血.

⑴當(dāng)。=%時，求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵當(dāng)。>0時，f(x)>2-a,求。的取值范圍.

【答案】(l)f(x)的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+8)

⑵a21

【分析】(1)當(dāng)。=小時，/(x)=xei-x-lnx,x>0,求導(dǎo)得/'(x)=嚀(疣--1),令g(x)=在工--1,

求g'(x)確定g3的單調(diào)性與取值,從而確定/'(x)的零點，得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求/(x),確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)〃x)的最值，即可得。的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)時，/(x)=xe，T-x-lnx,x>0,

則/3=@+1)——14=嚀(疣1-1)，

設(shè)g(x)=xei-l,則g'(x)=(x+l)e*-i>0恒成立,又g(l)=e。-1=0,

所以當(dāng)xe(0,1)時，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(l,+⑹時，/?(x)>0,〃x)單調(diào)遞增,

所以/(x)的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+8);

(2)f\x)=a2(x+l)ex-1--=—(aW-1),

設(shè)/z(x)=/xe，-1,則/!(x)=/(x+l)e，>0,所以力(x)在(0,+動上單調(diào)遞增，

又人(0)=-1<0,

2

所以存在使得〃伉)=0,GPaxoe^-l=O,

當(dāng)xe(O,x°)時，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(xo，+oo)時，/4x)>0,〃龍)單調(diào)遞增，

當(dāng)x=x(,時，/(X)取得極小值，也是最小值，

2xx

所以/(x)2/(X。)=ax0e°-x0-Inx0=1-In(xoe°)=1+2Ina,

所以l+21na22-〃，即。+2Ina-120,

設(shè)/⑷=a+21na-1,易知尸(a)單調(diào)遞增,且/(1)=0,

所以網(wǎng)a"尸⑴,解得"1,

綜上，a>l.

6.(2024?山東?一模)已知函數(shù)/'(x)=lnx+ga(x-l)2.

(1)當(dāng)。=-g時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

3

⑵若函數(shù)g(x)=/(x)-2x+l有兩個極值點X”三，且g(xJ+g(x,)2T-丁，求a的取值范圍.

2a

【答案】⑴增區(qū)間(0,2),減區(qū)間(2,+co)

⑵工+功

【分析】(1)將。=-；代入求導(dǎo)，然后確定單調(diào)性即可；

3

(2)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有兩個根寫出韋達定理，代入g(xJ+g(X2)N-l-3,構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，研究函數(shù)

性質(zhì)進而求出a的取值范圍.

11

【詳解】(1)當(dāng)。=—5時，f(^)=Inx——(x—1)9,x>0,

則/'(X)」一4(xT)=一(x—2)(x+l)

x22x

當(dāng)尤￡(0,2),/(x)>0,/(%)單調(diào)遞增,當(dāng)%￡(2,+8),f\x)<0f/(%)單調(diào)遞減,

所以/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間是(2,+8)；

1

⑵時)=小)口+1-5"-1)9-2x+l,

cix^—(a+2)x+1

所以g(x)=—1~“(%—1)—2=

xx

設(shè)°0)="2一伍+2)工+1,令°(x)=0,由于g(x)有兩個極值點演,馬，

△=(。+2)2-4"。2+4〉0

%+無，="三>0

所以，解得Q〉0.

a

xx=—>0

y2a

,Q+21

由西+工2=-----------XX=一

ax2a

1212

g(xj)+g(x2)=Inx1+—tz-1)-2xj+1+Inx2+—?(x2-1)-2x2+1

=In(/工2)+；Q[(/+々y_2芯12―2(X]+々)+21—2($+々)+2

2

。+22_a+2._a+2.

=1/+L——2-------+2-2-------+2

a2aaaa

a22a

即lnq一<<0,令機(q)=lna-；

11_("I)?

則m\a)=—<0,

a22a22a2

所以加(。)在(0,+s)上單調(diào)遞減，且加(1)=0,

所以故〃的取值范圍是工+8).

7.(2024?湖北?二模)求解下列問題,

(1)若Ax-lNlnx恒成立，求實數(shù)左的最小值;

⑵已知a,b為正實數(shù)，xe[0,l],求函數(shù)g(x)=?%+(l-x)b-a，?曠'的極值.

【答案】(1)1

(2)答案見解析

【分析】（I）求導(dǎo)，然后分發(fā)W0和左＞0討論，確定單調(diào)性，進而得最值;

(2)先發(fā)現(xiàn)g(O)=g⑴=0,當(dāng)a=6時，g(x)=0,當(dāng)0cx<1,a16時，取f=L{x)=tx+\-x-tx,

b

求導(dǎo)，研究單調(diào)性，進而求出最值得答案.

