2024-2025學年北師大版八年級數(shù)學上冊專項復習：勾股定理 （九大題型）（解析版）

勾股定理（壓軸專練）（九大題型）

題型1:折疊問題

1.如圖，在RtZUBC中，ZC=90°,48=10,3C=8.點尸是/C上的點，且。F=2/尸，點。和點E分

別是BC邊和AB邊上的兩點，連接DE.將ABDE沿DE折疊，使得點8恰好落在/C上的點尸處，與DE

交于點石，則?！ǖ拈L為.

【答案】亞

【分析】根據(jù)勾股定理，得出/C=6,再根據(jù)CF=2/尸，AF+CF=AC=6,得出CF=4,再根據(jù)勾股定

理，得出3尸=4石，再根據(jù)折疊的性質，得出BH=FH=gBF=2#,BD=FD,DE1BF,然后設

BD=FD=x,貝iJO=8-x,再根據(jù)勾股定理，得出不+（8-x）?=x?,解出即可得出8。=5,再根據(jù)勾股

定理，即可得出的長.

【解析】解：：NC=90°,43=10,BC=8,

AC=^AB2-BC2=V100-64=6，

VCF=2AF,AF+CF=AC=6,

：.AF+2AF=6,

：.AF=2,

：.CF=4,

在&M8CF中，

BF=ylBC2+CF2=V64+16=475，

1/ABDE沿DE折疊，使得點8恰好落在ZC上的點尸處，

BH=FH=-BF=275,BD=FD,DE1BF,

2

設BD=FD=x,貝IJCD=8-x,

在MACD廠中，

CF2+CD2=DF?,

42+(8-X)2=X2,

解得：x=5,

BD=5,

在RMBHD中,

DH=yjBD2-BH2=卜-(2對=布.

故答案為：V5

【點睛】本題考查了勾股定理、折疊的性質，解本題的關鍵在應用勾股定理列出方程解決問題.

2.如圖，M,N分別為銳角邊GM,03上的點，把沿MV折疊，點。落在所在平

面內的點C處.

(1)如圖1,點C在/2。3的內部，若/CM4=20。，ZCNB=50°,求N/08的度數(shù).

(2)如圖2,若4408=45。，ON=亞，折疊后點C在直線08上方，CM與0B交于點、E,且MN=ME,

求折痕MN的長.

(3)如圖3,若折疊后，直線MCL08,垂足為點E,且(W=5,ME=3,求此時CW的長.

【答案】(1)/。=35°

(2)MN=2

(3)ON=1?或10

【分析】(1)根據(jù)折疊知，^OMN=ZCMN=1(180°-ZCMA)=80°,/OMW=65。根據(jù)三角形內角和定理

即可求得答案；

(2)根據(jù)=由等邊對等角可得=設NOMN=NCMN=x度,根據(jù)三角形內角和

為180。，建立一元一次方程解方程求解即可求得NO肱V=30。，過N作NHLOM于H,根據(jù)勾股定理求得

為月=1，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質即可求得的長；

(3)①當點C在03上方時，②當點C在CM下方時，設ON=x,則NE=0E-0N=4-x,勾股定理求解

即可；

【解析】(1)由折疊知，NOW=NCW=g(180°-NCMN)=80°,

同理得/ONM=65。，

ZAOB=180°-ZOMN-ZONM=35°.

NENM=AMEN,

設NOMN=NCMN=x度,

：408=45。，

/.ZENM=AMEN=(45+x)度,

2(45+x)+x=180,

解得x=30,即N(W?V=30。，

過N作M7_LOM于//,

ON=42,

：.NH=1,

圖2

(3)當點C在08上方時，如圖3-1

VOM=5,ME=3,直線MC1QB,

OE=4,

設ON=x,貝ijNE=OE-ON=4-x,

又由折疊知：CM=0M=5,CN=ON=x,

：.CE=CM-ME=5-3=2,

在RMCNE中,根據(jù)勾股定理，得（4-X『+22=X2

當點C在。4下方時，如圖3-2

由折疊知：CM=OM,CN=ON,

CE=C〃+Affi=5+3=8,

設ON=x,則A?=ON-OE=x-4,

在RSCNE中,根據(jù)勾股定理，得（X-盯+82=V,

解得x=10,即ON=10.

【點睛】本題考查了折疊的性質，三角形內角和定理，等邊對等角求角度，勾股定理，分類討論是解題的

關鍵.

3.如圖1,在A/48C,N3=/C=10,8c=12.

⑴求3c邊上的高線長.

⑵點E是8C邊上的動點，點。在邊4g上，且ND=4,連結DE.

①如圖2,當點E是2C中點時，求△2DE的面積.

