上海小學數(shù)學知識點總結(jié)

上海小學數(shù)學學問點總結(jié)第一章

數(shù)和數(shù)的運算

一

概念

（一）整數(shù)

1

整數(shù)的意義

自然數(shù)和0都是整數(shù)。

2

自然數(shù)

我們在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的1，2，3……叫做自然數(shù)。

一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數(shù)。

3計數(shù)單位

一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計數(shù)單位。

每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是10。這樣的計數(shù)法叫做十進制計數(shù)法。

4

數(shù)位

計數(shù)單位依據(jù)一定的依次排列起來，它們所占的位置叫做數(shù)位。

5數(shù)的整除

整數(shù)a除以整數(shù)b(b

≠

0），除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a

。

假如數(shù)a能被數(shù)b（b

≠

0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)（或a的因數(shù)）。倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的。

因為35能被7整除，所以35是7的倍數(shù)，7是35的約數(shù)。

一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1，最大的

約數(shù)是它本身。例如：10的約數(shù)有1、2、5、10，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是10。

一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。3的倍數(shù)有：3、6、9、12……其中最小的倍數(shù)是3

，沒有最大的倍數(shù)。

個位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。

個位上是0或5的數(shù)，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。

一個數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。

一個數(shù)各位數(shù)上的和能被9整除，這個數(shù)就能被9整除。

能被3整除的數(shù)不一定能被9整除，但是能被9整除的數(shù)一定能被3整除。

一個數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個數(shù)就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。

一個數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，這個數(shù)就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。

能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。

不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。

0也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被2

整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。

一個數(shù)，假如只有1和它本身兩個約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素數(shù)），100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

一個數(shù)，假如除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，例如

4、6、8、9、12都是合數(shù)。

1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。假如把自然數(shù)按其約數(shù)的個數(shù)的不同分類，可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。

每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如15=3×5，3和5

叫做15的質(zhì)因數(shù)。

把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。

例如把28分解質(zhì)因數(shù)

幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)。其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)，例如12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1

8的公約數(shù)，6是它們的最大公約數(shù)。

公約數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，成互質(zhì)關系的兩個數(shù)，有下列幾種狀況：

1和任何自然數(shù)互質(zhì)。

相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)。

兩個不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

當合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質(zhì)，假如幾個數(shù)中隨意兩個都互質(zhì)，就說這幾個數(shù)兩兩互質(zhì)。

假如較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，則較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。

假如兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是1。

幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)，如2的倍數(shù)有2、4、6

、8、10、12、14、16、18

……

3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18

……

其中6、12、18……是2、3的公倍數(shù)，6是它們的最小公倍數(shù)。。

假如較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，則較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。假如兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，則這兩個數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。

幾個數(shù)的公約數(shù)的個數(shù)是有限的，而幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。

（二）小數(shù)

1

小數(shù)的意義

把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份……

得到的非常之幾、百分之幾、千分之幾……

可以用小數(shù)表示。

一位小數(shù)表示非常之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……

一個小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點部分組成。數(shù)中的圓點叫做小數(shù)點，小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。

在小數(shù)里，每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是10。小數(shù)部分的最高分數(shù)單位“非常之一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進率也是10。

2小數(shù)的分類

純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如：

0.25

、

0.368

都是純小數(shù)。

帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。

例如：

3.25

、

5.26

都是帶小數(shù)。

有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。

例如：

41.7

、

25.3

、

0.23

都是有限小數(shù)。

無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。

例如：

4.33

……

3.1415926

……

無限不循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。

例如：∏

循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，有一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷重復出現(xiàn)，這個數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。

例如：

3.555

……

0.0333

……

12.109109

……

一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。

例如：

3.99

……的循環(huán)節(jié)是“

9

”

，

0.5454

……的循環(huán)節(jié)是“

54

”

。

純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位起先的，叫做純循環(huán)小數(shù)。

例如：

3.111

……

0.5656

……

混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位起先的，叫做混循環(huán)小數(shù)。

3.1222

……

0.03333

……

寫循環(huán)小數(shù)的時候，為了簡便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個循環(huán)節(jié)，并在這個循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點一個圓點。假如循環(huán)

節(jié)只有

一個數(shù)字，就只在它的上面點一個點。例如：

3.777

……

簡寫作

0.5302302

……

簡寫作

。

（三）分數(shù)

1

分數(shù)的意義

把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分數(shù)。

在分數(shù)里，中間的橫線叫做分數(shù)線；分數(shù)線下面的數(shù)，叫做分母，表示把單位“1”平均分成多少份；分數(shù)線下面的數(shù)叫做分子，表示有這樣的多少份。

把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分數(shù)單位。

2

分數(shù)的分類

真分數(shù)：分子比分母小的分數(shù)叫做真分數(shù)。真分數(shù)小于1。

假分數(shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分數(shù)，叫做假分數(shù)。假分數(shù)大于或等于1。

帶分數(shù)：假分數(shù)可以寫成整數(shù)及真分數(shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分數(shù)。

3

約分和通分

把一個分數(shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分數(shù)

，叫做約分。

分子分母是互質(zhì)數(shù)的分數(shù)，叫做最簡分數(shù)。

把異分母分數(shù)分別化成和原來分數(shù)相等的同分母分數(shù)，叫做通分。

（四）百分數(shù)

1

表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)

叫做百分數(shù),也叫做百分率

或百分比。百分數(shù)通常用"%"來表示。百分號是表示百分數(shù)的符號。

二

方法

（一）數(shù)的讀法和寫法

1.整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級一級地讀。讀億級、萬級時，先依據(jù)個級的讀法去讀，再在后面加一個“億”或“萬”字。每一級末尾的0都不讀出來，其它數(shù)位連續(xù)有幾個0都只讀一個零。

2.整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一個數(shù)位上一個單位也沒有，就在那個數(shù)位上寫0。

3.小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時候，整數(shù)部分依據(jù)整數(shù)的讀法讀，小數(shù)點讀作“點”，小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。

4.小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時候，整數(shù)部分依據(jù)整數(shù)的寫法來寫，小數(shù)點寫在個位右下角，小數(shù)部分順次寫出每一個數(shù)位上的數(shù)字。

5.分數(shù)的讀法：讀分數(shù)時，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子和分母依據(jù)整數(shù)的讀法來讀。

6.分數(shù)的寫法：先寫分數(shù)線，再寫分母，最終寫分子，依據(jù)整數(shù)的寫法來寫。

7.百分數(shù)的讀法：讀百分數(shù)時，先讀百分之，再讀百分號前面的數(shù)，讀數(shù)時依據(jù)整數(shù)的讀法來讀。

8.百分數(shù)的寫法：百分數(shù)通常不寫成分數(shù)形式，而在原來的分子后面加上百分號“%”來表示。

（二）數(shù)的改寫

一個較大的多位數(shù)，為了讀寫便利，經(jīng)常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù)。有時還可以依據(jù)須要，省略這個數(shù)某一位后面的數(shù)，寫成近似數(shù)。

