人教A版高中數(shù)學(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題5.6 函數(shù)y=Asin(ωx+φ) 重難點題型精講及檢測（原卷版）

第第頁專題5.6函數(shù)SKIPIF1<0（重難點題型精講）1．勻速圓周運動的數(shù)學模型筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環(huán)保，至今還在農業(yè)生產中得到使用(圖5.6-2).明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖5.6-2).假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.2．SKIPIF1<0,A對函數(shù)SKIPIF1<0的圖象的影響(1)SKIPIF1<0對SKIPIF1<0的圖象的影響函數(shù)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）的圖象，可以看作是把正弦曲線SKIPIF1<0上所有的點向左(當SKIPIF1<0>0時)或向右(當SKIPIF1<0<0時)平移|SKIPIF1<0|個單位長度而得到(可簡記為“左加右減”).(2)SKIPIF1<0對SKIPIF1<0的圖象的影響

函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，可以看作是把SKIPIF1<0的圖象上所有點的橫坐標縮短(當SKIPIF1<0>1時)或伸長(當0<SKIPIF1<0<1時)到原來的SKIPIF1<0倍(縱坐標不變)而得到.(3)SKIPIF1<0對SKIPIF1<0的圖象的影響

函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，可以看作是把SKIPIF1<0圖象上所有點的縱坐標伸長(當A>1時)或縮短(當0<A<1時)到原來的A倍(橫坐標不變)而得到.(4)由函數(shù)SKIPIF1<0的圖象得到函數(shù)SKIPIF1<0的圖象以上兩種方法的圖示如下：3．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象類似于正弦型函數(shù)，余弦型函數(shù)SKIPIF1<0的圖象的畫法有以下兩種.

(1)“五點法”，令SKIPIF1<0，求出相應的x值及y值，利用這五個點，可以得到SKIPIF1<0在一個周期內的圖象，然后再把這一段上的圖象向左向右延伸，即得SKIPIF1<0的圖象.

(2)“變換作圖法”的途徑有兩種.

一是類似于正弦型函數(shù)的變換作圖法，可由SKIPIF1<0的圖象通過變換作圖法得到SKIPIF1<0(SKIPIF1<0>0,A>0)的圖象，即：二是由誘導公式將余弦型函數(shù)SKIPIF1<0轉化為正弦型函數(shù)，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0的圖象通過變換作圖法得到SKIPIF1<0的圖象即可.【題型1“五點法”作函數(shù)SKIPIF1<0的圖象】【方法點撥】用“五點法”畫函數(shù)SKIPIF1<0(x∈R)的簡圖，先作變量代換，令X=SKIPIF1<0，再用方程思想由X取SKIPIF1<0來確定對應的x值，最后根據(jù)x,y的值描點、連線、擴展，畫出函數(shù)的圖象.【例1】用五點法作函數(shù)y=Asinxπ2πωx+φ0ππ3π2πy040-40則A，ω，φ的值分別為（

）A．4，2，?π3 B．4，12，π3 C．4，2，π6【變式1-1】用“五點法”作y=2cosx?1在[0,2π]的圖象時，應取的五點為（A．(0,1),π2,0C．(0,1),(π,?3),(2π,1),(3π,?3),(4π,1) D．(0,1),【變式1-2】某同學用“五點法”畫函數(shù)f(x)=Asinωx+φ0ππ3π2πxππ5π7π3πy020?20則f(x)的解析式為（

）A．f(x)=2sin(x?πC．f(x)=sin(2x?π【變式1-3】小明用“五點法”畫函數(shù)f(x)=Asinωx+φ0ππ2πxπ7πy=A020?20請你根據(jù)已有信息推算A，ω,φ的值依次為（

