新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線(xiàn)綜合講義第25講蝴蝶問(wèn)題(原卷版+解析)_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

第25講蝴蝶問(wèn)題一、解答題1.在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓,點(diǎn),是圓上任意一點(diǎn),線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與半徑相交于點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)。(1)求曲線(xiàn)的方程;(2)若,設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)分別交于點(diǎn),其中,求證:直線(xiàn)必過(guò)軸上的一定點(diǎn)。(其坐標(biāo)與無(wú)關(guān))2.已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為點(diǎn),,且,橢圓離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn),且斜率不為的直線(xiàn)交橢圓于,兩點(diǎn),直線(xiàn),的交于點(diǎn),求證:點(diǎn)在直線(xiàn)上.3.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,離心率為,點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)如圖,過(guò)點(diǎn)C(0,1)且斜率大于1的直線(xiàn)l與橢圓交于M,N兩點(diǎn),記直線(xiàn)AM的斜率為k1,直線(xiàn)BN的斜率為k2,若k1=2k2,求直線(xiàn)l斜率的值.4.已知橢圓E:的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O且斜率為的直線(xiàn)l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M,直線(xiàn)OM與橢圓E交于C,D,證明:.5.已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn),線(xiàn)段的中點(diǎn)為,直線(xiàn)與橢圓交于,證明:.6.如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓()的焦距等于其長(zhǎng)半軸長(zhǎng),為橢圓的上、下頂點(diǎn),且(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交橢圓于異于的兩點(diǎn),直線(xiàn)交于點(diǎn).求證:點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值3.7.已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)相切.(Ⅰ)求橢圓方程;(Ⅱ)設(shè)為橢圓右頂點(diǎn),過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于,兩點(diǎn)(異于),直線(xiàn),分別交直線(xiàn)于,兩點(diǎn).求證:,兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.8.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).連接.求證:存在實(shí)數(shù),使得成立.9.已知點(diǎn)在橢圓:上,為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn):的斜率與直線(xiàn)的斜率乘積為(1)求橢圓的方程;(2)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn):(且)與橢圓交于,兩點(diǎn),關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(與點(diǎn)不重合),直線(xiàn),與軸分別交于兩點(diǎn),,求證:.10.橢圓()的左、右焦點(diǎn)分別為,在橢圓上,的周長(zhǎng)為,面積的最大值為2.(1)求橢圓的方程;(2)直線(xiàn)()與橢圓交于,連接,并延長(zhǎng)交橢圓于,連接,探索與的斜率之比是否為定值并說(shuō)明理由.11.已知橢圓的方程為,在橢圓上,橢圓的左頂點(diǎn)為,左、右焦點(diǎn)分別為,的面積是的面積的倍.(1)求橢圓的方程;(2)直線(xiàn)()與橢圓交于,,連接,并延長(zhǎng)交橢圓于,,連接,指出與之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由.12.已知橢圓C的方程為,在橢圓上,離心率,左、右焦點(diǎn)分別為、.(1)求橢圓C的方程;(2)直線(xiàn)與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交橢圓C于D、E兩點(diǎn),連接,求的值.13.如圖,B,A是橢圓的左、右頂點(diǎn),P,Q是橢圓C上都不與A,B重合的兩點(diǎn),記直線(xiàn)BQ,AQ,AP的斜率分別是,,.(1)求證:;(2)若直線(xiàn)PQ過(guò)定點(diǎn),求證:.14.已知橢圓:的焦距為4,且點(diǎn)在橢圓上,直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn),與橢圓交于兩點(diǎn),且其斜率為,為坐標(biāo)原點(diǎn),為橢圓的右焦點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)設(shè),延長(zhǎng)分別與橢圓交于兩點(diǎn),直線(xiàn)的斜率為,求證:為定值.15.已知橢圓的離心率為,半焦距為,且,經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn),斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(II)設(shè),延長(zhǎng),分別與橢圓交于,兩點(diǎn),直線(xiàn)的斜率為,求證:為定值.第25講蝴蝶問(wèn)題一、解答題1.在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓,點(diǎn),是圓上任意一點(diǎn),線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與半徑相交于點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)。