【詳解】⑴記〃x)=Ax-l-lnx(x>0),則需使/(x)NO恒成立,

f\x)=A--(x>0),

當(dāng)晚40時,/'(尤)<0恒成立,則/⑴在(0,+功上單調(diào)遞減，

且在x>l時，/(x)<0,不符合題意，舍去；

當(dāng)后>0時.令/。)=0,解得x=；,

k

則〃X)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以/(x)min=/[；]=Tn：=In左，

yA-yA-

要使b-l2In%恒成立,只要InkNO即可,

解得左之1,所以左的最小值為1；

xlx

(2)g(x)^ax+(1-x)b-a-b~,xG[0,1],a>09b>0,易知g(0)=g⑴=0,

當(dāng)Q=6時，g(x)=ax+a-ax-a=0f此時函數(shù)無極值；

當(dāng)0<%<l,a1b時，^(x)=ax+(1-x)b—b,(—)v—b—x+1—x—|—|,

bb\b)

取q=%,Z>0,取1,L(x\=tx+\-x-tx,t>0,取1,XG(0,1),

b

I/一1

則=當(dāng)f>l時，由7/(x)N0得.J后,由(1)知f-lNlnf,

Int

/_i

當(dāng)/>1時，—>1,

Inf

因為x—Inx,所以12In—,所以InxZl—,即x>0,當(dāng)￡>1時，ln^>1—,

xx%t

t-\t-\一]口"1

所以"—，則也/>1n—>。，所以InJ[,

In/In/1,<1

In/

mg

In—

InIIn/

即〃x)在0,上單調(diào)遞增,在,1單調(diào)遞減.

In/In/

77

(I、

In—

Inia

所以函數(shù)g(x)極大g/b,

InZ~b1

7

,t-1

n--------

當(dāng)0<f<l時，同理有Infe(O,l),

In/、

I%—1In—

ln￡In/

由￡,(x)N0得xv—,即(x)在0,上單調(diào)遞增，在,1上單調(diào)遞減.

InZ

In,InZ

77

(I、

In—

In/_a

所以函數(shù)g(x)極大g/b,

In/~~b,

7

(/-n

In—

In/

綜上可知，當(dāng)4=6時,函數(shù)g(x)沒有極值；當(dāng)加6時，函數(shù)g(x)有唯一的極大值g,其中

In/

7

t=j沒有極小值.

b

【點睛】關(guān)鍵點點睛：取￡=人將兩個參數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為一個參數(shù)的問題，進而求導(dǎo)解答問題.

b

8.(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測)函數(shù)

971兀

/(x)=tanx+sinx--%,--<x<—,g(x)=sin〃x-x〃cosx,xw〃wN+.

(1)求函數(shù)/(%)的極值;

(2)若g(x)〉0恒成立，求〃的最大值.

=3(>/3-7i)3(兀-G)

【答案】⑴極小值為/(1),極大值為=

22

(2)3.

7E

【分析】(1)判斷函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出/(X)在區(qū)間(0,5)上的極值，利用奇偶性即可求得定義

域上的極值.

(2)利用導(dǎo)數(shù)證明當(dāng)〃=1時，g(x)>0恒成立，當(dāng)時，等價變形不等式并構(gòu)造函數(shù)

sinx7i

b(x)=x—,0<x<->利用導(dǎo)數(shù)并按導(dǎo)數(shù)為負為正確定〃的取值范圍，進而確定不等式恒成立與否得

cos〃X"

解.

9717c9

【詳解】(1)函數(shù)=+f(-x)=tan(-x)+sin(-x)-—(-x)=-f(x),

即函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱,

當(dāng)0<x<g時，/(x)=—+sinx--x,求導(dǎo)得：

2cosX2

,_19_2cos3x-9cos2x+2_(2cosx-l)(cosx-2-V6)(cosx-2+V6)

J(x)=------FCOSX--=----------2-------=-------------------2----------------

cosx22cosx2cosx

由于cos%w(0,1),由/'(x)>0,得0<cosx<；,解得5Vx<]，

由/'(x)<0,得:<cosx<l,解得0<x<g,即在(0,9上單調(diào)遞減，在號與上單調(diào)遞增,

因此函數(shù)/(X)在屹)上有極小值嗎)=3*一無),

3(V3-7i)3(7i-V3)