②如圖3,沿DE將折疊得到△尸?！?當。尸與A48C其中一邊垂直時，求的長.

【答案】(1)8

⑵①14.4；鱷或2或8.4

【分析】(1)如圖，過4作AT1于7,再求解BT=CT=6,再利用勾股定理求解高線長即可；

(2)①如圖，連接4E,利用等腰三角形的三線合一證明2E1BC,BE=CE=6,求解4E=8,可得S》BE=|

AE-BE=24,證明產(chǎn)=!=*從而可得答案；②分三種情況討論：當DF14B時，再利用等面積法與勾股

'△ADE4乙

定理結合可得答案；當DF1BC于K時，利用角平分線的性質及面積比可得答案；當DFL4C時，如圖，則

乙FTM=90。，證明"EK=乙DEF=45。，再利用勾股定理可得答案.

【解析】(1)解：如圖，過力作ariBC于T,

AB=AC=IO,8c=12,

BT=CT=6,AT=V102—62=8,

所以8c邊上的高線長為8.

(2)解:①如圖，連接4E,

■■AB=AC=10,BC=12,E為的中點,

???AE1BC,BE=CE=6,

由（1）得：AE=8,

A

SAABE=^AE-BE=|X6X8=24,

■-AD=4,貝UBD=10-4=6,

.S&BDE_6_3^

SAADE42

3

?1'S^BDE—x24=14.4.

②當DF_L4B時，由對折可得：

乙BDE=4FDE=45°,

過2作AT1BC于T,連接“過。作DK18C于K,過E作EN1AB于N,

由①得：SABDT=14.4,BT=6,

EN1BD/BDE=45°,設DN=久，

則EN=DN=x,

11

由扣O-EN=^BE-DK,

???BE=7%,

4

2

BN=J(1x)-X2=而BN=6-x,

也=6—x,解得：％=今,

當DF1BC于K時，貝。OK=4.8,

BK=V62—4.82=3.6,

過E作EN1BD于N,由對折可得4BOE=乙FDE,

??.EN=EK,

.S4BDE_BE_BD

?'SWKE~~EK~~DK,

,BE_6_5

"'EK~^8~4r

BE=77^7x3.6=2,

5+4'

當DF1/C時，如圖，貝！UFTM=90。，

由對折可得=Z.F,而48=AC=10,則=ZG

乙C=Z-F,ffuzFMT=Z.CME,

??.Z.MEC=Z.MTE=90。，

結合對折可得：乙DEK=(DEF=45。，

過0作OK1BC于K,

同理可得：DK=EK=4.8,

BK=V62—4.82—3.6,

BE=3.6+4.8=8.4,

綜上：當。/與其中一邊垂直時，8E的長為手或2或8.4.

【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質，勾股定理的應用，軸對稱的性質，清晰的分類討論，等面積法

是應用等都是解本題的關鍵.

4.如圖①，在長方形/BCD中，已知NB=13,AD=5,動點尸從點。出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段

0c向終點C運動，運動時間為/秒，連接4P,把A4DP沿著4P翻折得到A4EP(注：長方形的對邊平

行且相等，四個角都是直角)

備用圖1備用圖2

(1)如圖②，射線PE恰好經(jīng)過點2,求出此時才的值；

(2)當射線PE與邊N3交于點尸時，是否存在這樣的/的值，使得FE=FB?若存在，請求出所有符合題意的

f的值；若不存在，請說明理由；

(3)在動點P從點D到點C的整個運動過程中，若點E到直線AB的距離等于3,則此時t=.

【答案】(1)1

⑵H或13

5一

(3)萬或10

【分析】(1)由長方形性質得知NC=ND=90。，AB=CD=13,BC=AD=5,AB//CD,再證

ZBPA=ZPAB,則2P=4B=13,然后由勾股定理得CP=12,則。P=l,由此得出結論.

(2)分兩種情況：E在矩形內部和外部兩種情況，分別根據(jù)等量關系列出方程即可解答.

(3)分兩種情況：E在上方和下方兩種情況，由折疊性質與勾股定理即可解答.

【解析】(1)???四邊形N3CD是長方形，

ZC=Z￡>=90°,AB=CD=13,BC=AD=5,AB//CD,

■■NDPA=NPAB,

由翻折性質可知：ZDPA=ZEPA,

NBPA=ZPAB

,-.BP=AB=13,

在R/X8C尸中，由勾股定理得：CP=y/BP2-BC2=A/132-52=12-

DP=CD-CP=13-12=1,

DP—t,t=1.

