2024-2025學(xué)年湖南省株洲某中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年湖南省株洲二中高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合M={（a,b）|ab=16,a,beN*},則M中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

2.已知直線4：ax+4y-2=0與直線2久一5y+b=0互相垂直，垂足為（1,c）,則a+b+c的值為

（）

A.-4B.20C.0D.24

3.已知△ABC內(nèi)角4,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,a=bcosC,則△ABC形狀一定是（）

A.等腰直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.直角三角形

4.設(shè)n是兩條不同的直線，a,0,y是三個(gè)不同的平面，下列說法中正確的序號(hào)為（）

①若mua,n//a,則zn,幾為異面直線②若a//y,0//y,則a//￡

③若znlS，7nly,al/7,貝④若m1a,m//n,則a1￡

⑤若21a,n//￡,a//￡,貝！1n

A.②③⑤B.①②⑤C.④⑤D.①③

上，則=()

5.已知點(diǎn)P（0,—1）關(guān)于直線x—y+1=。對(duì)稱的點(diǎn)Q在圓C：%2+y2+mx_|_4=07n

A.4B4D-l

6.在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間沒有發(fā)生規(guī)模性感染的標(biāo)志為“連續(xù)10

天，每天新增疑似病例不超過7人”.根據(jù)過去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該

標(biāo)志的城市是（）

A.甲：中位數(shù)為2,眾數(shù)為3B.乙：總體均值為3,中位數(shù)為4

C.丙：總體均值為2,總體方差為3D.?。嚎傮w均值為1,總體方差大于0

7.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體力BCD中，P為線段BiC上的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.直線&P與BD所成的角不可能是

B.當(dāng)BiP=2PC時(shí)，點(diǎn)A到平面&BP的距離為爭(zhēng)

C.當(dāng)B]P=2PC時(shí)，AP=

D.若瓦萬=則二面角B-4P-的平面角的正弦值為唱BC

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8.在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡(jiǎn)便并且更加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù)：定義

1-cos。為角6的正矢，記作uersin。；定義1-s譏。為角。的余矢，記作covers。，則下列命題正確的是()

A.函數(shù)f(%)=versinx—coversx+1的對(duì)稱中心為(/CTT—l)kGZ

B.若g(%)=versinx-coversx-1,則g(%)的最大值為+1

C.^h(x)=versin2x-coversx+1,h(a)=1且0VaV則圓心角為a,半徑為3的扇形的面積為與

-,4-^versinx—lV_2icovers3x—l1

D.右--------=—,則mt---------=-

coversx—12coversx—13

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.下列四個(gè)命題中，是真命題的是()

1

A.VxGR且%W0,x+->2

x

B.3%G/?,使得汽2+1<2x

c-若x>o，y>。，用2黑

D.若久出，則與空的最小值為1

22x—4

10.設(shè)復(fù)數(shù)Z的共軌復(fù)數(shù)為3,i為虛數(shù)單位，則下列命題錯(cuò)誤的是()

A.z2=\z\2

B.若z=cos2+isin2,貝！Jz在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

C.z=會(huì)是純虛數(shù)

l+2i

D.若|z—3+44=1,則|z|的最大值是6

11.設(shè)a為正實(shí)數(shù)，定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)+f(a)=1,且對(duì)任意的x,yER,都有/(久+y)=

f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)則成立，則()

1

A./(a)=5或/(a)=1B./(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱

C.fQ)為奇函數(shù)D./(%+4a)=/(%)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在校園乒乓球比賽中，甲、乙進(jìn)入決賽，賽制為“三局兩勝”.若在每局比賽中甲獲勝的概率為左乙獲

勝的概率為則乙獲得冠軍的概率為.

13.已知圓錐的母線長(zhǎng)為2,其外接球表面積為琴，則圓錐的高為.

14.規(guī)定：Max{a,b}=，'設(shè)函數(shù)/'(x)=Max{sina)x,cosa>x](a)>0),若函數(shù)/(x)在(再)上單調(diào)遞

增，則實(shí)數(shù)3的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知點(diǎn)苧)為圓C上的一點(diǎn)，圓心C坐標(biāo)為(1,0),且過點(diǎn)力的直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)為

(1)求圓C的方程；

(2)求直線，的方程.