從而/(X)在，極大值為/(-?=

22

(2)當(dāng)〃=1時，g(x)〉0恒成立，即sinx-xcosx〉0恒成立，亦即tanx>x恒成立,

2

令〃(%)=tanx-e(0,g),求導(dǎo)得h\x)=-\——1=>**=tanx>0,

2cosxcosx

TT

則函數(shù)〃(X)在(0,5)上為增函數(shù)，有人(x)>〃(0)=0,因此tanx-x>0恒成立;

sinx

當(dāng)m時'g(x)>°恒成立’即不等式詬『X恒成立,

sinx八兀

令尸㈤=0<x<一

2，求導(dǎo)得:

cos"x

1[1,1+n[1-n

-1—1.-----1.n--

cosx-coswx---cos〃x-(-sinx)-sinxcosnx+—?sinx-cosnx

"x)=1-------------旦~5----------------=1----------%----------

cos"Xcos"X

in+11n+111

21.?-----21/12、--1n~L2

COSx+—?sinXcosnx-cosX——(1-cosX)cos〃x--------COSX

n_n_________________nn

n+ln+1n+1

COS〃XCOSnXCOSnX

———1M_1M1_W_1

令G(x)=cosnx--------cos2x,求導(dǎo)得貝(1G\x)=----cos"x-(-sinx)------2cosx-(-sinx)

nnnn

sinx__、/2n-2./n+l-

=----[r(z2n-2)cosx-(w+1)cosnx\n=------sinx(cosx-------cosnx)x

nn2n—2

2n-2.1—n+l

------smx-cosnx(zcos〃x-------)A,

n2n—2

兀-?-

由〃>l,xe(0,—),得-----sinx-cosnx>0,

2n

-4-1jr

當(dāng);;一時，即〃(3時，G(x)<0,則函數(shù)G(x)在(0二)上單調(diào)遞減，

2n-22

則有G(x)<G(0)=0,即/(x)<0,因此函數(shù)/(尤)在(0中冗上單調(diào)遞減，有丑)<尸(0)=0,即g(x)>0,

當(dāng)廣g<l時，即">3時，存在一個x°e(0,g),使得cos-x0=上±L,

2〃-222n-2

且當(dāng)xe(0,x0)時,G(x)>0,即G(x)在(0,%)上單調(diào)遞增，且G(x)>G(0)=0,

sinx

則尸'(x)>0,于是尸(x)在(0,%)上單調(diào)遞增，因此尸(x)>"0)=0,即^=<x,與g(x)>0矛盾,

y/COSX

所以”的最大值為3.

【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：

①通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

②利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

③根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的

新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮

法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

9.(2024?湖北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=o?_x+ln(x+l),aeR,

(1)若對定義域內(nèi)任意非零實數(shù)3，4，均有,(再)，(/)>0,求°；

x{x2

(2)記=1+]+…+，，證明：??-|-<111(?+1)<^.

2n6

【答案】(1)。=；

(2)證明見解析

【分析】(1)求導(dǎo)可得/'(0)=0,再分aWO與。>0兩種情況分析原函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)。>0時分析極值點

的正負與原函數(shù)的正負區(qū)間，從而確定。的值；

(2)由(1)問的結(jié)論可知，---^<lnfl+lL-,再累加結(jié)合放縮方法證明即可.