1.精確數(shù)：在實際生活中，為了計數(shù)的簡便，可以把一個較大的數(shù)改寫成以萬或億為單位的數(shù)。改寫后的數(shù)是原數(shù)的精確數(shù)。

例如把

1254300000

改寫成以萬做單位的數(shù)是

125430

萬；改寫成

以億做單位

的數(shù)

12.543

億。

2.近似數(shù)：依據(jù)實際須要，我們還可以把一個較大的數(shù)，省略某一位后面的尾數(shù)，用一個近似數(shù)來表示。

例如：

1302490015

省略億后面的尾數(shù)是

13

億。

3.四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4

或者比4小，就把尾數(shù)去掉；假如尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5或者比5大，就把尾數(shù)舍去，并向它的前一位進1。例如：省略

345900

萬后面的尾數(shù)約是

35

萬。省略

4725097420

億后面的尾數(shù)約是

47

億。

4.大小比較

1.比較整數(shù)大小：比較整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個數(shù)就大，假如位數(shù)相同，就看最高位，最高位上的數(shù)大，那個數(shù)就大；最高位上的數(shù)相同，就看下一位，哪一位上的數(shù)大那個數(shù)就大。

2.比較小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分，，整數(shù)部分大的那個數(shù)就大；整數(shù)部分相同的，非常位上的數(shù)大的那個數(shù)就大；非常位上的數(shù)也相同的，百分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大……

3.比較分數(shù)的大小:分母相同的分數(shù)，分子大的分數(shù)比較大；分子相同的數(shù)，分母小的分數(shù)大。分數(shù)的分母和分子都不相同的，先通分，再比較兩個數(shù)的大小。

（三）數(shù)的互化

1.小數(shù)化成分數(shù)：原來有幾位小數(shù)，就在1的后面寫幾個零作分母，把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點作分子，能約分的要約分。

2.分數(shù)化成小數(shù)：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù)，有的不能除盡，不能化成有限小數(shù)的，一般保留三位小數(shù)。

3.一個最簡分數(shù)，假如分母中除了2和5以外，不含有其他的質(zhì)因數(shù)，這個分數(shù)就能化成有限小數(shù)；假如分母中含有2和5

以外的質(zhì)因數(shù)，這個分數(shù)就不能化成有限小數(shù)。

4.小數(shù)化成百分數(shù)：只要把小數(shù)點向右移動兩位，同時在后面添上百分號。

5.百分數(shù)化成小數(shù)：把百分數(shù)化成小數(shù)，只要把百分號去掉，同時把小數(shù)點向左移動兩位。

6.分數(shù)化成百分數(shù)：通常先把分數(shù)化成小數(shù)（除不盡時，通常保留三位小數(shù))，再把小數(shù)化成百分數(shù)。

7.百分數(shù)化成小數(shù)：先把百分數(shù)改寫成分數(shù)，能約分的要約成最簡分數(shù)。

（四）數(shù)的整除

1.把一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，通常用短除法。先用能整除這個合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除，始終除到商是質(zhì)數(shù)為止，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。

2.求幾個數(shù)的最大公約數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除，始終除到所得的商只有公約數(shù)1為止，然后把全部的除數(shù)連乘求積，這個積就是這幾個數(shù)的的最大公約數(shù)

。

3.求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)（或其中的部分數(shù)）的公約數(shù)去除，始終除到互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)）為止，然后把全部的除數(shù)和商連乘求積，這個積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。

4.成為互質(zhì)關系的兩個數(shù)：1和任何自然數(shù)互質(zhì)

；

相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)；

當合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)；

兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質(zhì)。

（五）

約分和通分

約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡分數(shù)為止。

通分的方法：先求出原來的幾個分數(shù)分母的最小公倍數(shù)，然后把各分數(shù)化成用這個最小公倍數(shù)作分母的分數(shù)。

三

性質(zhì)和規(guī)律

（一）商不變的規(guī)律

商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或者同時縮小相同的倍，商不變。

（二）小數(shù)的性質(zhì)

小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。

（三）小數(shù)點位置的移動引起小數(shù)大小的變更

1.小數(shù)點向右移動一位，原來的數(shù)就擴大10倍；小數(shù)點向右移動兩位，原來的數(shù)就擴大100倍；小數(shù)點向右移動三位，原來的數(shù)就擴大1000倍……

2.小數(shù)點向左移動一位，原來的數(shù)就縮小10倍；小數(shù)點向左移動兩位，原來的數(shù)就縮小100倍；小數(shù)點向左移動三位，原來的數(shù)就縮小1000倍……

3.小數(shù)點向左移或者向右移位數(shù)不夠時，要用“0"補足位。

（四）分數(shù)的基本性質(zhì)

分數(shù)的基本性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（零除外），分數(shù)的大小不變。

（五）分數(shù)及除法的關系

1.被除數(shù)÷除數(shù)=

被除數(shù)/除數(shù)

2.因為零不能作除數(shù)，所以分數(shù)的分母不能為零。

3.被除數(shù)

相當于分子，除數(shù)相當于分母。

四

運算的意義

（一）整數(shù)四則運算

1整數(shù)加法：把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算叫做加法。

-

在加法里，相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和。加數(shù)是部分數(shù)，和是總數(shù)。

-

加數(shù)+加數(shù)=和

一個加數(shù)=和－另一個加數(shù)

2整數(shù)減法：已知兩個加數(shù)的和及其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算叫做減法。

-

在減法里，已知的和叫做被減數(shù)，已知的加數(shù)叫做減數(shù)，未知的加數(shù)叫做差。被減數(shù)是總數(shù)，減數(shù)和差分別是部分數(shù)。

-

加法和減法互為逆運算。

3整數(shù)乘法：求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算叫做乘法。

-

在乘法里，相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù)都叫做因數(shù)。相同加數(shù)的和叫做積。

-

在乘法里，0和任何數(shù)相乘都得0.

1和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)。

-

一個因數(shù)×

一個因數(shù)

=積

一個因數(shù)=積÷另一個因數(shù)

4

整數(shù)除法：已知兩個因數(shù)的積及其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算叫做除法。

-

在除法里，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一個因數(shù)叫做除數(shù)，所求的因數(shù)叫做商。

-

乘法和除法互為逆運算。

-

在除法里，0不能做除數(shù)。因為0和任何數(shù)相乘都得0，所以任何一個數(shù)除以0，均得不到一個確定的商。

-

被除數(shù)÷除數(shù)=商

除數(shù)=被除數(shù)÷商

被除數(shù)=商×除數(shù)

（二）小數(shù)四則運算

1.小數(shù)加法：小數(shù)加法的意義及整數(shù)加法的意義相同。是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。

2.小數(shù)減法：小數(shù)減法的意義及整數(shù)減法的意義相同。已知兩個加數(shù)的和及其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算.