16.(本小題12分)

2024年8月12日，巴黎奧運(yùn)會(huì)在法國巴黎成功舉行閉幕式.組委會(huì)抽取100名觀眾進(jìn)行了奧運(yùn)會(huì)知識(shí)競(jìng)賽并

記錄得分(滿分：100,所有人的成績(jī)都在[40,100]內(nèi))，根據(jù)得分將他們的成績(jī)分成[40,50),[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求圖中a的值；

(2)估計(jì)這100人競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)、眾數(shù)及中位數(shù).

17.(本小題12分)

如圖，在直四棱柱ABCD中，底面四邊形4BCD為梯形，AD//BC,AB=AD=2,BD=

2HBe=4.

⑴證明:

(2)若直線AB與平面Bi。/所成角的正弦值為半，點(diǎn)M為線段BD上一點(diǎn)，求點(diǎn)M到平面的距離.

18.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(x)=sin2xcos<p—cos2xcos(^+?)(0<\(p\<今，對(duì)VxGR,有/(%)<|/(^)|

(1)求3的值及/(?的單調(diào)遞增區(qū)間：

(2)在△ABC中，已知a=4,f(B)=1,其面積為54，求b；

(3)將函數(shù)y=f(x)圖象上的所有點(diǎn)，向右平移芻個(gè)單位后，再將所得圖象上的所有點(diǎn)，縱坐標(biāo)不變，橫坐

標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)y=g(X)的圖象，若mxe[0,初,+s譏2%W2nI?-3m,求實(shí)數(shù)的取

值范圍

19.(本小題12分)

已知集合4={1,2,3,eN,n>3),WU4且W中元素的個(gè)數(shù)為?n(m22),若存在a,vEW(uv

得n+u為2的正整數(shù)指數(shù)累，則稱W為4的弱P(m)子集；若對(duì)任意的s,teW(s力t),s+t均為2的正整

數(shù)指則稱皿為4的強(qiáng)P(m)子集.

(I)請(qǐng)判斷集合名={1,2,3}和1%={2,3,4}是否為力的弱P(3)子集，并說明理由；

(II)是否存在力的強(qiáng)P(3)子集？若存在，請(qǐng)寫出一個(gè)例子；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(III)若幾=11,且4的任意一個(gè)元素個(gè)數(shù)為TH的子集都是4的弱P(zn)子集，求小的最小值.

參考答案

l.c

2.A

3.D

4.A

5.B

6.C

1.D

8.D

9.BCD

10.AB

11.AD

以1232—

13.73

14噂1]U百,4]

15.解：(1)設(shè)圓C的半徑為r,

則|4C|=r=J0—1尸+(苧-0)2=1,

則圓C的方程為(％-I/+必=1;

(2)因?yàn)閳AC的半徑為1,

所以當(dāng)直線/與圓相交所得的弦長(zhǎng)為其時(shí)，圓心C到直線I的距離為=p

當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí)，直線/：此時(shí)圓心C到直線I的距離為a滿足題意.

當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)直線Z：y-苧=依久—手，即2kx—2y+C—k=0,

jjiy|2/c+0+V5-_1

、J(2k)2+(-2)22

解得k=—苧，

代入①得：x+V~3y-2=0,

綜上，直線/的方程為久=3或尤+Cy—2=0.

16.解：(1)由題意知(0.005+a+0.020+0.030+0.025+0.005)X10=1,

即0.085+a=0.1,得a=0.015.

(2)由頻率分布直方圖可知這100人競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)約為45x0.05+55x0.15+65x0.20+75x0.30+

85x0.25+95x0.05=72分，

眾數(shù)約為誓=75分，

前3組的頻率為0.05+0.15+0.2=0.4,

前4組的頻率為0.05+0.15+0.2+0.3=0.7,

所以中位數(shù)為70+琮/X10=70+y=竽分.

