寧波市2023學(xué)年第二學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)試題及答案

寧波市2023學(xué)年第二學(xué)期期末考試

高二數(shù)學(xué)試題卷

本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、學(xué)校、準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡

±o將條形碼橫貼在答題卡的“貼條形碼區(qū)

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑;

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。所有答案必須寫在答題卡上，寫在試卷上無(wú)

效。

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)

位置上：如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不

按以上要求作答的答案無(wú)效。

4.考生必須保持答題卡的整潔，不要折疊、不要弄破。

選擇題部分（共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.已知集合。={1,2,3,4,5},Z={1,2,4},5={1,5},貝！1(令()

A.0B.{1}C.網(wǎng)D.{1,5}

z=l+2i,則工的虛部為（

2.已知復(fù)數(shù))

z

22.2.2

A.-B.-1C.----1D.----

5555

4八r/Sina+cosa

3.已知角a的終邊過(guò)點(diǎn)(-4,3),則m=()

117

A.——B.——C.D.-

2343

u

4.已知d9B為單位向量，貝1]”是\a-21+B”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.對(duì)于直線加，〃和平面a,0,下列說(shuō)法簿誤的是（）

A.若加〃a,n//a,m,〃共面，則加〃〃

B.若加ua,n//a,m,〃共面，則加〃〃

C.若加_L/?,豆a〃B,則加_La

D.若加_La,且加〃則

22

6.^Inx-lny>y-xf貝U()

A.ex~y>1B.ex~y<1C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

7.袋子中有幾個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中4個(gè)為紅球，其余均為黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2

個(gè)球，已知摸出的2個(gè)球都是紅球的概率為工，則兩次摸到的球顏色不相同的概率為()

6

54-513

A.—B.—C.-D.—

189918

8.頤和園的十七孔橋，初建于清乾隆年間；永定河上的盧溝橋，始建于宋代；四川達(dá)州的大風(fēng)高拱橋，修

建于清同治7年，這些橋梁屹立百年而不倒，觀察它們的橋梁結(jié)構(gòu)，有一個(gè)共同的特點(diǎn)，那就是拱形結(jié)構(gòu),

這是懸鏈線在建筑領(lǐng)域的應(yīng)用。懸鏈線出現(xiàn)在建筑領(lǐng)域，最早是由十七世紀(jì)英國(guó)杰出的科學(xué)家羅伯特?胡

克提出的，他認(rèn)為當(dāng)懸鏈線自然下垂時(shí)，處于最穩(wěn)定的狀態(tài)，反之如果把懸鏈線反方向放置，它也是一種

穩(wěn)定的狀態(tài)，后來(lái)由此演變出了懸鏈線拱門，其中雙曲余弦函數(shù)就是一種特殊的懸鏈線函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)

式為cos/z(x)=e'；e:相應(yīng)的雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為sin/z(x)=三色:.若關(guān)于x的不等式

4加以)5〃2(%)一45吊〃(2X)-1>0對(duì)任意的工>0恒成立，則實(shí)數(shù)冽的取值范圍為()

A.(2,+8)B.[2,+8)C.,+coJD.—,+coj

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知平面向量1=(1,2),b=[-2,x),貝U()

A.當(dāng)x=2時(shí)，a+b=(-1,4)B.若G〃B,則x=-l

c.若萬(wàn),則x=lD.若1與B的夾角為針角，貝！|xe(—00,—4)U(—4,1)

X

m，2-1

10.已知函數(shù)/(x)=2'+]是奇函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.m=lB.=無(wú)解

C./(x)是減函數(shù)D./(2024)+/(-2023)>0

—?1——■——.1——.

11.如圖，點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為3的正方體48CD—481GA的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AXE=-AXBX,AXF=-AxDx,

與「〃平面/ER則下列說(shuō)法正確的是()

G

A.三棱錐Z-PEE的體積是定值B.存在一點(diǎn)尸，使得

D.五面體防-的外接球半徑為交五

C.動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為5挺+2JHJ

6

非選擇題部分（共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

log3x,0<x<l

12.設(shè)/（》）=1，則/（/（2））=.

