2025屆湖北省孝感市普通高中聯(lián)考協(xié)作體高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2025屆湖北省孝感市普通高中聯(lián)考協(xié)作體高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓的離心率，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若定點(diǎn)，則的最大值為A. B.C. D.2．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3．一組“城市平安建設(shè)”的滿意度測(cè)評(píng)結(jié)果，，…，的平均數(shù)為116分，則，，…，，116的（）A.平均數(shù)變小 B.平均數(shù)不變C.標(biāo)準(zhǔn)差不變 D.標(biāo)準(zhǔn)差變大4．是首項(xiàng)和公差均為3的等差數(shù)列，如果，則n等于（）A.671 B.672C.673 D.6745．已知命題，，則（）A.， B.，C.， D.，6．與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線的方程為（）A. B.C. D.7．已知等差數(shù)列的公差，是與的等比中項(xiàng)，則（）A. B.C. D.8．已知圓，則圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為（）A.-1 B.C.+1 D.69．《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問(wèn)題：“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例（即百分比）為“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁分別分得，，，，遞減的比例為，那么“衰分比”就等于，今共有糧石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，已知乙分得石，甲、丙所得之和為石，則“衰分比”為（）A. B.C. D.10．如圖所示，為了測(cè)量A，B處島嶼的距離，小張?jiān)贒處觀測(cè)，測(cè)得A，B分別在D處的北偏西、北偏東方向，再往正東方向行駛10海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（）海里.A. B.C. D.1011．正方體中，E、F分別是與的中點(diǎn)，則直線ED與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線為直線l，則l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_(kāi)__________.14．已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.15．如圖，一個(gè)酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬cm，杯深8cm，稱為拋物線酒杯．①在杯口放一個(gè)表面積為的玻璃球，則球面上的點(diǎn)到杯底的最小距離為_(kāi)_____cm；②在杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的取值范圍為_(kāi)_____(單位：cm)16．已知數(shù)列則是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，，，分別是，的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.18．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）某中醫(yī)藥研究所研制出一種新型抗過(guò)敏藥物，服用后需要檢驗(yàn)血液抗體是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有n（n∈N*）份血液樣本，每個(gè)樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：①逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)n次；②混合檢驗(yàn)，將其中k（k∈N*，2≤k≤n）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若結(jié)果為陰性，則這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只需檢驗(yàn)一次就夠了，若檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份血液究竟哪份為陽(yáng)性，就需要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為k+1次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是相互獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性的概率為p（0＜p＜1）.（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有兩份樣本為陽(yáng)性，若采取逐份檢驗(yàn)的方式，求恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率.（2）現(xiàn)取其中的k（k∈N*，2≤k≤n）份血液樣本，采用逐份檢驗(yàn)的方式，樣本需要檢驗(yàn)的次數(shù)記為ξ1；采用混合檢驗(yàn)的方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)記為ξ2.（i）若k＝4，且，試運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，求p的值；（ii）若，證明：.20．（12分）已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)M（）（1）求圓C的方程；（2）已知點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，試求點(diǎn)P到直線的距離的最小值；21．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，若點(diǎn)P為棱上一點(diǎn)，且，Q，R分別為棱上的點(diǎn)，且.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.22．（10分）自疫情爆發(fā)以來(lái)，由于黨和國(guó)家對(duì)抗疫工作高度重視，在人民群眾的不懈努力下，我國(guó)抗疫工作取得階段性成功，國(guó)家經(jīng)濟(jì)很快得到復(fù)蘇.在餐飲業(yè)恢復(fù)營(yíng)業(yè)后，某快餐店統(tǒng)計(jì)了近天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)，將前天的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到頻率分布表和頻率分布直方圖.組別分組頻數(shù)頻率第組第組第組第組第組合計(jì)（1）求、、的值，并估計(jì)該快餐店在前天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)；（2）已知該快餐店在前50天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的方差為，在后天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)為、方差為，估計(jì)這家快餐店這天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)和方差.（）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】首先求得橢圓方程，然后確定的最大值即可.【詳解】由題意可得：，據(jù)此可得：，橢圓方程為，設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故：，當(dāng)時(shí)，.本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程問(wèn)題，橢圓中的最值問(wèn)題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義直接判斷即可.【詳解】若，則，即或，推不出；反過(guò)來(lái)，若，可推出.故“”是“”的充分不必要條件故選：A.3、B【解析】利用平均數(shù)、方差的定義和性質(zhì)直接求出，，…，，116的平均數(shù)、方差從而可得答案.【詳解】，，…，的平均數(shù)為116分，則，，…，，116的平均數(shù)為設(shè)，，…，的方差為則所以則，，…，，116的方差為所以，，…，，116的平均數(shù)不變，方差變小.標(biāo)準(zhǔn)差變小.故選：B4、D【解析】根據(jù)題意，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，令，解得.故選：D5、C【解析】利用全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】命題為全稱量詞命題，該命題的否定為，.故選：C.6、D【解析】點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此即可求解.【詳解】設(shè)(x，y)是與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線上任意一點(diǎn)，則(x，－y)在上，故，∴與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線的方程為.