17.(1)證明：因?yàn)锳B=4D=2,BD=272，

所以AB2+4。2=8=B￡)2,所以4D,

因?yàn)?8CD為直四棱柱，所以4414B,

因?yàn)閆iAC力。=4,ArA,ADu平面

所以48_L平面ADDiA，

因?yàn)樗訟B11平面4DD1&,

因?yàn)榱Α?gt;iu平面力所以1皿；

(2)解：由(1)及題意知，AB,AD,兩兩垂直，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4B=2。=2,BD=272,BC=4,設(shè)=h(h>0),

所以2(0,0,0),5(2,0,0),當(dāng)(2,0,初,C(2,4,0),5(0,2,九),￡>(0,2,0),

所以荏=(2,0,0),鬲=(0,-4,=(-2,-2,h),BC=(0,4,0),RD=(-2,2,0)，

設(shè)平面BiCD]的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

_----->―----->^(n-CB[=—4v+hz=0

則由元ICBi，n1CD有<一_1，

P1n-CD]=-2x—2y+hz=0

令z=4,則x=y=h,可得記=(h,h,4),

設(shè)直線與平面/CDi所成的角為仇

質(zhì)宿_|2川76

則sin。=cos<AB,n>

而二百十缶7"，

解得九=2,所以元=(2,2,4),

所以點(diǎn)B到平面/CD］的距離d=嚅=洗=竽，

因?yàn)榍?n=-2x2+2x2+4x0=0,所以前1n，

因?yàn)锽DC平面BiCDi，所以BD〃平面

因?yàn)镸在線段2。上，

所以點(diǎn)M到平面B/D]的距離等價(jià)于點(diǎn)B到平面BiCDi的距離，

故點(diǎn)M到平面Bi。5的距離為竽.

18.解：(l)/(x)=sin2xcos(p—cos2xcos(^+<p)—sin2xcos<p+cos2xsin(p=sin(2x+<p),

對(duì)有f(%)<|/?)|，故fG)=sin(與+R)=±1,

所以年+w=g+ku,kEZ,解得0=-g+kir,kEZf

因?yàn)?<|0]<9故只有當(dāng)k=o時(shí)，滿足要求，故9=—?

Zo

/(%)=sin(2x—,令-5+2/CTT<2%—^<^+2kn,kEZ,

解得一+kji4％工(+ku,kEZf

所以/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為[*+而(+㈣水GZ；

(2)/(B)=sin(2B-^)=l,

因?yàn)?￡(0,TT),所以28—*E(―，，”今，即28—3=*解得B=T，

6、666Z3

a=4,S^ABC-|acsinB—5V-3,即2c?苧=5，^，解得c—5,

由余弦定理得力2=a2+c2-2accosB=16+25—2x4x5x-=21,

解得b=/21；

(3)y=/(%)圖象上的所有點(diǎn)，向右平移去個(gè)單位后，得到y(tǒng)=sin(2%-合工)=sin(2x

再將所得圖象上的所有點(diǎn)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到g(%)=sin(%-勻，

3%E[0,n],v^sinfx—7)+sin2x<2m2—3m,

4

BP3%G[0,71],sinx—cosx+2sinxcosx<2m2—3m,

令sinx—cosx=t,貝！Jt=V_2sin(x—7)6[—1,y/~2],

貝吃sinxcosK=1—(sinx—cosx)2=1—t2,

故mtG[-1,―/+t+142?n^—377ir

其中—/+「+1=—-11)2+",當(dāng)t=-1時(shí)，—/+「+1取得最小值，最小值為-1,

-1

所以一1<2m2-3m,解得m>1或m

所以實(shí)數(shù)小的取值范圍是(一83U[1,+00).

19.1?：(1)名是4的弱。(3)子集，隊(duì)不是4的弱P(3)子集.

理由如下：1+3=22,電中存在兩個(gè)元素的和是2的正整數(shù)指數(shù)塞，所以明是4的弱P(3)子集.

2+3=5,3=4=7,2+4=6