函數(shù)及其圖象章末十五大題型總結（培優(yōu)篇）（華東師大版）（原卷版） 八年級數(shù)學下冊

專題17.14函數(shù)及其圖象章末十五大題型總結（培優(yōu)篇）【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平面坐標系中點的坐標特征】 1【題型2根據(jù)一次函數(shù)性質確定參數(shù)】 2【題型3確定一次函數(shù)經(jīng)過的象限】 2【題型4根據(jù)一次函數(shù)的性質比較大小】 3【題型5根據(jù)一次函數(shù)的性質判斷結論正誤】 3【題型6一次函數(shù)的平移】 4【題型7確定一次函數(shù)解析式】 5【題型8一次函數(shù)中的新定義問題】 6【題型9一次函數(shù)的規(guī)律探究】 8【題型10反比例函數(shù)k的幾何意義】 10【題型11反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征的運用】 11【題型12反比例函數(shù)的圖像與性質的運用】 12【題型13反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的綜合判斷】 13【題型14反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點問題】 15【題型15反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的實際應用】 16【題型1平面坐標系中點的坐標特征】【例1】（2023春·廣西賀州·八年級統(tǒng)考期中）若點(m+1,2n?m)在x軸上，且到原點的距離為1，那么mn的值為．【變式1-1】（2023春·福建三明·八年級期末）如圖，射線OA是第二象限的角平分線，若點B（k，2k＋1）在第二象限內且在射線OA的下方，則k的取值范圍是（）A．k<?12 B．k<?1 C．?1【變式1-2】（2023春·遼寧營口·八年級統(tǒng)考期末）平面直角坐標系中，點A(?5,6)，B(3,?4)，經(jīng)過點A的直線a與x軸平行，如果點C是直線a上的一個動點，那么當線段BC的長度最短時，點C的坐標為（

）A．(6,?3) B．(?4,?5)C．(3,6) D．(?5,?4)【變式1-3】（2023春·河南南陽·八年級校聯(lián)考期中）如圖，平面直角坐標系中有P、Q兩點，其坐標分別為P（4，a）、Q（b，6）．根據(jù)圖中P、Q兩點的位置，判斷點（9﹣2b，a﹣6）落在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【題型2根據(jù)一次函數(shù)性質確定參數(shù)】【例2】（2023春·重慶榮昌·八年級統(tǒng)考期末）數(shù)k使關于x的方程1x?2+kx?12?x=1的解是整數(shù)，且k使一次函數(shù)y=【變式2-1】（2023春·福建漳州·八年級統(tǒng)考期中）一次函數(shù)y=kx+3k+1的圖象與x軸交于正半軸，則k的取值范圍為（

）A．k>?13 B．?13<k<0 C．k<0或k>【變式2-2】（2023春·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）直線y=kx+b經(jīng)過點3,?2，當?1≤x≤5時，y的最大值為6，則k的值為．【變式2-3】（2023秋·陜西西安·八年級校考期末）在平面直角坐標系xOy中，已知直線l經(jīng)過二、三、四象限，且還經(jīng)過點0,m，2,n，p,1和3,?2，則下列判斷正確的是(

)A．m<n B．m<?3 C．n<?2 D．p<?1.5【題型3確定一次函數(shù)經(jīng)過的象限】【例3】（2023秋·浙江杭州·八年級杭州市安吉路實驗學校?？计谥校┮淮魏瘮?shù)y=(m+1)x?2m+3的圖象一定經(jīng)過第象限．【變式3-1】（2023秋·河南周口·八年級?？计谥校┮阎本€ykxb經(jīng)過第一、三、四象限，那么直線ybxk一定不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式3-2】（2023春·內蒙古呼和浩特·八年級統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)經(jīng)過(?1,?1)，(1,?3)兩點，則其函數(shù)圖象不經(jīng)過第象限．【變式3-3】（2023春·全國·八年級期末）如果直線y=2m+1x?2+m經(jīng)過第一、三、四象限，那么則m的取值范圍是【題型4根據(jù)一次函數(shù)的性質比較大小】【例4】（2023春·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）已知x1,y1，x2,y2，x3A．y1y2>0 B．y1y【變式4-1】（2023春·安徽蕪湖·八年級校聯(lián)考期末）直線y=3x+b上有三個點?2.3，y1A．y1>y2>y3 B．y【變式4-2】（2023春·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）已知直線y=ax+b（其中a，b是常數(shù)，ab<0），點Am2，n2，BA．y1>y2 B．y1<y【變式4-3】（2023春·重慶開州·八年級統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)y=?2x+1的圖象經(jīng)過Ax1,?1，Bx2【題型5根據(jù)一次函數(shù)的性質判斷結論正誤】【例5】（2023秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，則下列說法：①k<0，b>0；②x=m是方程kx+b=0的解；③若點A(x1，y1)、B(x2，y2)是這個函數(shù)的圖象上的點，且y1?y【變式5-1】（2023秋·江蘇·八年級期末）在下列敘述中，正確的個數(shù)有（