(2)存在，分兩種情況：

如圖③，當點￡在長方形內部時：

作尸G_LCD于G,設BF=EF=x,則N尸=43-2尸=13-x

由翻折可知，AE=AD=5,PE=PD=t

在瓦△/斯中，由勾股定理可得：EF2+AE2=AF2.即無2+52=(13-》)2,

72727297

角畢得：'=二，即斯==，^F=13-x=13--=—

13131313

72

:.PF=PE+EF=t+—

13

ZFE=ZFPG

在ZxAEF與AFGP中：</AEF=NFGP

AE=FG

LAEF必FGP(AAS)

PF=AF

7297.25

=解nZ得H：F

圖③

ZAFE=NPFB

如圖④，當點尸運動至與點C重合時，在△/￡/與△尸AF中：，NE=NB

EA=BP

/\AEF^PBF(AAS),EF=BF

：.t=PD=CD=13.

有EF=BF.

(3)過點E作MN〃Z。交AB于點W,交CO于點N.

如圖⑤，點E在長方形內部：貝|EM=3,EN=AD-EM=2

在無中，由勾股定理得:

AM=yjAE1-EM1=A/52-32=4

:.PN=AM-DP=4-t

:.在RtLPNE中,由勾股定理得：

PE?=PN?+NE1,即〃=(4-疔+22

如圖⑥，點E在長方形外部：則EN=3,EN=AD+EM=8

在及△/"￡中，由勾股定理得：

AM=NAE2-EM?=A/52-32=4

:.PN=DP-AM=t-4

:.在RtAPNE中,由勾股定理得：PE2=PN2+NE2,即”=(/-4)2+82

解得：，二10

???綜上，若點E到直線的距離等于3,/=：或f=10.

【點睛】本題是幾何綜合題目，考查了軸對稱的性質、勾股定理、等腰三角形的判定等知識，綜合性強,

熟練掌握軸對稱的性質及勾股定理，進行分類討論解題是本題的解題關鍵.

題型2：勾股定理與全等三角形

5.如圖，過邊長為6的等邊的頂點/作直線/〃BC,點。在直線/上(不與點/重合)，作射線

(1)如圖1,點。在點力的左側，點￡在邊/C上，求證：AB=AD+AE.

(2)如圖2,點。在點/的右側，點E在邊/C的延長線上，那么(1)中的結論還成立嗎？若成立，請證明:

若不成立，寫出你的結論，再證明.

(3)如圖3,點E在邊/C的反向延長線上，若/23E=15。，請直接寫出線段的長.

【答案】(1)見解析

(2)不成立，=+證明見解析

⑶2+26

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質和平行線的性質，得出N2=NC=8C,

ZABC=ZACB=ABAC=60°,ADAB=ZECB,則NABD=NCBE,再得出則有

AD=CE,由40+/后=?！?/￡,即可得證；

(2)根據(jù)等邊三角形的性質和平行線的性質，得出"AC=NACB=60。,NBCE=NBAD,由旋轉的性質

NABD=NCBE,從而證明0ACBE,得出4D=CE,AE-AD=AE-CE,即可得證；

(3)過3作8尸，/C于尸，根據(jù)等邊三角形的性質和平行線的性質，得出/BAD=/BCE,再根據(jù)

BA=BC,ZABD=ZCBE,從而證明AABOGACBE,得出AD=CE,由=8C=/C=4,8/J.4C,得出

C尸=2,N4B尸=30。，根據(jù)勾股定理求得臺斤，再算得/防尸=45。，得人2斯為等腰直角三角形，則斯=3尸,

即可求出4D的值.

【解析】(1)證明：等邊三角形N3C,

AB=AC=BC,/ABC=NACB=NBAC=60°,

?.?直線l\\BC,

ZDAB=ZABC=60°=NECB,

ZABD=ZDBE-NABE=60°-/ABE=/ABC-NABE=NCBE,

ADAB=NECB

在AABD和ACBE中,<AB=BC,

NABD=ZCBE

:.AABDACBE(ASA),

：.AD=CE,

AD+AE=CE+AE=AC=AB；

(2)不成立，=+理由如下：

?.?直線

ZDAC=NACB=60°,

/./BAD=ABAC+ADAC=60°+60°=120°,NBCE=180°—//C5=180°—60°=120°=ABAD

又NABD=/ABC-NABD=60°-ZCBD=ZDBE-ZCBD=NCBE

ABAD=ZBCE

在和AC5E中,，AB=BC,

NABD=ZCBE

:△ABD知CBE(ASA),

：.AD=CE,

AE-AD=AE-CE=AC=AB；

(3)如圖所示，過5作8/，/。=于歹,

/BAD=ZABC=60°=NBCE,

又BA=BC,ZABD=/DBE+NABE=60。+ZABE=/ABC+/ABE=/CBE,

ABAD=NBCE

在A/AD和ACBE中,，AB=BC,

AABD=NCBE

:△ABD咨CBE(ASA),

：.AD=CE,

AB=BC=AC=4,BF±AC,

:.CF=-AC=2,ZABF=-ZABC=30°,

22

22，

BF=^BC-CF="2_22=2A/3/EBF=NABE+NABF=15°+30°=45°,

...△8跖為等腰直角三角形，

EF=BF=2y/3,

AD=CE=CF+EF=2+1y[3.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質，等邊三角形的性質，旋轉的性質，解題關

鍵是熟練運用以上性質進行求證.

