新高考數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計分章節(jié)特訓(xùn)專題05回歸分析專題練習(原卷版+解析)

專題5回歸分析例1．已知回歸方程y?A．﹣2 B．1 C．2 D．5例2．研究變量x，y得到一組樣本數(shù)據(jù)，進行回歸分析，有以下結(jié)論①殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好；②用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越小說明擬合效果越好；③在回歸直線方程y?=?0.2x+0.8中，當解釋變量x每增加1個單位時，預(yù)報變量④若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)為r＝﹣0.9462，則變量y和x之間的負相關(guān)很強．以上正確說法的是．例3．下列命題中，正確的命題有．①回歸直線y?=b?x+a②用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，表示預(yù)報變量對解釋變量變化的貢獻率，R2越接近于1說明模型的擬合效果越好；③殘差圖中殘差點比較均勻的落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適；④兩個模型中殘差平方和越大的模型的擬合效果越好．例4．下列命題：①相關(guān)指數(shù)R2越小，則殘差平方和越大，模型的擬合效果越好．②對分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k來說，k越小，“X與Y有關(guān)系”可信程度越大．③殘差點比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越寬，說明模型擬合精度越高．④兩個隨機變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近0．其中錯誤命題的個數(shù)為．例5．垃圾是人類日常生活和生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢棄物，由于排出量大，成分復(fù)雜多樣，且具有污染性，所以需要無害化、減量化處理．某市為調(diào)査產(chǎn)生的垃圾數(shù)量，采用簡單隨機抽樣的方法抽取20個縣城進行了分析，得到樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，……，20），其中xi和yi分別表示第i個縣城的人口（單位：萬人）和該縣年垃圾產(chǎn)生總量（單位：噸），并計算得i=120xi=80，i=120yi=4000，i=120（xi?x）2＝80，i=120（y（1）請用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型進行擬合；（2）求y關(guān)于x的線性回歸方程；（3）某科研機構(gòu)研發(fā)了兩款垃圾處理機器，如表是以往兩款垃圾處理機器的使用年限（整年）統(tǒng)計表：使用年限臺數(shù)款式1年2年3年4年5年甲款520151050乙款152010550某環(huán)保機構(gòu)若考慮購買其中一款垃圾處理器，以使用年限的頻率估計概率．根據(jù)以往經(jīng)驗估計，該機構(gòu)選擇購買哪一款垃圾處理機器，才能使用更長久？參考公式：相關(guān)系數(shù)r=i=1對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，……，n），其回歸直線y?=b?x+a例6．某基地蔬菜大棚采用水培、無土栽培方式種植各類蔬菜．據(jù)統(tǒng)計該基地的西紅柿增加量y（百斤）與使用某種液體肥料x（千克）之間對應(yīng)數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖．（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的折線圖，請計算相關(guān)系數(shù)r（精確到0.01），并以此判定是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？若是請求出回歸直線方程，若不是請說明理由；（2）過去50周的資料顯示，該地周光照量X（小時）都在30小時以上，其中不足50小時的周數(shù)有5周，不低于50小時且不超過70小時的周數(shù)有35周，超過70小時的周數(shù)有10周．蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀最多可運行臺數(shù)受周光照量X限制，并有如表關(guān)系：周光照量X（單位：小時）30＜X＜5050≤X≤70n≥2光照控制儀最多可運行臺數(shù)542若某臺光照控制儀運行，則該臺光照控制儀周利潤為3000元；若某臺光照控制儀未運行，則該臺光照控制儀周虧損1000元．若商家安裝了5臺光照控制儀，求商家在過去50周每周利潤的平均值．附：對于一組數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn），其相關(guān)系數(shù)公式r=i=1n(xi?x)(yi例7．湖南省從2021年開始將全面推行“3+1+2”的新高考模式，新高考對化學(xué)、生物、地理和政治等四門選考科目，制定了計算轉(zhuǎn)換T分（即記入高考總分的分數(shù)）的“等級轉(zhuǎn)換賦分規(guī)則”（詳見附1和附2），具體的轉(zhuǎn)換步驟為：①原始分Y等級轉(zhuǎn)換；②原始分等級內(nèi)等比例轉(zhuǎn)換賦分．