）A．2，2，?π3 B．2，2，π6 C．2，π，?【題型2三角函數(shù)間圖象的變換】【方法點撥】可以使用“先伸縮后平移”或“先平移后伸縮”兩種方法來進行變換.【例2】為了得到函數(shù)y=cosx的圖象，只需將函數(shù)y=sinA．橫坐標伸長為原來的兩倍，縱坐標不變，再向左平移π6B．橫坐標伸長為原來的兩倍，縱坐標不變，再向左平移π3C．橫坐標縮短為原來的12，縱坐標不變，再向左平移πD．橫坐標縮短為原來的12，縱坐標不變，再向左平移π【變式2-1】將函數(shù)fx=sin2x的圖象先向右平移π3個單位長度，再把所得函數(shù)圖象上每一個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，得到函數(shù)gA．12 B．?32 C．?【變式2-2】把函數(shù)y=f(x)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移π6個長度單位，得到函數(shù)y=sin2x?A．f(x)=sin4x+πC．f(x)=sinx2【變式2-3】已知函數(shù)fx=cos2x?3π4，先將fx的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移πA．gx=sinxB．gx=?【題型3與三角恒等變換有關的圖象變換問題】【方法點撥】根據(jù)三角恒等變換的相關知識對所給解析式進行化簡，利用圖象變換規(guī)律進行變換即可.【例3】已知函數(shù)fx=sin2ωx-cos2ωx+1(0<ω<1)，將fx的圖像先向右平移π4個單位長度，然后再向下平移1個單位長度，得到函數(shù)A．14 B．12 C．23【變式3-1】已知函數(shù)f(x)=sin2x+πA．函數(shù)f(x)的最小正周期為2B．函數(shù)f(x)在?πC．將函數(shù)f(x)的圖像向左平移π6個單位長度，所得圖像對應的函數(shù)解析式為D．將函數(shù)f(x)的圖像向左平移π12個單位長度，所得圖像對應的函數(shù)解析式為【變式3-2】將函數(shù)f(x)=3sinxcosx+cos2x?1的圖象向右平移π6A．?π12+C．?π3+2k【變式3-3】已知函數(shù)fx=cosA．函數(shù)fx的最小正周期為B．函數(shù)fxC．函數(shù)fx在?D．將函數(shù)fx的圖象向右平移π12【題型4由部分圖象求函數(shù)的解析式】【方法點撥】根據(jù)部分圖象求出解析式中的A，SKIPIF1<0，即可得解.【例4】函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2A．f(x)=2sinx?C．f(x)=2sinx?【變式4-1】已知函數(shù)fx=Asinωx+φ的圖象如圖所示，則A．fx=2cosC．fx=sin【變式4-2】已知函數(shù)fx=AsinA．直線x=π是函數(shù)fxB．函數(shù)fx的圖象的對稱中心為?πC．函數(shù)fx在3πD．將函數(shù)fx的圖象向左平移π【變式4-3】函數(shù)fx=AsinA．函數(shù)fx的解析式為B．函數(shù)fx的單調遞增區(qū)間為C．為了得到函數(shù)fx的圖象，只需將函數(shù)gx=2D．函數(shù)fx的圖象關于點k【題型5三角函數(shù)模型在勻速圓周運動中的應用】【方法點撥】利用三角函數(shù)模型解決實際問題時，首先尋找與角有關的信息，確定選用正弦、余弦還是正切型函數(shù)模型；其次是尋找數(shù)據(jù)，建立函數(shù)解析式并解題；最后將所得結果“翻譯”成實際答案，要注意根據(jù)實際作答.【例5】摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉盤直徑為110m，設置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要30min.（1）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動tmin后距離地面的高度為Hm，求在轉動一周的過程中，H關于t的函數(shù)解析式；（2）求游客甲在開始轉動5min后距離地面的高度；（3）若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h（單位：m）關于t的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值（精確到0.1）.【變式5-1】筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環(huán)保，至今還在農業(yè)生產中使用，明朝科學家徐光啟所著《農政全書》中描繪了筒車的工作原理．如圖，一個半徑為3m的筒車，按逆時針方向轉一周的時長為2min，筒車的軸心O距離水面的高度為1.5m，筒車上均勻分布了12個盛水筒，設筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為y（單位：m）（在水面下則y為負數(shù)），若以盛水筒P裝剛浮出水面時開始計算時間，則y與時間t（單位：min）之間的關系為y=Asin(1)求A，m，φ，b的值；(2)盛水簡出水后至少經過多長時間就可以到達最高點？【變式5-2】已知電流隨時間t變化的關系式是i=5sin(1)求電流i的周期?頻率?振幅和初相;(2)分別求t=0,1【變式5-3】筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環(huán)保，至今還在農業(yè)生產中得到應用.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車半徑為4m，筒車轉輪的中心O到水面的距離為2m，筒車每分鐘沿逆時針方向轉動4圈.規(guī)定：盛水筒M對應的點P從水中浮現(xiàn)（即P0時的位置）時開始計算時間，且以水輪的圓心O為坐標原點，過點O的水平直線為x軸建立平面直角坐標系xOy.設盛水筒M從點P0運動到點P時所經過的時間為t（單位：s），且此時點P距離水面的高度為h（單位：m）（在水面下則h為負數(shù)）.(1)求點P距離水面的高度為h關于時間為t的函數(shù)解析式；(2)求點P第一次到達最高點需要的時間（單位：s）.【題型6函數(shù)SKIPIF1<0與三角恒等變換的綜合應用】【方法點撥】對于給角求值問題，需觀察題中角之同的關系，并能根據(jù)式子的特點構造出二倍角的形式，正用、逆用、變形用二倍角公式求值，注意利用誘導公式和同角三角函數(shù)的基本關系對已知式進行轉化.【例6】已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)將函數(shù)fx的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移π6個單位，得到函數(shù)gx的圖象，當x∈【變式6-1】已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx在區(qū)間?(2)將函數(shù)fx圖像向右移動π6個單位，再將所得圖像上各點的橫坐標縮短到原來的a0<a<1倍得到y(tǒng)=gx的圖像，若y=gx【變式6-2】已知函數(shù)f(x)=23(1)若f(x)=0,x∈?π2(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移π3個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在π【變式6-3】記函數(shù)f(x)=sin2ωx+3sinωxcosωx(ω>0)的最小正周期為(1)求ω的值；(2)將函數(shù)y=fx的圖象向左平移π4個單位，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)y=gx的圖象，求g專題5.6函數(shù)SKIPIF1<0（重難點題型檢測）一．選擇題1．某同學用“五點法”畫函數(shù)fxωx+φ0ππ3π2xπ5πA05?50根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，函數(shù)fx的解析式可以是（