）①正比例函數(shù)y=2x的圖象經(jīng)過二、四象限；②一次函數(shù)y=2x?3中，y隨x的增大而增大；③函數(shù)y=3x+1中，當x=?1④一次函數(shù)y=x+1圖象與x軸交點為?1,0．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式5-3】（2023春·內蒙古包頭·八年級包頭市第二十九中學?？计谥校┮淮魏瘮?shù)y1=ax+b與y2①對于函數(shù)y=ax+b來說，y隨x的增大而減小；②函數(shù)y=ax+d的圖象不經(jīng)過第一象限；③a?c=d?b④d<a+b?c

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【題型6一次函數(shù)的平移】【例6】（2023春·河北廊坊·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像由函數(shù)y=?x的圖像平移得到，且經(jīng)過點1,1．(1)求這個一次函數(shù)的表達式；(2)當x<1時，對于x的每一個值，函數(shù)y=mx?1m≠0的值小于一次函數(shù)y=kx+b的值，直接寫出m【變式6-1】（2023春·北京海淀·八年級期末）已知直線l:y=kx+b(k≠0)，將直線l向上平移5個單位后經(jīng)過點(3,7)，將直線l向下平移5個單位后經(jīng)過點(7,7)，那么直線l向（填“左”或“右”）平移個單位后過點(1,7)．【變式6-2】（2023春·湖北武漢·八年級武漢市糧道街中學校聯(lián)考期中）已知點A3，4，B?1，?2，將線段AB平移到線段CD，若點A的對應點C落在x軸上，點B的對應點D落在y軸上，則線段AB與【變式6-3】（2023春·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中點A（m?3，3m+3），點B（m，m+4）和D（0，?5），且點B在第二象限．（1）點B向平移單位，再向下平移（用含m的式子表達）單位可以與點A重合；（2）若點B向下移動3個單位，則移動后的點B和點A的縱坐標相等，且有點C（m?2，0）．①則此時點A、B、C坐標分別為、、．②將線段AB沿y軸負方向平移n個單位，若平移后的線段AB與線段CD有公共點，求n的取值范圍．③當m<?1式，連接AD，若線段AD沿直線AB方向平移得到線段BE，連接DE與直線y=?2交于點F，則點F坐標為．（用含m的式子表達）【題型7確定一次函數(shù)解析式】【例7】（2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一次函數(shù)y1=kx+bk≠0的圖象分別與x軸和y軸相交于C、A0，