某校的一次年級統(tǒng)考中，政治、生物兩選考科目的原始分分布如表：等級ABCDE比例約15%約35%約35%約13%約2%政治學(xué)科各等級對應(yīng)的原始分區(qū)間[81，98][72，80][66，71][63，65][60，62]生物學(xué)科各等級對應(yīng)的原始分區(qū)間[90，100][77，89][69，76][66，68][63，65]現(xiàn)從政治、生物兩學(xué)科中分別隨機抽取了20個原始分成績數(shù)據(jù)，作出莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖，分別求出政治成績的中位數(shù)和生物成績的眾數(shù)；（2）該校的甲同學(xué)選考政治學(xué)科，其原始分為82分，乙同學(xué)選考生物學(xué)科，其原始分為91分，根據(jù)賦分轉(zhuǎn)換公式，分別求出這兩位同學(xué)的轉(zhuǎn)化分；（3）根據(jù)生物成績在等級B的6個原始分和對應(yīng)的6個轉(zhuǎn)化分，得到樣本數(shù)據(jù)（Yi，Ti），請計算生物原始分Yi與生物轉(zhuǎn)換分Ti之間的相關(guān)系數(shù)，并根據(jù)這兩個變量的相關(guān)系數(shù)談?wù)勀銓π赂呖歼@種“等級轉(zhuǎn)換賦分法”的看法．附1：等級轉(zhuǎn)換的等級人數(shù)占比與各等級的轉(zhuǎn)換分賦分區(qū)間等級ABCDE原始分從高到低排序的等級人數(shù)占比約15%約35%約35%約13%約2%轉(zhuǎn)換分T的賦分區(qū)間[86，100][71，85][56，70][41，55][30，40]附2：計算轉(zhuǎn)換分T的等比例轉(zhuǎn)換賦分公式：Y2?YY?Y1=T2?TT?T1．（其中：Y1，Y附3：i=16（Yi?Y）（Ti?T）＝74，i=1例8．某市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1月期間買二手房情況，首先隨機抽樣其中200名購房者，并對其購房面積m（單位：平方米，60≤m≤130）進行了一次調(diào)查統(tǒng)計，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖，接著調(diào)查了該市2018年1月至2019年1月期間當月在售二手房均價y（單位：萬元/平方米），制成了如圖2所示的散點圖（圖中月份代碼1﹣13分別對應(yīng)2018年1月至2019年1月）．（Ⅰ）試估計該市市民的購房面積的中位數(shù)m0；（Ⅱ）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購房面積位于[110，130]的40位市民中隨機抽取4人，再從這4人中隨機抽取2人，求這2人的購房面積恰好有一人在[120，130]的概率；（Ⅲ）根據(jù)散點圖選擇y?=a?+b?y?y?i=1130.0005910.000164i=1130.006050請利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個模型的擬合效果更好，并用擬合效果更好的模型預(yù)測出2019年12月份的二手房購房均價（精確到0.001）．【參考數(shù)據(jù)】ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln23≈3.14，ln25≈3.22，2≈141，3≈1.73，【參考公式】R2例9．某汽車公司擬對“東方紅”款高端汽車發(fā)動機進行科技改造，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技改造投入x（億元）與科技改造直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表：x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666當0＜x≤16時，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：y?=4.1x+11.8；模型②：y?=21.3x?14.4；當x＞16時，確定（Ⅰ）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當0＜x≤16時模型①、②的相關(guān)指數(shù)R2，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測對“東方紅”款汽車發(fā)動機科技改造的投入為16億元時的直接收益．回歸模型模型①模型②回歸方程y?y?i=17182.479.2（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)R2＝1?i=1（Ⅱ）為鼓勵科技創(chuàng)新，當科技改造的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼收益10億元，以回歸方程為預(yù)測依據(jù)，比較科技改造投入16元與20億元時公司實際收益的大小；（附：用最小二乘法求線性回歸方程y?=b?x+（Ⅲ）科技改造后，“東方紅”款汽車發(fā)動機的熱效率X大幅提高，X服從正態(tài)分布N（0.52，0.012），公司對科技改造團隊的獎勵方案如下：若發(fā)動機的熱效率不超過50%但不超過53%，不予獎勵；若發(fā)動機的熱效率超過50%但不超過53%，每臺發(fā)動機獎勵2萬元；若發(fā)動機的熱效率超過53%，每臺發(fā)動機獎勵4萬元．求每臺發(fā)動機獲得獎勵的數(shù)學(xué)期望．（附：隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9545．）例10．某高中數(shù)學(xué)建模興趣小組的同學(xué)為了研究所在地區(qū)男高中生的身高與體重的關(guān)系，從若干個高中男學(xué)生中抽取了1000個樣本，得到如下數(shù)據(jù)．