6.如圖1,AA8C中，NBAC=90o,AB=AC,D,￡是直線8c上兩動點，且/ZME=45。.探究線段AD、

DE、EC三條線段之間的數(shù)量關系：小明的思路是：如圖2,將△23。沿折疊，得A4DF,連接EF,

看能否將三條線段轉化到一個三角形中，…請你參照小明的思路，探究并解決下列問題：

(1)猜想B。、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關系，并證明；

(2)如圖3,當動點￡在線段8c上，動點。運動在線段C2延長線上時，其它條件不變，(1)中探究的結論

是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明.

【答案】(1)?！?=3￡)2+%2

(2)不變，DE2=BD1+EC1,證明見詳解

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理，正確添加輔助線是解題的關鍵.

(1)通過SAS證明4形5均4EC,得到/D自￡=45+45=90。，在Rt△。廠E中，^DF2+FE2=DE2，即

DE2=BD2+EC2;

(2)作NE4D=NB4D,且截取//=48,連接。尸，連接EE,先證明△/￡￡)哈△/5D,再證明

“AFE知ACE,則NDFE=ZAFD-ZAFE=135°-45°=90°,在RtADFE中,DF2+FE2=DE2，即

DE2=BD2+EC2.

【解析】(1)解：DE2=BD2+EC2,

圖2

???△Z5C中，ZBAC=9009AB=AC,

：./B=/C=45。,

將沿折疊，得△4。尸，連接E9

.?.Zl=Z.2.AB=AF,ZB=ZAFD=45。,BD=DF,

AF=AC,

???/D/E=/2+N3=45。，

Z3=45°-Z2,

?/NB4c=90。,

???/I+24=90?！?5。=45。，

???Z4=45°-Z1,

???N3=/4,

AE=AE,

A4E*"￡C(SAS),

/.ZC=NAFE=45°,CE=FE,

：.ZDFE=45+45=90°,

在Rt/XDFE中，有DF2+FE2=DE2，即DE2=BD2+EC2.

(2)解:結論不變，DE2=BD2+EC2

作NFAD=/BAD,且截取4尸=48,連接。尸，連接尸￡,

A

;AD=AD

:.^AFD^ABD,

：.FD=DB,ZAFD=ZABD,

又;AB=AC,

AF=AC,

AFAE=ZFAD+/DAE=ZFAD+45°,

ZEAC=ABAC-/BAE=90°-(/DAE-/DAB)=45。+ZDAB,

/.ZFAE=/EAC,

又?；AE=AE,

：AAFE均^ACE,

：,FE=EC,ZAFE=ZACE=45°,

ZAFD=AABD=180°-ZABC=135°,

ZDFE=ZAFD-ZAFE=135°-45°=90°,

...在RtZiDFE中，DF2+FE2=DE2>即=BD?+比2.

7.如圖，用一副三角板擺放三種不同圖形.在。3c中，NABC=90°,AB=CB；S跖中,

NDEF=9Q°,ZEDF=30°.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當頂點B擺放在線段。尸上時，過點A作/尸，垂足為點”，過點C作CN1。尸，垂足

為點N,請在圖1中找出一對全等三角形，并說明理由；

(2)如圖2,當頂點B在線段上且頂點A在線段跖上時，過點C作CP1OE,垂足為點P,猜想線段

AE、PE、CP的數(shù)量關系，并說明理由；

(3)如圖3,當頂點A在線段。E上且頂點8在線段E尸上時，若4E=5,BE=1,連接CE,則的面

積為

【答案】Q)AABM知BCN,見解析

Q)PE=CP-AE,見解析

(3)10

【分析】(1)利用、NMBA互余,NMBA、NNBC互余可推得NMAB=NNBC,再根據(jù)“角角邊”即

可證明AABM知BCN；

(2)由/PCB、NPBC互余,NEBA、/P8C互余推得/PC3=AEBA,再根據(jù)“角角邊”即可證明ACPB咨ABEA,

再根據(jù)全等三角形的性質即可推得/石、PE、CP的數(shù)量關系；

(3)作CPLBE延長線交于點P,同理證明尸后，求得BE垂線CP的長度，根據(jù)

^AAEC=ABC-SaABE~ABEC即可得解.

