1.2.2圓的一般方程課件高二上學期數(shù)學北師大版選擇性

2.2圓的一般方程第一章直線與圓北師大版

數(shù)學

選擇性必修第一冊基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標課程標準1.理解圓的一般方程及其特點.2.掌握圓的一般方程和標準方程的互化.3.會求圓的一般方程以及與圓有關的簡單的軌跡方程問題.基礎落實·必備知識一遍過知識點1

圓的一般方程

名師點睛1.當D2+E2-4F=0時,方程表示一個點

;當D2+E2-4F<0時,方程不表示任何圖形.2.二元二次方程要想表示圓,需x2和y2的系數(shù)相同且不為0,沒有xy這樣的二次項.3.幾個常見圓的一般方程(1)過原點的圓的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全為0);(2)圓心在y軸上的圓的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);(3)圓心在x軸上的圓的方程:x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);(4)圓心在x軸上且過原點的圓的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);(5)圓心在y軸上且過原點的圓的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).思考辨析1.把圓的標準方程(x-1)2+(y+2)2=9展開并化為等號右端為零的形式,得到的方程有什么特點?2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓需要滿足哪些條件?提示

展開后得到x2+y2-2x+4y-4=0,方程為二元二次方程,且x2,y2的系數(shù)相等且不為零,不含xy項.提示

需滿足的條件為①A=C,且均不為0;②B=0;③D2+E2-4AF>0.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)同一個圓的一般方程可以與它的標準方程互化.(

)(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某個圓的方程.(

)(3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圓,則E≠0.(

)(4)在平面直角坐標系中,任何一個圓的方程都能寫成一個二元二次方程.(

)(5)方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0表示的圖形是點(a,b).(

)√×√√×2.[2024上海寶山期中]方程x2+y2-2ay+a=0表示圓,則實數(shù)a的取值范圍是

.

(-∞,0)∪(1,+∞)解析

因為方程x2+y2-2ay+a=0表示圓,則4a2-4a>0,解得a>1或a<0,即實數(shù)a的取值范圍是(-∞,0)∪(1,+∞).3.[人教B版教材習題]寫出下列圓的圓心坐標和半徑:(1)x2+y2-6x=0;(2)2x2+2y2-4x+8y+5=0.解

(1)圓心為(3,0),r=3.4.[人教B版教材習題]已知a,b為實數(shù),判斷x2+y2+2ax-b2=0是否是圓的方程,并說明理由.解

原方程可化為(x+a)2+y2=a2+b2,當a=b=0時,x2+y2=0,不是圓的方程,它表示原點;當a,b不同時為零時,方程表示圓心為(-a,0),半徑為

的圓.知識點2

由圓的一般方程判斷點與圓的位置關系及與圓有關的軌跡問題1.已知點M(x0,y0)和圓的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),則它們的位置關系如下表:>=<2.點M的坐標(x,y)滿足的

稱為點M的軌跡方程.求符合某種條件的動點M的軌跡方程,實質上就是利用題設中的幾何條件,通過“坐標化”將其轉化為關于變量x,y之間的方程.

等量關系式

思考辨析軌跡和軌跡方程有什么區(qū)別?提示

軌跡是指點在運動變化中形成的圖形,比如直線、圓等.軌跡方程是點的坐標滿足的關系式.自主診斷1.已知圓C:(x-a)2+(y-b)2=1過點A(1,0),則圓C的圓心的軌跡是(

)A.點 B.直線 C.線段

D.圓D解析

∵圓C:(x-a)2+(y-b)2=1過點A(1,0),∴(1-a)2+(0-b)2=1,∴(a-1)2+b2=1,∴圓C的圓心的軌跡是以(1,0)為圓心,1為半徑的圓.2.[人教B版教材習題]已知坐標原點不在圓x2+y2-ay+a-1=0的內部,求實數(shù)a的取值范圍.解

∵(0,0)不在圓的內部,∴將(0,0)代入圓的方程,得a-1≥0,∴a≥1.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一圓的一般方程初步理解【例1】

若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圓,求實數(shù)m的取值范圍,并寫出圓心坐標和半徑.規(guī)律方法

形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圓時可有如下兩種方法:(1)由圓的一般方程的定義,若D2+E2-4F>0成立,則表示圓,否則不表示圓.(2)將方程配方后,根據(jù)圓的標準方程的特征求解.應用這兩種方法時,要注意所給方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0這種標準形式,若不是,則要化為這種形式再求解.變式訓練1(1)若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圓,則a的值為(

)A.1或-2 B.2或-1C.-1 D.2C解析

因為方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0中二次項系數(shù)不一定為1,因此若它表示圓,需要二次項的系數(shù)相等且不等于0,且轉化為一般式后滿足(2)當圓C:x2+y2-4x-2my+2m=0的面積最小時,m的值是(

)A.4 B.3C.2 D.1D解析

把圓C的方程化為標準方程,得(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4,設圓C的半徑為r,則有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3,所以m=1時,r2取得最小值,從而圓C的面積S=πr2在m=1時取得最小值.故選D.探究點二求圓的一般方程【例2】

已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圓的一般方程;(2)若點M(a,2)在△ABC的外接圓上,求a的值.解

(1)設△ABC外接圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由題意,得(2)由(1)知,△ABC的外接圓的方程為x2+y2-8x-2y+12=0.∵點M(a,2)在△ABC的外接圓上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或a=6.變式探究1若例2中將“點C(3,-1)”改為“圓C過A,B兩點且圓C關于直線y=-x對稱”,其他條件不變,求圓C的方程.變式探究2將例2改為“已知圓Q過A(2,2),B(5,3),C(3,-1)三點,點M,N在圓Q上”,試求△QMN面積的最大值.規(guī)律方法