數(shù)據(jù)一：身高在[170，180）（單位：cm）的體重頻數(shù)統(tǒng)計體重（kg）[50，55）[55，60）[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）人數(shù)206010010080201010數(shù)據(jù)二：身高所在的區(qū)間含樣本的個數(shù)及部分數(shù)據(jù)身高x（cm）[140，150）[150，160）[160﹣170）[170﹣180）[180﹣190）平均體重y（kg）4553.66075（Ⅰ）依據(jù)數(shù)據(jù)一將下面男高中生身高在[170﹣180）（單位：cm）體重的頻率分布直方圖補充完整，并利用頻率分布直方圖估計身高在[170﹣180）（單位：cm）的中學(xué)生的平均體重；（保留小數(shù)點后一位）（Ⅱ）依據(jù)數(shù)據(jù)一、二，計算身高（取值為區(qū)間中點）和體重的相關(guān)系數(shù)約為0.99，能否用線性回歸直線來刻畫中學(xué)生身高與體重的相關(guān)關(guān)系，請說明理由；若能，求出該回歸直線方程；（Ⅲ）說明殘差平方和或相關(guān)指數(shù)R2與線性回歸模型擬合效果之間關(guān)系．（只需寫出結(jié)論，不需要計算）參考公式：b?=i=1參考數(shù)據(jù)：（1）145×45+155×53.6+165×60+185×75＝38608；（2）1452+1552+1652+1752+1852﹣5×1652＝1000．（3）663×175＝116025，664×175＝116200，665×175＝116375．（4）728×165＝120120．例11．2019年的“金九銀十”變成“銅九鐵十”，國各地房價“跳水”嚴重，但某地二手房交易卻“逆市”而行．如圖是該地某小區(qū)2018年11月至2019年1月間，當月在售二手房均價（單位：萬元/平方米）的散點圖．（圖中月份代碼1～13分別對應(yīng)2018年11月～2019年11月）根據(jù)散點圖選擇y=a+bx和y＝c+dlnx兩個模型進行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程分別為y^=0.9369+0.0285y^y^i=1130.0005910.000164i=1130.006050（1）請利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個模型的擬合效果更好；（2）某位購房者擬于2020年4月購買這個小區(qū)m（70≤m≤160）平方米的二手房（欲購房為其家庭首套房）．若購房時該小區(qū)所有住房的房產(chǎn)證均已滿2但未滿5年，請你利用（1）中擬合效果更好的模型解決以下問題：（i）估算該購房者應(yīng)支付的購房金額；（購房金額＝房款+稅費，房屋均價精確到0.001萬元/平方米）（ii）若該購房者擬用不超過100萬元的資金購買該小區(qū)一套二手房，試估算其可購買的最大面積．（精確到1平方米）附注：根據(jù)有關(guān)規(guī)定，二手房交易需要繳納若干項稅費，稅費是按房屋的計稅價格（計稅價格＝房款）進行征收的．房產(chǎn)證滿2年但未滿5年的征收方式如下：首套面積90平方米以內(nèi)（含90平方米）為1%；首套面積90平方米以上且140平方米以內(nèi)（含140平方米）1.5%；首套面積140平方米以上或非首套為3%．參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln17≈2.83，ln19≈2.94，2≈1.41，3≈1.73，17≈4.12參考公式：相關(guān)指數(shù)R2例12．某新興科技公司為了確定新研發(fā)的產(chǎn)品下一季度的營銷計劃，需了解月宣傳費x（單位：萬元）對月銷售量y（單位：千件）的影響，收集了2020年3月至2020年8月共6個月的月宣傳費x和月銷售量y的數(shù)據(jù)如表：月份345678宣傳費x5678910月銷售量y0.43.55.27.08.610.7現(xiàn)分別用模型①y?=b?（模型①和模型②的殘差分別為e?1和x5678910y0.43.55.37.08.610.7e?﹣0.60.540.280.12﹣0.24﹣0.1e?﹣0.631.712.101.63﹣0.7﹣5.42（1）根據(jù)上表的殘差數(shù)據(jù)，應(yīng)選擇哪個模型來擬合月宣傳費x與月銷售量y的關(guān)系較為合適，簡要說明理由；（2）為了優(yōu)化模型，將（1）中選擇的模型殘差絕對值最大所對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)（x，y）剔除，根據(jù)剩余的5組數(shù)據(jù)，求該模型的回歸方程，并預(yù)測月宣傳費為12萬元時，該公司的月銷售量．（剔除數(shù)據(jù)前的參考數(shù)據(jù)：x=7.5，y=5.9，i=16xiyi=299.8，i=16xi2參考公式：b?=i=1例13．新型冠狀病毒肺炎COVID﹣19疫情發(fā)生以來，在世界各地逐漸蔓延．在全國人民的共同努力和各級部門的嚴格管控下，我國的疫情已經(jīng)得到了很好的控制．然而，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，每個國家在疫情發(fā)生的初期，由于認識不足和措施不到位，感染人數(shù)都會出現(xiàn)快速的增長．如表是小王同學(xué)記錄的某國連續(xù)8天每日新型冠狀病毒感染確診的累計人數(shù)．日期代碼x12345678累計確診人數(shù)y481632517197122為了分析該國累計感染人數(shù)的變化趨勢，小王同學(xué)分別用兩種模型：①y?②y?=dx+c對變量x和y的關(guān)系進行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進行殘差分析，殘差圖如下（注：殘差ei=yi?yi）：經(jīng)過計算得它i=18(（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)該選擇哪個模型？并簡要說明理由；（2）根據(jù)（1）問選定的模型求出相應(yīng)的回歸方程（系數(shù)均保留兩位小數(shù)）；（3）由于時差，該國截止第9天新型冠狀病毒感染確診的累計人數(shù)尚未公布．