【解析】(1)解：尸，CN1DF,

:"AMB=/BNC=90。,

:.ZMAB+ZMBA=90°9

又/ABC=9。。,

:.ZMBA+ZNBC=90°,

/MAB=/NBC,

ZAMB=NBNC

v在“BM和^BCN中，\ZMAB=/NBC,

AB=BC

:AABM為BCN〈AAS).

(2)解：猜想依=CP—/￡,證明如下：

CPLDE,

ZCPB=90°,

/./PCB+NPBC=90。,

???ZABC=90°,

ZEBA+ZPBC=90°f

/PCB=ZEBA,

???ZDEF=ZCPB=90°f

即/3￡4=/。P8=90。，

ZCPB=/BEA

在和△BE/中，＜/PCB=/EBA,

CB=BA

；ACPB知BEA(AAS),

?.CP=BE,BP=AE,

,;PE=BE—BP,

:,PE=CP-AE.

(3)解：作CP!_BE延長線交于點尸，

圖3

-CPIBP,

NCPB=/BEA=90°,

ZCBP+ZBCP=90°,

???AABC=90°,

ZCBP+ZABE=90°,

ZABE=ZBCP,

ZBEA=ZCPB

在AABE和ABCP中,<N4BE=NBCP,

AB=BC

“ABE知BCP（A4S）

CP=BE=\,

-：AE=5,BE=\,

Rt^ABE中，AB=yjAE2+BE2=A/52+12=4^=CB，

,?S“EC=S3ABe-S?ABE~S〉BEC，

=-ABBC--BEAE--BECP,

222

=13----,

22

=10.

故答案為10.

【點睛】本題考查的知識點是全等三角形的性質與判定、勾股定理，解題關鍵是熟練掌握一線三等角模型

的全等判定方法.

8.【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1,“8C中，若/B=12,AC=8,求

3C邊上的中線40的取值范圍.

小明在組內經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長/。到E,使4D=DE,連接BE.請根據(jù)小明的

方法思考:

E

圖1圖2

(1)由已知和作圖能得到△/。。0△瓦加,

A.SSSB.ASAC.AASD.SAS

(2)由“三角形的三邊關系”可求得4D的取值范圍是.

解后反思：題目中出現(xiàn)“中點”“中線”等條件，可考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證

的結論集合到同一個三角形中.

【初步運用】

(3)如圖2,4D是“3C的中線，BE交AC于E,交,AD于F,且/￡=跖.若EF=3,EC=2AE,求線

段8尸的長.

【靈活運用】

(4)如圖3,在。中，乙4=90。，。為中點，DELDF,DE交AB丁點E,。尸交/C丁點尸，連

接EF,試猜想線段BE,CF,E尸三者之間的等量關系，并證明你的結論.

【答案】(1)D；(2)2<AD<\0-(3)BF=9；(4)線段郎、CF,屈F之間的等量關系為：

BE2+CF2=EF-

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質、三角形三邊關系以及勾股定理的應用，掌握全等三角形的判

定定理和性質定理是解題的關鍵.

(1)根據(jù)全等三角形的判定方法證明即可A/OC為皮>2(SAS)解答；

(2)根據(jù)全等三角形的性質結合三角形的三邊關系計算即可；

(3)延長AD到使=,連接證明△4DC絲△KZM,根據(jù)全等三角形的性質解答：

(4)延長即到點G,使DG=ED,連結GRGC,證明AOBE0AOCG,得到B￡=CG,根據(jù)勾股定理

解答.

BD=CD

【解析】解：(1)在△ZOC和△瓦加中，<=,

DE=AD

：.AADC咨AEDB(SAS),故選D；

(2),/KADC^EDB,

：.EB=AC=8,

在AABE中，

AB-BE<AE<AB+BE,

AB-BE<2AD<AB+BE

：.2<AD<10-

(3)延長4D到M,使=連接BM,

A

M

?；AE=EF,EF=3,EC=2AE,

：.AC=9,

??7。是力臺。中線，

：.CD=BD,

BD=CD

在dADC和XMDB中，＜ZBDM=ZCDA,

DM=DA

：.AADC汜公MDB,

：.BM=AC=9,ACAD=AM,

AE=EF,

???/CAD=ZAFE,

ZAFE=ABFD,

???ZBFD=ZM,

???BF=BM=AC,

即AF=9；

(4)線段BE；CF、之間的等量關系為：BE2+CF2=EF2.