A．fx=5sinC．fx=5sin2．為了得到函數(shù)y=cosx的圖象，只需將函數(shù)y=sinA．先橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移π3B．先橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移2π3C．先橫坐標縮短到原來的12倍，再向左平移πD．先橫坐標縮短到原來的12倍，再向右平移2π3．將函數(shù)fx=sinπ3A．x=π12 B．x=π4 C．4．已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0,φ<π2與函數(shù)y=gx的部分圖象如圖所示，且函數(shù)A．12 B．1 C．32 5．函數(shù)fx=3sinωx+φ（ω>0且0<φ<π）在一個周期內的圖像如圖所示，將函數(shù)y=fx圖像上的點的橫坐標伸長為原來的3倍，再向左平移πA．gx=3sinC．gx=?3sin6．已知：函數(shù)fx=3A．將fx的圖像向右平移π6個單位長度得B．fx在π4C．若fx1=fxD．fx的圖像關于點π7．如圖，一個半徑為3m的筒車按逆時針方向每分轉2圈，筒車的軸心O距離水面的高度為332m，設筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d（單位：m）（在水面下則d為負數(shù)），若從盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間，則d與時間t（單位：s）之間的關系為d=Asinωt+φ+kA>0,ω>0,?π2<φ<πA．332，π15，3，π6 B．332C．3，π15，332，?π6 D．3，8．已知函數(shù)f(x)=3①函數(shù)f(x)的最小正周期為π；②π12,?1③x=π3是函數(shù)④將函數(shù)f(x)的圖像向左平移π12個單位長度，即可得到函數(shù)y=其中所有正確的結論的序號是（

）A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①③二．多選題9．下列四種變換方式中能將函數(shù)y=cosx的圖象變?yōu)楹瘮?shù)y=cosA．向右平移π4個單位長度，再將每個點的橫坐標縮短為原來的B．向左平移π8C．每個點的橫坐標縮短為原來的12，再向右平移πD．每個點的橫坐標伸長為原來的2倍，再向左平移π410．函數(shù)fx=3sinA．fB．fx圖象的一條對稱軸方程是C．fx圖象的對稱中心是kπD．函數(shù)y=fx+11．已知函數(shù)fx=23sinωxcosωx+2cos2ωx(ω>0)，且fxA．ω的值為1B．fx的單調遞增區(qū)間為C．x∈0,π2D．x∈0,π2時，12．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環(huán)保，至今還在農業(yè)生產中得到使用（圖1），明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖2）．一半徑為2米的筒車水輪如圖3所示，水輪圓心O距離水面1米，已知水輪每60秒逆時針勻速轉動一圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點P0）開始計時，則（

A．點P再次進入水中時用時30秒B．當水輪轉動50秒時，點P處于最低點C．當水輪轉動150秒時，點P距離水面2米D．點P第二次到達距水面1+3三．填空題13．將函數(shù)y=3sinx+cosx,x∈R圖像上各點的橫坐標擴大到原來的2倍（縱坐標不變），再把所得圖像向左平行移動π14．如圖為函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ15．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具．因其經濟又環(huán)保，至今還在農業(yè)生產中使用（如圖）．假設在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動．現(xiàn)有一半徑為2米的筒車，在勻速轉動過程中，筒車上一盛水筒M距離水面的高度H（單位：米）與轉動時間t（單位：秒）滿足函數(shù)關系式H=2sinπ60t+φ+54，φ∈0,π2，且16．把y=sinx的圖象向右平移φ0<φ<π2個單位，再把所得圖象各點的橫坐標縮短為原來的12倍，再把所得圖象各點的縱坐標伸長為原來的2倍．得到函數(shù)①f(x)的一個單調遞減區(qū)間為π3②f(x)的圖象向右平移m(m>0)個單位得到的函數(shù)是一個偶函數(shù)，則m的最小值為π3③f(x)的對稱中心為kπ④若關于x的方程2[f(x)]2+nf(x)+1=0在區(qū)間π2,其中，判斷正確的序號是．四．解答題17．將函數(shù)y=sin2x向右平移π（I）求y=fx（II）用“五點法”做出函數(shù)y=fx