小王同學(xué)認為，如果防疫形勢沒有得到明顯改善，在數(shù)據(jù)公布之前可以根據(jù)他在（2）問求出的回歸方程來對感染人數(shù)做出預(yù)測，那么估計該地區(qū)第9天新型冠狀病毒感染確診的累計人數(shù)是多少？附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b?=i=1例14．H市某企業(yè)堅持以市場需求為導(dǎo)向，合理配置生產(chǎn)資源，不斷改革、探索銷售模式．下表是該企業(yè)每月生產(chǎn)的一種核心產(chǎn)品的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)總成本y（萬元）的五組對照數(shù)據(jù)．產(chǎn)量x（件）12345生產(chǎn)總成本y（萬元）3781012（Ⅰ）根據(jù)上達數(shù)據(jù)，若用最小二乘法進行線性模擬，試求y關(guān)于x的線性回歸方程y?參考公式：b?=i=1（Ⅱ）記第（Ⅰ）問中所求y與x的線性回歸方程y?=b?x+a?為模型①，同時該企業(yè)科研人員利用計算機根據(jù)數(shù)據(jù)又建立了y與x請完成模型①的殘差表與殘差圖，并根據(jù)殘差圖，判斷哪一個模型更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程？并說明理由；（Ⅲ）根據(jù)模型①中y與x的線性回歸方程，預(yù)測產(chǎn)量為6噸時生產(chǎn)總成本為多少萬元？例15．為了解某企業(yè)生產(chǎn)的某產(chǎn)品的年利潤與年廣告投入的關(guān)系，該企業(yè)對最近一些相關(guān)數(shù)據(jù)進行了調(diào)查統(tǒng)計，得出相關(guān)數(shù)據(jù)見表：年廣告投入x（萬元）23456年利潤y（十萬元）346811根據(jù)以上數(shù)據(jù)，研究人員分別借助甲．乙兩種不同的回歸模型，得到兩個回歸方程，方程甲：方程甲：y?（1）=b?（x﹣1）2+2.75，方程乙：y?（1）求b?（結(jié)果精確到0.01）與c（2）為了評價兩種模型的擬合效果，完成以下任務(wù)．①完成下表（備注：ei=yi?yi，ei稱為相應(yīng)于點（x年廣告投入x（萬元）23456年利潤y（十萬元）346811模型甲估計值yi殘差ei模型乙估計值yi殘差ei②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和Q1及Q2，并通過比較Q1，Q2的大小，判斷哪個模型擬合效果更好．專題5回歸分析例1．已知回歸方程y?A．﹣2 B．1 C．2 D．5【解析】解：當x＝1時，y?=5∴方程在樣本（1，4）處的殘差是4﹣6＝﹣2．故選：A．例2．研究變量x，y得到一組樣本數(shù)據(jù)，進行回歸分析，有以下結(jié)論①殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好；②用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越小說明擬合效果越好；③在回歸直線方程y?=?0.2x+0.8中，當解釋變量x每增加1個單位時，預(yù)報變量④若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)為r＝﹣0.9462，則變量y和x之間的負相關(guān)很強．以上正確說法的是①③④．【解析】解：①可用殘差平方和判斷模型的擬合效果，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，故①正確；②用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越大說明擬合效果越好，故②錯誤；③在回歸直線方程y?=?0.2x+0.8中中，當解釋變量x每增加1個單位時，預(yù)報變量y?④若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)為r＝﹣0.9462，r的絕對值趨向于1，則變量y和x之間的負相關(guān)很強，故④正確．故答案為：①③④．例3．下列命題中，正確的命題有②③．①回歸直線y?=b?x+a②用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，表示預(yù)報變量對解釋變量變化的貢獻率，R2越接近于1說明模型的擬合效果越好；③殘差圖中殘差點比較均勻的落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適；④兩個模型中殘差平方和越大的模型的擬合效果越好．【解析】解：①回歸直線y?=b?x+a?恒過樣本點中心（②用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，表示預(yù)報變量對解釋變量變化的貢獻率，R2越接近于1說明模型的擬合效果越好，正確；③殘差圖中殘差點比較均勻的落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，正確；④兩個模型中殘差平方和越大的模型的擬合效果越差．故④錯誤，故正確的是②③，故答案為：②③例4．下列命題：①相關(guān)指數(shù)R2越小，則殘差平方和越大，模型的擬合效果越好．②對分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k來說，k越小，“X與Y有關(guān)系”可信程度越大．③殘差點比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越寬，說明模型擬合精度越高．④兩個隨機變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近0．其中錯誤命題的個數(shù)為4．