._1

J+X

13.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足》2+4/—29=1,則成的最大值為.

14.在△/8C中，a,6,c分別是/,B,C所對(duì)的邊，b2-a2=-c2,當(dāng)tan2+取得最小值時(shí)，角

3tan5

C的大小為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15,（13分）已知單位向量,，。2滿足q,C2=g.

（1）求恒+3e21；

（2）求,-3%在q上的投影向量（用耳表示）.

a）>Q,H<|）的部分圖象如圖，P《,0）和

16.（15分）函數(shù)/（X）=Zsin（Gx+0）（4〉0,

均在函數(shù)/（x）的圖象上，且。是圖象上的最低點(diǎn).

（1）求函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間；

1

（2）若/（X。）=,x0ej,-|,求cos胃的值.

17.（15分）如圖，在三棱錐P—中，ZABC=ZPBC=45°,PA=C,AB=BC=PB=2,

40L8C,點(diǎn)。在5c上，點(diǎn)￡為我的中點(diǎn).

（1）求證：平面尸40_L平面依C；

（2）求BE與平面尸2。所成角的正弦值.

18.（17分）為紀(jì)念五四青年運(yùn)動(dòng)105周年，進(jìn)一步激勵(lì)廣大團(tuán)員青年繼承和發(fā)揚(yáng)五四精神，寧波市教育局

組織中小學(xué)開(kāi)展形式多樣、內(nèi)容豐富、彰顯青年時(shí)代風(fēng)貌的系列主題活動(dòng).某中學(xué)開(kāi)展“讀好紅色經(jīng)典，

爭(zhēng)做強(qiáng)國(guó)少年”經(jīng)典知識(shí)競(jìng)賽答題活動(dòng)，現(xiàn)從該校參加競(jìng)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)選取100份學(xué)生的答卷作為

樣本，所有得分都分布在［0,140］,將得分?jǐn)?shù)據(jù)按照［0,20）,［20,40）,…，［120,140］分成7組，得到如

圖所示的頻率分布直方圖.

（1）估計(jì)該中學(xué)參加競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的平均分（注：同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）;

（2）估計(jì)該中學(xué)參加競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的第75百分位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；

（3）若競(jìng)賽得分100分及以上的學(xué)生視為“強(qiáng)國(guó)少年”.根據(jù)選取的100份答卷數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)；競(jìng)賽得分在

［100,120）內(nèi)學(xué)生的平均分和方差分別為110和9,競(jìng)賽得分在［120,140］內(nèi)學(xué)生的平均分和方差分別為128

和6,請(qǐng)估計(jì)該中學(xué)“強(qiáng)國(guó)少年”得分的方差.

19.（17分）己知函數(shù)/（X）=/一4Mx+3/.

5

（1）當(dāng)“=1時(shí)，求/，并判斷函數(shù)/（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

<2\2

（2）當(dāng)//￡時(shí)，/（X）有三個(gè)零點(diǎn)項(xiàng)，x2,Xj（X]<X,<&）,i己-----=^,z=1,2,3.證

X

\i3,7

明:

①2<$+2X2+3X3<5；

o11

②%+,

o1

32

參考公式：（X-X1）（X-X2）（X-X3）=X-（%1+x2+X3）x+（X1X2+X2X3+%3項(xiàng)）X-X1X2X3.

