專題11 特殊的平行四邊形中的最值模型之瓜豆模型（原理）（解析版）

專題11特殊的平行四邊形中的最值模型之瓜豆模型（原理）動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識(shí)的局限和思維能力的束縛，該壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個(gè)坎，致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個(gè)重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。【模型解讀】瓜豆原理：若兩動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑相同。動(dòng)點(diǎn)軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學(xué)進(jìn)程影響，估只對(duì)瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。主動(dòng)點(diǎn)叫瓜，從動(dòng)點(diǎn)叫豆，瓜在直線上運(yùn)動(dòng)，豆也在直線_上運(yùn)動(dòng)；瓜在圓周上運(yùn)動(dòng)，豆的軌跡也是圓。古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為直線1）如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？解析：當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線．理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．2）如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ為定值，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？解析：當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。理由：當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段。【最值原理】動(dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線時(shí)，利用“垂線段最短”求最值。1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡確定時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值；2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡不易確定是直線時(shí)，可通過以下三種方法進(jìn)行確定：=1\*GB3①觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等位置時(shí)是否存在動(dòng)點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變，若存在該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；=2\*GB3②當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；=3\*GB3③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線；④若動(dòng)點(diǎn)軌跡用上述方法都合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化為其他已知軌跡的線段求值。例1．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．則______，若正方形的邊長(zhǎng)為2，則點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值是______．【答案】/度【分析】如圖1所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由“”可證，可得，由直角三角形的性質(zhì)可得，由三角形內(nèi)角和定理可求，可得，即可求出；如圖2所示，連接，過點(diǎn)作于，由，知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，即得當(dāng)時(shí)，有最小值為的長(zhǎng)度，而，即有最小值為．【詳解】解：如圖1所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，四邊形是正方形，，，，，，又，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，，；如圖2所示，連接，過點(diǎn)作于，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為的長(zhǎng)度，，，，即有最小值為，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·四川內(nèi)江·?？家荒＃┤鐖D，矩形中，已知，點(diǎn)F是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為________．【答案】【分析】據(jù)中位線定理可得出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，再根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時(shí)，取得最小值；由矩形的性質(zhì)以及已知的數(shù)據(jù)即可知，故的最小值為的長(zhǎng)，由勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖：當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P在處，，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)P在處，，∴且．當(dāng)點(diǎn)F在上除點(diǎn)C、E處的位置時(shí)，有．由中位線定理可知：且．∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值．∵矩形中，，E為的中點(diǎn)，∴為等腰直角三角形，．∴．∴．∴．∴，即，∴的最小值為的長(zhǎng)．在等腰直角中，，∴∴的最小值是．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查軌跡問題、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用特殊位置解決問題，有難度．例3．（2023·綿陽市·八年級(jí)期中）如圖，菱形中，，，點(diǎn)在邊上，且，動(dòng)點(diǎn)在邊上，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段，連接，則線段長(zhǎng)的最小值為__．【答案】【分析】在上取一點(diǎn)，使得，連接，，作直線交于，過點(diǎn)作于．證明，推出點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，求出即可．【詳解】解：在上取一點(diǎn)，使得，連接，，作直線交于，過點(diǎn)作于．，，是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，，，，，在和中，，，，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，，，，，，∴GT//AB∵BG//AT四邊形是平行四邊形，，，∴在中，∴，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．例4．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖，矩形的邊，E為上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，若以為邊向右側(cè)作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】過點(diǎn)G作GH⊥AB于H，過點(diǎn)G作MN∥AB，由“AAS”可證△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得點(diǎn)G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)F與D重合時(shí)，CG有最小值，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)G作GH⊥AB于H，過點(diǎn)G作MN∥AB，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，∴點(diǎn)G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)F與D重合時(shí)，CG有最小值，此時(shí)AF＝EH＝3，∴CG的最小值＝，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，確定點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題的關(guān)鍵．例5．（2023·江蘇宿遷·?？计谥校┤鐖D，正方形的邊長(zhǎng)為4，為上一點(diǎn)，且，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為_____．【答案】【分析】由題意分析可知，點(diǎn)為主動(dòng)點(diǎn)，為從動(dòng)點(diǎn)，所以以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系，得到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得最小值．【詳解】由題意可知，點(diǎn)是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)也一定在直線軌跡上運(yùn)動(dòng)將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，從而可知為等邊三角形，點(diǎn)在垂直于的直線上，作，則即為的最小值，作，可知四邊形為矩形，則.故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了線段極值問題，分清主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，從而判斷出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，是本題的關(guān)鍵．例6．（2023春·江蘇·八年級(jí)校考期中），，，E為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為鄰邊作，的最小值為_________．

【答案】【分析】根據(jù)垂線段最短，得當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，過點(diǎn)B作交于點(diǎn)F，證明四邊形是矩形，在中，利用含30度角的直角三角形和勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，過點(diǎn)B作交于點(diǎn)F，∴，

∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，即，∴四邊形是矩形，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形和勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．例7．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，點(diǎn)H、G分別是邊CD、BC上的動(dòng)點(diǎn)．連接AH、HG，點(diǎn)E為AH的中點(diǎn)，點(diǎn)F為GH的中點(diǎn)，連接EF則EF的最大值與最小值的差為__________．【答案】【分析】取AD的中點(diǎn)M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再證明∠ACD=90°，求出AC=2、AN=；然后由三角形中位線定理，可得EF=AG，最后求出AG的最大值和最小值即可．【詳解】解：如圖：取AD的中點(diǎn)M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD=120°∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2∴AM=DM=DC=2∴△CDM是等邊三角形∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC∴∠MAC=∠MCA=30°∴∠ACD=90°∴AC=2在Rt△ACN中，AC=2,∠ACN=∠DAC=30°∴AN=AC=∵AE=EH，GF=FH∴EF=AG∴AG的最大值為AC的長(zhǎng)，最小值為AN的長(zhǎng)∵AG的最大值為2，最小值為∴EF的最大值為，最小值為∴EF的最大值與最小值的差為-=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，正確添加輔助線和證得∠ACD=90是解答本題的關(guān)鍵．例8．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）如圖在菱形中，為對(duì)角線與的交點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的任一點(diǎn)（不與、重合），過點(diǎn)分別作，，、為垂足，則可以判斷四邊形的形狀為___________．若菱形的邊長(zhǎng)為，，則的最小值為___________．（用含的式子表示）【答案】矩形/【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得到，根據(jù)，即可得到，根據(jù)矩形的判定方法即可判斷出四邊形是矩形；根據(jù)菱形的邊長(zhǎng)為，即可求出，，的長(zhǎng)度，根據(jù)四邊形是矩形即可得到，即可判斷出當(dāng)時(shí)，取得最小值，也取得最小值，根據(jù)三角形的面積計(jì)算方法，即可求出的最小值，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接∵四邊形是菱形，∴，∵，，∴，∴四邊形是矩形；∵菱形的邊長(zhǎng)為，，∴，，∴是等邊三角形．∴，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，也取得最小值，此時(shí)，∴，∴的最小值為，故答案為：矩形，．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定及性質(zhì)、垂線段最短以及菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023上·河北保定·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，且，點(diǎn)D是斜邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，連接，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，則線段的最小值為（

）

A． B．5 C． D．【答案】C【分析】由勾股定理求出的長(zhǎng)，再證明四邊形是矩形，可得，根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時(shí)，的值最小，再利用三角形面積求出，可得，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，

，且，，，，，，四邊形是矩形，，，當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)，，，的最小值為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、垂線段最短，關(guān)鍵是掌握矩形的對(duì)角線相等．2．（2023上·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，，分別是，的中點(diǎn)，則的最小值為（

）

A．12 B．10 C．9.6 D．4.8【答案】D【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，勾股定理，垂線段最短的性質(zhì)．連接，作于點(diǎn)H．由三角形中位線的性質(zhì)得，由垂線段最短可知當(dāng)最小，即點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)的值最小，然后利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：連接，作于點(diǎn)H．

∵點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴當(dāng)最小，即點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)的值最?。O(shè)，則，∵，∴，∴，∴的最小值為4.8．故選D．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，矩形中，，，M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)P，于點(diǎn)Q，則的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】連接，先證四邊形是矩形，得，再由勾股定理得，當(dāng)時(shí)，最小，則最小，然后由面積法求出的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，四邊形是矩形，，，，四邊形是矩形，，由勾股定理得：，當(dāng)時(shí)，最小，則最小，此時(shí)，，即，，的最小值為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接，則的最小值是_________．【答案】【分析】連接交于點(diǎn)，連接易證得，得到點(diǎn)G為的中點(diǎn)，所以是中位線，可得到，求最小值即為求最小值的一半，隨著點(diǎn)E的變化，點(diǎn)M在上動(dòng)，即當(dāng)時(shí)，有最小值，然后在中，借助三角函數(shù)計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)N，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)G為的中點(diǎn)，∵點(diǎn)H為的中點(diǎn)，∴是中位線，∴，∴求最小值即為求最小值的一半，隨著點(diǎn)E的變化，點(diǎn)M在上動(dòng)，即當(dāng)時(shí)，有最小值，即最小值=，∵是的中點(diǎn)，∴，∵∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)最值，根據(jù)條件做出輔助線，利用中位線轉(zhuǎn)化所求線段，然后借助點(diǎn)到線距離垂線段最短計(jì)算即可．5．（2023上·天津河?xùn)|·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，長(zhǎng)方形中，，E為上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接，則的最小值為

【答案】【分析】將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，連接交于點(diǎn)J，首先證明，推出點(diǎn)G在射線上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而得到當(dāng)時(shí)，的值最小，，求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：如圖，將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，連接交于點(diǎn)J，

∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)G在射線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用的輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．6．（2023上·陜西西安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，是的中點(diǎn)，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】本題主要考查矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，取中點(diǎn)H，連接，交于點(diǎn)O，根據(jù)四邊形為矩形，得到四邊形為矩形，，結(jié)合點(diǎn)O為的中點(diǎn)，有為點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，則求得當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時(shí)最?。驹斀狻拷猓喝≈悬c(diǎn)H，連接，交于點(diǎn)O，如圖，∵四邊形為矩形，∴，，，∵點(diǎn)E為中點(diǎn)，點(diǎn)H為中點(diǎn)，∴，，∴四邊形為矩形，，∵點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴為點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，∵在直線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時(shí)最小為，故答案為：．7．（2023下·廣東佛山·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，，，點(diǎn)是射線上的任意一點(diǎn)，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連，則線段的最小值為．【答案】【分析】本題考查垂線段最短，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．根據(jù)垂線段最短得：當(dāng)時(shí)，最短，利用平行四邊形性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：設(shè)平行四邊形的對(duì)角線、相交于O，如圖，當(dāng)時(shí)，最短，∵平行四邊形∴，，∴此時(shí)，最短，∵，∴∴故答案為：．8．（2023上·陜西延安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段的長(zhǎng)的最小值為．【答案】8【分析】連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，證明，可得，由勾股定理可得，根據(jù)，即可得出的最小值．【詳解】解：如圖，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，，在與中，，，，正方形中，，是邊上的中點(diǎn)，，，，，，線段的最小值為8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查線段的最值問題，涉及三角形的三邊關(guān)系、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．9．（2022·陜西師大附中三模）如圖，正方形中，，點(diǎn)E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，則的最小值為__________．【答案】【分析】上截取，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，是等腰直角三角形，進(jìn)而根據(jù)垂線段最短即可求解．【詳解】如圖，上截取，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，正方形中，，將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，是等腰直角三角形,在射線上運(yùn)動(dòng)，則是等腰直角三角形，與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，等于即的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，垂線段最短，求得的軌跡是解題的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)（含B，C兩點(diǎn)），連接，以點(diǎn)A為中心，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，則線段的最小值為_____．【答案】【分析】如圖，以為邊向右作等邊，作射線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作于H．利用全等三角形的性質(zhì)證明，推出，推出點(diǎn)Q在射線上運(yùn)動(dòng)，求出，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，以為邊向右作等邊，作射線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作于H．∵四邊形是矩形，∴，∵都是等邊三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴點(diǎn)Q在射線上運(yùn)動(dòng)，∵，∴，∵，∴．根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)Q與H重合時(shí)，的值最小，最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，本題的突破點(diǎn)是證明點(diǎn)Q的在射線上運(yùn)動(dòng)．11．（2023·陜西師大附中三模）如圖，正方形中，，點(diǎn)E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，則的最小值為__________．【答案】【分析】上截取，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，是等腰直角三角形，進(jìn)而根據(jù)垂線段最短即可求解．【詳解】如圖，上截取，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，正方形中，，將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，是等腰直角三角形,在射線上運(yùn)動(dòng)，則是等腰直角三角形，與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，等于即的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，垂線段最短，求得的軌跡是解題的關(guān)鍵．12．（2023·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，菱形中，，，點(diǎn)在邊上，且，動(dòng)點(diǎn)在邊上，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至線段，連接，則線段長(zhǎng)的最小值為.

【答案】【分析】在上取一點(diǎn)，使得，連接，，作直線交于，過點(diǎn)作于．證明，推出點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，求出即可．【詳解】解：在上取一點(diǎn)，使得，連接，，作直線交于，過點(diǎn)作于．

，，是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．13．（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，線段的長(zhǎng)為12，點(diǎn)在上（不與端點(diǎn)重合），以為邊向上作等邊，過作與垂直的射線，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），以、為邊作矩形，對(duì)角線與交于點(diǎn)，連接，則線段的最小值為．

【答案】6【分析】連接，證明平分，從而確定點(diǎn)O在定直線上，結(jié)合等邊，確定，是定角，根據(jù)垂線段最短計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接，

因?yàn)榈冗?，矩形，所以，所以，所以，所以，所以平分，因?yàn)槭嵌ń?，所以的角平分線是唯一確定的射線，所以點(diǎn)O在定直線上，所以，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，因?yàn)?，所以，故答案為?．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂線段最短，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)是8，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)F是線段上不與點(diǎn)D，E重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)G是線段的中點(diǎn)，則線段的最小值為．

【答案】【分析】連接，與相交于點(diǎn)H,取中點(diǎn)I，連接，由正方形的邊長(zhǎng)是8得到，，，由中位線定理得到，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，由，當(dāng)點(diǎn)G和點(diǎn)H重合時(shí)，線段值最小，由勾股定理求出，即可得到，得到線段的最小值．【詳解】解：連接，與相交于點(diǎn)H,取中點(diǎn)I，連接，

∵正方形的邊長(zhǎng)是8，∴，，，∵點(diǎn)G是線段的中點(diǎn)，∴，∴三點(diǎn)共線，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，∵，∴當(dāng)點(diǎn)G和點(diǎn)H重合時(shí)，線段值最小，∴，∴，即線段的最小值為．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等知識(shí)，證明三