3.小數(shù)乘法：小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算；一個數(shù)乘純小數(shù)的意義是求這個數(shù)的非常之幾、百分之幾、千分之幾……是多少。

4.小數(shù)除法：小數(shù)除法的意義及整數(shù)除法的意義相同，就是已知兩個因數(shù)的積及其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。

5.乘方

求幾個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方。例如

3

×

3

=32

（三）分數(shù)四則運算

1.分數(shù)加法：分數(shù)加法的意義及整數(shù)加法的意義相同。

是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。

2.分數(shù)減法：分數(shù)減法的意義及整數(shù)減法的意義相同。已知兩個加數(shù)的和及其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算。

3.分數(shù)乘法：分數(shù)乘法的意義及整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算。

4.乘積是1的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)。

5.分數(shù)除法：分數(shù)除法的意義及整數(shù)除法的意義相同。就是已知兩個因數(shù)的積及其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。

（四）運算定律

1.加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變，即a+b=b+a

。

2.加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相加，再和第一個數(shù)相加它們的和不變，即（a+b)+c=a+(b+c)

。

3.乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置它們的積不變，即a×b=b×a。

4.乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，再乘以第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相乘，再和第一個數(shù)相乘，它們的積不變，即(a×b)×c=a×(b×c)

。

5.乘法安排律：兩個數(shù)的和及一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別及這個數(shù)相乘再把兩個積相加，即(a+b)×c=a×c+b×c

。

6.減法的性質(zhì)：從一個數(shù)里連續(xù)減去幾個數(shù)，可以從這個數(shù)里減去全部減數(shù)的和，差不變，即a-b-c=a-(b+c)

。

（五）運算法則

1.整數(shù)加法計算法則：相同數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進一。

2.整數(shù)減法計算法則：相同數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)不夠減，就從它的前一位退一作十，和本位上的數(shù)合并在一起，再減。

3.整數(shù)乘法計算法則：先用一個因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個因數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)，用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就對齊哪一位，然后把各次乘得的數(shù)加起來。

4.整數(shù)除法計算法則：先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位；

假如不夠除，就多看一位，除到被除數(shù)的哪一位，商就寫在哪一位的上面。假如哪一位上不夠商1，要補“0”占位。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。

5.小數(shù)乘法法則：先依據(jù)整數(shù)乘法的計算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點上小數(shù)點；假如位數(shù)不夠，就用“0”補足。

6.除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計算法則：先依據(jù)整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊；假如除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添“0”，再接著除。

7.除數(shù)是小數(shù)的除法計算法則：先移動除數(shù)的小數(shù)點，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點也向右移動幾位（位數(shù)不夠的補“0”），然后依據(jù)除數(shù)是整數(shù)的除法法則進行計算。

8.同分母分數(shù)加減法計算方法:同分母分數(shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。

9.異分母分數(shù)加減法計算方法:先通分，然后依據(jù)同分母分數(shù)加減法的的法則進行計算。

10.帶分數(shù)加減法的計算方法:整數(shù)部分和分數(shù)部分分別相加減，再把所得的數(shù)合并起來。

11.分數(shù)乘法的計算法則:分數(shù)乘整數(shù)，用分數(shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；分數(shù)乘分數(shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。

12.分數(shù)除法的計算法則:甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。

（六）

運算依次

1.小數(shù)四則運算的運算依次和整數(shù)四則運算依次相同。

2.分數(shù)四則運算的運算依次和整數(shù)四則運算依次相同。

3.沒有括號的混合運算:同級運算從左往右依次運算；兩級運算

先算乘、除法，后算加減法。

4.有括號的混合運算:先算小括號里面的，再算中括號里面的，最終算括號外面的。

5.第一級運算：加法和減法叫做第一級運算。

6.第二級運算：乘法和除法叫做第二級運算。

五

應用

（一）整數(shù)和小數(shù)的應用

1

簡潔應用題

（1）

簡潔應用題：只含有一種基本數(shù)量關系，或用一步運算解答的應用題，通常叫做簡潔應用題。

（2）

解題步驟：

a

審題理解題意：了解應用題的內(nèi)容，知道應用題的條件和問題。讀題時，不丟字不添字邊讀邊思索，弄明白題中每句話的意思。也可以復述條件和問題，扶植理解題意。

b選擇算法和列式計算：這是解答應用題的中心工作。從題目中告知什么，要求什么著手，逐步依據(jù)所給的條件和問題，聯(lián)系四則運算的含義，分析數(shù)量關系，確定算法，進行解答并標明正確的單位名稱。

C檢驗：就是依據(jù)應用題的條件和問題進行檢查看所列算式和計算過程是否正確，是否符合題意。假如發(fā)覺錯誤，立刻改正。

d答案：依據(jù)計算的結(jié)果，先口答，逐步過渡到筆答。

(

3

)

解答加法應用題：

a求總數(shù)的應用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)是多少，求甲乙兩數(shù)的和是多少。

b求比一個數(shù)多幾的數(shù)應用題：已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少，求乙數(shù)是多少。

(4

)

解答減法應用題：

a求剩余的應用題：從已知數(shù)中去掉一部分，求剩下的部分。

-b求兩個數(shù)相差的多少的應用題：已知甲乙兩數(shù)各是多少，求甲數(shù)比乙數(shù)多多少，或乙數(shù)比甲數(shù)少多少。

c求比一個數(shù)少幾的數(shù)的應用題：已知甲數(shù)是多少，，乙數(shù)比甲數(shù)少多少，求乙數(shù)是多少。

(5

)

解答乘法應用題：

a求相同加數(shù)和的應用題：已知相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù)，求總數(shù)。

b求一個數(shù)的幾倍是多少的應用題：已知一個數(shù)是多少，另一個數(shù)是它的幾倍，求另一個數(shù)是多少。

(

6)

