江西省吉安市遂川中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

遂川中學(xué)2026屆高二年級第一學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷命題人：羅思煒審題人：劉存仁一、單選題（每題5分，共40分）1.若是第三象限角，且，則的值為（）A. B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】由兩角差的正弦公式、平方關(guān)系依次得，，由半角公式即可求解.【詳解】由已知及正弦公式得，，是第三象限角，．．故選：A.2.從圓外一點(diǎn)向這個(gè)圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為（

）A. B. C. D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)，結(jié)合二倍角公式即可求解.【詳解】由得，所以圓心為，半徑為，設(shè)切點(diǎn)分別為，連接，則為兩切線的夾角，由于，所以，由二倍角公式可得，故選：B.3.若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到的圖象，則圖象的對稱中心的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等變換、函數(shù)平移變換法則得的表達(dá)式，利用整體代入法即可求解.【詳解】，由題意得.令，得，所以圖象的對稱中心的坐標(biāo)是.故選：C.4.已知橢圓C：的焦點(diǎn)F1,0，直線l：，點(diǎn)，線段AF交C于點(diǎn)B，若，則等于（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】利用給定條件求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合平面向量模長公式求解即可.【詳解】設(shè)，，又，所以，，由，即，所以又點(diǎn)B在橢圓C上，所以，解得，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，故C正確.故選：C5.在四棱錐中，底面為平行四邊形，E為線段AD上靠近A的三等分點(diǎn)，F(xiàn)為線段上一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，（）A.3 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面平行性質(zhì)定理得出線線平行，再根據(jù)平行得出比例關(guān)系即可.【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，連接因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫠?，所以，因?yàn)闉锳D的三等分點(diǎn)，則即.故選：D.6.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，若動點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓上(正方形ABCD內(nèi)部，含邊界)，則的取值范圍為（）A.0,4 B.0,4 C.0,2 D.0,2【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，再由平面向呈的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)的有界性計(jì)算即可求得.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，則以AB為直徑的半圓為，因?yàn)閯狱c(diǎn)P在以AB為直徑的半圓上，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，即的取值范圍?,4.故選：B7.已知過拋物線焦點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，軸上一點(diǎn)滿足，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用給定條件找到變量之間的關(guān)系，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】設(shè)，，，聯(lián)立方程組得到，消可得，解得，因?yàn)椋?，而，而，解得，此時(shí)，，，故D正確.故選：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解析幾何，解題關(guān)鍵是合理利用給定條件消去變量，然后利用得平面向量的坐標(biāo)表示結(jié)合韋達(dá)定理到所要求的定值即可．8.在銳角中，角的對邊分別為為的面積，，且，則的周長的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用面積公式和余弦定理可得，然后根據(jù)正弦定理及三角變換可得，再根據(jù)三角形是銳角三角形，得到的范圍，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域的問題.【詳解】，，∴，即，為銳角，∴，又，由正弦定理可得，所以，其中，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，則，即：，所以，又，∴，即，故的周長的取值范圍是.故選：D.二、多選題（每題6分，共18分）9.已知直線l：，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線l的一個(gè)法向量為B.若直線m：，則C.點(diǎn)到直線l的距離是2D.過與直線l平行直線方程是【答案】CD【解析】【分析】對于A：根據(jù)直線方向向量與斜率之間的關(guān)系分析判斷；對于B：根據(jù)直線垂直分析判斷；對于C：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式運(yùn)算求解；對于D：根據(jù)直線平行分析求解.【詳解】對于A，因?yàn)橹本€l：的斜率，但，可知不為直線l的一個(gè)法向量，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)橹本€m：的斜率，且，所以直線l與直線m不垂直，故B錯(cuò)誤；對于C，點(diǎn)到直線l的距離，故C正確；對于D，過與直線l平行的直線方程是，即，故D正確．故選：CD.10.設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，動點(diǎn)滿足：，則下列說法正確的有（）A.點(diǎn)的軌跡方程為B.C.存在4個(gè)點(diǎn)，使得的面積為D.【答案】AD【解析】【分析】應(yīng)用橢圓定義判斷A，B，D，應(yīng)用面積公式判斷個(gè)數(shù)判斷C.【詳解】對于A，由得，，所以點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，且，即，則，故點(diǎn)Px,y的軌跡方程為，A正確對于B，D，將-1,1的坐標(biāo)代入橢圓方程左邊得，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，如圖所示，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)處時(shí)，等號成立，故B錯(cuò)誤；，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)處時(shí)，等號成立，故D正確.