(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)當y1>y(3)點D是一次函數(shù)y1圖象上一點，若S△OCD=2【變式7-1】（2023春·福建漳州·八年級統(tǒng)考期中）已知一次函數(shù)y1(1)若點(2,?1)在y1的圖象上，求k(2)當?5≤x≤3時，若函數(shù)的最大值3，求y1(3)對于一次函數(shù)y2=(a+3)(x?1)?4，若對一切實數(shù)x，y1>y2都成立，求【變式7-2】（2023秋·安徽·八年級期末）八個邊長為1的正方形如圖擺放在平面直角坐標系中，經(jīng)過原點的一條直線l將這八個正方形分成面積相等的兩部分，設直線l和八個正方形的最上面交點為A，則直線l的解析式是.【變式7-3】（2023秋·廣東深圳·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y1=kx+bk≠0的圖象與x軸交于點A5,0，與一次函數(shù)y(1)求一次函數(shù)y1=kx+b(2)C為x軸上點A右側一個動點，過點C作y軸的平行線，與一次函數(shù)y1=kx+bk≠0的圖象交于點D，與一次函數(shù)y2=23x+2(3)直線y=kx?k經(jīng)過定點1,0，當直線與線段AB（含端點）有交點時k的正整數(shù)值是.【題型8一次函數(shù)中的新定義問題】【例8】（2023春·吉林長春·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，已知點A(?2,0)，B(?2,2)，C(2,0)，D(2,4)，給出定義：若直線l與線段AB，CD都有公共點，則稱直線l是線段AB，CD的“友好直線”．若直線y=12x+b是線段AB，CD的“友好直線”，則b【變式8-1】（2023春·四川成都·八年級成都嘉祥外國語學校?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，已知正方形OABC，其中點A(?4,0)，B(?4,4)，C(0,4)．給出如下定義：若點P向上平移2個單位，再向左平移3個單位后得到P′，點P′在正方形OABC的內部或邊上，則稱點P為正方形OABC的“和諧點”，若在直線y=kx+6上存在點Q，使得點Q是正方形OABC的“和諧點”，則k的取值范圍是【變式8-2】（2023春·江西撫州·八年級統(tǒng)考期末）定義運算min{a，b}，當a≥b時，min{a，b}＝b；當a＜b時，min{a，b}＝a；如：min{4，0}＝0；min{2，2}＝2；min{﹣3，﹣1}＝﹣3．根據(jù)該定義運算完成下列問題：(1)min{﹣3，2}＝，當x≤2時，min{x，2}＝；(2)如圖，已知直線y1＝x+m與y2＝kx﹣2相交于點P（﹣2，1），若min{x+m，kx﹣2）＝kx﹣2，結合圖象，直接寫出x的取值范圍是．(3)在（2）的基礎上，直線y1＝x+m交x軸于點C，交y軸于點A，直線y2＝kx﹣2交x軸于點B，求△ABP的面積．【變式8-3】（2023春·湖南懷化·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)的“非常距離”，給出如下定義：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|y1﹣y2|．例如：點P1(1，2)，點P1(3，5)，因為|1﹣3|＜|2﹣5|，所以點P1與點P2的“非常距離”為|2﹣5|=3，也就是圖1中線段P1Q與線段P2Q長度的較大值（點Q為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線P2Q的交點）．(1)已知點A(﹣12,0)，B為①若點A與點B的“非常距離”為2，寫出滿足條件的點B的坐標；②直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值；(2)如圖2，已知C是直線y=34x+3上的一個動點，點D的坐標是(0，1)，求點C與點D【題型9一次函數(shù)的規(guī)律探究】【例9】（2023春·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A11,1在直線y=x圖象上，過A1點作y軸平行線，交直線y=?x于點B1，以線段A1B1為邊在右側作正方形A1B1C1D1，C1D1【變式9-1】（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角頂點P1(3，3)，P2，P3，…均在直線y=?13x+4上．設△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面積分別為S1，S2，S3，…，依據(jù)圖形所反映的規(guī)律，S2020【變式9-2】（2023春·廣東梅州·八年級?？计谥校┤鐖D，過點A1（1，0）作x軸的垂線，交直線y＝2x于點B1；點A2與點O關于直線A1B1對稱；過點A2（2，0）作x軸的垂線，交直線y＝2x于點B2；點A3與點O關于直線A2B2對稱；過點A3（4，0）作x軸的垂線，交直線y＝2x于點B3；…，按此規(guī)律作下去，則B100的坐標為【變式9-3】（2023春·北京西城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A1(2,2)在直線y=x上，過點A1作A1B1∥y軸，交直線y=12x于點B1，以A1為直角頂點，A1B1為直角邊，在A1B1的右側作等腰直角三角形A1B1C1；再過點C1作A2B2∥y軸，分別交直線y=x和y=12x【題型10反比例函數(shù)k的幾何意義】【例10】（2023春·湖南衡陽·八年級?？计谥校┤缦聢D，過反比例函數(shù)y=2x（x>0）圖像上的一點A作y軸的平行線交反比例函數(shù)y=kx（x>0）于點B，連接OA、OB．若

A．4 B．?2 C．?4 D．?1【變式10-1】（2023春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中有一個6×2的矩形ABCD網(wǎng)格，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，反比例函數(shù)y=?32xx<0的圖像經(jīng)過格點E（小正方形的頂點），反比例函數(shù)y=52xx>0的圖像經(jīng)過格點F，同時還經(jīng)過矩形ABCD的邊CD上的G點，連接

【變式10-2】（2023秋·河南開封·八年級開封市第十三中學?？计谀┤鐖D，點A是反比例函數(shù)y=mx(x<0)圖象上一點，AC⊥x軸于點C，與反比例函數(shù)y=nx(x<0)圖象交于點B，AC＝3BC，連接OA，OB，若△OAB的面積為A．?4 B．?8 C．?10 D．?12【變式10-3】（2023春·黑龍江大慶·八年級?？计谀┤鐖D，A、B是函數(shù)y=6x上兩點，P為一動點，作PB∥①△AOP≌△BOP；②S△AOP=S△BOP；③若OA=OB，則OP平分∠

A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【題型11反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征的運用】【例11】（2023春·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期末）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過三個點（﹣3，﹣4）、（2m，y1）、（6m，y2），其中m＞0，當y1﹣y2＝4時，則m＝．【變式11-1】（2023秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期中）已知反比例函數(shù)y=kx(k≠0)，在每一個象限內，y隨xA．(2,3) B．(?2,3) C．(0,3) D．(?2,0)【變式11-2】（2023秋·廣西北?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）如圖，點A是反比例函數(shù)圖象上一點，則下列各點在該函數(shù)圖象上的是（