(1)求曲線(xiàn)的方程;(2)若,設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)分別交于點(diǎn),其中,求證:直線(xiàn)必過(guò)軸上的一定點(diǎn)。(其坐標(biāo)與無(wú)關(guān))【答案】(1);(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)由橢圓的定義可直接求出求曲線(xiàn)的方程;(2)先求出直線(xiàn)的方程,再分別與橢圓聯(lián)立方程組,求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)并寫(xiě)出直線(xiàn)的方程【詳解】(1)∵在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上,∴∴由橢圓的定義知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),6為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓,∴曲線(xiàn)的方程為:。(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為直線(xiàn)方程為:,即,直線(xiàn)方程為:,即。分別與橢圓聯(lián)立方程組,同時(shí)考慮到,解得:.當(dāng)時(shí),直線(xiàn)方程為:令,解得:。此時(shí)必過(guò)點(diǎn);當(dāng)時(shí),直線(xiàn)方程為:,與軸交點(diǎn)為。所以直線(xiàn)必過(guò)軸上的一定點(diǎn)?!军c(diǎn)睛】本題主要考查利用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)問(wèn)題,計(jì)算量大,第二問(wèn)難度大,是高考?jí)狠S題。2.已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為點(diǎn),,且,橢圓離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn),且斜率不為的直線(xiàn)交橢圓于,兩點(diǎn),直線(xiàn),的交于點(diǎn),求證:點(diǎn)在直線(xiàn)上.【答案】(1);(2)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)由題知,解方程即可得,,故橢圓的方程是.(2)先討論斜率不存在時(shí)的情況易知直線(xiàn),的交點(diǎn)的坐標(biāo)是.當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)方程為,,,進(jìn)而聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理得,,直線(xiàn)的方程是,直線(xiàn)的方程是,進(jìn)而計(jì)算得時(shí)的縱坐標(biāo),并證明其相等即可.【詳解】解:(1)因?yàn)椋瑱E圓離心率為,所以,解得,.所以橢圓的方程是.(2)①若直線(xiàn)的斜率不存在時(shí),如圖,因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為,所以直線(xiàn)的方程是.所以點(diǎn)的坐標(biāo)是,點(diǎn)的坐標(biāo)是.所以直線(xiàn)的方程是,直線(xiàn)的方程是.所以直線(xiàn),的交點(diǎn)的坐標(biāo)是.所以點(diǎn)在直線(xiàn)上.②若直線(xiàn)的斜率存在時(shí),如圖.設(shè)斜率為.所以直線(xiàn)的方程為.聯(lián)立方程組消去,整理得.顯然.不妨設(shè),,所以,.所以直線(xiàn)的方程是.令,得.直線(xiàn)的方程是.令,得.所以分子..所以點(diǎn)在直線(xiàn)上.【點(diǎn)睛】本題第二問(wèn)解題的關(guān)鍵在于分類(lèi)討論直線(xiàn)斜率不存在和存在兩種情況,當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí),設(shè),,寫(xiě)出直線(xiàn)的方程是和直線(xiàn)的方程是,進(jìn)而計(jì)算得時(shí)的縱坐標(biāo)相等即可.考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.3.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,離心率為,點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)如圖,過(guò)點(diǎn)C(0,1)且斜率大于1的直線(xiàn)l與橢圓交于M,N兩點(diǎn),記直線(xiàn)AM的斜率為k1,直線(xiàn)BN的斜率為k2,若k1=2k2,求直線(xiàn)l斜率的值.【答案】(1)+=1;(2).【分析】(1)由橢圓的離心率,和點(diǎn)P在橢圓上求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知直線(xiàn)l的斜率一定存在,設(shè)其方程為y=kx+1,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立方程組消去y,再將k1=2k2用坐標(biāo)表示,利用點(diǎn)在橢圓上和韋達(dá)定理求出直線(xiàn)l的斜率.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓的離心率為,所以a=2c.又因?yàn)閍2=b2+c2,所以b=c.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.又因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn),所以+=1,解得c=1.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知直線(xiàn)l的斜率一定存在,設(shè)其方程為y=kx+1.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).聯(lián)立方程組消去y可得(3+4k2)x2+8kx-8=0.所以由根與系數(shù)關(guān)系可知x1+x2=-,x1x2=-.因?yàn)閗1=,k2=,且k1=2k2,所以=.即=.①又因?yàn)镸(x1,y1),N(x2,y2)在橢圓上,所以=(4-),=(4-).