故選：D.7、C【解析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得即可求.【詳解】由，則，可得.故選：C.8、A【解析】先求出圓心和半徑，求出圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，從而求出圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值.【詳解】變形為，故圓心為，半徑為1，故圓心到原點(diǎn)的距離為，故圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最小值為.故選：A9、A【解析】根據(jù)題意，設(shè)衰分比為，甲分到石，，然后可得和，解出、的值即可【詳解】根據(jù)題意，設(shè)衰分比為，甲分到石，，又由今共有糧食石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，已知乙分得90石，甲、丙所得之和為164石，則，，解得：，，故選：A10、C【解析】分別在和中，求得的長(zhǎng)度，再在中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】如圖所示，可得，所以，在中，可得，在直角中，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理可得，所?故選：C.11、A【解析】以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出E,F,D,D1點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量求法求解【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則，,，,,直線與所成角的余弦值為：.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求法，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】求出，代值計(jì)算可得的值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，故.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出切線方程，分別得到直線與x、y軸交點(diǎn)，即可求出三角形的面積.【詳解】由函數(shù)可得：函數(shù)，所以，.所以切線l：，即.令，得到；令，得到；所以l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.故答案為：.14、【解析】根據(jù)充分性和必要性，求得參數(shù)取值范圍，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閜：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，故集合為集合的真子集，故只需.故答案為：.15、①.②.【解析】根據(jù)題意，，進(jìn)而得，，故最小距離為；進(jìn)而建立坐標(biāo)系，得拋物線方程為，當(dāng)杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，此時(shí)設(shè)玻璃球軸截面所在圓的方程為，進(jìn)而只需滿足拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立，再根據(jù)幾何關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)楸诜乓粋€(gè)表面積為的玻璃球，所以球的半徑為，又因?yàn)楸趯抍m，所以如圖1所示，有，所以，所以，所以，又因?yàn)楸?cm，即故最小距離為如圖1所示，建立直角坐標(biāo)系，易知，設(shè)拋物線的方程為，所以將代入得，故拋物線方程為，當(dāng)杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，如圖2，設(shè)玻璃球軸截面所在圓的方程為，依題意，需滿足拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立，即，則有恒成立，解得，可得.所以玻璃球的半徑的取值范圍為.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)建模能力，運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題第二問(wèn)解題的關(guān)鍵在于設(shè)出球觸及酒杯底部的軸截面圓的方程，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立求解.16、12【解析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)的特點(diǎn)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】數(shù)列中每一項(xiàng)被開(kāi)方數(shù)分別為：6，10，14，18，22，…，因此這些被開(kāi)方數(shù)是以6為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為，其通項(xiàng)公式為：，設(shè)數(shù)列為，所以，于是有，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】分析：依題意可知兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，（1）利用直線的方向向量和平面的法向量垂直，即可證得線面平面；（2）求出兩個(gè)平面的法向量，利用兩個(gè)向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：依條件可知、、兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)條件容易求出如下各點(diǎn)坐標(biāo)：，，，，，，，.（Ⅰ）證明：∵，，是平面的一個(gè)法向量，且，所以.又∵平面，∴平面；（Ⅱ）設(shè)是平面的法向量，因?yàn)?，，由，?解得平面的一個(gè)法向量，由已知，平面的一個(gè)法向量為，，∴二面角的余弦值是.點(diǎn)睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減化簡(jiǎn)可得，再對(duì)等式兩邊同時(shí)減去1，化簡(jiǎn)可證得結(jié)論，（2）由（1）得，然后利用分組求和可求出【小問(wèn)1詳解】由已知得，.當(dāng)時(shí)，.兩式相減得，.于是，即，又，，，所以滿足上式，所以對(duì)都成立，故數(shù)列是等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，.19、（1）；（2）（i）；（ii）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)為事件A，由古典概型概率計(jì)算公式可得答案；（2）（i）由已知，可能取值分別為1，，求解概率然后求期望推出關(guān)于的關(guān)系式；（ii）由，計(jì)算出，再由，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最值可得答案..【詳解】（1）設(shè)恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)為事件A，所以前2次檢驗(yàn)中有一陽(yáng)性有一陰性樣本第三次為陽(yáng)性樣本，或者前3次均為陰性樣本，則.（2）（i），所以，可能取值分別為1，，，，因?yàn)榈茫驗(yàn)?，所以?（ii）因?yàn)?，由（i）知，所以，設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，所以由于，所以，即，得證.【（4）（5）選做】20、（1）（2）【解析】（1）由圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，求得圓的半徑，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解；（2）由點(diǎn)到直線的距離公式，求得圓心到直線l的距離為，進(jìn)而得到點(diǎn)P到直線的距離的最小值為，得出答案.【詳解】（1）由題意，圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，所以圓C的半徑為，所以圓C的方程為.（2）由題意，圓心到直線l的距離為，所以P到直線的距離的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用直線與圓的位置關(guān)系合理轉(zhuǎn)化是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）（2）【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角；（2）用空間向量法求二面角【小問(wèn)1詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.當(dāng)時(shí)，，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，即不妨得，，又，所以，則【小問(wèn)2詳解】在長(zhǎng)方體中，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，因?yàn)槠矫媾c平面交于，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，所以平面，即為平面的一個(gè)法向量，，所以，又平面的法向量為，所以.22、（1），，，平均數(shù)為；（2）平均