北京師大附中2025屆數(shù)學(xué)八上期末質(zhì)量檢測試題含解析

北京師大附中2025屆數(shù)學(xué)八上期末質(zhì)量檢測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（每題4分，共48分）1．用反證法證明命題：“如圖，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，證明的第一個步驟是（）A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EFC．已知AB∥EF D．假定AB不平行于EF2．若x、y的值均擴大為原來的2倍，則下列分式的值保持不變的是A． B． C． D．3．實數(shù)是（）A．整數(shù) B．分?jǐn)?shù) C．有理數(shù) D．無理數(shù)4．甲、乙兩人在直線跑道上同起點、同終點、同方向勻速跑步500m，先到終點的人原地休息．已知甲先出發(fā)2s．在跑步過程中，甲、乙兩人的距離y(m)與乙出發(fā)的時間t(s)之間的關(guān)系如圖所示，給出以下結(jié)論：①a＝8；②b＝92；③c＝1．其中正確的是（）A．①②③ B．僅有①② C．僅有①③ D．僅有②③5．現(xiàn)有兩根木棒，長度分別為5cm和17cm，若不改變木棒的長度，要釘成一個三角形木架，則應(yīng)在下列四根木棒中選取（）A．24cm的木棒 B．15cm的木棒 C．12cm的木棒 D．8cm的木棒6．若函數(shù)是正比例函數(shù)，則的值為（）A．1 B．0 C． D．7．若分式等于零，則的值是（）A． B． C． D．8．如圖，已知，.若要得到，則下列條件中不符合要求的是（）A． B． C． D．9．4的算術(shù)平方根是（）A．-2 B．2 C． D．10．如圖，有下列四種結(jié)論：①AB＝AD；②∠B＝∠D；③∠BAC＝∠DAC；④BC＝DC．以其中的2個結(jié)論作為依據(jù)不能判定△ABC≌△ADC的是()A．①② B．①③ C．①④ D．②③11．如圖，，，則圖中等腰三角形的個數(shù)是（）A．5 B．6 C．8 D．912．下列函數(shù)中，自變量x的取值范圍是x≥3的是（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，中，平分，平分，若，則__________14．已知與成正比例，且時，則當(dāng)時，的值為______．15．已知點M(1,a)和點N(2,b)是一次函數(shù)y=-2x+1圖象上的兩點，則a與b的大小關(guān)系是_________．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知點，.作，使與全等，則點坐標(biāo)為_______________．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（1，3），點B的坐標(biāo)為（2，-1），點C在同一坐標(biāo)平面中，且△ABC是以AB為底的等腰三角形，若點C的坐標(biāo)是（x，y），則x、y之間的關(guān)系為y=______（用含有x的代數(shù)式表示）．18．2015年諾貝爾生理學(xué)或醫(yī)學(xué)獎得主中國科學(xué)家屠呦呦，發(fā)現(xiàn)了一種病毒的長度約為0.00000456毫米，則數(shù)據(jù)0.00000456用科學(xué)記數(shù)法表示為_________.三、解答題（共78分）19．（8分）某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動，過程如下：設(shè).現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線、上．活動一、如圖甲所示，從點開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點處互相垂直（為第1根小棒）數(shù)學(xué)思考：（1）小棒能無限擺下去嗎？答：（填“能”或“不能”）（2）設(shè)，求的度數(shù)；活動二：如圖乙所示，從點開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中為第一根小棒，且．?dāng)?shù)學(xué)思考：（3）若已經(jīng)擺放了3根小棒，則，，；（用含的式子表示）（4）若只能擺放5根小棒，則的取值范圍是．20．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(-3，3)，B(-4，-2)，C(-1，-1)．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A＇B＇C＇，并寫出點C＇的坐標(biāo)________；（2）在y軸上畫出點P，使PA+PC最小，并直接寫出P點坐標(biāo)．21．（8分）在如圖的方格中，每個小正方形的邊長都為1，△ABC的頂點均在格點上。