解答除法應用題：

a把一個數(shù)平均分成幾份，求每一份是多少的應用題：已知一個數(shù)和把這個數(shù)平均分成幾份的，求每一份是多少。

b求一個數(shù)里包含幾個另一個數(shù)的應用題：已知一個數(shù)和每份是多少，求可以分成幾份。

C

求一個數(shù)是另一個數(shù)的的幾倍的應用題：已知甲數(shù)乙數(shù)各是多少，求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍。

d已知一個數(shù)的幾倍是多少，求這個數(shù)的應用題。

（7）常見的數(shù)量關系：

-

總價=

單價×數(shù)量

-

路程=

速度×時間

-

工作總量=工作時間×工效

-

總產(chǎn)量=單產(chǎn)量×數(shù)量

2

復合應用題

（1）有兩個或兩個以上的基本數(shù)量關系組成的，用兩步或兩步以上運算解答的應用題，通常叫做復合應用題。

（2）含有三個已知條件的兩步計算的應用題。

-

求比兩個數(shù)的和多（少）幾個數(shù)的應用題。

-

比較兩數(shù)差及倍數(shù)關系的應用題。

（3）含有兩個已知條件的兩步計算的應用題。

-

已知兩數(shù)相差多少（或倍數(shù)關系）及其中一個數(shù)，求兩個數(shù)的和（或差）。

-

已知兩數(shù)之和及其中一個數(shù)，求兩個數(shù)相差多少（或倍數(shù)關系）。

（4）解答連乘連除應用題。

（5）解答三步計算的應用題。

（6）解答小數(shù)計算的應用題：小數(shù)計算的加法、減法、乘法和除法的應用題，他們的數(shù)量關系、結(jié)構(gòu)、和解題方式都及正式應用題基本相同，只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間含有小數(shù)。

3典型應用題

具有獨特的結(jié)構(gòu)特征的和特定的解題規(guī)律的復合應用題，通常叫做典型應用題。

（1）平均數(shù)問題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。

-

解題關鍵：在于確定總數(shù)量和及之相對應的總份數(shù)。

-

算術(shù)平均數(shù)：已知幾個不相等的同類量和及之相對應的份數(shù)，求平均每份是多少。數(shù)量關系式：數(shù)量之和÷數(shù)量的個數(shù)=算術(shù)平均數(shù)。

-

加權(quán)平均數(shù)：已知兩個以上若干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少。

-

數(shù)量關系式

（部分平均數(shù)×權(quán)數(shù)）的總和÷（權(quán)數(shù)的和）=加權(quán)平均數(shù)。

-

差額平均數(shù)：是把各個大于或小于標準數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分，求的是標準數(shù)及各數(shù)相差之和的平均數(shù)。

-

數(shù)量關系式：（大數(shù)－小數(shù)）÷2=小數(shù)應得數(shù)

最大數(shù)及各數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最大數(shù)應給數(shù)

最大數(shù)及個數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最小數(shù)應得數(shù)。

例：一輛汽車以每小時

100

千米

的速度從甲地開往乙地，又以每小時

60

千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。

分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設為“

1

”，則汽車行駛的總路程為“

2

”，從甲地到乙地的速度為

100

，所用的時間為

，汽車從乙地到甲地速度為

60

千米

，所用的時間是

，汽車共行的時間為

+

=

,

汽車的平均速度為

2

÷

=75

（千米）

（2）

歸一問題：已知相互關聯(lián)的兩個量，其中一種量變更，另一種量也隨之而變更，其變更的規(guī)律是相同的，這種問題稱之為歸一問題。

-

依據(jù)求“單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，兩次歸一問題。

-

依據(jù)球癡單一量之后，解題采納乘法還是除法，歸一問題可以分為正歸一問題，反歸一問題。

-

一次歸一問題，用一步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一?！?/p>

-

兩次歸一問題，用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一?！?/p>

-

正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計算結(jié)果的歸一問題。

-

反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計算結(jié)果的歸一問題。

-

解題關鍵：從已知的一組對應量中用等分除法求出一份的數(shù)量（單一量），然后以它為標準，依據(jù)題目的要求算出結(jié)果。

數(shù)量關系式：單一量×份數(shù)=總數(shù)量（正歸一）

-

總數(shù)量÷單一量=份數(shù)（反歸一）

例

一個織布工人，在七月份織布

4774

米

，

照這樣計算，織布

6930

米

，須要多少天？

分析：必需先求出平均每天織布多少米，就是單一量。

693

0

÷

（

477

4

÷

31

）

=45

（天）

（3）歸總問題：是已知單位數(shù)量和計量單位數(shù)量的個數(shù)，以及不同的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的個數(shù)），通過求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個數(shù)（或單位數(shù)量）。

-

特點：兩種相關聯(lián)的量，其中一種量變更，另一種量也跟著變更，不過變更的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通。

-

數(shù)量關系式：單位數(shù)量×單位個數(shù)÷另一個單位數(shù)量

=

另一個單位數(shù)量

單位數(shù)量×單位個數(shù)÷另一個單位數(shù)量=

另一個單位數(shù)量。

例

修一條水渠，原安排每天修

800

米

，

6

天修完。實際

4

天修完，每天修了多少米？

分析：因為要求出每天修的長度，就必需先求出水渠的長度。所以也把這類應用題叫做“歸總問題”。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。

80

0

×

6

÷

4=1200

（米）

（4）

和差問題：已知大小兩個數(shù)的和，以及他們的差，求這兩個數(shù)各是多少的應用題叫做和差問題。

-

解題關鍵：是把大小兩個數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個大數(shù)的和（或兩個小數(shù)的和），然后再求另一個數(shù)。

-

解題規(guī)律：（和＋差）÷2

=

大數(shù)

大數(shù)－差=小數(shù)

（和－差）÷2=小數(shù)

和－小數(shù)=

大數(shù)

例

某加工廠甲班和乙班共有工人

94

人，因工作須要臨時從乙班調(diào)

46

人到甲班工作，這時乙班比甲班人數(shù)少

12

人，求原來甲班和乙班各有多少人？

分析：從乙班調(diào)

46

人到甲班，對于總數(shù)沒有變更，現(xiàn)在把乙數(shù)轉(zhuǎn)化成

2

個乙班，即

9

4

－

12

，由此得到現(xiàn)在的乙班是（

9

4

－

12

）÷

2=41

（人），乙班在調(diào)出

46

人之前應當為

41+46=87

（人），甲班為

9

4

－

87=7

（人）

（5）和倍問題：已知兩個數(shù)的和及它們之間的倍數(shù)

關系，求兩個數(shù)各是多少的應用題，叫做和倍問題。

-

解題關鍵：找準標準數(shù)（即1倍數(shù)）一般說來，題中說是“誰”的幾倍，把誰就確定為標準數(shù)。求出倍數(shù)和之后，再求出標準的數(shù)量是多少。依據(jù)另一個數(shù)（也可能是幾個數(shù)）及標準數(shù)的倍數(shù)關系，再去求另一個數(shù)（或幾個數(shù)）的數(shù)量。

