第23講 空間幾何外接球

第23講空間幾何外接球1.已知在三梭錐中，，，則該三棱錐內(nèi)切球的體積為（）A． B． C． D．【解析】如圖，將三棱錐放入長(zhǎng)方體中，設(shè)，，，則，，，所以，，則三棱錐的體積，，設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，則球心到三棱錐四個(gè)面的距離都為，設(shè)三棱錐的表面積為，則，因此，所以三棱錐內(nèi)切球的體積故選：D2.在四棱錐中，已知底面，且，則該四棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．【解析】如圖所示，連接，設(shè)的中點(diǎn)為G，因?yàn)?，所以是底面外接圓的直徑，又，所以，又，得，又底面，則，所以，即是球的直徑，則的中點(diǎn)Q為球心，連接，易知，所以，且底面.在中，，則，又在中，球半徑，則該四棱錐外接球的體積.故選：C3.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，且，，則球的表面積為（）A． B． C． D．【解析】三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，，且，，把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖所示：∴長(zhǎng)方體的外接球即是三棱錐的外接球，∵，，∴長(zhǎng)方體的外接球的半徑為：，∴球的表面積為：，故選：D．4.半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，則這個(gè)半球的體積與正方體的體積之比為()A.eq\r(5)π∶6 B.eq\r(6)π∶2C．π∶2 D．5π∶12【解析】將半球補(bǔ)成球，同時(shí)把原半球的內(nèi)接正方體再補(bǔ)接一個(gè)同樣的正方體，構(gòu)成的長(zhǎng)方體恰好是球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是它的外接球的直徑．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，球體的半徑為R，則(2R)2＝a2＋a2＋(2a)2，即R＝eq\f(\r(6),2)a，∴V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(2,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)a))3＝eq\f(\r(6),2)πa3，V正方體＝a3，∴V半球∶V正方體＝eq\f(\r(6),2)πa3∶a3＝eq\r(6)π∶2，故選B.5.已知四棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上，底面，，，若球的表面積為，則四棱錐的體積為（）A．4 B． C． D．【解析】，，，與全等，，易知、、、四點(diǎn)共圓，則，，所以，四邊形的外接圓直徑為，設(shè)四棱錐的外接球半徑為，則，解得，由底面，底面,所以又,且，所以平面,又面PAB，所以同理可證：設(shè)為為的中點(diǎn),則由直角三角形的性質(zhì)可得：所以四棱錐外接球的球心，即為其直徑，即，所以故選：B6.已知在三棱錐S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝SC＝2eq\r(2)，二面角B－AC－S的大小為eq\f(2π,3)，則三棱錐S－ABC的外接球的表面積為()A.eq\f(124π,9)B.eq\f(105π,4)C.eq\f(105π,9)D.eq\f(104π,9)【解析】如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接BD，SD，則∠BDS＝eq\f(2π,3)，AC＝2eq\r(2)，BD＝eq\r(2)，SD＝eq\r(6).過(guò)點(diǎn)D作與平面ABC垂直的直線，則球心O在該直線上，設(shè)球的半徑為R，連接OB，OS，可得OD2＝R2－(eq\r(2))2，在△OSD中，∠ODS＝eq\f(π,6)，利用余弦定理可得R2＝R2－2＋(eq\r(6))2－2×eq\r(R2－2)×eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)，解得R2＝eq\f(26,9)，所以其外接球的表面積為4πR2＝eq\f(104π,9).7.在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．【解析】由已知是正三棱錐，設(shè)是正棱錐的高，由外接球球心在上，如圖，設(shè)外接球半徑為，又，則，由得，解得，所以表面積為．故選：D．8.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上．若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為()A.eq\f(81π,4)B．16πC．9πD.eq\f(27π,4)【解析】如圖，正四棱錐P－ABCD的底面中心為H.在底面正方形ABCD中，AH＝eq\r(2)，又PH＝4，故在Rt△PAH中，PA＝eq\r(PH2＋AH2)＝eq\r(42＋\r(2)2)＝3eq\r(2).則由正四棱錐的性質(zhì)可得，其外接球的球心O在PH所在的直線上，設(shè)其外接球的直徑為PQ＝2r.又A在正四棱錐外接球的球面上，所以AP⊥AQ.又AH⊥PH，由射影定理可得PA2＝PH×PQ，故2r＝PQ＝eq\f(PA2,PH)＝eq\f(3\r(2)2,4)＝eq\f(9,2)，所以r＝eq\f(9,4).