山東省青島市青島第二中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末檢測(cè)試題含解析

山東省青島市青島第二中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是A. B.C. D.2．已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形,則該正方體的正視圖的面積可能等于A. B.C. D.23．已知直線，與平行，則的值是（）A0或1 B.1或C.0或 D.4．函數(shù)在區(qū)間的圖象大致是（）A. B.C. D.5．已知直二面角,點(diǎn)，,為垂足,，,為垂足．若，則到平面的距離等于A. B.C. D.16．如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，過(guò)，，三點(diǎn)的平面截正四棱柱所得的截面面積為（）A.2 B.C. D.7．如果全集,,,則A. B.C. D.8．下圖是一幾何體的平面展開(kāi)圖，其中四邊形為正方形，，，，為全等的等邊三角形，分別為的中點(diǎn).在此幾何體中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的為A.直線與直線共面 B.直線與直線是異面直線C.平面平面 D.面與面的交線與平行9．若斜率為2的直線經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，則a，b的值是A.， B.，C.， D.，10．函數(shù)，值域是()A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知集合（1）當(dāng)時(shí)，求的非空真子集的個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍12．若，則___________13．函數(shù)的部分圖像如圖所示，軸，則_________，_________14．梅州城區(qū)某公園有一座摩天輪，其旋轉(zhuǎn)半徑30米，最高點(diǎn)距離地面70米，勻速運(yùn)行一周大約18分鐘.某人在最低點(diǎn)的位置坐上摩天輪，則第12分鐘時(shí)，他距地面大約為_(kāi)__________米.15．設(shè)x，．若，且，則的最大值為_(kāi)__16．若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.18．已知函數(shù)，，.（1）若，求函數(shù)的解析式；（2）試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明.19．直線l經(jīng)過(guò)兩直線l1:2x-y+4=0與l2:x-y+5=0的交點(diǎn),且與直線x-2y-6=0垂直.(1)求直線l的方程.(2)若點(diǎn)P(a,1)到直線l的距離為,求實(shí)數(shù)a的值.20．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.21．如圖所示,是圓柱的母線,是圓柱底面圓的直徑,是底面圓周上異于的任意一點(diǎn),.(1)求證:；(2)求三棱錐體積的最大值,并寫(xiě)出此時(shí)三棱錐外接球的表面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】詳解】，，，故選B點(diǎn)睛：利用指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)比較實(shí)數(shù)或式子的大小，一方面要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)或式子形式的異同，底數(shù)相同，考慮指數(shù)函數(shù)增減性，指數(shù)相同考慮冪函數(shù)的增減性，當(dāng)都不相同時(shí)，考慮分析數(shù)或式子的大致范圍，來(lái)進(jìn)行比較大小，另一方面注意特殊值的應(yīng)用，有時(shí)候要借助其“橋梁”作用，來(lái)比較大小2、C【解析】如果主視圖是從垂直于正方體的面看過(guò)去，則其面積為1；如果斜對(duì)著正方體的某表面看，其面積就變大，最大時(shí)，（是正對(duì)著正方體某豎著的棱看），面積為以上表面的對(duì)角線為長(zhǎng)，以棱長(zhǎng)為寬的長(zhǎng)方形，其面積為，可得主視圖面積最小是1，最大是，故選C.點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫(huà)出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫(huà)出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫(huà)出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.3、C【解析】由題意得：或，故選C.考點(diǎn)：直線平行的充要條件4、C【解析】判斷函數(shù)非奇非偶函數(shù)，排除選項(xiàng)A、B，在計(jì)算時(shí)的函數(shù)值可排除選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，所以既不是奇函?shù)也不是偶函數(shù)，排除選項(xiàng)A、B，因?yàn)?，排除選項(xiàng)D，故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.5、C【解析】如圖，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)因?yàn)闉橹倍娼?，，所以，從而可得．又因?yàn)?，所以面，故的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的距離在中，因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以．則在中，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，故選C6、D【解析】根據(jù)題意畫(huà)出截面，得到截面為菱形，從而可求出截面的面積.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樵搸缀误w為正四棱柱，∴故四邊形為平行四邊形，所以，又，∴，同理，且，所以過(guò)，，三點(diǎn)平面截正四棱柱所得的截面為菱形，所以該菱形的面積為.故選：D7、A【解析】根據(jù)題意,先確定的范圍,再求出即可.【詳解】,,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題.8、C【解析】畫(huà)出幾何體的圖形，如圖，由題意可知，A，直線BE與直線CF共面，正確，因?yàn)镋，F(xiàn)是PA與PD的中點(diǎn)，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直線BE與直線CF是共面直線；B，直線BE與直線AF異面；滿足異面直線的定義，正確C，因?yàn)椤鱌AB是等腰三角形，BE與PA的關(guān)系不能確定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正確D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD與面PBC的交線與BC平行，正確故答案選C9、C【解析】根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式列方程解得結(jié)果.