②將②代入①可得:=,即3x1x2+10(x1+x2)+12=0.所以3+10+12=0,即12k2-20k+3=0.解得k=或k=,又因?yàn)閗>1,所以k=.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的幾何性質(zhì),考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.4.已知橢圓E:的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O且斜率為的直線(xiàn)l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M,直線(xiàn)OM與橢圓E交于C,D,證明:.【答案】(1);(2)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)根據(jù)a=2b,再將點(diǎn)代入橢圓方程,解方程組即可求解.(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為,將直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立,利用韋達(dá)定理可得M點(diǎn)坐標(biāo)為,從而求出直線(xiàn)OM方程,將直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立,求出點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【詳解】(1)由已知,a=2b.又橢圓過(guò)點(diǎn),故,解得.所以橢圓E的方程是.(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為,,由方程組得,①,方程①的判別式為,由,即,解得.由①得.所以M點(diǎn)坐標(biāo)為,直線(xiàn)OM方程為,由方程組,得.所以.又.所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查了直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵是求出M點(diǎn)坐標(biāo),考查了計(jì)算能力.5.已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn),線(xiàn)段的中點(diǎn)為,直線(xiàn)與橢圓交于,證明:.【答案】(1);(2)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)根據(jù)b=1,,結(jié)合解方程組即可求解;(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為,將直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立,利用韋達(dá)定理可得中點(diǎn),從而求出直線(xiàn)OM方程,將直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立,求出點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【詳解】(1)根據(jù)題意:,所以橢圓G的方程為.(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為:由消去得:即,需即,設(shè),中點(diǎn),則,,那么直線(xiàn)的方程為:即,由,不妨令,那么,,所以|MC|·|MD|=|ME|·|MF|.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查了直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵是直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理可得中點(diǎn),從而求出直線(xiàn)OM方程,將直線(xiàn)與橢圓再次聯(lián)立,求出點(diǎn),考查了分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力,以及計(jì)算能力.6.如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓()的焦距等于其長(zhǎng)半軸長(zhǎng),為橢圓的上、下頂點(diǎn),且(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交橢圓于異于的兩點(diǎn),直線(xiàn)交于點(diǎn).求證:點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值3.【答案】(1);(2)3【分析】(1)由得,再根據(jù)焦距等于其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)可求,故可得橢圓的方程.(2)設(shè)直線(xiàn)方程為,,【詳解】解:(1)由題意可知:,,又,有,故橢圓的方程為:.(2)由題意知直線(xiàn)的斜率存在,設(shè)其方程為,用的橫坐標(biāo)表示的縱坐標(biāo),再聯(lián)立的方程和橢圓的方程,消去得,利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)的縱坐標(biāo)后可得所求的定值.設(shè)(),聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程得,消去得,,,且有,又,,由得,故,整理得到,故.故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3.【點(diǎn)睛】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,關(guān)鍵是基本量的確定,方法有待定系數(shù)法、定義法等.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問(wèn)題,一般可通過(guò)聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程,再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個(gè)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式,該關(guān)系中含有或,最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程(或函數(shù)),從而可求定點(diǎn)、定值、最值問(wèn)題.7.