寧波市2023學(xué)年第二學(xué)期期末考試

高二數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.C2.D3.B4.C5.A

6.A7.C8.B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.ACD10.ABD11.ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

1兀

12.-113.—14.-

22

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.（13分）

解：（1）［2,+3e2|=Jg+3e?|=V4+9+6=y/19.....6分

（2）4-3瓦在弓上的投影向量為13分

16.（15分）

解：（1）由題得Z=JL之7=3,故7=4,

—+2kn，左eZ,

42

故°=一^+2版，k&Z,網(wǎng)<],故（p

2

兀/兀C74k,即/（x）單調(diào)遞增區(qū)間為—；+4左1+4左，

--+2br<-x------V—F2左兀=>—-+4k<x<-+

223233

左eZ.9分

即sinl|x-^458'則會(huì)。蘭

（2）由f（x）=--0，又me,故

0533如

71713

5

V33+4百?〈八

cosl|x71兀71兀7117171

0=cos+—=cos屋廠sm7。一二---二..........157T

32210

17.（15分）

解：（1）;AB=BC=PB,ZPBC=ZABC=45°,BD=BD,：.APBD咨A4BD.AD工BC,

：.PD1BC."：AD,PDu平面APD,。=￡>,；.5CJ_平面：BCu平面P8C,...平

面產(chǎn)401.平面PBC.

（2）過(guò)點(diǎn)/作P￡>的垂線交PD于M,過(guò)點(diǎn)￡作/M的平行線交PD于點(diǎn)N,連接BN.

?.?平面PBCn平面尸4D=PD,ZMu平面AMLPD,

ZM_1_平面P3C.EN//AM,￡N_L平面尸2C,/E3N就是AE■與平面P3C所成的角.：

ZABD=ZPBD=45°,AD=PD=41.

?：PA=4i,.?.△APD為等邊三角形，AAM=—

2

：￡為4尸的中點(diǎn)，,EN=工=諉.在△E43中易知8E=—,/.sinAEBN=—=￡=巨.

242BE2V714

721

因此，8E與平面必C所成角的正弦值為……15分

14

18.（17分）

解：（1）

（0.0025x10+0.0050x30+0.0100x50+0.0175x70+0.0075x90+0.0050x110+0.0025x130）

x20=69（分），據(jù)此估計(jì)該校參加競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的平均分約為69分.……5分

（2）前4組頻率和為（0.0025+0.0050+0.0100+0.0175）x20=0.7,第5組頻率為0.0075x20=0.15,

故第75百分位數(shù)在［80,100）內(nèi)，即第75百分位數(shù)為80+x20=86.7（分）.據(jù)此估計(jì)該校參

加競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的第75百分位數(shù)約為86.7分.……10分

（3）競(jìng)賽得分在［100,120）內(nèi)學(xué)生的答卷數(shù)為0.0050x20x100=10；分?jǐn)?shù)記為西，/，…，/，其平

均數(shù)記為無(wú)，方差記為4；競(jìng)賽得分在［120,140）內(nèi)學(xué)生的答卷數(shù)為0.0025x20x100=5；分?jǐn)?shù)記為％,

%，…，八，其平均數(shù)記為歹，方差記為學(xué)；把“強(qiáng)國(guó)少年”得分的平均數(shù)記為彳，方差記為/.根據(jù)

方差的定義，總樣本方差為：

52=1￡（西-4+￡回-彳）2=\101；+￡一［2］+5h+5-邙.（*）

由元=110,歹=128,根據(jù)按比例分配分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，可得總樣本

10_5_10x110+5x128

平均數(shù)為:----------XH---------V=-------------------------------=116.

10+510+5.15

把已知的平均數(shù)和方差的取值代入(*)可得：52=—110[9+(110-116)21+5[6+(128-116)215=80.

據(jù)此估計(jì)該學(xué)校“強(qiáng)國(guó)少年”得分的方差約為80.……17分

19.（17分）

解：(1)法1：當(dāng)瓦=1時(shí)，/(x)=/—4x+3,所以1.令/(x)=0可得(x—1)卜2+x—3)=0,

-1+、府

所以x=l或,所以函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

法2：當(dāng)i/=l時(shí)，/(X)=X3-4X+3,所以又/(一3)=—12<0,/(0)=