應用待定系數(shù)法求圓的方程時應注意:(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心坐標或半徑列方程,一般采用圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2,再用待定系數(shù)法求出a,b,r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關系,一般采用圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D,E,F.變式訓練2已知圓C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圓心在直線x+y-1=0上,且圓心在第二象限,半徑長為,求圓的一般方程.探究點三求動點的軌跡方程【例3】

已知點A(2,0)是圓x2+y2=4上的定點,點B(1,1)是圓內一點,P,Q為圓上的動點.(1)求線段AP的中點M的軌跡方程;(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ的中點N的軌跡方程.解

(1)設線段AP的中點為M(x,y),則點P的坐標為(2x-2,2y).∵點P在圓x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4,整理得(x-1)2+y2=1.故線段AP的中點M的軌跡方程為(x-1)2+y2=1.(2)設線段PQ的中點為N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.設O為坐標原點,連接ON,∵|OP|=|OQ|,N為PQ的中點,∴ON⊥PQ,∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故線段PQ的中點N的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0.變式探究1在本例條件不變的情況下,求過點B的弦的中點T的軌跡方程.解

設T(x,y),因為點T是過點B的弦的中點,所以OT⊥BT.當斜率存在時,有kOT·kBT=-1.即

=-1,整理得x2+y2-x-y=0.當x=0或1時,點(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)也都在圓上.故所求軌跡方程為x2+y2-x-y=0.變式探究2本例條件不變,求BP的中點E的軌跡方程.規(guī)律方法

求軌跡方程的3種常用方法

[注意]求出軌跡方程后,要考慮軌跡上應去掉的點及軌跡不存在的情形.變式訓練3已知線段AB的中點C的坐標是(4,3),端點A在圓x2+y2+2x-3=0上運動,求線段AB的端點B的軌跡方程.解

設點B的坐標是(x,y),點A的坐標是(x0,y0),由于點C的坐標是(4,3)且點C是線段AB的中點,所以

,于是有x0=8-x,y0=6-y.因為點A在圓x2+y2+2x-3=0上運動,所以點A的坐標滿足方程x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4,把x0=8-x,y0=6-y代入上式,得(8-x+1)2+(6-y)2=4,整理,得(x-9)2+(y-6)2=4.所以點B的軌跡方程為(x-9)2+(y-6)2=4.學以致用·隨堂檢測促達標123456789101112A級必備知識基礎練1.[探究點一]圓x2+y2-2x+6y+8=0的面積為(

)A.8π B.4π C.2π D.πC1234567891011122.[探究點一](多選題)若圓x2+y2-2ax+3by=0的圓心位于第三象限,則直線x+ay+b=0一定經(jīng)過(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限ABC1234567891011123.[探究點二]當a為任意實數(shù)時,直線(a-1)x-y+a+1=0恒過定點C,則以點C為圓心,為半徑的圓的方程為(

)A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0C1234567891011124.[探究點一]方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的圖形是半徑為r(r>0)的圓,則該圓的圓心在(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限D1234567891011125.[探究點一]已知點A(-1,-3)是圓C:x2+y2-8x+ay=0上一點,給出下列結論:①a=6;②圓C的圓心為(4,-3);③圓C的半徑為25;④點(1,1)也是圓C上一點.則所有正確結論的序號是

.

①②④解析

由于點A(-1,-3)是圓C:x2+y2-8x+ay=0上一點,所以1+9+8-3a=0,解得a=6,①正確.圓的方程為x2+y2-8x+6y=0,即(x-4)2+(y+3)2=25,故圓心為(4,-3),半徑為5,②正確,③錯誤.(1-4)2+(1+3)2=25,所以點(1,1)也是圓C上一點,④正確.1234567891011126.[探究點三]已知點P是圓x2+y2=16上的動點,A(12,0),M為PA的中點,求點M的軌跡方程.解

設M(x,y),∵A(12,0),M為PA的中點,∴P(2x-12,2y).∵點P為圓x2+y2=16上的動點,∴(2x-12)2+4y2=16,即(x-6)2+y2=4.故所求軌跡方程為(x-6)2+y2=4.123456789101112B級關鍵能力提升練7.已知圓C:x2+y2=4,則圓C關于直線l:x-y-3=0對稱的圓的方程為(

)A.x2+y2-6x+6y+14=0 B.x2+y2+6x-6y+14=0C.x2+y2-4x+4y+4=0 D.x2+y2+4x-4y+4=0A1234567891011128.若圓x2+y2-2x-4y=0的圓心到直線x-y+a=0的距離為,則實數(shù)a的值為(

)A.0或2 B.0或-2C.0或

D.-2或2A1234567891011129.若直線l:ax+by+1=0始終平分圓M:x2+y2+4x+2y+1=0的周長,則(a-2)2+(b-2)2的最小值為(

)B解析

由題意得直線l過圓心M(-2,-1),則-2a-b+1=0,即b=-2a+1.所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5,所以(a-2)2+(b-2)2的最小值為5.12345678910111210.

若直線l將圓x2+y2-2x-4y-4=0平分,且在兩坐標軸上的截距相等,則直線l的方程為

.

2x-y=0或x+y-3=0解析

圓x2+y2-2x-4y-4=0化為(x-1)2+(y-2)2=9,圓的圓心坐標為(1,2),半徑為3.由直線l將圓x2+y2-2x-4y-4=0平