證明：如圖，延長瓦)到點G,使DG=ED,連結GRGC,

「EDLDF,

：.EF=GF,

TO是5。的中點,

???BD=CD,

ED=GD

在ABDE和△COG中，＜/BDE=ZCDG,

BD=CD

???小BDE會小CDGQSAS),

：.BE=CG,

???ZA=90°f

：.ZB+ZACB=90°f

.；ABDE%CDG,EF=GF,

:?BE=CG,ZB=ZGCD,

???ZGCD+ZACB=90°,即ZGCF=90°,

???RtZ\bG中，CF2+GC2=GF2,

BE2+CF2=EF2.

題型3：勾股定理的實際應用

9.背景介紹：勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力.千百年來，人們對它的證明門庭若市，其中有著

名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者.向常春在1994年構造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法.

小試牛刀：把兩個全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為。、b、c.顯然，ZDAB=ZB=90°,

ACLDE.請用°、b、c分別表示出梯形/BCD、四邊形/EC。、的面積，再探究這三個圖形面積之

間的關系，可得到勾股定理:

則它們滿足的關系式為,經(jīng)化簡，可得到勾股定理力+〃=02.

知識運用:

（1）如圖2,鐵路上/、5兩點（看作直線上的兩點）相距40千米，C、。為兩個村莊（看作兩個點），

AD1AB,BCVAB,垂足分別為/、B,4D=25千米，BC=16千米，則兩個村莊的距離為千米

（直接填空）；

（2）在（1）的背景下，若48=40千米，40=24千米，BC=16千米，要在N5上建造一個供應站尸，使

得PC=PD,求出NP的距離.

知識遷移：借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式#^+“6-+81的最小值（0<x<16）.

【答案】小試牛刀：；0（。+6）;；；°（。+6）=：6（。一6）+；

乙乙乙乙乙乙

知識運用：（1）41；

（2）4P=16（千米）；

知識遷移：20.

【分析】小試牛刀：根據(jù)三角形的面積和梯形的面積可以表示出相應部分面積；

知識運用：（1）連接CO,過點C作/。的垂線，根據(jù)垂直得到邊長之間的關系，再用勾股定理即可求得

CD.

（2）作CO的垂直平分線，交AB于點、P,分別在RtA/P。和RMP8C中用勾股定理表示出C尸與尸。聯(lián)立方

程求解即可.

知識遷移：運用數(shù)形結合根據(jù)“軸對稱-最短路徑問題”求解即可.

【解析】解：小試牛刀：

S梯孫Bo?=—a（a+b）,

S、EBC=56（。-6）,

D四邊形4ECD―5c,

則它們滿足的關系式為：—a（a+Z?）=-^（a—/>）+—c2.

知識運用：

（1）如圖2①，連接CD,作CEL4D于點E,

D___

小----二二二二』C

B

圖2①

???AB=EC=40,

AE=BC=16,

:.ED=9,

有勾股定理得到：DE2+CE2=CD2

:.CD=^DE2+CE2=41(千米)

兩個村莊相距41千米.

(2)連接CO,作。。的垂直平分線交48于點P,

設NP=x千米，貝|3尸=（40-方）千米，

在Rt"DP中，DP2=AP2+AD2=x2+242,

在RtA8尸C中，CP2=BP2+BC2=（40-X）2+162,

VPC=PD,

/.X2+242=（40-X）2+162,

解得，無=16,

即4P=16千米.

知識遷移：

如圖3,過48作點C的對稱點C',連接。C交N8于點P,

圖3

根據(jù)對稱性：AE=BC'=BC=3,

設尸8=x,則4P=16-x,有勾股定理得,

PC=PC=&+9,

DP=^(16-X)2+81.

代數(shù)式療仿+J(16-x『+81的最小值為:

DC'=DP+PC=y/DE2+EC'2=20.

【點睛】本題考查了四邊形綜合以及用數(shù)形結合方式來證明勾股定理，解答本題的關鍵在于勾股定理的應

用、最短線路問題、線段的垂直平分線以及用面積法證明勾股定理，本題是一道綜合型較強的題目.

10.綜合與實踐

【問題情境】

數(shù)學綜合與實踐活動課上，老師提出如下問題：一個三級臺階，它每一級的長、寬、高分別為20、3、2,A

和B是一個臺階兩個相對的端點.

【探究實踐】

老師讓同學們探究：如圖①，若/點處有一只螞蟻要到3點去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺階爬到8點

的最短路程是多少？

(1)同學們經(jīng)過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級臺階展開成平面圖形，可得到長為20,寬為15

的長方形，連接經(jīng)過計算得到長度為,就是最短路程.

【變式探究】

(2)如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長是30cm,高是8cm,若螞蟻從點N出發(fā)沿著玻

璃杯的側面到點2,則螞蟻爬行的最短距離為.