）A．(?1,?1) B．(1,?1) C．2,12 【變式11-3】（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級校考期中）在平面直角坐標系中，點A?2，3，B3，2，A．1 B．-1 C．-6 D．6【題型12反比例函數(shù)的圖像與性質的運用】【例12】（2023春·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期末）已知反比例函數(shù)y=kx(k≠0)，當?2≤x≤?1時，y的最大值是4，則當x≥2時，yA．最小值?4 B．最小值?2 C．最大值?4 D．最大值?2【變式12-1】（2023秋·河南三門峽·八年級統(tǒng)考期末）已知反比例函數(shù)y=3x，下列結論中不正確的是（A．其圖象經(jīng)過點?1,?3 B．其圖象分別位于第一、第三象限C．當x>1時，0<y<3 D．當x<0時，y隨x的增大而增大【變式12-2】（2023秋·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期末）點A?3,y1、B?1,y2、C2,y3都在反比例函數(shù)y=A．y1<y2<y3 B．【變式12-3】（2023秋·遼寧阜新·八年級阜新實驗中學?？计谀┬∶鞲鶕?jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y=1x…??1?0132537…y…3m10?1n2537…(1)函數(shù)y=1x?1+1(2)下表列出了y與x的幾組對應值，請寫出m，n的值：m=______，n=______；(3)在如圖所示的平面直角坐標系中，描全上表中以各對對應值為坐標的點，并畫出該函數(shù)的圖象．(4)結合函數(shù)的圖象，解決問題：①方程1x?1②當函數(shù)值1x?1+1>3【題型13反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的綜合判斷】【例13】（2023春·廣東中山·八年級廣東省中山市中港英文學校校考期中）已知一次函數(shù)y=kx+m（k，m為常數(shù)，k≠0）的圖像如圖所示，則正比例函數(shù)y=?kx和反比例函數(shù)y=mA． B．C． D．【變式13-1】（2023春·上海靜安·八年級上海市回民中學?？计谥校┤舴幢壤瘮?shù)y=kxx>0，y隨xA．

B．

C．

D．

【變式13-2】（2023秋·湖南懷化·八年級統(tǒng)考期中）函數(shù)y=mx與y=mx?1A．

B．

C． D．

【變式13-3】（2023春·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D所示，滿足函數(shù)y=kx?k和y=kxk≠0A．①② B．②③ C．②④ D．①④【題型14反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點問題】【例14】（2023春·吉林長春·八年級吉林大學附屬中學?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=k1x+bk1≠0的圖象與反比例函數(shù)y=k2x

(1)求k1、k2及(2)△AOB的面積為______．【變式14-1】（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，A、B兩點在函數(shù)y1

(1)求m的值及直線AB的解析式y(tǒng)2(2)當kx+b≥mxx>0(3)如果一個點的橫、縱坐標均為整數(shù)，那么我們稱這個點為格點，請直接寫出圖中陰影部分（不包括邊界）所含格點的個數(shù)．(4)請在右圖中畫出函數(shù)y3=mx的圖象并寫出當x=12時y1【變式14-2】（2023春·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將反比例函數(shù)y=5x(x>0)的圖象繞坐標原點0，0順時針旋轉45°，旋轉后的圖象與x軸相交于A點，若直線y=12

【變式14-3】（2023春·湖南株洲·八年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y1=kx+bk≠0的圖象與反比例函數(shù)y2=mxm≠0的圖象相交于第一，三象限內的

(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；(2)在y軸上找一點P使PB?PC最大，求PB?PC的最大值．【題型15反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的實際應用】【例15】（2023春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）通過實驗研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學課上聽課注意力指標隨上課時間的變化而變化，上課開始時，學生興趣激增，中間一段時間，學生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散，學生注意力指標y隨時間x分鐘）變化的函數(shù)圖像如圖所示，當0≤x<10和10≤x<20時，圖像是線段；當20≤x≤45時，圖像是反比例函數(shù)圖像的一部分．

(1)求圖中點A的坐標；(2)王老師在一節(jié)數(shù)學課上講解一道數(shù)學綜合題需要16分鐘，他能否經(jīng)過適當?shù)陌才牛箤W生在聽這道綜合題講解時，注意力指標都不低于36？請說明理由．【變式15-1】（2023秋·吉林通化·八年級統(tǒng)考期末）為了預防“流感”，某學校對教室采用藥熏法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內每立方米空氣中的含藥量