在建立平面直角坐標(biāo)系后，點B的坐標(biāo)為（－1，2）．（1）把△ABC向下平移8個單位后得到對應(yīng)的△，畫出△，并寫出坐標(biāo)；（2）以原點O為對稱中心，畫出與△關(guān)于原點O對稱的△，并寫出點的坐標(biāo)．22．（10分）如圖1，已知直線AO與直線AC的表達式分別為：和．（1）直接寫出點A的坐標(biāo)；（2）若點M在直線AC上，點N在直線OA上，且MN//y軸，MN=OA，求點N的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點B在x軸正半軸上，當(dāng)△BOC的面積等于△AOC的面積一半時，求∠ACO+∠BCO的大?。?3．（10分）如圖（1）將長方形紙片ABCD的一邊CD沿著CQ向下折疊，使點D落在邊AB上的點P處．（1）試判斷線段CQ與PD的關(guān)系，并說明理由；（2）如圖（2），若AB=CD=5，AD=BC=1．求AQ的長；（1）如圖（2），BC=1，取CQ的中點M，連接MD，PM，若MD⊥PM，求AQ（AB+BC）的值．24．（10分）在矩形ABCD中，，點G，H分別在邊AB，DC上，且HA=HG，點E為AB邊上的一個動點，連接HE，把△AHE沿直線HE翻折得到△FHE．（1）如圖1，當(dāng)DH=DA時，①填空：∠HGA=度；②若EF∥HG，求∠AHE的度數(shù)，并求此時a的最小值；（2）如圖3，∠AEH=60°，EG=2BG，連接FG，交邊FG，交邊DC于點P，且FG⊥AB，G為垂足，求a的值．25．（12分）有兩棵樹，一棵高9米，另一棵高4米，兩樹相距12米.一只小鳥從一棵樹的樹梢（最高點）飛到另一棵樹的樹梢（最高點），問小鳥至少飛行多少米？26．若3a=6，9b=2，求32a+4b的值；（2）已知xy=8，x﹣y=2，求代數(shù)式x3y﹣x2y2+xy3的值．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【解析】根據(jù)要證CD∥EF，直接假設(shè)CD不平行于EF即可得出．【詳解】解：∵用反證法證明命題：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF．∴證明的第一步應(yīng)是：從結(jié)論反面出發(fā)，假設(shè)CD不平行于EF．故選B．點評：此題主要考查了反證法的第一步，根據(jù)題意得出命題結(jié)論的反例是解決問題的關(guān)鍵．2、A【分析】據(jù)分式的基本性質(zhì)，x，y的值均擴大為原來的2倍，求出每個式子的結(jié)果，看結(jié)果等于原式的即是．【詳解】解：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，可知若x，y的值均擴大為原來的2倍，A、，B、，C、，D、，故選A．【點睛】本題考查的是分式的基本性質(zhì)，即分子分母同乘以一個不為0的數(shù)，分式的值不變．此題比較簡單，但計算時一定要細(xì)心．3、D【解析】根據(jù)無理數(shù)的定義：無理數(shù)，也稱為無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫作兩整數(shù)之比，即可判定.【詳解】由題意，得是無理數(shù)，故選：D.【點睛】此題主要考查對無理數(shù)的理解，熟練掌握，即可解題.4、A【詳解】解：∵乙出發(fā)時甲行了2秒，相距8m，∴甲的速度為8/2＝4m/s．∵100秒時乙開始休息．∴乙的速度是500/100＝5m/s．∵a秒后甲乙相遇，∴a＝8/(5－4)＝8秒．因此①正確．∵100秒時乙到達終點，甲走了4×(100＋2)＝408m，∴b＝500－408＝92m．因此②正確．∵甲走到終點一共需耗時500/4＝125s，，∴c＝125－2＝1s．因此③正確．終上所述，①②③結(jié)論皆正確．故選A．5、B【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，確定第三邊的取值范圍，即可完成解答.【詳解】解：由三角形的三邊關(guān)系得：17-5＜第三邊＜17+5，即第三邊在12到22之間故答案為B.【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用，找到三角形三邊關(guān)系與實際問題的聯(lián)系是解答本題的關(guān)鍵.6、A【分析】先根據(jù)正比例函數(shù)的定義列出關(guān)于k的方程組，求出k的值即可．【詳解】∵函數(shù)y=（k+1）x+k2﹣1是正比例函數(shù)，∴，解得：k=1．故選A．【點睛】本題考查的是正比例函數(shù)的定義，即形如y=kx（k≠0）的函數(shù)叫正比例函數(shù)．7、C【分析】根據(jù)分式的值為零的條件可以求出的值，分式的值是1的條件是：分子為1，分母不為1．【詳解】∵且，解得：，故選：C．【點睛】本題考查了分式的值為零的條件：分式的分子為1，分母不為1，則分式的值為1．8、C【分析】由已知，，故只需添加一組角相等或者BC=EF即可.