n2nvn)n

【詳解】(1)f(x)的定義域為(T,+8),且f(o)=o；

(x)=2QX—1H-------=2ax--------=x12Q1

,因此此(0)=0；

X+1

i.aWO時，2a--^-<0,則此時令/,x)>0有xe(-1,0),令/'(x)<0有xe(0,+oo),

則〃無)在(TO)上單調(diào)遞增，(0,+功上單調(diào)遞減,又〃0)=0,

于是/(x)40,此時令再/<0,有“*)"")<0,不符合題意；

XxX2

ii.〃>0時，/'(%)有零點。和/=--1,

2a

若與<0,即此時令廣(“<0有X￡(/,0),“X)在(須。上單調(diào)遞減，

又/(0)=0,則/(%)>0,令為>0,有〃?［伍)<0,不符合題意；

若為>0,即0<。<；,此時令/'(x)<0有xe(O,x。)，〃x)在(0,無。)上單調(diào)遞減，

又/(o)=o,則〃/)<0,令一1<%<0戶2=%,有"？*)<0,不符合題意；

12

若%=0,即。=5,此時r(x)=；］>0,/(X)在(-1,+⑹上單調(diào)遞增，又/⑼=0,

貝!Jx>0時/(x)〉0,X<0時/(x)<0；貝iJxwO時,也即對再%2。0，>0,

X再馬

綜上，

(2)證：由(1)問的結(jié)論可知，a=0時，/(x)=-x+ln(x+l)<0；

a=5時％>0,/(x)=—%+］口(％+1)>0；

貝!］x>0時，x—x2<lnfx+l)<x,令x=—,有-----^-<ln|—F1|<一,

2nn2n\nJn

gp———<ln(H+l)-lnn<—,

n2nn

11??1

干早-----------z-<mn-InH-1)<-------

J?_12(1)2I)n-\

l--<ln2<l

2

將上述n個式子相加，/〃—；(l+*+…++；

欲證乙一'|<ln(〃+l)<4，只需證0_\<tn一;(l+：+…+』］，只需證1+4+??,+!<|■；

66212nJ2n3

因為-7----2-<---2----=2------------------,

n24141-12H+1J

印、「111J111111^525,曰、十

22n2(3557212w+lJ32n+13

于是得證5，<皿〃+1)</”.

【點睛】方法點睛：

(1)此題考導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用，找到合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)極值點，并確定函數(shù)正負區(qū)間是解此題的關(guān)

鍵；

(2)對累加結(jié)構(gòu)的不等式證明，一般需要應(yīng)用前問的結(jié)論，取特定參數(shù)值，得出不等式累加證明，遇到不

能累加的數(shù)列結(jié)構(gòu)，需要進行放縮證明.

10.(2024?湖南?一模)已知函數(shù)/(切=5山》一如40跖°€1<.

(1)當(dāng)。=1時，求函數(shù)/(X)在x=］處的切線方程；

⑵時；

(i)若〃x)+sin2x>0,求。的取值范圍；

(ii)證明：sin2x-tanx>x3■

【答案】⑴-2y+2"=0.

(2)

(i)a<3(ii)證明見解析

【分析】(1)令。=1時，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，進行計算求出切線方程即可.

(2)(i)設(shè)g(x)=2sinx+tanx-ox,無e(0g)，由g'(x)>0得0V3,再證明此時滿足g(x)>0.

(ii)根據(jù)⑴結(jié)論判斷出尸(耳=5出2%如》-/在*)上單調(diào)遞增，...尸3)>尸(0)=0,即

sin2xtanx>x3.

【詳解】(1)當(dāng)。=1時，/(x)=sinx-x-cosx,f\x)=cosx-(cosx-x-sinx)=x-sinx,==

所以切線方程為：歹-1=；(X-女,即?-2夕+2-5=。.

(2)(i)f(x)+sin2x=sinx--cosx+sin2x>0,

Tl

即tanx-Qx+2sinx>0,xG(0,—),

、兀

設(shè)g(x)=2sinx+tanx-ax,xG(0,—),

gr(x)=2cosx+-\----a=~\—(2cos3x-acos2x+1).

cosxcosx

又???g(0)=0,g'(0)=3-a,g'(0)=3-aN0是g(x)>0的一個必要條件,即aK3.

下證a?3時，滿足g(x)=2sinx+tanx-ax>0,xe(0,-^-),

又g<x)>—\—(2cos3x-3cos2x+1),

cosx

設(shè)(0=2/L3—+1/￡(0,1),h'(t)=6t2-6t=6(—1)<0,h⑴在(0,1)上單調(diào)遞減,

所以〃⑺>〃(1)=0,

又X￡(0,^),COSXG(0,1),gf(x)>0,即g(x)在(0《)單調(diào)遞增.

.,.X￡(o,|o時，g(x)>g(0)=0；

下面證明〃>3時不滿足8(%)=25由工+1@11%一辦〉0,工￡(0,3),，

g'a)=2COSXH----------a，

cosX

令〃(x)=g<x)=2cosxH----\-----a,

COSX

Lt7,/、c.2sinx仁.「1八

貝IJ/(x)=-2sinxH-----7—=2sinx-----r----1,

cosx(cosX)

xG?0,—|,.\sinx>0,-\----1>0,

I27cos3x

???h\x)>0,.-.h(x)=g\x)在(。高為增函數(shù)，

令不滿足萬),cosx0=,

貝1Jg'Go)=2cos/+——\------a=2COSX。+Q-Q>0,

、cosxQ

又月(0)=3-。<0,.?.切￡(0,x0),使得g《J=0,

當(dāng)X￡(o,xj時,g'a)<g'(Xi)=0,

???此時g(x)在(0,再)為減