已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)相切.(Ⅰ)求橢圓方程;(Ⅱ)設(shè)為橢圓右頂點(diǎn),過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于,兩點(diǎn)(異于),直線(xiàn),分別交直線(xiàn)于,兩點(diǎn).求證:,兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)詳見(jiàn)解析.【分析】(Ⅰ)求出后可得橢圓方程.(Ⅱ)當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在,計(jì)算可得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為.當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí),可設(shè)直線(xiàn)的方程為,,則,聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程,消去后利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)后可得定值.【詳解】解:(Ⅰ)因?yàn)橐栽c(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)相切,所以半徑等于原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,,即.由離心率,可知,且,得.故橢圓的方程為.(Ⅱ)由橢圓的方程可知.若直線(xiàn)的斜率不存在,則直線(xiàn)方程為,所以.則直線(xiàn)的方程為,直線(xiàn)的方程為.令,得,.所以?xún)牲c(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為.若直線(xiàn)的斜率存在,設(shè)直線(xiàn)的方程為,由得,依題意恒成立.設(shè),則.設(shè),由題意三點(diǎn)共線(xiàn)可知,所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.同理得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.所以綜上,兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.【點(diǎn)睛】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,關(guān)鍵是基本量的確定,方法有待定系數(shù)法、定義法等.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問(wèn)題,一般可通過(guò)聯(lián)立方程組,消元后得到關(guān)于或的一元二次方程,再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個(gè)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式,該關(guān)系式中含有或,最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程(或函數(shù)),從而可求定點(diǎn)、定值、最值等問(wèn)題.8.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).連接.求證:存在實(shí)數(shù),使得成立.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)由點(diǎn)可得,由,根據(jù)即可求解;(2)設(shè)直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立可得,設(shè),由韋達(dá)定理可得,再根據(jù)直線(xiàn)的斜率公式求得;由點(diǎn)B與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),可設(shè),可求得,則,即可求證.【詳解】解:(1)由題意可知,,又,得,所以橢圓的方程為(2)證明:設(shè)直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立,可得,設(shè),則有,因?yàn)?所以,又因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以,即,則有,由點(diǎn)在橢圓上,得,所以,所以,即,所以存在實(shí)數(shù),使成立【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線(xiàn)的斜率公式的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.9.已知點(diǎn)在橢圓:上,為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn):的斜率與直線(xiàn)的斜率乘積為(1)求橢圓的方程;(2)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn):(且)與橢圓交于,兩點(diǎn),關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(與點(diǎn)不重合),直線(xiàn),與軸分別交于兩點(diǎn),,求證:.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見(jiàn)解析【分析】(Ⅰ)根據(jù)橢圓的中點(diǎn)弦所在直線(xiàn)的斜率的性質(zhì),得到,得到,再結(jié)合橢圓所過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足橢圓方程,聯(lián)立方程組,求得,進(jìn)而求得橢圓的方程;(Ⅱ)將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立,消元,利用韋達(dá)定理得到兩根和與兩根積,將證明結(jié)果轉(zhuǎn)化為證明直線(xiàn),的斜率互為相反數(shù),列式,可證.【詳解】(Ⅰ)由題意,,即①又②聯(lián)立①①解得所以,橢圓的方程為:.(Ⅱ)設(shè),,,由,得,所以,即,又因?yàn)?,所以,,,,解法一:要證明,可轉(zhuǎn)化為證明直線(xiàn),的斜率互為相反數(shù),只需證明,即證明.∴∴,∴.解法二:要證明,可轉(zhuǎn)化為證明直線(xiàn),與軸交點(diǎn)、連線(xiàn)中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,即垂直平分即可.