【詳解】斜率為直線經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，∴，解得，．選C.【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間斜率公式，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.10、A【解析】令，求出g(t)的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求f(x)值域.【詳解】令，則，則，故選：A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、（1）30（2）或【解析】（1）當(dāng)時(shí)，可得中元素的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得的非空真子集的個(gè)數(shù)；（2）根據(jù)，可分和兩種情況討論，可得出實(shí)數(shù)的取值范圍【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，共有5個(gè)元素，所以的非空真子集的個(gè)數(shù)為【小問(wèn)2詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得；（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得或解得：或綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是或12、【解析】只需對(duì)分子分母同時(shí)除以，將原式轉(zhuǎn)化成關(guān)于的表達(dá)式，最后利用方程思想求出．再利用二倍角的正切公式，即可求得結(jié)論【詳解】解：，即，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，考查二倍角的正切公式，正確運(yùn)用公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題13、①.2②.##【解析】根據(jù)最低點(diǎn)的坐標(biāo)和函數(shù)的零點(diǎn)，可以求出周期，進(jìn)而可以求出的值，再把最低點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中，最后求出的值.【詳解】通過(guò)函數(shù)的圖象可知，點(diǎn)B、C的中點(diǎn)為，與它隔一個(gè)零點(diǎn)是，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，而，把代入函數(shù)解析式中，得.故答案為：；14、55【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，第分鐘時(shí)所在位置的高度為，設(shè)出其三角函數(shù)的表達(dá)式，由題意，得出其周期，求出解析式，然后將代入，可得答案.【詳解】如圖設(shè)為地面，圓為摩天輪，其旋轉(zhuǎn)半徑30米，最高點(diǎn)距離地面70米.則摩天輪的最低點(diǎn)離地面10米，即以所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.某人在最低點(diǎn)的位置坐上摩天輪，則第分鐘時(shí)所在位置的高度為則由題意，,則，所以當(dāng)時(shí)，故答案為：5515、##1.5【解析】由化簡(jiǎn)得，再由基本不等式可求得，從而確定最大值【詳解】，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即取等號(hào)，，解得，故，故的最大值為，故答案為：16、27【解析】代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求出冪函數(shù)解析式即可求,【詳解】設(shè)代入，即，所以，所以.故答案為：27.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）最大值為，最小值為..【解析】（1）根據(jù)最小正周期的計(jì)算公式求解出的最小正周期；（2）先求解出的取值范圍，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解出在區(qū)間上的最值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故在區(qū)間上的最大值為，最小值為.18、（1）（2）見(jiàn)解析.【解析】(1)由求a的值即可；(2)根據(jù)a的大小分類討論即可.【小問(wèn)1詳解】；【小問(wèn)2詳解】任取，且，則，，，①時(shí)，，在單調(diào)遞增；②時(shí)，(i)時(shí)，單調(diào)遞減；(ii)時(shí)，單調(diào)遞增；即時(shí)，f(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；③時(shí)，，在單調(diào)遞減.綜上所述，時(shí)，在單調(diào)遞增；時(shí)，f(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；時(shí)，在單調(diào)遞減.19、（1）；（2）或【解析】（1）解方程組可得直線的交點(diǎn)為(1,6)，然后根據(jù)垂直可得直線l的斜率，由點(diǎn)斜式可得l的方程；（2）有點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得a=1或a=6，即為所求試題解析：(1)由得所以直線l1與l2的交點(diǎn)為(1,6),又直線l垂直于直線x-2y-6=0所以直線l的斜率為k=-2，故直線l的方程為y-6=-2(x-1),即2x+y-8=0(2)因?yàn)辄c(diǎn)P(a,1)到直線l的距離等于,所以=,解得a=1或a=6.所以實(shí)數(shù)a的值為1或6.20、（1）偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）為偶函數(shù)，利用偶函數(shù)定義證明即可；（2）轉(zhuǎn)化為，利用均值不等式可求解的最大值，利用一次函數(shù)性質(zhì)求解的最大值，分析即得解.【小問(wèn)1詳解】為偶函數(shù)證明：，故，解得的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為偶函數(shù)【小問(wèn)2詳解】若對(duì)任意的，總存在，使得成立則又，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)所以所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為21、(1)見(jiàn)解析；(2).【解析】（1）由圓柱易知平面，所以，由圓的性質(zhì)易得，進(jìn)而可證平面；（2）由已知得三棱錐的高,當(dāng)直角的面積最大時(shí),三棱錐的體積最大,當(dāng)點(diǎn)在弧中點(diǎn)時(shí)最大,此時(shí)外接球的直徑即可得解.試題解析：(1)證明:∵已知是圓柱的母線,.∴平面∵是圓柱底面圓的直徑,是底面圓周上異于的任意一點(diǎn),∴,又,∴平面又平面(2)解:由已知得三棱錐的高,當(dāng)直角的面積最大時(shí),三棱錐的體積最大,當(dāng)點(diǎn)在弧中點(diǎn)時(shí)最大,,結(jié)合(1)可得三棱錐的外接球的直徑即為,所以此時(shí)外接球的直徑..點(diǎn)睛：一般外接球需要求球心