【詳解】解：A：添加，則可用AAS證明；B：添加，則可用ASA證明；C：添加，不能判定全等；D：添加，則，即BC=EF，滿足SAS，可證明.故選C.【點睛】本題主要考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，注意ASS不能判定全等．9、B【解析】試題分析：因，根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可得4的算術(shù)平方根是1．故答案選B．考點：算術(shù)平方根的定義．10、A【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL依次對各選項分析判斷即可．【詳解】A、由AB=AD，∠B=∠D，雖然AC=AC，但是SSA不能判定△ABC≌△ADC，故A選項與題意相符；B、由①AB=AD，③∠BAC=∠DAC，又AC=AC，根據(jù)SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B選項與題意不符；C、由①AB=AD，④BC=DC，又AC=AC，根據(jù)SSS，能判定△ABC≌△ADC，故C選項與題意不符；D、由②∠B=∠D，③∠BAC=∠DAC，又AC=AC，根據(jù)AAS，能判定△ABC≌△ADC，故D選項與題意不符；故選A．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．11、C【詳解】解：∵，∴∴,∴△ABC，△ABD，△ACE，△BOC，∴△BEO，△CDO，△BCD，△CBE是等腰三角形．∴圖中的等腰三角形有8個．故選D．12、D【解析】求函數(shù)自變量的取值范圍，就是求函數(shù)解析式有意義的條件，根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)和分式分母不為0的條件，要使各函數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須：A、分式有意義，x﹣1≠0，解得：x≠1；B、二次根式和分式有意義，x﹣1＞0，解得x＞1；C、函數(shù)式為整式，x是任意實數(shù)；D、二次根式有意義，x﹣1≥0，解得x≥1．故選D．二、填空題（每題4分，共24分）13、120°【分析】先求出∠ABC+∠ACB，根據(jù)角平分線求出∠PBC、∠PCB的度數(shù)和，再根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠BPC.【詳解】∵,∴∠ABC+∠ACB=120，∵平分，平分，∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=60，∴∠BPC=180-(∠PBC+∠PCB)=120°,故答案為：120°.【點睛】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，題中利用角平分線求出∠PBC、∠PCB的度數(shù)和是解題的關(guān)鍵.14、【分析】先將正比例函數(shù)表達式設(shè)出來，然后用待定系數(shù)法求出表達式，再將y=5代入即可求出x的值．【詳解】∵與成正比例∴設(shè)正比例函數(shù)為∵時∴∴當(dāng)時，解得故答案為：．【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法和求自變量的值，掌握待定系數(shù)法求出函數(shù)的表達式是解題的關(guān)鍵．15、a>b【詳解】解：∵一次函數(shù)y=﹣2x+1中k=﹣2，∴該函數(shù)中y隨著x的增大而減小，∵1＜2，∴a＞b．故答案為a＞b．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．16、（1,0）、（1,2）、（﹣1,2）【分析】根據(jù)全等三角形的判定和已知點的坐標(biāo)畫出滿足要求圖形，即可得出答案．【詳解】如圖所示，有三個點符合要求，∵點A（0,2），點B（﹣1,0）∴AO＝2，BO＝1∵△AOB≌△AOC∴AO＝AO＝2，BO＝CO＝1∴C?（1,0）、C?（1,2）、C?（﹣1,2）故答案為：（1,0）、（1,2）、（﹣1,2）【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)：兩三角形全等，對應(yīng)邊相等和點到坐標(biāo)軸的距離與點的坐標(biāo)的關(guān)系：到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)．掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵．17、【分析】設(shè)的中點為，過作的垂直平分線，通過待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)表達式，根據(jù)可以得到直線的值，再求出中點坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)表達式即可．