【解析】解：對于①，相關(guān)指數(shù)R2越小，則殘差平方和越大，此時模型的擬合效果越差，所以①錯誤；對于②，對分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k來說，k越小，“X與Y有關(guān)系”可信程度越小，所以②錯誤；對于③，殘差點比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越寬，說明模型擬合精度越低，所以③錯誤；對于④，兩個隨機變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1，所以④錯誤．綜上知，錯誤命題的序號是①②③④，共4個．故答案為：4．例5．垃圾是人類日常生活和生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢棄物，由于排出量大，成分復(fù)雜多樣，且具有污染性，所以需要無害化、減量化處理．某市為調(diào)査產(chǎn)生的垃圾數(shù)量，采用簡單隨機抽樣的方法抽取20個縣城進行了分析，得到樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，……，20），其中xi和yi分別表示第i個縣城的人口（單位：萬人）和該縣年垃圾產(chǎn)生總量（單位：噸），并計算得i=120xi=80，i=120yi=4000，i=120（xi?x）2＝80，i=120（y（1）請用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型進行擬合；（2）求y關(guān)于x的線性回歸方程；（3）某科研機構(gòu)研發(fā)了兩款垃圾處理機器，如表是以往兩款垃圾處理機器的使用年限（整年）統(tǒng)計表：使用年限臺數(shù)款式1年2年3年4年5年甲款520151050乙款152010550某環(huán)保機構(gòu)若考慮購買其中一款垃圾處理器，以使用年限的頻率估計概率．根據(jù)以往經(jīng)驗估計，該機構(gòu)選擇購買哪一款垃圾處理機器，才能使用更長久？參考公式：相關(guān)系數(shù)r=i=1對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，……，n），其回歸直線y?=b?x+a【解析】解：（1）由題意知相關(guān)系數(shù)r=i=1因為y與x的相關(guān)系數(shù)接近1，所以y與x之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型進行擬合．（2）由題意可得，b?=i=1所以y?（3）以頻率估計概率，購買一臺甲款垃圾處理機器節(jié)約政府支持的垃圾處理費用X（單位：萬元）的分布列為X﹣50050100P0.10.40.30.2E（X）＝﹣50×0.1+0×0.4+50×0.3+100×0.2＝30（萬元）購買一臺乙款垃圾處理機器節(jié)約政府支持的垃圾處理費用Y（單位：萬元）的分布列為：Y﹣302070120P0.30.40.20.1E（Y）＝﹣30×0.3+20×0.4+70×0.2+120×0.1＝25（萬元）因為E（X）＞E（Y），所以該縣城選擇購買一臺甲款垃圾處理機器更劃算．例6．某基地蔬菜大棚采用水培、無土栽培方式種植各類蔬菜．據(jù)統(tǒng)計該基地的西紅柿增加量y（百斤）與使用某種液體肥料x（千克）之間對應(yīng)數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖．（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的折線圖，請計算相關(guān)系數(shù)r（精確到0.01），并以此判定是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？若是請求出回歸直線方程，若不是請說明理由；（2）過去50周的資料顯示，該地周光照量X（小時）都在30小時以上，其中不足50小時的周數(shù)有5周，不低于50小時且不超過70小時的周數(shù)有35周，超過70小時的周數(shù)有10周．蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀最多可運行臺數(shù)受周光照量X限制，并有如表關(guān)系：周光照量X（單位：小時）30＜X＜5050≤X≤70n≥2光照控制儀最多可運行臺數(shù)542若某臺光照控制儀運行，則該臺光照控制儀周利潤為3000元；若某臺光照控制儀未運行，則該臺光照控制儀周虧損1000元．若商家安裝了5臺光照控制儀，求商家在過去50周每周利潤的平均值．附：對于一組數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn），其相關(guān)系數(shù)公式r=i=1n(xi?x)(yi【解析】解：（1）由已知數(shù)據(jù)可得x=2+4+5+6+85因為i=15i=15i=15所以相關(guān)系數(shù)r=i=1因為r＞0.75，所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，因為b?=i=1n(x（2）記商家周總利潤為Y元，由條件可得在過去50周里：X＞70時，共有10周，只有2臺光照控制儀運行，周總利潤Y＝2×3000﹣3×1000＝3000元，當50≤X≤70時，共有35周，有4臺光照控制儀運行，周總利潤Y＝4×3000﹣1×1000＝11000元，當X＜50時，共有5周，5臺光照控制儀都運行，周總利潤Y＝5×3000＝15000元，所以過去50周每周利潤的平均值Y=所以商家在過去50周每周利潤的平均值為9800元．例7．湖南省從2021年開始將全面推行“3+1+2”的新高考模式，新高考對化學(xué)、生物、地理和政治等四門選考科目，制定了計算轉(zhuǎn)換T分（即記入高考總分的分數(shù)）的“等級轉(zhuǎn)換賦分規(guī)則”（詳見附1和附2），具體的轉(zhuǎn)換步驟為：①原始分Y等級轉(zhuǎn)換；②原始分等級內(nèi)等比例轉(zhuǎn)換賦分．