-

解題規(guī)律：和÷倍數(shù)和=標準數(shù)

標準數(shù)×倍數(shù)=另一個數(shù)

例:汽車運輸場有大小貨車

115

輛，大貨車比小貨車的

5

倍多

7

輛，運輸場有大貨車和小汽車各有多少輛？

分析：大貨車比小貨車的

5

倍還多

7

輛，這

7

輛也在總數(shù)

115

輛內(nèi)，為了使總數(shù)及（

5+1

）倍對應，總車輛數(shù)應（

115-7

）輛

。

列式為（

115-7

）÷（

5+1

）

=18

（輛），

18

×

5+7=97

（輛）

（6）差倍問題：已知兩個數(shù)的差，及兩個數(shù)的倍數(shù)關系，求兩個數(shù)各是多少的應用題。

-

解題規(guī)律：兩個數(shù)的差÷（倍數(shù)－1

）=

標準數(shù)

標準數(shù)×倍數(shù)=另一個數(shù)。

例

甲乙兩根繩子，甲繩長

63

米

，乙繩長

29

米

，兩根繩剪去同樣的長度，結(jié)果甲所剩的長度是乙繩

長的

3

倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？

各減去多少米？

分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的

3

倍，實比乙繩多（

3-1

）倍，以乙繩的長度為標準數(shù)。列式（

63-29

）÷（

3-1

）

=17

（米）…乙繩剩下的長度，

17

×

3=51

（米）…甲繩剩下的長度，

29-17=12

（米）…剪去的長度。

（7）行程問題：關于走路、行車等問題，一般都是計算路程、時間、速度，叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清晰速度、時間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他們之間的關系，再依據(jù)這類問題的規(guī)律解答。

-

解題關鍵及規(guī)律：

-

同時同地相背而行：路程=速度和×時間。

-

同時相向而行：相遇時間=速度和×時間

-

同時同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追剛好間=路程速度差。

同時同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×時間。

例

甲在乙的后面

28

千米

，兩人同時同向而行，甲每小時行

16

千米

，乙每小時行

9

千米

，甲幾小時追上乙？

分析：甲每小時比乙多行（

16-9

）千米，也就是甲每小時可以追近乙（

16-9

）千米，這是速度差。

已知甲在乙的后面

28

千米

（追擊路程），

28

千米

里包含著幾個（

16-9

）千米，也就是追擊所須要的時間。列式

2

8

÷

（

16-9

）

=4

（小時）

（8）流水問題：一般是探討船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特別的一種類型，它也是一種和差問題。它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。

-

船速：船在靜水中航行的速度。

-

水速：水流淌的速度。

-

順水速度：船順流航行的速度。

-

逆水速度：船逆流航行的速度。

-

順速=船速＋水速

-

逆速=船速－水速

-

解題關鍵：因為順流速度是船速及水速的和，逆流速度是船速及水速的差，所以流水問題當作和差問題解答。

解題時要以水流為線索。

-

解題規(guī)律：船行速度=（順水速度+

逆流速度）÷2

流水速度=（順流速度-

逆流速度）÷2

路程=順流速度×

順流航行所需時間

路程=逆流速度×逆流航行所需時間

例

一只輪船從甲地開往乙地順水而行，每小時行

28

千米

，到乙地后，又逆水

航行，回到甲地。逆水比順水多行

2

小時，已知水速每小時

4

千米。求甲乙兩地相距多少千米？

分析：此題必需先知道順水的速度和順水所須要的時間，或者逆水速度和逆水的時間。已知順水速度和水流

速度，因此不難算出逆水的速度，但順水所用的時間，逆水所用的時間不知道，只知道順水比逆水少用

2

小時，抓住這一點，就可以就能算出順水從甲地到乙地的所用的時間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式為

28-

4

×

2=20

（千米）

2

0

×

2

=40

（千米）

40

÷（

4

×

2

）

=5

（小時）

28

×

5=140

（千米）。

（9）

還原問題：已知某未知數(shù)，經(jīng)過一定的四則運算后所得的結(jié)果，求這個未知數(shù)的應用題，我們叫做還原問題。

-

解題關鍵：要弄清每一步變更及未知數(shù)的關系。

-

解題規(guī)律：從最終結(jié)果

動身，采納及原題中相反的運算（逆運算）方法，逐步推導出原數(shù)。

-

依據(jù)原題的運算依次列出數(shù)量關系，然后采納逆運算的方法計算推導出原數(shù)。

-

解答還原問題時留意視察運算的依次。若須要先算加減法，后算乘除法時別遺忘寫括號。

例

某小學三級四個班共有學生

168

人，假如四班調(diào)

3

人到三班，三班調(diào)

6

人到二班，二班調(diào)

6

人到一班，一班調(diào)

2

人到四班，則四個班的人數(shù)相等，四個班原有學生多少人？

分析：當四個班人數(shù)相等時，應為

168

÷

4

，以四班為例，它調(diào)給三班

3

人，又從一班調(diào)入

2

人，所以四班原有的人數(shù)減去

3

再加上

2

等于平均數(shù)。四班原有人數(shù)列式為

168

÷

4-2+3=43

（人）

一班原有人數(shù)列式為

168

÷

4-6+2=38

（人）；二班原有人數(shù)列式為

168

÷

4-6+6=42

（人）

三班原有人數(shù)列式為

168

÷

4-3+6=45

（人）。

（10）植樹問題：這類應用題是以“植樹”為內(nèi)容。凡是探討總路程、株距、段數(shù)、棵樹四種數(shù)量關系的應用題，叫做植樹問題。

-

解題關鍵：解答植樹問題首先要推斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然后按基本公式進行計算。

-

解題規(guī)律：沿線段植樹

-

棵樹=段數(shù)+1

棵樹=總路程÷株距+1

-

株距=總路程÷（棵樹-1）

總路程=株距×（棵樹-1）

-

沿周長植樹

-

棵樹=總路程÷株距

-

株距=總路程÷棵樹

-

總路程=株距×棵樹

例

沿馬路一旁埋電線桿

301

根，每相鄰的兩根的間距是

50

米

。后來全部改裝，只埋了201

根。求改裝后每相鄰兩根的間距。

分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數(shù)減掉一。列式為

50

×（

301-1

）÷（

201-1

）

=75

（米）

（11

）盈虧問題：是在等分除法的基礎上發(fā)展起來的。

他的特點是把一定數(shù)量的物品，平均安排給一定數(shù)量的人，在兩次安排中，一次有余，一次不足（或兩次都有余），或兩次都不足），已知所余和不足的數(shù)量，求物品適量和參與安排人數(shù)的問題，叫做盈虧問題。

