2020年湖南省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題(含答案解析)

試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁2020年湖南省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．如圖所示的幾何體是（）A．圓錐 B．棱錐 C．圓臺(tái) D．棱柱2．已知向量，，若，則A． B． C． D．3．圓C:x2+y2=1的面積是（）A． B． C．π D．2π4．盒子里裝有大小相同的2個(gè)紅球和1個(gè)白球，從中隨機(jī)取出1個(gè)球，取到白球的概率是（）A． B． C． D．15．要得到函數(shù)y=1+sinx的圖象，只需將函數(shù)y=sinx的圖象（）A．向上平移1個(gè)單位長度 B．向下平移1個(gè)單位長度C．向右平移1個(gè)單位長度 D．向左平移1個(gè)單位長度6．已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an，則a4=（）A．4 B．8 C．16 D．327．已知函數(shù)，若f(0)=a，則f(a)=（）A．4 B．2 C． D．08．函數(shù)的最小正周期是（）A． B． C． D．9．用12cm長的鐵絲折成一個(gè)面積最大的矩形，則這個(gè)矩形的面積是（）A．3cm2 B．6cm2 C．9cm2 D．12cm210．已知定義在上的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示.下述四個(gè)結(jié)論:①函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)棰诤瘮?shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為③函數(shù)y=f(x)僅有兩個(gè)零點(diǎn)④存在實(shí)數(shù)a滿足其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④二、填空題11．已知集合，若，則______________.12．某班視力近視的學(xué)生有15人，視力正常的學(xué)生有30人.為了解該班學(xué)生近視形成的原因，擬采用分層抽樣的方法抽取部分學(xué)生，調(diào)查相關(guān)信息，則抽取的學(xué)生中視力近視與視力正常的人數(shù)之比為_____________13．已知直線l1:y=x，l2:y=kx.若l1⊥l2，則k=______________.14．已知等差數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，則{an}的前5項(xiàng)和S5=__________.15．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則cosα=______________.三、解答題16．2020年春季，受疫情的影響，學(xué)校推遲了開學(xué)時(shí)間.上級(jí)部門倡導(dǎo)“停課不停學(xué)”，鼓勵(lì)學(xué)生在家學(xué)習(xí)，復(fù)課后，某校為了解學(xué)生在家學(xué)習(xí)的周均時(shí)長(單位:小時(shí))，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，根據(jù)他們學(xué)習(xí)的周均時(shí)長，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求該校學(xué)生學(xué)習(xí)的周均時(shí)長的眾數(shù)的估計(jì)值;（2）估計(jì)該校學(xué)生學(xué)習(xí)的周均時(shí)長不少于30小時(shí)的概率.17．如圖所示，△ABC中，AB=AC=2，BC=2.

（1）求內(nèi)角B的大小;（2）設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(x+B)，求f(x)的最大值，并指出此時(shí)x的值.18．如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn).（1）求證:EF//平面PAB;（2）已知AB=AC=4，PA=6，求三棱錐F-AEC的體積.19．已知函數(shù)，其中，且.（1）判斷的奇偶性，并說明理由;（2）若不等式對(duì)都成立，求a的取值范圍;（3）設(shè)，直線與的圖象交于兩點(diǎn)，直線與的圖象交于兩點(diǎn)，得到四邊形ABCD.證明:存在實(shí)數(shù)，使四邊形為正方形.本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校對(duì)后使用，答案僅供參考。本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校對(duì)后使用，答案僅供參考。答案第=page11頁，總=sectionpages22頁答案第=page11頁，總=sectionpages22頁參考答案1．D【分析】分析幾何體的結(jié)構(gòu)，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】由圖形可知，該幾何體有兩個(gè)面平行且全等，側(cè)棱平行且相等，故該幾何體為棱柱.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題.2．B【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的值.【詳解】已知向量，，則，因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)的值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．C【分析】根據(jù)圓的方程即可知圓的半徑，由圓的面積公式即可求其面積.【詳解】由圓的方程知：圓C的半徑為1，所以面積，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由圓的方程求面積，屬于簡單題.4．A【分析】直接由古典概型的概率公式求解即可【詳解】解：由題意可知盒子里裝有大小相同的紅球和白球共3個(gè)，其中1個(gè)白球，所以從中隨機(jī)取出1個(gè)球，取到白球的概率是,故選：A【點(diǎn)睛】此題考查古典概型的概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題5．A【分析】由函數(shù)圖象平移原則即可知如何平移y=sinx的圖象得到y(tǒng)=1+sinx的圖象.【詳解】根據(jù)“左加右減，上加下減”的原則，將函數(shù)y=sinx的圖象向上平移1個(gè)單位可得y=1+sinx的圖象，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了由平移前后的函數(shù)解析式描述圖象變換過程，屬于簡單題.6．B【分析】由已知可得通項(xiàng)公式，即可求a4的值.【詳解】由題意an+1=2an可知，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，故可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列，由定義法求等比數(shù)列通項(xiàng)公式，進(jìn)而求項(xiàng)，屬于簡單題.7．