某校的一次年級統(tǒng)考中，政治、生物兩選考科目的原始分分布如表：等級ABCDE比例約15%約35%約35%約13%約2%政治學(xué)科各等級對應(yīng)的原始分區(qū)間[81，98][72，80][66，71][63，65][60，62]生物學(xué)科各等級對應(yīng)的原始分區(qū)間[90，100][77，89][69，76][66，68][63，65]現(xiàn)從政治、生物兩學(xué)科中分別隨機抽取了20個原始分成績數(shù)據(jù)，作出莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖，分別求出政治成績的中位數(shù)和生物成績的眾數(shù)；（2）該校的甲同學(xué)選考政治學(xué)科，其原始分為82分，乙同學(xué)選考生物學(xué)科，其原始分為91分，根據(jù)賦分轉(zhuǎn)換公式，分別求出這兩位同學(xué)的轉(zhuǎn)化分；（3）根據(jù)生物成績在等級B的6個原始分和對應(yīng)的6個轉(zhuǎn)化分，得到樣本數(shù)據(jù)（Yi，Ti），請計算生物原始分Yi與生物轉(zhuǎn)換分Ti之間的相關(guān)系數(shù)，并根據(jù)這兩個變量的相關(guān)系數(shù)談?wù)勀銓π赂呖歼@種“等級轉(zhuǎn)換賦分法”的看法．附1：等級轉(zhuǎn)換的等級人數(shù)占比與各等級的轉(zhuǎn)換分賦分區(qū)間等級ABCDE原始分從高到低排序的等級人數(shù)占比約15%約35%約35%約13%約2%轉(zhuǎn)換分T的賦分區(qū)間[86，100][71，85][56，70][41，55][30，40]附2：計算轉(zhuǎn)換分T的等比例轉(zhuǎn)換賦分公式：Y2?YY?Y1=T2?TT?T1．（其中：Y1，Y附3：i=16（Yi?Y）（Ti?T）＝74，i=1【解析】解：（1）根據(jù)莖葉圖知，政治成績的中位數(shù)為72，生物成績的眾數(shù)為73；（2）甲同學(xué)選考政治學(xué)科的等級為A，由轉(zhuǎn)換賦分公式：98?8282?81=100?T乙同學(xué)選考生物學(xué)科的等級為A，由賦分轉(zhuǎn)換公式：100?9191?90=100?T所以甲、乙兩位同學(xué)的轉(zhuǎn)換分都是87分．（3）由題意知，r=i=1說法1：等級轉(zhuǎn)換賦分公平，因為相關(guān)系數(shù)十分接近1，接近函數(shù)關(guān)系，因此高考這種“等級轉(zhuǎn)換賦分”具有公平性與合理性．說法2：等級轉(zhuǎn)換賦分法不公平，在同一等級內(nèi)，原始分與轉(zhuǎn)化分是確定的函數(shù)關(guān)系，理論上原始分與轉(zhuǎn)化分的相關(guān)系數(shù)為1，在實際賦分過程中由于數(shù)據(jù)的四舍五入，使得實際的轉(zhuǎn)化分與應(yīng)得的轉(zhuǎn)化分有一定的誤差，極小部分同學(xué)賦分后會出現(xiàn)偏高或偏低的現(xiàn)象．（只要說法有道理，都可以得分）．例8．某市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1月期間買二手房情況，首先隨機抽樣其中200名購房者，并對其購房面積m（單位：平方米，60≤m≤130）進行了一次調(diào)查統(tǒng)計，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖，接著調(diào)查了該市2018年1月至2019年1月期間當月在售二手房均價y（單位：萬元/平方米），制成了如圖2所示的散點圖（圖中月份代碼1﹣13分別對應(yīng)2018年1月至2019年1月）．（Ⅰ）試估計該市市民的購房面積的中位數(shù)m0；（Ⅱ）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購房面積位于[110，130]的40位市民中隨機抽取4人，再從這4人中隨機抽取2人，求這2人的購房面積恰好有一人在[120，130]的概率；（Ⅲ）根據(jù)散點圖選擇y?=a?+b?y?y?i=1130.0005910.000164i=1130.006050請利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個模型的擬合效果更好，并用擬合效果更好的模型預(yù)測出2019年12月份的二手房購房均價（精確到0.001）．【參考數(shù)據(jù)】ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln23≈3.14，ln25≈3.22，2≈141，3≈1.73，【參考公式】R2【解析】解：（I）由頻率分布直方圖，可得，前三組頻率和為0.05+0.1+0.2＝0.35，前四組頻率和為0.05+0.1+0.2+025＝0.6，故中位數(shù)出現(xiàn)在第四組，且m0（Ⅱ）設(shè)從位于[110，120）的市民中抽取x人，從位于[120，130]的市民中抽取y人，由分層抽樣可知：440=x30=在抽取的4人中，記3名位于[11，120）的市民為A1，A2，A3，位于[120，130]的市民為B則所有抽樣情況為：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B），（A2，A3），（A2，B），（A3，B）共6種．而其中恰有一人在位于購房面積[120，130]的情況共有3種，故所求概率P=3（III）設(shè)模型y?=0.9369+0.0285x和y?=0.955+0.0306lnx則R12=1?顯然R1故模型y?由2019年12月份對應(yīng)的代碼為24，則y?例9．某汽車公司擬對“東方紅”款高端汽車發(fā)動機進行科技改造，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技改造投入x（億元）與科技改造直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表：x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666當0＜x≤16時，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：y?