直線(xiàn)與的方程分別為:,,分別令,得,而,同解法一,可得,即垂直平分.所以,.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解析幾何的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有橢圓方程的求解,用到的結(jié)論有橢圓中點(diǎn)弦所在直線(xiàn)的斜率的特征,再者就是直線(xiàn)與橢圓相交的綜合題,認(rèn)真審題是正確解題的關(guān)鍵,注意正確的等價(jià)轉(zhuǎn)化.10.橢圓()的左、右焦點(diǎn)分別為,在橢圓上,的周長(zhǎng)為,面積的最大值為2.(1)求橢圓的方程;(2)直線(xiàn)()與橢圓交于,連接,并延長(zhǎng)交橢圓于,連接,探索與的斜率之比是否為定值并說(shuō)明理由.【答案】(I);(II).【分析】利用的周長(zhǎng)為,面積的最大值為列出方程求出a,b即可得到橢圓方程.設(shè),則直線(xiàn)AD:,代入C:,結(jié)合,代入化簡(jiǎn)得,設(shè),利用韋達(dá)定理通過(guò)斜率關(guān)系,化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】,,得,所以橢圓C的方程為:.設(shè),則直線(xiàn)AD:,代入C:得,因?yàn)?,代入化?jiǎn)得,設(shè),則,所以,,直線(xiàn),同理可得,.所以,所以:.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),橢圓方程的求法,直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.11.已知橢圓的方程為,在橢圓上,橢圓的左頂點(diǎn)為,左、右焦點(diǎn)分別為,的面積是的面積的倍.(1)求橢圓的方程;(2)直線(xiàn)()與橢圓交于,,連接,并延長(zhǎng)交橢圓于,,連接,指出與之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由.【答案】(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)由題意可求得,,從而可得橢圓的方程.(2)設(shè),則,可得直線(xiàn)的方程為,與橢圓方程聯(lián)立后消元可得二次方程,然后根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到點(diǎn)的坐標(biāo).同理可得點(diǎn)的坐標(biāo),最后通過(guò)計(jì)算可得.【詳解】(1)由的面積是的面積的倍,可得,即,又,所以,由在橢圓上,可得,所以,可得,,所以橢圓的方程為.(2)設(shè),則,故直線(xiàn)的方程為,由消去整理得,又,代入上式化簡(jiǎn)得,設(shè),,則,所以,.又直線(xiàn)的方程為,同理可得,.所以kDE所以.【點(diǎn)睛】在解答直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的問(wèn)題時(shí),一般要遇到大量的運(yùn)算,所以在解題時(shí)為了減少運(yùn)算量要注意合理運(yùn)用“設(shè)而不求”、“整體代換”等方法的運(yùn)用,以減少運(yùn)算,提高解題的效率,盡量避免出現(xiàn)計(jì)算中的錯(cuò)誤.12.已知橢圓C的方程為,在橢圓上,離心率,左、右焦點(diǎn)分別為、.(1)求橢圓C的方程;(2)直線(xiàn)與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交橢圓C于D、E兩點(diǎn),連接,求的值.【答案】(1);(2).【分析】(1)由在橢圓上,得到,再根據(jù)和,求得的值,即可求解;(2)設(shè),得到直線(xiàn),聯(lián)立方程組,結(jié)合,求得,,同理求得,,結(jié)合斜率公式,化簡(jiǎn),即可求解.【詳解】(1)由在橢圓上,可得,又由離心率,可得,且,解得,所以橢圓C的方程為.(2)設(shè),則,直線(xiàn),代入,得,因?yàn)?,代入化?jiǎn)得,設(shè),,則,所以,,直線(xiàn):,同理可得,化簡(jiǎn)得,故,即,,所以又,所以.【點(diǎn)睛】直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題的求解策略:對(duì)于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問(wèn)題,通常聯(lián)立直線(xiàn)方程與圓錐曲線(xiàn)方程,應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,以及弦長(zhǎng)公式等進(jìn)行求解,此類(lèi)問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足,導(dǎo)致錯(cuò)解,能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力.13.如圖,B,A是橢圓的左、右頂點(diǎn),P,Q是橢圓C上都不與A,B重合的兩點(diǎn),記直線(xiàn)BQ,AQ,AP的斜率分別是,,.(1)求證:;(2)若直線(xiàn)PQ過(guò)定點(diǎn),求證:.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)設(shè),代入斜率公式求;(2)設(shè)直線(xiàn)的方程是,與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系表示,再根據(jù)(1)的結(jié)論證明.【詳解】(1)設(shè);(2)設(shè)直線(xiàn)的方程是,設(shè)與橢圓方程聯(lián)立,得:,,,,,由(1)可知,兩式消去,解得:.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,定值和定點(diǎn),意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想和計(jì)算能力,屬于中檔題型,第二問(wèn)中設(shè)而不求的基本方法也使得求解過(guò)程變得簡(jiǎn)單,在解決圓錐曲線(xiàn)與動(dòng)直線(xiàn)問(wèn)題中,韋達(dá)定理,弦長(zhǎng)公式都是解題的基本工具.14.已知橢圓:的焦距為4,且點(diǎn)在橢圓上,直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn),與橢圓交于兩點(diǎn),且其斜率為,為坐標(biāo)原點(diǎn),為橢圓的右焦點(diǎn).

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