-

解題關鍵：盈虧問題的解法要點是先求兩次安排中安排者沒份所得物品數(shù)量的差，再求兩次安排中各次共分物品的差（也稱總差額），用前一個差去除后一個差，就得到安排者的數(shù)，進而再求得物品數(shù)。

-

解題規(guī)律：總差額÷每人差額=人數(shù)

-

總差額的求法可以分為以下四種狀況：

-

第一次多余，第二次不足，總差額=多余+

不足

-

第一次正好，第二次多余或不足

，總差額=多余或不足

-

第一次多余，第二次也多余，總差額=大多余-小多余

-

第一次不足，第二次也不足，

總差額=

大不足-小不足

例

參與美術(shù)小組的同學，每個人分的相同的支數(shù)的色筆，假如小組

10

人，則多

25

支，假如小組有

12

人，色筆多余

5

支。求每人

分得幾支？共有多少支色鉛筆？

分析：每個同學分到的色筆相等。這個活動小組有

12

人，比

10

人多

2

人，而色筆多出了（

25-5

）

=20

支

，

2

個人多出

20

支，一個人分得

10

支。列式為（

25-5

）÷（

12-10

）

=10

（支）

10

×

12+5=125

（支）。

（12）齡問題：將差為一定值的兩個數(shù)作為題中的一個條件，這種應用題被稱為“齡問題”。

-

解題關鍵：齡問題及和差、和倍、

差倍問題類似，主要特點是隨著時間的變更，歲不斷增長，但大小兩個不同齡的差是不會變更的，因此，齡問題是一種“差不變”的問題，解題時，要擅長利用差不變的特點。

例

父親

48

歲，兒子

21

歲。問幾前父親的齡是兒子的

4

倍？

分析：父子的齡差為

48-21=27

（歲）。由于幾前父親齡是兒子的

4

倍，可知父子齡的倍數(shù)差是（

4-1

）倍。這樣可以算出幾前父子的齡，從而可以求出幾前父親的齡是兒子的

4

倍。列式為：

21-

（

48-21

）÷（

4-1

）

=12

（）

（13）雞兔問題：已知“雞兔”的總頭數(shù)和總腿數(shù)。求“雞”和“兔”各多少只的一類應用題。通常稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題

-

解題關鍵：解答雞兔問題一般采納假設法，假設全是一種動物（如全是“雞”或全是“兔”，然后依據(jù)出現(xiàn)的腿數(shù)差，可推算出某一種的頭數(shù)。

-

解題規(guī)律：（總腿數(shù)－雞腿數(shù)×總頭數(shù)）÷一只雞兔腿數(shù)的差=兔子只數(shù)

-

兔子只數(shù)=（總腿數(shù)-2×總頭數(shù)）÷2

-

假如假設全是兔子，可以有下面的式子：

-

雞的只數(shù)=（4×總頭數(shù)-總腿數(shù)）÷2

-

兔的頭數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù)

例

雞兔同籠共

50

個頭，

170

條腿。問雞兔各有多少只？

兔子只數(shù)

（

170-2

×

50

）÷

2

=35

（只）

雞的只數(shù)

50-35=15

（只）

（二）分數(shù)和百分數(shù)的應用

1

分數(shù)加減法應用題：

-

分數(shù)加減法的應用題及整數(shù)加減法的應用題的結(jié)構(gòu)、數(shù)量關系和解題方法基本相同，所不同的只是在已知數(shù)或未知數(shù)中含有分數(shù)。

2分數(shù)乘法應用題：

-

是指已知一個數(shù)，求它的幾分之幾是多少的應用題。

-

特征：已知單位“1”的量和分率，求及分率所對應的實際數(shù)量。

-

解題關鍵：精確推斷單位“1”的量。找準要求問題所對應的分率，然后依據(jù)一個數(shù)乘分數(shù)的意義正確列式。

3

分數(shù)除法應用題：

-

求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少。

-

特征：已知一個數(shù)和另一個數(shù)，求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾或百分之幾。“一個數(shù)”是比較量，“另一個數(shù)”是標準量。求分率或百分率，也就是求他們的倍數(shù)關系。

-

解題關鍵：從問題入手，搞清把誰看作標準的數(shù)也就是把誰看作了“單位一”，誰和單位一的量作比較，誰就作被除數(shù)。

-

甲是乙的幾分之幾（百分之幾）:甲是比較量，乙是標準量，用甲除以乙。

-

甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾）：甲減乙比乙多（或少幾分之幾）或（百分之幾）。關系式（甲數(shù)減乙數(shù)）/乙數(shù)或（甲數(shù)減乙數(shù)）/甲數(shù)

。-

已知一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾

）

,求這個數(shù)。

-

特征：已知一個實際數(shù)量和它相對應的分率，求單位“1”的量。

-

解題關鍵：精確推斷單位“1”的量把單位“1”的量看成x依據(jù)分數(shù)乘法的意義列方程，或者依據(jù)分數(shù)除法的意義列算式，但必需找準和分率相對應的已知實際

數(shù)量。

4

出勤率

發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)/試驗種子數(shù)×100%

小麥的出粉率=

面粉的重量/小麥的重量×100%

產(chǎn)品的合格率=合格的產(chǎn)品數(shù)/產(chǎn)品總數(shù)×100%

職工的出勤率=實際出勤人數(shù)/應出勤人數(shù)×100%

5

工程問題：

-

是分數(shù)應用題的特例，它及整數(shù)的工作問題有著親密的聯(lián)系。它是探討工作總量、工作效率和工作時間三個數(shù)量之間相互關系的一種應用題。

-

解題關鍵：把工作總量看作單位“1”，工作效率就是工作時間的倒數(shù)，然后依據(jù)題目的詳細狀況，敏捷運用公式。

-

數(shù)量關系式：

-

工作總量=工作效率×工作時間

-

工作效率=工作總量÷工作時間

-

工作時間=工作總量÷工作效率

-

工作總量÷工作效率和=合作時間

6

納稅

-

納稅就是把依據(jù)國家各種稅法的有關規(guī)定，依據(jù)一定的比率把集體或個人收入的一部分繳納給國家。

-

繳納的稅款叫應納稅款。

-

應納稅額及各種收入的（銷售額、營業(yè)額、應納稅所得額

……）的比率叫做稅率。

*

利息

存入銀行的錢叫做本金。

取款時銀行多支付的錢叫做利息。

利息及本金的比值叫做利率。

利息=本金×利率×時間

第二章

度量衡

一

長度

(一)

什么是長度

長度是一維空間的度量。

(二)

長度常用單位

*

公里(km)

*

米(m)

*

分米(dm)

*

厘米(cm)

*

毫米(mm)

*

微米(um)

(三)