C【分析】先由f(0)=a，可得，從而可求出f(a)的值【詳解】解：因?yàn)閒(0)=a，代入分段函數(shù)中可得，得，所以，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查分段函數(shù)求值問題，屬于基礎(chǔ)題8．B【分析】利用二倍角的正弦公式化簡函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得結(jié)果.【詳解】，所以，函數(shù)的最小正周期為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)周期的求解，同時(shí)也考查了二倍角正弦公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9．C【分析】由已知可得，而矩形的面積，應(yīng)用基本不等式即可求矩形的最大面積.【詳解】設(shè)矩形的長、寬分別為cm，則有，即，∵矩形的面積，∴cm2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，由和定求積的最大值，屬于簡單題.10．D【分析】由圖像直接得其最小值和最大值，單調(diào)區(qū)間，由圖像與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可得其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得【詳解】解：由圖像可知函數(shù)的最大值大于2，最小值小于，所以①錯(cuò)誤；由圖像可知函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以②正確；由圖像可知其圖像與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3，所以函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，所以③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，有，所以④正確，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)圖像的應(yīng)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)，單調(diào)性，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題11．【分析】由，得到是方程是方程的根，代入即可求解.【詳解】由題意，集合，因?yàn)?，所以，即是方程是方程的根，解得，?dāng)，可得集合,此時(shí)滿足，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)集合間的關(guān)系求解參數(shù)問題，其中解答中熟記集合件的包含關(guān)系，結(jié)合元素與集合的關(guān)系，列出方程求解是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12．【分析】利用分層抽樣的定義直接求解即可【詳解】解：因?yàn)槟嘲嘁暳暤膶W(xué)生有15人，視力正常的學(xué)生有30人，所以用分層抽樣的方法抽取部分學(xué)生中，視力近視與視力正常的人數(shù)之比為，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查分層抽樣的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題13．-1【分析】由兩直線垂直有斜率之積為-1，即可求k值.【詳解】由l1⊥l2，知：，故答案為：-1.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)直線垂直求斜率，屬于簡單題.14．15【分析】由題意可得等差數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合可得前n項(xiàng)和公式，進(jìn)而求即可.【詳解】由等差數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，知：公差，∴{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故通項(xiàng)公式為，∴由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可得，故答案為：15.【點(diǎn)睛】本題考查了求等差數(shù)列前n項(xiàng)和，屬于簡單題.15．【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義直接求解即可【詳解】解：因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，所以，故答案：【點(diǎn)睛】此題考查任意角的三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題16．（1）25小時(shí)；（2）0.3.【分析】（1）根據(jù)直方圖，頻率最大的區(qū)間中點(diǎn)橫坐標(biāo)為眾數(shù)即可求眾數(shù)；（2）由學(xué)習(xí)的周均時(shí)長不少于30小時(shí)的區(qū)間有、，它們的頻率之和，即為該校學(xué)生學(xué)習(xí)的周均時(shí)長不少于30小時(shí)的概率.【詳解】（1）根據(jù)直方圖知：頻率最大的區(qū)間中點(diǎn)橫坐標(biāo)即為眾數(shù)，∴由頻率最大區(qū)間為，則眾數(shù)為；（2）由圖知：不少于30小時(shí)的區(qū)間有、，∴該校學(xué)生學(xué)習(xí)的周均時(shí)長不少于30小時(shí)的概率.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)直方圖求眾數(shù)、概率，應(yīng)用了眾數(shù)的概念、頻率法求概率，屬于簡單題.17．（1），（2）f(x)的最大值為2，此時(shí)【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)直接求其最大值【詳解】解：（1）因?yàn)椤鰽BC中，AB=AC=2，BC=2.所以，因?yàn)椋?，?）由（1）可知，所以當(dāng)時(shí)，取最大值2，即【點(diǎn)睛】此題考查余弦定理的應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題18．（1）證明見解析；（2）4.【分析】（1）連接有中位線，結(jié)合與面的關(guān)系，由線面平行的判定即可證面；（2）過作交于易知是三棱錐F-AEC的高，結(jié)合已知有即可求三棱錐F-AEC的體積.【詳解】（1）連接，在△中為中位線，故，∵面，面∴面；（2）過作交于，如下圖示：∵PA⊥平面ABC，∴⊥平面ABC，即是三棱錐F-AEC的高，又F為PC的中點(diǎn)，∴由PA=6，則，又AB=AC=4，E為BC的中點(diǎn)且AB⊥AC，知：，∴三棱錐F-AEC的體積.【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用線面平行的判定證明線面平行，應(yīng)用三棱錐體積公式求體積，屬于簡單題.