對于C，，其中為點(diǎn)到直線的距離，若，則，由于當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，取得最大值3，故滿足條件的點(diǎn)只有一個(gè)，C錯(cuò)誤.故選：AD.11.中，角所對的邊為下列敘述正確的是（）A.若，則一定銳角三角形B.若，則一定是等邊三角形C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】【分析】由余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A；由正弦定理及正切函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；由余弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；由余弦定理，基本不等式及余弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D．【詳解】對于A選項(xiàng)，在中，因?yàn)?，又，所以，即為銳角，但題中沒有告訴最大，所以不一定是銳角三角形，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，，由正弦定理得，整理得，即一定是等邊三角形，故B正確；對于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?,π單調(diào)遞減，所以，故C正確；對于D選項(xiàng)，由，得，所以，由余弦定理可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則當(dāng)，時(shí)，，即角可以大于，故D錯(cuò)誤；故選：BC．三、填空題（每題5分，共15分）12.已知，且，則與夾角的余弦值為：______．【答案】##【解析】【分析】先對化簡求出，再利用向量的夾角公式求解即可.【詳解】由，得，則，因?yàn)?，所以，解得，所以，即與夾角的余弦值為.故答案為：13.設(shè)向量，，.（1）若，則的值為_________；（2）設(shè)函數(shù)，則的最大值為_________.【答案】①.②.##【解析】【分析】根據(jù)向量的模長相等求出正弦進(jìn)而求出角，向量運(yùn)算再應(yīng)用三角恒等變換求出最大值.【詳解】（1）由，，又，得.又，從而，所以.（2）因?yàn)椋援?dāng)，即時(shí)，取得最大值，又，所以當(dāng)，時(shí)，，所以的最大值為.故答案為：；.14.已知雙曲線：與橢圓：有公共的焦點(diǎn)，，且與在第一象限的交點(diǎn)為M，若的面積為1，則a的值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線和橢圓的定義求解、的長，再結(jié)合余弦定理求出，進(jìn)而得到，再根據(jù)面積公式求解即可.【詳解】設(shè)，分別為左、右焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓以及雙曲線定義可得所以，，所以，由余弦定理可得，所以，故，因此的面積為，解得．故答案為：.四、解答題（15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分）15.已知函數(shù)最小正周期為,且.（1）求函數(shù)的解析式并分別寫出取最大值與最小值時(shí)相應(yīng)的取值集合；（2）求函數(shù),的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】（1）當(dāng)取得最小值時(shí),的取值集合為當(dāng)取得最大值時(shí),的取值集合為（2）和【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期公式，代入運(yùn)算得結(jié)合,求得從而可得再根據(jù)正弦型函數(shù)的最值性質(zhì)即可求解.(2)由(1)得根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】的最小正周期為,又當(dāng)即時(shí),取得最小值此時(shí)的取值集合為當(dāng)即時(shí),取得最大值此時(shí)的取值集合為【小問2詳解】依題意若單調(diào)遞減,則即令得其單調(diào)遞減區(qū)間為和16.如圖，在中，已知，，，N是的中點(diǎn)，，設(shè)與相交于點(diǎn)P．（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以為基底表示，利用平面向量數(shù)量積公式求其夾角余弦即可；（2）利用平面向量共線的充要條件，結(jié)合平面向量基本定理，根據(jù)待定系數(shù)法計(jì)算即可.小問1詳解】以為基底，設(shè)，則，所以，同理，，則；【小問2詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，不妨設(shè)，同理有三點(diǎn)共線，不妨設(shè)，則有.17.如圖，在四棱錐底面，．（1）證明：平面平面;（2）求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）計(jì)算，，根據(jù)勾股定理得到，再證明平面，得到答案.（2）作，垂直為，連接，確定為與平面所成的角，計(jì)算，得到答案.【小問1詳解】，，，則，．中，，故，故，又因?yàn)榈酌妫酌?，所以，又因?yàn)?，平面，平面，底面，故平面平面，另解：平面，平面，故，過做的垂線，垂足為，連接，則，，，，在中，，，即，又，平面，故平面，平面，故平面平面，【小問2詳解】作，垂直為，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，故為與平面所成的角，中，，，所以直線與平面所成角的正弦值為．18.已知橢圓的離心率為，橢圓的左，右焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓交于另一點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合離心率及四邊形面積列式求出，即可求出橢圓的方程.（2）聯(lián)立直線l與橢圓的方程得到，再利用切割法得到，化簡得到，進(jìn)而利用基本不等式求得面積的最大值.【小問1詳解】設(shè)橢圓的焦距為，則，即，則，，由的左，右焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，得，即，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】顯然，設(shè)，則，由消去得，，則，又，而與同號，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.19.在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)為，點(diǎn)在線段上，且滿足.（1）求證：；（2）當(dāng)平面平面時(shí)，①求點(diǎn)到平面的距離；②若為的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）①；②【解析】【分析】（1）連接，，根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，據(jù)此即可證明；（2）①過點(diǎn)作于，連，，令，在中利用勾股定理求出，據(jù)此即可求出點(diǎn)到平面的