=4.1x+11.8；模型②：y?=21.3x?14.4；當x＞16時，確定（Ⅰ）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當0＜x≤16時模型①、②的相關(guān)指數(shù)R2，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測對“東方紅”款汽車發(fā)動機科技改造的投入為16億元時的直接收益．回歸模型模型①模型②回歸方程y?y?i=17182.479.2（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)R2＝1?i=1（Ⅱ）為鼓勵科技創(chuàng)新，當科技改造的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼收益10億元，以回歸方程為預(yù)測依據(jù)，比較科技改造投入16元與20億元時公司實際收益的大?。唬ǜ剑河米钚《朔ㄇ缶€性回歸方程y?=b?x+（Ⅲ）科技改造后，“東方紅”款汽車發(fā)動機的熱效率X大幅提高，X服從正態(tài)分布N（0.52，0.012），公司對科技改造團隊的獎勵方案如下：若發(fā)動機的熱效率不超過50%但不超過53%，不予獎勵；若發(fā)動機的熱效率超過50%但不超過53%，每臺發(fā)動機獎勵2萬元；若發(fā)動機的熱效率超過53%，每臺發(fā)動機獎勵4萬元．求每臺發(fā)動機獲得獎勵的數(shù)學(xué)期望．（附：隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9545．）【解析】解：（Ⅰ）由表格中的數(shù)據(jù)，有182.4＞79.2，即182.4i=1∴模型①的R2小于模型②的R2，說明模型②的刻畫效果更好．∴當x＝16億元時，科技改造直接收益的預(yù)測值為y?（Ⅱ）由已知可得，x?20=0.5+2+3.5+4+55y?60=8.5+8+7.5+6+65∴a?∴當x＞16億元時，y與x滿足線性回歸方程y?當x＝20億元時，科技改造直接收益的預(yù)測值為y?∴當x＝20億元時，實際收益的預(yù)測值為69.3+10＝79.3億元＞70.8億元．∴科技改造投入20億元時，公司的實際收益更大；（Ⅲ）∵P（0.52﹣0.02＜X＜0.52+0.02）＝0.9545，∴P（X＞0.50）=1+0.95452=0.97725，P（X∵P（0.52﹣0.01＜X＜0.52+0.01）＝0.6827，∴P（X＞0.53）=1?0.6827∴P（0.50＜X≤0.53）＝0.97725﹣0.15865＝0.8186．設(shè)每臺發(fā)動機獲得的獎勵為Y（萬元），則Y的分布列為：Y024P0.022750.81860.15865∴每臺發(fā)動機獲得的獎勵的數(shù)學(xué)期望為：E（Y）＝0×0.02275+2×0.8186+4×0.15865＝2.2718（萬元）．例10．某高中數(shù)學(xué)建模興趣小組的同學(xué)為了研究所在地區(qū)男高中生的身高與體重的關(guān)系，從若干個高中男學(xué)生中抽取了1000個樣本，得到如下數(shù)據(jù)．數(shù)據(jù)一：身高在[170，180）（單位：cm）的體重頻數(shù)統(tǒng)計體重（kg）[50，55）[55，60）[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）人數(shù)206010010080201010數(shù)據(jù)二：身高所在的區(qū)間含樣本的個數(shù)及部分數(shù)據(jù)身高x（cm）[140，150）[150，160）[160﹣170）[170﹣180）[180﹣190）平均體重y（kg）4553.66075（Ⅰ）依據(jù)數(shù)據(jù)一將下面男高中生身高在[170﹣180）（單位：cm）體重的頻率分布直方圖補充完整，并利用頻率分布直方圖估計身高在[170﹣180）（單位：cm）的中學(xué)生的平均體重；（保留小數(shù)點后一位）（Ⅱ）依據(jù)數(shù)據(jù)一、二，計算身高（取值為區(qū)間中點）和體重的相關(guān)系數(shù)約為0.99，能否用線性回歸直線來刻畫中學(xué)生身高與體重的相關(guān)關(guān)系，請說明理由；若能，求出該回歸直線方程；（Ⅲ）說明殘差平方和或相關(guān)指數(shù)R2與線性回歸模型擬合效果之間關(guān)系．（只需寫出結(jié)論，不需要計算）參考公式：b?=i=1參考數(shù)據(jù)：（1）145×45+155×53.6+165×60+185×75＝38608；（2）1452+1552+1652+1752+1852﹣5×1652＝1000．（3）663×175＝116025，664×175＝116200，665×175＝116375．（4）728×165＝120120．【解析】解：（1）身高在[170，180）的總?cè)藬?shù)為：20+60+100+100+80+20+10+10＝400，體重在[55﹣60）的頻率為：60400體重在[70﹣75）的頻率為：80400平均體重為：52.5×0.05+57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.25+72.5×0.2+77.5×0.05+82.5×0.025+87.5×0.025≈66.4，（2）因為r＝0.99→1，線性相關(guān)很強，故可以用線性回歸直線來刻畫中學(xué)生身高與體重的相關(guān)，x=145+155+165+175+1855b?a?所以回歸直線方程為：y?（3）殘差平方和越小或相關(guān)指數(shù)R2越接近于1，線性回歸模型擬合效果越好．例11．2019年的“金九銀十”變成“銅九鐵十”，國各地房價“跳水”嚴重，但某地二手房交易卻“逆市”而行．