【詳解】解：設(shè)的中點為，過作的垂直平分線∵A(1，3)，B(2，-1)設(shè)直線的解析式為，把點A和B代入得：解得：∴∵D為AB中點，即D(，)∴D(，)設(shè)直線的解析式為∵∴∴∴把點D和代入可得：∴∴∴點C(x，y)在直線上故答案為【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達式，根據(jù)題意作出中垂線，再用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．18、【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【詳解】解：數(shù)據(jù)0.00000451用科學(xué)記數(shù)法表示為4.51×10-1．故答案為：．【點睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．三、解答題（共78分）19、（1）能；（2）θ＝22.5°；（3）2θ，3θ，4θ；（4）15°≤θ＜18°．【分析】（1）由小棒與小棒在端點處互相垂直，即可得到答案；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，即可得到答案；（3）由，得∠AA2A1=∠A2AA1=θ，從而得∠AA2A1+∠A2AA1=2θ，同理得∠A2AA1+=θ+2θ=3θ，∠A2AA1+θ+3θ=4θ；（4）根據(jù)題意得：5θ＜90°且6θ≥90°，進而即可得到答案．【詳解】（1）∵小棒與小棒在端點處互相垂直即可，∴小棒能無限擺下去，故答案是：能；（2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3，∴∠A2A1A3＝45°，∴∠AA2A1+θ＝45°，∵AA1＝A1A2∴∠AA2A1＝∠BAC=θ，∴θ＝22.5°；（3）∵，∴∠AA2A1=∠A2AA1=θ，∴∠AA2A1+∠A2AA1=2θ，∵，∴=2θ，∴∠A2AA1+=θ+2θ=3θ，∵，∴3θ，∴∠A2AA1+θ+3θ=4θ，故答案是：2θ，3θ，4θ；（4）由第（3）題可得：5θ，6θ，∵只能擺放5根小棒，∴5θ＜90°且6θ≥90°，∴15°≤θ＜18°．故答案是：15°≤θ＜18°．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，掌握等腰三角形的底角相等且小于90°，是解題的關(guān)鍵．20、（1）見解析，點C＇的坐標(biāo)是(1，－1)；（2）見解析，點P的坐標(biāo)是(0，0)【分析】（1）直接利用關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)得出對應(yīng)點的位置進而得出答案；（2）利用軸對稱求最短路線的方法，連接AC＇交y軸于P點，P點就是所求的點，觀察圖形即可得出P點的坐標(biāo)．【詳解】（1）分別作A、B、C關(guān)于y軸的對稱點A＇、B＇、C＇，連接A＇B＇、A＇C＇、B＇C＇即可得△A＇B＇C＇，△A＇B＇C＇就是所求的圖形．由圖可得：點C＇的坐標(biāo)是(1，－1)（2）連接AC＇交y軸于P點，P點就是所求的點．觀察圖形可得：點P的坐標(biāo)是(0，0)【點睛】此題主要考查了軸對稱變換，正確得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．21、（1）畫圖見解析；A1(-5,-6)；（2）畫圖見解析；B2(1,6)．【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C向下平移8個單位的對應(yīng)點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出點A1坐標(biāo)；（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A1、B1、C1關(guān)于原點O對稱的對應(yīng)點A2、B2、C2的位置，然后順次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出點B2坐標(biāo)．【詳解】（1）△A1B1C1如圖所示，A1（﹣5，﹣6）；（2）△A2B2C2如圖所示，B2（1，6）【點睛】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用平移變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵.22、（1）A點的坐標(biāo)為（4，2）；（2）N的坐標(biāo)為（），（）；（3）∠ACO+∠BCO=45°【分析】（1）利用直線AO與直線AC交點為A即可求解；（2）先求出MN的長，再設(shè)設(shè)M的坐標(biāo)為（a，2a-6），則則N的坐標(biāo)為（a，），表示出MN的長度解方程即可；（3）作∠GCO=∠BCO，把∠ACO+∠BCO轉(zhuǎn)化成∠ACG。題目條件沒出現(xiàn)具體角度，但結(jié)論又要求角度的，這個角度一定是一個特殊角，即∠ACG的度數(shù)一定是個特殊角；即∠ACG處于一個特殊的三角形中，于是有了作DE⊥GC的輔助線思路，運用勾股定理知識即可解答．【詳解】（1）聯(lián)立和得：解得A點的坐標(biāo)為（4，2）；（2）∵A點的坐標(biāo)為（4，2）∴OA=，∴MN=OA=2，∵點M在直線AC上，點N在直線OA上，且MN//y軸，∴設(shè)M的坐標(biāo)為（a，2a-6），則N的坐標(biāo)為（a，），則存在以下兩種情況：①當(dāng)M在N點下方時，如圖3，