單位之間的換算

*

1毫米

＝1000微米

*

1厘米

＝10

毫米

*

1分米

＝10

厘米

*

1米

＝1000

毫米

*

1千米

＝1000

米

二

面積

（一）什么是面積

面積，就是物體所占平面的大小。對立體物體的表面的多少的測量一般稱表面積。

（二）常用的面積單位

*

平方毫米

*

平方厘米

*

平方分米

*

平方米

*

平方千米

（三）面積單位的換算

*

1平方厘米

＝100

平方毫米

*

1平方分米=100平方厘米

*

1平方米

＝100

平方分米

*

1公傾

＝10000

平方米

*

1平方公里

＝100

公頃

三

體積和容積

（一）什么是體積、容積

體積，就是物體所占空間的大小。

容積，箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。

（二）常用單位

1

-

體積單位

*

立方米

*

立方分米

*

立方厘米

2

容積單位

*

升

*

毫升

（三）單位換算

1

體積單位

*

1立方米=1000立方分米

*

1立方分米=1000立方厘米

2

容積單位

*

1升=1000毫升

*

1升=1立方米

*

1毫升=1立方厘米

四

質(zhì)量

（一）什么是質(zhì)量

質(zhì)量，就是表示表示物體有多重。

（二）常用單位

*

噸

t

*

千克

kg

*

克

g

（三）常用換算

*

一噸=1000千克

*

1千克=1000克

五

時間

（一）什么是時間

是指有起點和終點的一段時間

（二）常用單位

*

世紀

*

*

月

*

日

*

時

*

分

*

秒

（三）單位換算

*

1世紀=100

*

1=365天

平

*

一=366天

閏

*

一、三、五、七、八、十、十二是大月

大月有31

天

*

四、六、九、十一是小月小月

小月有30天

*

平2月有28天

閏2月有29天

*

1天=

24小時

*

1小時=60分

*

一分=60秒

六

貨幣

（一）什么是貨幣

貨幣是充當一切商品的等價物的特別商品。貨幣是價值的一般代表，可以購買任何別的商品。

（二）常用單位

*

元

*

角

*

分

（三）單位換算

*

1元=10角

*

1角=10分

第三章

代數(shù)初步學問

一、用字母表示數(shù)

1

用字母表示數(shù)的意義和作用

*

用字母表示數(shù)，可以把數(shù)量關系簡明的表達出來，同時也可以表示運算的結(jié)果。

2用字母表示常見的數(shù)量關系、運算定律和性質(zhì)、幾何形體的計算公式

（1）

常見的數(shù)量關系

-

路程用s表示，速度v用表示，時間用t表示，三者之間的關系：

-

s=vt

v=s/t

-

t=s/v

-

總價用a表示，單價用b表示，數(shù)量用c表示，三者之間的關系:

-

a=bc

b=a/c

c=a/b

（2）運算定律和性質(zhì)

-

加法交換律：a+b=b+a

加法結(jié)合律：（a+b）+c=a+(b+c)

-

乘法交換律：ab=ba

乘法結(jié)合律：（ab）c=a(bc)

-

乘法安排律：（a+b）c=ac+bc

減法的性質(zhì)：a-(b+c)

=a-b-c

（3）用字母表示幾何形體的公式

-

長方形的長用a表示，寬用b表示，周長用c表示，面積用s表示。

-

c=2(a+b)

s=ab

-

正方形的邊長a用表示，周長用c表示，面積用s表示。

-

c=4a

s=a2

-

平行四邊形的底a用表示，高用h表示，面積用s表示。

-

s=ah

-

三角形的底用a表示，高用h表示，面積用s表示。

-

s=ah/2

-

梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位線用m表示，面積用s表示。

-

s=(a+b)h/2

s=mh

-

圓的半徑用r表示，直徑用d表示，周長用c表示，面積用s表示。

-

c=∏d=2∏r

s=∏

r2

-

扇形的半徑用r表示，n表示圓心角的度數(shù)，面積用s表示。

-

s=∏

nr2/360

-

長方體的長用a表示，寬用b表示，高用h表示，表面積用s表示，體積用v表示。

-

v=sh

-s=2(ab+ah+bh)

-

v=abh

-

正方體的棱長用a表示，底面周長c用表示，底面積用s表示，

體積用v表示.

-

s=6a2

v=a3

-

圓柱的高用h表示，底面周長用c表示，底面積用s表示，

體積用v表示.

-

s側(cè)=ch

s表=s側(cè)+2s底

v=sh

-

圓錐的高用h表示，底面積用s表示，

體積用v表示.

-

v=sh/3

3

用字母表示數(shù)的寫法

-

數(shù)字和字母、字母和字母相乘時，乘號可以記作“.”，或者省略不寫，數(shù)字要寫在字母的前面。

-

當“1”及任何字母相乘時，“1”省略不寫。

-

在一個問題中，同一個字母表示同一個量，不同的量用不同的字母表示。

-

用含有字母的式子表示問題的答案時，除數(shù)一般寫成分母，假如式子中有加號或者減號，要先用括號把含字母的式子括起來，再在括號后面寫上單位的名稱。

4將數(shù)值代入式子求值

*

把詳細的數(shù)代入式子求值時，要留意書寫格式：先寫出字母等于幾，然后寫出原式，再把數(shù)代入式子求值。字母表示的是數(shù)，后面不寫單位名稱。

*

同一個式子，式子中所含字母取不同的數(shù)值，則所求出的式子的值也不相同。

二、簡易方程

（一）方程和方程的解

1方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

-

留意方程是等式，又含有未知數(shù)，兩者缺一不行。

-

方程和算術(shù)式不同。算術(shù)式是一個式子，它由運算符號和已知數(shù)組成，它表示未知數(shù)。方程是一個等式，在方程里的未知數(shù)可以參與運算，并且只有當未知數(shù)為特定的數(shù)值時

，方程才成立

。

2

方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。

三、解方程

解方程，求方程的解的過程叫做解方程。

四、列方程解應用題

1

列方程解應用題的意義

*

用方程式去解答應用題求得應用題的未知量的方法。

2

列方程解答應用題的步驟

*

弄清題意，確定未知數(shù)并用x表示；

*

找出題中的數(shù)量之間的相等關系；

*

列方程，解方程；

*

檢查或驗算，寫出答案。

3列方程解應用題的方法

*

綜合法：先把應用題中已知數(shù)（量）和所設未知數(shù)（量）列成有關的代數(shù)式，再找出它們之間的等量關系，進而列出方程。這是從部分到整體的一種

思維過程，其思索方向是從已知到未知。

*

分析法：先找出等量關系，再依據(jù)詳細建立等量關系的須要，把應用題中已知數(shù)（量）和所設的未知數(shù)（量）列成有關的代數(shù)式進而列出方程。這是從整體到部分的一種思維過程，其思索方向是從未知到已知。