故該球的表面積為S＝4πr2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))2＝eq\f(81π,4).【方法總結(jié)】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定球的球心，利用球的截面的性質(zhì)，球心和球的截面的中心連線垂直于截面．結(jié)合相關(guān)幾何量之間的數(shù)量關(guān)系可確定球心．9.在四面體中，，，直線，所成的角為60°，，，則四面體的外接球表面積為（）A． B． C． D．【解析】當(dāng)四面體如下圖示，過(guò)作且，連接、、，且與交于O點(diǎn)，則△為等邊三角形，為矩形且O點(diǎn)為外接圓圓心，即，又，，∴面，面，則面面，過(guò)為中點(diǎn)，連接、，若為面外接圓圓心，為四面體的外接球球心，則，，有，如下圖示，∴四面體的外接球半徑，則外接球表面積為.當(dāng)四面體如下圖示，過(guò)作且，連接、、，且與交于O點(diǎn)，則△為等腰三角形，為矩形且O點(diǎn)為外接圓圓心，即，又，，∴面，面，則面面，過(guò)為中點(diǎn)，連接，若為面外接圓圓心，為四面體的外接球球心，則，，如下圖示，∴四面體的外接球半徑，則外接球表面積為.故選：CD10.在三棱錐中，是等邊三角形，平面平面，，則三棱錐的外接球體積為（）A． B． C． D．【解析】中，，所以，，設(shè)是中點(diǎn)，則是外心，又是等邊三角形，所以，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以的外心即中三棱錐外接球的球心，所以球半徑，球體積為．故選：C．11.在正三棱錐中，分別是棱的中點(diǎn)，且,若側(cè)棱,則正三棱錐外接球的表面積是。【答案】解：引理：正三棱錐的對(duì)棱互垂直，證明如下：如圖（3）-1，取的中點(diǎn)，連接，交于，連接，則是底面正三角形的中心，平面，，，，，平面，，同理：，，即正三棱錐的對(duì)棱互垂直，本題圖如圖（3）-2，，，，，平面，，，，，平面，，故三棱錐的三棱條側(cè)棱兩兩互垂直，，即，外接球的表面積是12．已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A．πB.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2)D.eq\f(π,4)【解析】球心到圓柱的底面的距離為圓柱高的eq\f(1,2)，球的半徑為1，則圓柱底面圓的半徑r＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)，故該圓柱的體積為V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2×1＝eq\f(3π,4).13．在三棱錐P－ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，則三棱錐P－ABC的外接球的體積為()A.eq\f(27,2)πB.eq\f(27\r(3),2)πC．27eq\r(3)πD．27π【解析】因?yàn)镻A＝PB＝PC，△ABC是正三角形，所以△PAB≌△PAC≌△PBC，由PA⊥PB知，PA⊥PC，PB⊥PC，以PA，PB，PC為過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱作正方體(圖略)，則三棱錐P－ABC的外接球可看成正方體的外接球，因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為3eq\r(3)，所以其外接球的半徑為R＝eq\f(3\r(3),2)，外接球的體積為V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(27\r(3),2)π.故選B.14．已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑，若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S－ABC的體積為9，則球O的表面積為________．【解析】如圖，SC為球O的直徑，O為球心，因?yàn)镾A＝AC，所以AO⊥SC，同理SB＝BC，所以BO⊥SC，BO∩AO＝O，所以SC⊥平面ABO.又平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，AO⊥SC，AO?平面SAC，所以AO⊥平面SBC，所以AO⊥BO.設(shè)球的半徑為R，則AO＝BO＝SO＝CO＝R，所以V三棱錐S－ABC＝2×eq\f(1,3)S△ABO×SO＝2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AO×BO×SO＝eq\f(1,3)R3＝9，所以R＝3，所以球O的表面積為S＝4πR2＝36π.15．類比圓的內(nèi)接四邊形的概念，可得球的內(nèi)接四面體的概念，已知球O的一個(gè)內(nèi)接四面體A－BCD中，AB⊥BC，BD過(guò)球心O，若該四面體的體積為1，且AB＋BC＝2，則球O的表面積的最小值為________．【解析】在Rt△ABC中，由AB⊥BC，且AB＋BC＝2，得2＝AB＋BC≥2eq\r(AB·BC)，得AB·BC≤1，當(dāng)且僅當(dāng)AB＝BC＝1時(shí)，AB·BC取最大值1，∵BD過(guò)球心O，且四面體A－BCD的體積為1，∴三棱錐O－ABC的體積為eq\f(1,2)，則O到平面ABC距離的最小值為eq\f