則MN=-（2a-6）=2，解得a=，∴N點的坐標(biāo)為（）；②當(dāng)M在N點上方時，如圖4，

則MN=（2a-6）-=2，解得a=，∴N點的坐標(biāo)為（）；綜上所述，N的坐標(biāo)為（），（）（3）∵△BOC與△AOC有相同的底邊OC，∴當(dāng)△BOC的面積等于△AOC的面積一半時，△BOC的高OB的長度是△AOC的高的一半，∴OB=2，設(shè)直線AC與x軸的交點為點D，則D（3，0），作點B關(guān)于y軸的對稱點G，則OG=0B=2，GD=5，∠BCO=∠GCO，則∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠GCO=∠ACG，連接GC，作DE⊥GC于點E，如圖5

由勾股定理可得：GC=，DC=，在△CGD中，由等面積法可得：OC?DG=DE?GC，可得DE=，在Rt△DEC中，由勾股定理可得EC=，∴ED=EC，∴∠ECD=45°，即∠ACO+∠BCO=45°．【點睛】本題考查一次函數(shù)的綜合運用，坐標(biāo)結(jié)合勾股定理計算邊長是解題的關(guān)鍵.23、（3）CQ垂直平分DP見解析（2）（3）4【分析】（3）由折疊知CD=CP，∠DCQ=∠PCQ．根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）設(shè)AQ=x，則DQ=QP=3-x．在Rt△PBC中，由勾股定理可得PB的長，進而得到AP的長．在Rt△APQ中，由勾股定理列方程，求解即可得出結(jié)論．（3）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到DM=QM=MC=PM，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠MDQ=∠MQD，∠MQP=∠MPQ．再由四邊形內(nèi)角和為360°得到∠DQP=335°，從而得到∠AQP=25°，得到△APQ為等腰直角三角形，從而求出AQ的長．在Rt△PBC中，由勾股定理得到（AB－AQ）2+32=AB2，變形即可得到結(jié)論．【詳解】（3）CQ垂直平分DP．理由如下：由折疊的性質(zhì)可知：CD=CP，∠DCQ=∠PCQ，∴CQ垂直平分DP．（2）設(shè)AQ=x，則DQ=QP=3-x．∵PC=DC=5，BC=3，∴PB==2．∵AB=5，∴AP=5-2=3．在Rt△APQ中，∵，∴，解得：x=，∴AQ=．（3）如圖，∵∠QDC=∠QPC=40°，M為斜邊QC的中點，∴DM=QM=MC=PM，∴∠MDQ=∠MQD，∠MQP=∠MPQ．∵MD⊥PM，∴∠DMP=40°，∴∠DQP=∠DQM+∠PQM=（360°-40°）÷2=335°，∴∠AQP=380°－335°=25°．∵∠A=40°，∴∠APQ=∠AQP=25°，∴△APQ時等腰直角三角形，∴AP=AQ，DQ=PQ=AQ．∵AQ+QD=AD=BC=3，∴（+3）AQ=3，解得：AQ=3（－3）=．在Rt△PBC中，∵PB2+BC2=PC2，∴（AB－AQ）2+32=AB2，∴AB?AQ=(AQ2+4)，∴AQ（AB+BC）=AQ?AB+AQ?BC=(AQ2+4)+3AQ=（AQ+3）2==4．【點睛】本題是四邊形綜合題．考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)．得出∠AQP=25°是解答此題第（3）問的關(guān)鍵．24、（1）①45；②當(dāng)∠AHE為銳角時，∠AHE=11.5°時，a的最小值是２；當(dāng)∠AHE為鈍角時，∠AHE=111.5°時，a的最小值是；（1）.【詳解】（1）①∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADH=90°．∵DH=DA，∴∠DAH=∠DHA=45°．∴∠HAE=45°．∵HA=HG，∴∠HAE=∠HGA=45°②分兩種情況討論：第一種情況：如答圖1，∠AHE為銳角時，∵∠HAG=∠HGA=45°，∴∠AHG=90°．由折疊可知：∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，∵EF∥HG，∴∠FHG=∠F=45°．∴∠AHF=∠AHG∠FHG=45°，即∠AHE+∠FHE=45°．∴∠AHE=11.5°．此時，當(dāng)B與G重合時，a的值最小，最小值是1．第二種情況：如答圖1，∠AHE為鈍角時，∵EF∥HG，∴∠HGA=∠FEA=45°，即∠AEH+∠FEH=45°．由折疊可知：∠AEH=∠F