A20

圖①圖②圖③圖④

【拓展應用】

(3)如圖④，圓柱形玻璃杯的高9cm,底面周長為16cm,在杯內壁離杯底4cm的點/處有一滴蜂蜜,

此時，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對的點2處，則螞蟻從外壁8處到內壁4處所

爬行的最短路程是多少？(杯壁厚度不計)

【答案】(1)25；(2)17cm；(3)8處到內壁/處所爬行的最短路程是10cm

【分析】本題考查勾股定理最短路徑問題:

(1)直接利用勾股定理進行求解即可；

(2)將圓柱體展開，利用勾股定理求解即可；

(3)將玻璃杯側面展開，作3關于E尸的對稱點"，根據(jù)兩點之間線段最短可知的長度即為所求，利

用勾股定理求解即可得.

【解析】解：(1)由勾股定理，得：J5=A/202+152=25：

故答案為：25；

(2)將圓柱體展開，如圖，由題意，得：

/C=——=15,8C=8,ZC=90°,

2

由勾股定理得：48=+15?=17；

故答案為：17cm.

(3)如圖，將玻璃杯側面展開，作5關于E尸的對稱點"，作夕交/E延長線于點D,連接/夕,

由題意得：■D￡=；B8'=lcm,N￡=9-4=5（cm）,

二.AD=AE+DE-6cm,

:底面周長為16cm,

87）=gxl6=8（cm）

AB'=ylAD2+B'D2=10cm，

由兩點之間線段最短可知，螞蟻從外壁B處到內壁A處所走的最短路程為AB'=10cm,

H.(1)【問題發(fā)現(xiàn)】①如圖1,“3C中，AB=AC,。為8c邊上的中點，連接AD.設△23。的面積

和周長分別為百和G，/CD的面積和周長分別為邑和。2,則岳_邑，C_Cz.(填”>"，或"=")

②如圖2,A/5C中，D、￡是3c邊上的兩點，若凡3E=；S./BC，則DE與3c的數(shù)量關系是

(2)【問題延伸】如圖3,四邊形/BCD中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD,若/C的長度為6,求出四

邊形/BCD的面積.

(3)【問題解決】國際港務區(qū)計劃將一塊四邊形空地開發(fā)為小型公園，空地的示意圖如圖4所示.其中

48=/。，NBAD=NBCD=90°,ZADC=60°,5C=100m.現(xiàn)計劃將點A處設置為公園的入口，在CD

邊上設置一個出口并修建一條貫穿整個公園的小路根據(jù)規(guī)劃，要求小路將整個公園分成兩

塊面積相同和周長相同的區(qū)域(即A/M)與四邊形N8CM的周長和面積都相同)，施工隊能否按照規(guī)劃修建

出這條小路？若能，請求出CM的長度；若不能，請說明理由.(小路的寬度忽略不計)

圖4備用圖

【答案】(1)①=，=;②DE.BC；(2)18；(3)能，CM=15073+50(m)

【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，勾股定理，含30度角的直角三

角形的性質，

(1)①根據(jù)等腰三角形的性質，即可求解；②根據(jù)三角形的面積公式，即可求解；

(2)延長CD至E，使得DE=CB,連接NE,證明A48C0"DE(SAS),進而得出AC=AE=6,NCAE=90°,

然后根據(jù)三角形的面積公式，即可求解；

(3)延長C0至E,使得。E=3C=100m,過點A作4F/8C交CB的延長線于點尸，同(2)可得

"3C會”DE(SAS),設FB=x,則N8=2x,FC=BC+FB=100+x,根據(jù)/尸=得出x=50且+50,

根據(jù)勾股定理求得/C,根據(jù)(2)的方法求得面積，根據(jù)題意在C。上取點使得+=，根

據(jù)將整個公園分成兩塊面積相同和周長相同的區(qū)域，得出=進而求得即可求解.

【解析】解：①：“臺。中，AB=AC,。為3c邊上的中點,

BD=DC,ADIBC

設A4BD的面積和周長分別為W和G,4CD的面積和周長分別為邑和Q,

E=；BDxAD,Sz=gcDxAD,Ct=AB+AD+BD,C2=AC+AD+DC

-S2,C1=C2,

故答案為：=,-.