如圖是該地某小區(qū)2018年11月至2019年1月間，當月在售二手房均價（單位：萬元/平方米）的散點圖．（圖中月份代碼1～13分別對應(yīng)2018年11月～2019年11月）根據(jù)散點圖選擇y=a+bx和y＝c+dlnx兩個模型進行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程分別為y^=0.9369+0.0285y^y^i=1130.0005910.000164i=1130.006050（1）請利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個模型的擬合效果更好；（2）某位購房者擬于2020年4月購買這個小區(qū)m（70≤m≤160）平方米的二手房（欲購房為其家庭首套房）．若購房時該小區(qū)所有住房的房產(chǎn)證均已滿2但未滿5年，請你利用（1）中擬合效果更好的模型解決以下問題：（i）估算該購房者應(yīng)支付的購房金額；（購房金額＝房款+稅費，房屋均價精確到0.001萬元/平方米）（ii）若該購房者擬用不超過100萬元的資金購買該小區(qū)一套二手房，試估算其可購買的最大面積．（精確到1平方米）附注：根據(jù)有關(guān)規(guī)定，二手房交易需要繳納若干項稅費，稅費是按房屋的計稅價格（計稅價格＝房款）進行征收的．房產(chǎn)證滿2年但未滿5年的征收方式如下：首套面積90平方米以內(nèi)（含90平方米）為1%；首套面積90平方米以上且140平方米以內(nèi)（含140平方米）1.5%；首套面積140平方米以上或非首套為3%．參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln17≈2.83，ln19≈2.94，2≈1.41，3≈1.73，17≈4.12參考公式：相關(guān)指數(shù)R2【解析】解：（1）模型一中，y?相關(guān)指數(shù)為R2模型二中，y?相關(guān)指數(shù)為R2∴相關(guān)指數(shù)較大的模型二擬合效果好些．（2）通過散點圖確定2020年4月對應(yīng)的x＝18，代入（1）中擬合效果更好的模型二，代入計算y?＝0.9554+0.0306×（ln2+2ln3）＝0.9554+0.0306×（0.69+2×1.10）≈1.044（萬元/平方米），則2020年4月份二手房均價的預(yù)測值為1.044（萬元/平方米）．（i）設(shè)該購房者應(yīng)支付的購房金額h萬元，因為稅費中淵方只需繳納契稅，①當70?m?90時，契稅為計稅價格的1%，故h＝m×1.044×（1%+1）＝1.05444m；②當90＜m?144時，契稅為計稅價格的1.5%，故h＝m×1.044×（1.5%+1）＝1.05966m；③當144＜m?160時，契稅為計稅價格的3%，故h＝m×1.044×（3%+1）＝1.07532m；∴?=1.05444m，70?m?90∴當70?m?90時購房金額為1.05444m萬元，當90＜m?144時購房金額為1.05966m萬元，當144＜m?160時購房金額為1.07532m萬元．（ii）設(shè)該購房者可購買該小區(qū)二手房的最大面積為t平方米，由（i）知，當70?m?90時，應(yīng)支付的購房金額為1.05444t，又1.05444t?1.05444×90＜100，又因為房屋均價約為1.044萬元/平方米，所以t＜100，所以90?t＜100，由1.05966t?100，解得t?1001.05966，且所以該購房者可購買該小區(qū)二手房的最大面積為94平方米．例12．某新興科技公司為了確定新研發(fā)的產(chǎn)品下一季度的營銷計劃，需了解月宣傳費x（單位：萬元）對月銷售量y（單位：千件）的影響，收集了2020年3月至2020年8月共6個月的月宣傳費x和月銷售量y的數(shù)據(jù)如表：月份345678宣傳費x5678910月銷售量y0.43.55.27.08.610.7現(xiàn)分別用模型①y?=b?（模型①和模型②的殘差分別為e?1和x5678910y0.43.55.37.08.610.7e?﹣0.60.540.280.12﹣0.24﹣0.1e?﹣0.631.712.101.63﹣0.7﹣5.42（1）根據(jù)上表的殘差數(shù)據(jù)，應(yīng)選擇哪個模型來擬合月宣傳費x與月銷售量y的關(guān)系較為合適，簡要說明理由；（2）為了優(yōu)化模型，將（1）中選擇的模型殘差絕對值最大所對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)（x，y）剔除，根據(jù)剩余的5組數(shù)據(jù)，求該模型的回歸方程，并預(yù)測月宣傳費為12萬元時，該公司的月銷售量．（剔除數(shù)據(jù)前的參考數(shù)據(jù)：x=7.5，y=5.9，i=16xiyi=299.8，i=16xi2參考公式：b?=i=1【解析】解：（1）應(yīng)選擇模型①，因為模型①每組數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差絕對值都比模型②的小，殘差波動小，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說明擬合精度高．（2）由（1）知，需剔除第一組數(shù)據(jù)，則剔除后的x=7.5×6?555xy=280i=15x∴b?=i=1得①的回歸方程為y?則當x＝12時，y?故月宣傳費為12萬元時，該公司的月銷售量為14.12千件．例13．新型冠狀病毒肺炎COVID﹣19疫情發(fā)生以來，在世界各地逐漸蔓延．在全國人民的共同努力和各級部門的嚴格管控下，我國的疫情已經(jīng)得到了很好的控制．然而，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，每個國家在疫情發(fā)生的初期，由于認識不足和措施不到位，感染人數(shù)都會出現(xiàn)快速的增長．如表是小王同學(xué)記錄的某國連續(xù)8天每日新型冠狀病毒感染確診的累計人數(shù)．日期代