4列方程解應用題的范圍

小學范圍內(nèi)常用方程解的應用題：

a一般應用題；

b和倍、差倍問題；

c幾何形體的周長、面積、體積計算d

分數(shù)、百分數(shù)應用題；

e

比和比例應用題。

五

比和比例

1比的意義和性質(zhì)

（1）

比的意義

-

兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。

-

“：”是比號，讀作“比”。比號前面的數(shù)叫做比的前項，比號后面的數(shù)叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。

-

同除法比較，比的前項相當于被除數(shù)，后項相當于除數(shù)，比值相當于商。

-

比值通常用分數(shù)表示，也可以用小數(shù)表示，有時也可能是整數(shù)。

-

比的后項不能是零。

依據(jù)分數(shù)及除法的關系，可知比的前項相當于分子，后項相當于分母，比值相當于分數(shù)值。

（2）比的性質(zhì)

-

比的前項和后項同時乘上或者除以相同的數(shù)（0除外），比值不變，這叫做比的基本性質(zhì)。

（3）

求比值和化簡比

-

求比值的方法：用比的前項除以后項，它的結(jié)果是一個數(shù)值可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分數(shù)。

-

依據(jù)比的基本性質(zhì)可以把比化成最簡潔的整數(shù)比。它的結(jié)果必需是一個最簡比，即前、后項是互質(zhì)的數(shù)。

（4）比例尺

-

圖上距離：實際距離=比例尺

-

要求會求比例尺；已知圖上距離和比例尺求實際距離；已知實際距離和比例尺求圖上距離。

-

線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來表示和地面上相對應的實際距離。

（5）按比例安排

-

在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，經(jīng)常須要把一個數(shù)量依據(jù)一定的比來進行安排。這種安排的方法通常叫做按比例安排。

-

方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多少。

2

比例的意義和性質(zhì)

（1）

比例的意義

-

表示兩個比相等的式子叫做比例。

-

組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項。

-

兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內(nèi)項。

（2）比例的性質(zhì)

-

在比例里，兩個外項的積等于兩個兩個內(nèi)向的積。這叫做比例的基本性質(zhì)。

（3）解比例

-

依據(jù)比例的基本性質(zhì)，假如已知比例中的任何三項，就可以求出這個數(shù)比例中的另外一個未知項。求比例中的未知項，叫做解比例。

3

正比例和反比例

（1）

成正比例的量

-

兩種相關聯(lián)的量，一種量變更，另一種量也隨著變更，假如這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關系叫做正比例關系。

-

用字母表示y/x=k(一定)

（2）成反比例的量

-

兩種相關聯(lián)的量，一種量變更，另一種量也隨著變更，假如這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關系叫做反比例關系。

-

用字母表示x×y=k(一定)

第四章

幾何的初步學問

一

線和角

（1）線

*

直線

-

直線沒有端點；長度無限；過一點可以畫多數(shù)條，過兩點只能畫一條直線。

*

射線

-

射線只有一個端點；長度無限。

*

線段

-

線段有兩個端點，它是直線的一部分；長度有限；兩點的連線中，線段為最短。

*

平行線

-

在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

-

兩條平行線之間的垂線長度都相等。

*

垂線

-

兩條直線相交成直角時，這兩條直線叫做相互垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線,相交的點叫做垂足。

-

從直線外一點到這條直線所畫的垂線的長叫做這點到直線的距離。

（2）角

（1）-

從一點引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。這個點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。

（2）角的分類

-

銳角：小于90°的角叫做銳角。

-

直角：等于90°的角叫做直角。

-

鈍角：大于90°而小于180°的角叫做鈍角。

-

平角：角的兩邊成一條直線，這時所組成的角叫做平角。平角180°。

-

周角：角的一邊旋轉(zhuǎn)一周，及另一邊重合。周角是360°。

二

平面圖形

1長方形

（1）特征

-

對邊相等，4個角都是直角的四邊形。有兩條對稱軸。

（2）計算公式

-

c=2(a+b)

-

s=ab

2正方形

（1）特征：

-

四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形。有4條對稱軸。

（2）

2）計算公式

-

c=4a

s=a2

3三角形

（1）特征

-

由三條線段圍成的圖形。內(nèi)角和是180度。三角形具有穩(wěn)定性。三角形有三條高。

（2）計算公式

-

s=ah/2

（3）

分類

-

按角分

-

銳角三角形

：三個角都是銳角。

-

直角三角形

：有一個角是直角。等腰三角形的兩個銳角各為45度，它有一條對稱軸。

-

鈍角三角形：有一個角是鈍角。

-

按邊分

-

不等邊三角形：三條邊長度不相等。

-

等腰三角形：有兩條邊長度相等；兩個底角相等；有一條對稱軸。

-

等邊三角形：三條邊長度都相等；三個內(nèi)角都是60度；有三條對稱軸。

4平行四邊形

（1）

特征

-

兩組對邊分別平行的四邊形。

-

相對的邊平行且相等。對角相等，相鄰的兩個角的度數(shù)之和為180度。平行四邊形簡潔變形。

（2）

計算公式

s=ah

5

梯形

（1）特征

-

只有一組對邊平行的四邊形。

-

中位線等于上下底和的一半。

-

等腰梯形有一條對稱軸。

（2）

公式

-

s=(a+b)h/2=mh

6

圓

（1）

圓的相識

-

平面上的一種曲線圖形。

-

圓中心的一點叫做圓心。一般用字母o表示。

-

半徑：連接圓心和圓上隨意一點的線段叫做半徑。一般用r表示。

-

在同一個圓里，有多數(shù)條半徑，每條半徑的長度都相等。

-

通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示。

-

同一個圓里有多數(shù)條直徑，全部的直徑都相等。

-

同一個圓里，直徑等于兩個半徑的長度，即d=2r。

-

圓的大小由半徑確定。

-

圓有多數(shù)條對稱軸。

（2）圓的畫法

-

把圓規(guī)的兩腳分開，定好兩腳間的距離（即半徑）；

-

把有針尖的一只腳固定在一點（即圓心）上；

-

把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉(zhuǎn)一周，就畫出一個圓。

（3）

圓的周長

圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。

把圓的周長和直徑的比值叫做圓周率。用字母∏表示。

（4）

圓的面積

圓所占平面的大小叫做圓的面積。

（5）計算公式

d=2r

r=d/2

-

c=∏d

c=2∏r

-

s=∏r2

7扇形

（1）

扇形的相識

-

一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。

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圓上AB兩點之間的部分叫做弧，讀作“弧AB”。

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頂點在圓心