②設邊上的高為〃，

**S“DE=5SAABC=/DExh

S&ABD+S&AEC=_(BD+EC)X〃=_SAABC=SAADE

4AUDA/IJCC2'2AAHL4AD匕

：.DE=BD+EC

即=

(2)如圖所示，延長。。至E,4更得DE=CB,連接

A

圖3

?.,/BAD=/BCD=90°,

???AABC+ZADC=360°-90°-90°=180°

又ZADC+ZADE=180°

：.ZABC=ZADE

AB=AD

在中，\ZABC=ZADE

BC=DE

；."BC絲"DE(SAS)

：.AC=AE=6,/DAE=/BAC

：./CAE=/DAE+ZDAC=ZCAB+ADAC=/BAD=90°

??=^^AEC=—^4CXAE=—X6X6=18

(3)能，CM=150有+50(m)

如圖所示，延長C。至E,使得DE=8C=100m,過點A作4F13C交CB的延長線于點B,

備用圖

同(2)可得A48c絲”(SAS)

AC=AE,ZCAE=90°

AACE=45°

NACB=90°-NACE=45°,則是等腰直角三角形,

,AF=FC,

?：ABAD=NBCD=90°,ZADC=60°,

/./A8C=120°

ZABF=180°-NABC=60°,則NBAF=30°,

設尸2=x,則/5=2x,FC=BC+FB=100+x,

：.AF=瓜

又：AF=FC

y/3x=100+x

解得：x=50>/3+50

AC=y[2AF=V2xy/3x=y[6x

備用圖

在CO上取點M,^CM+DE=MD,

,.?AB+BC+CM+AM=AC+MD+AM=AD+MD+AM,

S"MD=S^ACM+S&ADE=5s四邊形為BCD

???將整個公園分成兩塊面積相同和周長相同的區(qū)域，貝即為所求,

由(2)可得;XM?XC/=；XS“EC

即:xMDxy/3x=gx3x2

解得：MD=Cx

/.CM==^?-56=^-100=15073+150-100=15073+50(m)

題型4：勾股定理的證明、與弦圖有關的計算題

12.閱讀材料：面積是幾何圖形中的重要度量之一，在幾何證明中具有廣泛應用.出入相補原理是中國古

代數(shù)學中一條用于推證幾何圖形面積的基本原理，它包含以下基本內容：一個幾何圖形，可以切割成任意

多塊任何形狀的小圖形，總面積保持不變，總面積等于所有分割成的小圖形的面積之和.基于以上原理,

回答問題:

圖4

(1)把邊長為8的正方形按圖1方式分割，分割之后(填“能”或“不能”)把圖形重新拼成圖2中長為

13,寬為5的長方形；

(2)如圖3,a,b,c分別表示直角三角形的三邊，比較大?。篴2+b2c2；Ca+b)22ab：

(3)觀察圖4,寫出(ac+bd)2與(求+爐)(c2+t/2)的大小關系：.

【答案】⑴不能

(2)=;>

(3)(ac+6d)2<(/+〃)(c2+tZ2)

【分析】(1)分別計算正方形的面積和長方形的面積，比較兩個圖形的面積大小即可得解;

(2)如圖3中，分別計算左邊大正方形的面積和右邊大正方形的面積，即可得/+〃=c2,再利用

(。+6)2=蘇+2°6+〃變形得(a+方)？N2ab；

(3)如圖4,先由完全平方公式和整式的乘法計算得(ac+bd)2=4202+2qbcd+b2d2,

(tz2+62)(c2+t/2)=a2c2+Q2d2+b2c2+b2d2,(ad-bc)2=a2d2-labcd+Z?2c2^0,進而可得

(ac+bdyw("+〃)(C2+(72).

【解析】(1)解：如圖1,圖2,

圖2

長龍好5、13=65,

??S正方S長方形,

故答案為：不能;

(2)解：如圖3中,

圖3

2222

左邊大正方形的面積：S^^^=(a+b)=a+2ab+b,右邊大正方形的面積：S大正方航〃+4乂:ab=c+2ab,

a2+2ab+b2=c2+2ab，

a2+b2=c2,

(a+b)2=a2+2ab+b2,

a2+b2=(a+b)2-2ab,

22

1.*a+b>09

(a+-2ab20,

(a+,

故答案為：=,>;

(3)解：如圖4,

圖4

(ac+bd)2=a2c2+2abcd+b2d2,(a2+Z>2)Cc2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,

(ad-bcY=a1d1-2abed+b1c220,

a2d2+b2c2>labcd,

*'?(ac+6dCa2~\~b2)(c2+<72)>

故答案為：(tzc+bd)2^：(a2+Z)2)(C2+(72).

【點睛】本題考查了完全平方公式及勾股定理，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵.

13.閱讀理解：

【問題情境】教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1,利用此圖，可以驗證勾股定理嗎？

【探索新知】從面積的角度思考，不難發(fā)現(xiàn)：大正方形的面積=小正方形的面積+4個直角三角形的面積.從

222

而得數(shù)學等式：(a+6f=c2+4x；a6,化簡證得勾股定理：a+b=c.

圖5圖6

(1)【初步運用】如圖1,若b=2a,則小正方形面積：大正方形面積=_；

(2)【初步運用】現(xiàn)